高三一轮复习 学生用学案 024
高三第一轮复习学案
2009届高三第一轮复习学案电荷守恒及库仑定律【考点聚焦】两种电荷、电荷守恒真空中的库仑定律、电荷量【知识扫描】1.电荷(1) _________________________________________ 自然界存在着两种电荷，它们分别为_______________________________________________________ 和 _________ 。
用 ______ 摩擦过的__________ 上带的电荷叫负电荷；用________ 摩擦过的___________ 上带的电荷叫正电荷。
同种电荷互相_________ ，异种电荷互相___________ 。
(2) ________________________ 电荷量是指______ ，单位是 __ ，简称____________ ，单位符号是_________________________ 。
物体带电实质是_____________________ 。
(3) _______________________________________________________________ 电子所带电荷量e=1.60 x 1019C，实验表明：所有带电体的电荷量 ___________________________ e或是e的_____ ，因此_______________ 称为元电荷。
(4) ___________________________________________________________________ 如果带电体间的距离比它们的大小大得多，以致带电体______________________________________ 可忽略不计，这样的带电体可以看成点电荷。
点电荷是_________________ ，实际不存在。
2•电荷守恒定律(! ) _____ 叫做起电，物体有三种起电方式，分别是①________ ;②________ ;③ ______ 。
高三数学一轮复习学案：函数的应用
高三数学一轮复习学案：函数的应用一、考试要求： 1、会解与一次函数、二次函数有关的问题，掌握一次函数、二次函数在解决实际问题时的步骤与方法。
2、能构建指数函数、对数函数、幂函数、分段函数模型解决一些简单的实际问题二、知识梳理：2、解函数应用题的一般步骤 ：（1） 审题：_______________________（2） 建模：________________________（3） 求模：_________________________（4） 还原：_________________________2.基本程序实际问题－－－－－－－－－数学模型实际问题结论－－－－－－－数学模型的解三、基础检测：1.某宾馆有客房300间，每间房日租为20元，每天都客满。
宾馆欲提高档次 ，并提高租金。
如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间。
若不考虑其它因素，宾馆将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？A ．30元 B.40元 C.50元 D.60元2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。
假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：300()2tM t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量。
已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）=A.5太贝克B.75In2太贝克C.150In2太贝克D.150太贝克3.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：（1）如一次购物不超过200元，不予以折扣；（2）如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价予以九折优惠；（3）如一次购物超过500元的，其中500给与九折优惠，超过500元的部分给与八五折优惠。
某人两次去购物，分别付款176和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（ ）A.608元B.574.1元C.582.6元D.456.8元4.一种商品连续两次降价10%后，欲通过两次连续提价恢复原价，则每次应提价（ ）A.10%B.20%C.5%D.11.1%5.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。
高三一轮复习学案相互作用力与物体平衡
高三一轮复习学案：——相互作用力与物体平衡本章知识点：1、力的概念及合成与分解。
2、重力、弹力、摩擦力。
3、共点力及共点力作用下物体的平衡。
共点力作用下物体的平衡条件：合力为零，即＝合F0.一、例题：第一课时考点一重力与万有引力的关系例：一袋密封很好的大米从吉林被运往青海玉树地震灾区，它的质量（填“变化”或“不变”），但重量却（填“变化”或“不变”），原因是在地球表面。
考点二弹力方向的判断例：画出下列物体所受的弹力．二、习题题型一：运用假设法判断弹力的存在1、如图所示有一球放在光滑水平面上，并和光滑斜面AB接触，球静止．分析球所受的弹力．2、如图所示小球A在内壁光滑的车厢内随车厢一起向右运动，试分析车厢后壁对球的弹力情况．题型二：弹力的方向分析及大小的计算1、如图所示用轻质细杆连接的A、B两物体正沿着倾角θ为的斜面匀速下滑，已知斜面的粗糙程度是均匀的，A、B两物体与斜面的接触情况相同．试判断A和B之间的细杆上是否有弹力．若有弹力，求出该弹力的大小；若无弹力，请说明理由．2．如图所示，A、B两物体的重力分别是G A＝3 N、G B＝4 N，A用悬绳挂在天花板上，B 放在水平地面上，A 、B 间的轻弹簧上的弹力F ＝2 N ，则绳中( )张力F1和B 对地面的压力F 2的可能值分别为A ．7 N 和10 NB ．5 N 和2 NC ．1 N 和6 ND ．2 N 和5 N3、如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心．一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止于P 点．设滑块所受支持力为F N ．OP 与水平方向的夹角为θ．下列关系正确的是( )A ．F ＝mgtan θB ．F ＝mg tan θC ．F N ＝mgtan θD ．F N ＝mg tan θ4．如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放置一重力为G 的小球，小球与固定在天花 板上的绳子相连，小球保持静止状态．绳子与竖直方向的夹角也为θ.若绳子的拉力大小 为F ，斜面对小球的支持力大小为F1，则 A ．F 1＝F B ．F 1＝Gcos θ C ．F ＝Gcos θ D ．Fcos θ＝Gsin θ题型三 弹簧产生的弹力1、 如图9所示，质量为m 的物体A 放在地面上的竖直轻弹簧B 上，且弹簧B 分别与地面和物体A 相连接．现用细绳跨过定滑轮将物体A 与另一轻弹簧C 连接，当弹簧C 处在水平位置且右端位于a 点时它没有发生形变．已知弹簧B 和弹簧C 的劲度系数分别为k 1和k 2，不计定滑轮、细绳的质量和摩擦．将弹簧C 的右端由a 点沿水平方向拉到b 点时，弹簧B 的弹力变为原来的23，求a 、b 两点间的距离．2、如图所示，原长分别为L 1和L 2，劲度系数分别为k 1和k 2的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上，两弹簧之间有一质量为m 1的物体，最下端挂着质量为m 2的另一物体，整个装置处于静止状态．求：(1)这时两弹簧的总长．(2)若用一个质量为M 的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到下面物体m 2的压力．第2课时 一、 例题考点一 静摩擦力例1．静摩擦力的有无及方向的判断分析下列各种情况下物体A 是否受摩擦力的作用及其方向例2．静摩擦力大小的计算用轻弹簧竖直悬挂质量为m 的物体，静止时弹簧伸长量为x ．现用该弹簧沿斜面方向拉住质量为2m 的物体，系统静止时弹簧伸长量也为x ．斜面倾角为30°，如图1所示．则物体所受摩擦力( ) A ．等于零B ．大小为12mg ，方向沿斜面向下C ．大小为32mg ，方向沿斜面向上D ．大小为mg ，方向沿斜面向上考点二 对滑动摩擦力F f ＝μF N 的理解例： 如图2所示，一物块置于水平地面上，当用与水平方向成60°角的力F 1拉物块时，物块做匀速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F 2推物块时，物块仍做匀速直线运动．若F 1和F 2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为( )A ．3－1B ．2－ 3C ．32－12D ．1－32二、习题题型一 应用“假设法”判断静摩擦力的方向1、 如图3所示是主动轮P 通过皮带带动从动轮Q 的示意图，A 与B 、C 与D 分别是皮带上与轮缘上相互接触的点，则下列判断正确的是( BCD )A ．B 点相对于A 点运动趋势方向与B 点运动方向相反B ．D 点相对于C 点运动趋势方向与C 点运动方向相反 C ．D 点所受静摩擦力方向与D 点运动方向相同D ．主动轮受到的摩擦力是阻力，从动轮受到的摩擦力是动力2、指明图4中物体A 在以下四种情况下所受的静摩擦力的方向．(1)物体A 静止于斜面上，如图甲所示；(2)物体A 受到水平拉力F 作用而仍静止在水平面上，如图乙所示；(3)物体A 放在车上，在刹车过程中，A 相对于车厢静止，如图丙所示； (4)物体A 在水平转台上,随转台一起匀速转动，如图丁所示题型二 摩擦力的分析与计算1、如图5所示，一质量不计的弹簧原长为10 cm ，一端固定于质量m ＝2 kg 的物体上，另一端施一水平拉力F ．(g ＝10 m/s 2)(1)若物体与水平面间的动摩擦因数为0．2，当弹簧拉长12 cm 时，物体恰好匀速运动，弹簧的劲度系数多大？(2)若将弹簧拉长11 cm 时，物体所受到的摩擦力大小为多少？ (3)若将弹簧拉长13 cm 时，物体所受的摩擦力大小为多少？(设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等) 2、在粗糙的水平面上放一物体A ，A 上再放一质量为m 的物体B ，A 、B 间的动摩擦因数为μ，施加一水平力F 于A (如图6所示)，计算下列情况下A 对B 的摩擦力． (1)当A 、B 一起做匀速运动时．(2)当A 、B 一起以加速度a 向右匀加速运动时． (3)当力F 足够大而使A 、B 发生相对滑动时．(4)当A 、B 发生相对滑动，且B 物体的15伸到A 的外面时．3、如图9所示，质量为m 的物体，在沿斜面向上的拉力F 作用下，沿放在水平地面上的质量为M 的倾角为θ的粗糙斜面匀速下滑，此过程中斜面保持静止，则地面对斜面( BD )A ．无摩擦力B ．有水平向左的摩擦力C ．支持力为(M ＋m )gD ．支持力小于(M ＋m )g4、如图所示，放在粗糙水平面上的物体A 上叠放着物体B .A 和B 之间有一个被压缩的弹簧．A 、B 均处于静止状态，下列说法中正确的是A ．B 受到向右的摩擦力 B ．B 对A 的摩擦力向右C ．地面对A 的摩擦力向右D ．地面对A 没有摩擦力题型三 滑动摩擦力的分析问题1、 如图7所示，人重600 N ，木块A 重400 N ，人与木块、木块与水平面间的动摩擦因数均为0．2，现人用水平力拉绳，使他与木块一起向右做匀速直线运动，滑轮摩擦不计，求：(1)人对绳的拉力；(2)人脚对A 的摩擦力的大小和方向．2、如图所示，在倾角为θ＝30°的粗糙斜面上放一物体，重力为G ，现在用与斜面底边平行的力F ＝G2推物体，物体恰能做匀速直线运动，则(1)物体与斜面之间的动摩擦因数是多少？ (2)物体的运动方向与斜面底边成多大的夹角？第三课时 一、例题考点一 合力的范围及共点力合成的方法 例1．合力范围的确定(1)有两个共点力F 1＝8 N ，F 2＝15 N ，则 N ≤F 合≤ N 且随二力夹角的增大，F 合逐渐 ． (2)有三个共点力：F 1＝8 N ，F 2＝15 N ，F 3＝15 N ，则 N ≤F 合≤ N ． 如：F 1＝8 N ，F 2＝15 N ，F 3＝3 N ，则 N ≤F 合≤ N 例2．共点力的合成(1)合成法则：平行四边形定则或 定则 (2)求出以下三种特殊情况中二力的合力：考点二 力的分解的方法 例1．按力的效果分解找出重力G 的两个作用效果，并求它的两个分力．如图3所示 F 1＝ ，F 2＝ (用G 和θ表示)例2. 关于一个力的分解，下列说法正确的是( ) A ．已知两个分力的方向，有唯一解 B ．已知两个分力的大小，有唯一解C ．已知一个分力的大小和方向，有唯一解D ．已知一个分力的大小和另一个分力方向，有唯一解考点三 正交分解法1．定义：把各个力沿相互垂直的方向分解的方法用途：求多个共点力的合力时，往往用正交分解法．2．步骤：如图5所示，(1)建立直角坐标系；通常选择共点力的作用点为坐标原点，建立x 、y 轴让尽可能多的力落在坐标轴上．(2)把不在坐标轴上的各力向坐标轴进行正交分解． (3)沿着坐标轴的方向求合力F x 、F y ．(4)求F x 、F y 的合力，F 与F x 、F y 的关系式为：F ＝F 2x ＋F 2y ．方向为：tan α＝F y /F x 例1．物块静止在固定的斜面上，分别按图示的方向对物块施加大小相等的力F ，A 中F 垂直于斜面向上，B 中F 垂直于斜面向下，C 中F 竖直向上，D 中F 竖直向下，施力后物块仍然静止，则物块所受的静摩擦力增大的是( )二、习题题型一 力的效果分解在实际生活中的应用1、如图6所示，用一根长1 m 的轻质细绳将一幅质量为1 kg 的画框对称悬挂在墙壁上，已知绳能承受的最大张力为10 N ，为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为(g 取10 m/s 2)( )A ．32 mB ．22 mC ．12 mD ．33m2、如图7所示，α＝30°，装置的重力和摩擦力均不计，若用F ＝100 N 的水平推力使滑块B 保持静止，则工件上受到的向上的弹力多大？题型二 理解合力与分力间的关系1、互成角度的两个共点力，有关它们的合力与分力关系的下列说法中，正确的是( ) A ．合力的大小一定大于小的分力、小于大的分力 B ．合力的大小随分力间夹角的增大而增大 C ．合力的大小一定大于任意一个分力D ．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力2、下列关于合力的叙述中正确的是( )A ．合力是原来几个力的等效代替，合力的作用效果与分力的共同作用效果相同B ．两个力夹角为θ(0≤θ≤π)，它们的合力随θ增大而增大C ．合力的大小总不会比分力的代数和大D ．不是同时作用在同一物体上的力也能进行力的合成的运算题型三 物体的受力分析1、 如图8所示，运动员用竖直的胶皮乒乓球板去推挡水平飞来的上旋乒乓球．试分析推挡瞬间乒乓球所受的力，标明每一个力的名称和方向．2、 如图9所示，物体A 靠在倾斜的墙面上，在与墙面和B 垂直的力F 作用下，A 、B 保持静止，试分析A 、B 两物体受力的个数．题型四 力的合成与分解综合问题1、 如图10所示是一种研究劈的作用的装置，托盘A 固定在细杆上，细杆放在固定的圆孔中，下端有滚轮，细杆只能在竖直方向上移动，在与托盘连接的滚轮正下面的底座上也固定一个滚轮，轻质劈放在两滚轮之间，劈背的宽度为a ，侧面的长度为l ，劈尖上固定的细线通过滑轮悬挂质量为m 的砝码，调整托盘上所放砝码的质量M ，可以使劈在任何位置时都不发生移动．忽略一切摩擦和劈、托盘、细杆与滚轮的重力，若a ＝35l ，试求M 是m 的多少倍？2、 风筝(图11甲)借助于均匀的风对其作用力和牵线对其拉力的作用，才得以在空中处于平衡状态．如图11乙所示，风筝平面AB 与地面夹角为30°，风筝质量为300 g ，求风对风筝的作用力的大小．(风对风筝的作用力与风筝平面相垂直，g 取10 m/s 2)3．如图13所示，将足球用网兜挂在光滑的墙壁上，设绳对球的拉力为F 1，墙壁对球的支持力为F 2，当细绳长度变短时( )A ．F 1、F 2均不变B ．F 1、F 2均增大C ．F 1减小，F 2增大D ．F 1、F 2均减小4．如图15所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一个滑块在弹簧拉力作用下处于静止．弹簧的拉力与斜面平行，大小为7 N ，求滑块的重力与斜面对滑块的支持力．第四课时 一、例题考点一 受力分析的步骤与方法例1.如图1所示，物体A 靠在竖直墙壁上，在力F 作用下，A 、B 保持静止． (1)此时物体B 的受力个数为 个．(2)若物体A 固定在墙上，其他条件不变，则B 物体受力个数可能为 个和 个．(3)若将力F 改为水平向左的力仍作用在物体B 上，其他条件不变，则物体B 受 个力．例2.L 型木板P(上表面光滑)放在固定斜面上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的滑块Q 相连，如图2所示．若P、Q一起沿斜面匀速下滑，不计空气阻力．则木板P的受力个数为()A．3 B．4 C．5 D．6考点二共点力平衡问题的理解与应用例1.在粗糙水平地面上与墙平行放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态．现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3.若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，截面如图3所示，在此过程中A．F1保持不变，F3缓慢增大B．F1缓慢增大，F3保持不变C．F2缓慢增大，F3缓慢增大D．F2缓慢增大，F3保持不变二、习题题型一用图解法求动态变化问题1.如图4所示，一倾角为θ的固定斜面上，有一块可绕其下端转动的挡板P，今在挡板与斜面间夹有一个重为G的光滑球．试求挡板P由图示的竖直位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板压力的最小值．2. 如图5所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是 ( )A．增大 B．先减小，后增大C．减小 D．先增大，后减小题型二应用整体法和隔离法求解平衡问题1.如图6所示，质量为M的直角三棱柱A放在水平地面上，三棱柱的斜面是光滑的，且斜面倾角为θ.质量为m的光滑球放在三棱柱和光滑竖直墙壁之间，A和B都处于静止状态，求地面对三棱柱的支持力和摩擦力各为多少？2.有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直放置，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不可伸展的细绳相连，并在某一位置平衡(如图7所示)．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F N和细绳上的拉力F的变化情况是A．F N不变，F变大B．F N不变，F变小C．F N变大，F变大D．F N变大，F变小题型三平衡中的临界与极值问题1.物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图8所示，θ＝60°.若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围．(g取10 m/s2)2．两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板上的M、N点，M、N两点间的距离为l，如图12所示，已知两根绳子所能承受的最大拉力均为F T，则每根绳子的长度不得短于多少？实验二探究弹力和弹簧伸长量的关系例题：例1、1）在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”实验中，以下说法正确的是（）A．弹簧被拉伸时，不能超出它的弹性限度B．用悬挂砝码的方法给弹簧施加拉力，应保证弹簧位于竖直位置且处于平衡状态C．用直尺测得弹簧的长度即为弹簧的伸长量D．用几个不同的弹簧，分别测出几组拉力与伸长量，得出拉力与伸长量之比相等2)某同学做“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验，他先把弹簧平放在桌面上使其自然伸长，用直尺测出弹簧的原长L0，再把弹簧竖直悬挂起来，挂上钩码后测出弹簧伸长后的长度L，把L－L0作为弹簧的伸长量x，这样操作，由于弹簧自身重力的影响，最后画出的图线可能是下图中的 ( )例2在“探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图3所示．所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力．实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度．(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据描点在坐标图4中，请作出F－L图线．(2)由此图线可得出该弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m.(3)试根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较．优点在于：___________________________________ .缺点在于：________ _________________________ .习题：1．一个实验小组在“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的实验中，使用两条不同的轻质弹簧a和b，得到弹力与弹簧长度的图象如图5所示．下列表述正确的是A．a的原长比b的长B．a的劲度系数比b的大C．a的劲度系数比b的小D．测得的弹力与弹簧的长度成正比2．(2008·北京理综)某同学和你一起探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测弹簧的劲度系数k，做法是先将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将最小刻度是毫米的刻度尺竖直放在弹簧一侧．并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺上．当弹簧自然下垂时，指针指示的刻度数值记作L0；弹簧下端挂一个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L1；弹簧下端挂两个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L2；……；挂七个50 g的砝码时，指针指示的刻度数值记作L7.(1)下表记录的是该同学已测出的6个值，其中有两个数值在记录时有误，它们的代表符号分别是______和________．测量记录表：(2)37(3)为充分利用测量数据，该同学将所测得的数值按如下方法逐一求差，分别计算出了三个差值：d1＝L4－L0＝6.90 cm，d2＝L5－L1＝6.90 cm，d3＝L6－L2＝7.00 cm.请你给出第四个差值：d4＝________＝________ cm.(4)根据以上差值，可以求出每增加50 g砝码的弹簧平均伸长量ΔL，ΔL用d1、d2、d3、d4表示的式子为：ΔL＝______.代入数据解得ΔL＝____________ cm.(5)计算弹簧的劲度系数k＝______ N/m.(g取9.8 m/s2)实验三验证力的平行四边形定则例题例1：如图所示，某同学在家中尝试验证平行四边形定则，他找到三条相同的橡皮筋(遵循胡克定律)和若干小重物，以及刻度尺、三角、板、铅笔、细绳、白纸、钉子，设计了如下实验：将两条橡皮筋的一端分别挂在墙上的两个钉子A、B上，另一端与第三条橡皮筋连接，结点为O，将第三条橡皮筋的另一端通过细绳挂一重物．(1)为完成该实验，下述操作中必需的是________．a．测量细绳的长度b．测量橡皮筋的原长c．测量悬挂重物后橡皮筋的长度d．记录悬挂重物后结点O的位置(2)钉子位置固定，欲利用现有器材，改变条件再次验证，可采用的方法是____________．例2：李明同学在做“互成角度的两个力的合成”实验时，利用坐标纸记下了橡皮筋的结点位置O点以及两只弹簧秤拉力的大小如图3所示．(1)试在图3中作出无实验误差情况下F1和F2的合力图示，并用F表示此力．(2)有关此实验，下列叙述正确的是________．A．两弹簧秤的拉力可以同时比橡皮筋的拉力大B．橡皮筋的拉力是合力，两弹簧秤的拉力是分力C．两次拉橡皮筋时，需将橡皮筋结点拉到同一位置O.这样做的目的是保证两次弹簧秤拉力的效果相同D．若只增大某一只弹簧秤的拉力大小而要保证橡皮筋结点位置不变，只需调整另一只弹簧秤拉力的大小即可(3)如图4所示是张华和李明两位同学在做以上实验时得到的结果，其中哪一个实验比较符合实验事实？(力F′是用一只弹簧秤拉时的图示)答： __________________.(4)在以上比较符合实验事实的一位同学中，造成误差的主要原因是什么？(至少写出两种情况)答：__________________ .习题：1．如图5所示，在共点力合成的实验中橡皮筋一端固定于P点，另一端连接两个弹簧秤，并使该端拉至O点，两个F2(α＋β<90°)，现使F1大小不变地沿顺时针转过某一角度，要使结弹簧秤的拉力分别为F点仍在O处，相应地使F2的大小及图中β角发生变化．则相应的变化可能是A．F2一定增大B．F2可能减少C．β角一定减小D. β角可能增大2．在探究求合力的方法时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳．实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧秤互成角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条．(1)实验对两次拉伸橡皮条的要求中，下列哪些说法是正确的________(填字母代号)．A．将橡皮条拉伸相同长度即可B．将橡皮条沿相同方向拉到相同长度C．将弹簧秤都拉伸到相同刻度D．将橡皮条和绳的结点拉到相同位置(2)同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是________(填字母代号)A．两细绳必须等长B．弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行C．用两弹簧秤同时拉细绳时两弹簧秤示数之差应尽可能大D．拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些。
高中化学高三一轮复习教案
高中化学高三一轮复习教案内容概述本教案旨在为高中化学高三学生提供一轮全面复习的指导，包括以下几个方面的内容：1.化学式、离子方程式的写法；2.化学反应的热力学和动力学；3.化学平衡的计算方法；4.化学反应机制和催化剂的应用；5.有机化学的基本概念及反应机理；6.化学实验中的安全操作及注意事项。
课时安排总计安排8课时，具体内容和时间分配如下：第一课时：化学式和离子方程式•学习化学式的写法；•复习化学键的形成；•学习离子方程式的写法；•练习一些常见离子的写法。
时间安排：1小时。
第二课时：化学反应的热力学和动力学•复习化学反应的热力学基本概念；•讲解熵、焓、自由能的定义；•学习化学反应速率和速率常数的计算。
时间安排：1小时。
第三课时：化学平衡的计算方法•复习化学平衡的基本概念；•讲解平衡常数的意义和计算方法；•讲解Le Chatelier原理及其应用。
时间安排：1小时。
第四课时：化学反应机制和催化剂•学习化学反应机制的基本概念；•讲解催化剂的应用及其原理。
时间安排：1小时。
第五课时：有机化学的基本概念及反应机理•复习有机化学的基本概念；•学习有机反应机理的基本原理；•学习酸碱催化反应、加成反应等有机反应机理。
时间安排：1.5小时。
第六课时：有机化学反应实例•学习芳香化合物的结构和性质；•学习酯化反应、烷基化反应等反应机理。
时间安排：1.5小时。
第七课时：化学实验的安全操作及注意事项•学习化学实验基本安全常识；•学习化学实验常用设备的使用方法时间安排：1小时。
第八课时：复习总结•综合复习全套知识点；•解答学生疑问。
时间安排：1小时。
教材选用《高中化学》人民教育出版社，必修三。
教学方法1.在讲解概念时，配合示意图或计算式进行解释；2.通过案例分析，讲解不同反应的实际意义；3.引导学生自主思考实验中安全的操作方法和注意事项；4.通过讲解和练习，提高学生计算技能和应用能力；5.课后布置练习作业，提高学生自主学习能力。
2.1.2指数函数的定义及图像(学案024)
12.1.2指数函数及其性质第三课时 指数型函数的图像及性质的应用(习题课)【学习目标】1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系,能运用指数函数的单调性解决一些数学问题.2.学会用指数函数的性质求复合函数的定义域【重难点】重点：指数函数的图像及性质应用难点; 求相关复合函数的定义域知识点一:指数函数的单调性与底数a 的关系及指数函数的定点问题. 例1、函数()10,1xy a a a =+>≠的图像恒过定点练习1、函数()201920190,1x y aa a -=+>≠的图像恒过定点例2、如图是指数函数()()()()1;2;3;4x x x xy a y b y c y d ====的图像,则,,,a b c d 与1的大小关系是方法:当x=1得函数值的大小,即底数大小进行比较.练习2、若指数函数()1;xy a =+在)(,-∞+∞上是减函数,那么a 的取值范围是知识点二:求指数型函数(复合函数)的定义域例3、求下列函数的定义域()()4111;223x y y -⎛== ⎪⎝⎭练习3、（1）函数21112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域是（2）函数()10.5xf x =的定义域是【课堂检测】 1、若()()21xf x a =-是增函数,那么a 的取值范围是 。
22、函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点 。
3.函数()2140,1x y a a a -=->≠的图像恒过定点 。
4.函数()f x =的定义域是 。
5..函数()f x =的定义域 。
【拓展训练】【课堂小结】1. 指数函数的单调性与底数a 的关系【课后作业】1.课本P58练习2习题A 组52.作业与检测P72 4,5,6,7,8,9,10,13 【课后反思】。
高中高三语文第一轮复习教学案3篇
高中高三语文第一轮复习教学案高中高三语文第一轮复习教学案精选3篇（一）教学目标：1. 复习高中语文知识，巩固基础；2. 提高学生语文运用能力，培养学生的语文思维能力；3. 引导学生进行文学鉴赏，提高学生的文学素养。
教学过程：一、活动导入（5分钟）1. 教师进行简单提问，复习学生上次所学内容。
2. 引导学生回忆高三语文学习的重点和难点。
二、知识讲解（20分钟）1. 分别进行相关语文知识的讲解，带领学生复习所学知识。
2. 整理知识总结，让学生掌握重点和难点。
三、综合练习（30分钟）1. 进行综合练习，包括语法、作文等方面的练习。
2. 针对学生的个别问题进行解答和讲解。
四、文学鉴赏（30分钟）1. 教师讲解一篇名篇或优秀作品的内容和背景知识。
2. 学生进行文学鉴赏，分析作品的结构和主题，并进行讨论。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固所学知识。
2. 引导学生积极参与课外阅读，提高自主学习能力。
六、课堂总结（5分钟）1. 教师进行总结，强调重要知识点。
2. 学生提问和回答问题，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的复习教学，学生对高中语文知识有了较好的复习，对重点和难点有了更深入的理解。
同时，通过文学鉴赏的活动，学生对文学作品有了更深入的理解，提高了文学素养。
但是，还需要进一步加强学生的语文思维能力培养，提高学生的语文运用能力。
下一步，应根据学生实际情况进行巩固复习，注重学生的主动学习和思考能力的培养。
高中高三语文第一轮复习教学案精选3篇（二）教学目标：1. 通过学习《蜀道难》这首古文诗，了解作者在艰难困苦的环境下坚持不懈、勇往直前的精神；2. 掌握古文诗的基本意义和诗歌形式，并能正确运用相关知识进行解读；3. 培养学生的阅读理解能力，提高学生对于文学作品的欣赏和品味能力。
教学重点：1. 学习《蜀道难》的基本内容和含义；2. 分析诗歌的结构、修辞手法和表达手法。
教学难点：1. 理解诗中的意境和抒发，把握作者表达的主题；2. 运用所学的修辞手法解析诗歌。
高三一轮复习学案
高三一轮复习学案世界地理一、知识要点：1.世界海陆分布；海底地形；陆地地形。
2.世界气温与降水的分布；世界主要气候类型及分布。
考点解读：1.识记世界海陆分布、各大洲的界线、海底地形、陆地地形及其分布。
2.掌握世界气温与降水的分布；世界主要气候类型及分布。
二、思维建模区域特征分析一个区域内的地理要素并不是孤立存在的，在分析区域地理特征时，正确掌握区域要素之间的关系，构建知识间的联系线索，有助于从整体上掌握区域地理特征。
分析各区域的地理特征，应从区位入手，从整体上把握，具体思路和程序如右图所示：三、高考对接（2014上海卷）（十七）中南半岛自然环境得天独厚，勤劳的人民在这片土地上劳作、生息、繁衍、发展。
读图，回答问题。
（14分）44、阐述中南半岛自然地理环境特征，分析这些特征对该区域水稻主产区、人口和城市分布的有利影响。
（14分）四、反馈练习下图为“南美大陆沿36°S纬线1月均温、7月均温、11月～次年4月降水量、5月～10月降水量变化曲线图”。
读图，完成1～2题。
1．图中气温年较差最小处位于横坐标() A．200 km附近B．300 km附近C．400 km附近D．900 km附近2．该大陆在图示纬度带东、西两岸气温和降水特征及其主要成因是() A．西部自沿岸向内陆气温递减较快是由于大陆性明显增强B．西岸各月平均气温低于东岸主要是由于洋流的影响C．5月～10月东岸降水少于西岸，是由于东岸受副热带高压控制D．11月～次年4月西岸降水少于东岸，是由于西岸位于信风背风坡下图为“世界甲、乙两岛示意图”。
读图完成3～4题。
3．与甲岛相比，乙岛具备的地理事物较小的是() A．地势起伏B．陆地面积C．人口密度D．农业产值4．对甲、乙两岛地理特征的叙述，正确的是()①地形类型相同②气候类型相同③水资源储量相同④所属大洲相同A．①②B．③④C．①③D．②④5、（2014大纲卷）39．（60分）阅读图文材料，完成下列要求。
高三生物一轮复习学案：第24讲 种群的特征和数量变化
第24讲种群的特征和数量变化考纲、考情——知考向核心素养——提考能最新考纲(1)列举种群的特征及其影响因素(2)尝试建立数学模型，解释种群的数量变动(3)探究培养液中酵母菌种群数量的动态变化(活动)生命观念结构与功能观：种群属于生命系统，具有性别比例、年龄组成等特征科学思维建立模型：构建种群增长数学模型科学探究制订并实施方案：用样方法调查某种双子叶植物的种群密度；探究培养液中酵母菌数量的动态变化考点一种群的特征【知识回顾1】种群的数量特征概念意义【思考】种群数量特征之间的关系（1）图中①～⑤分别代表种群的什么特征？(2)年龄组成为稳定型的种群，种群数量近期一定能保持稳定吗？(3)利用性引诱剂诱杀害虫会降低害虫的密度，原理是怎样的？（4）某生物学家对某地的蝗虫种群进行研究后大胆预测：不久后蝗灾会更加严重，他得出此结论的依据最可能是。
【知识回顾2】种群密度的取样调查方法(1)样方法并非只适用于植物①适用对象：②取样方法：和。
③取样关键：。
(2)标志重捕法调查期间无迁入和迁出、出生和死亡；标记物对所调查动物生命活动无影响，不能太过醒目、不易脱落①适用对象：。
②计算公式：(3)黑光灯诱捕法对于有的昆虫，还可以用黑光灯进行灯光诱捕的方法调查种群密度。
(4)抽样检测法对于酵母菌等可以用抽样检测法调查种群密度。
注意：在调查分布范围较小，个体较大的种群时，可以。
【阅读】(1)样方法调查种群密度应注意的问题(2)标志重捕法调查种群密度误差分析【知识回顾3】种群的空间特征(1)含义：种群中的个体在其生活空间中的位置状态或布局。
【跟踪训练1】25min1.下列对种群特征的分析，正确的是()A.种群最基本的数量特征是迁入率、迁出率B.种群数量在不断增长的过程中，没有死亡率才能导致其数量增长C.预测种群数量未来变化趋势的主要依据是年龄组成D.任何种群中雄性和雌性的数量比例均为1∶12.下图是种群数量特征的概念模型，以下分析正确的是()A.种群密度是种群最基本的数量特征B.春节前后，我国南部沿海城市人口数量变化主要取决于①②C.预测未来种群数量变化的主要依据是③D.利用人工合成的性引诱剂诱杀某种害虫的雄性个体来控制④，进而影响种群数量3.(2013·全国卷Ⅰ，5)某农场面积为140 hm2，农场丰富的植物资源为黑线姬鼠提供了很好的生存条件，鼠大量繁殖吸引鹰来捕食，某研究小组采用标志重捕法来研究黑线姬鼠的种群密度，第一次捕获100只，标记后全部放掉，第二次捕获280只，发现其中有两只带有标记，下列叙述错误的是()A.鹰的迁入率增加会影响黑线姬鼠的种群密度B.该农场黑线姬鼠的种群密度约为100只/hm2C.黑线姬鼠种群数量下降说明农场群落的丰富度下降D.植物→鼠→鹰这条食物链，第三营养级含能量少4.(2016·全国卷Ⅱ，5)如果采用样方法调查某地区(甲地)蒲公英的种群密度，下列做法中正确的是()A.计数甲地内蒲公英的总数，再除以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度B.计数所有样方内蒲公英总数，除以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度C.计算出每个样方中蒲公英的密度，求出所有样方蒲公英密度的平均值，作为甲地蒲公英的种群密度D.求出所有样方蒲公英的总数，除以所有样方的面积之和，再乘以甲地面积，作为甲地蒲公英的种群密度5.(2017·全国卷Ⅲ，5)某陆生植物种群的个体数量较少，若用样方法调查其密度，下列做法合理的是()A.将样方内的个体进行标记后再计数B.进行随机取样，适当扩大样方的面积C.采用等距取样法，适当减少样方数量D.采用五点取样法，适当缩小样方面积6.(2018·全国卷Ⅰ，5)种群密度是种群的数量特征之一。
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第3节机械能守恒定律及其应用(1)重力势能的大小与零势能参考面的选取有关。
()(2)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。
()(3)被举到高处的物体重力势能一定不为零。
()(4)克服重力做功，物体的重力势能一定增加。
()(5)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。
()(6)弹力做正功弹性势能一定增加。
()(7)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。
()(8)物体的速度增大时，其机械能可能减小。
()(9)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。
()要点一机械能守恒的理解与判断1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用守恒条件判断。
(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
[多角练通]1．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是()A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒C．做变速运动的物体机械能可能守恒D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒2．在如图531所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()图531A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A机械能守恒C．丙图中小球机械能守恒D．丁图中小球机械能守恒3.把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图532甲所示。
迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)。
忽略弹簧的质量和空气阻力。
则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是()A．经过位置B时小球的加速度为0B．经过位置B时小球的速度最大C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小4.如图531所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()A．斜劈对小球的弹力不做功B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒C．斜劈的机械能守恒D．小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量5．如图532所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能不守恒的是()A．子弹射入物块B的过程B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程要点二单个物体的机械能守恒1．机械能守恒的三种表达式对比表达式物理意义注意事项守恒观点E k＋E p＝E k′＋E p′系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等应用时应选好重力势能的零势能面，且初末状态必须用同一零势能面计算势能转化观点ΔE k＝－ΔE p表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初末状态的势能差转移观点ΔE A增＝ΔE B减若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象——物体。
(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(E k1＋E p1＝E k2＋E p2、ΔE k＝－ΔE p)进行求解。
[典例1](2015·贵州七校高三联考)如图533所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小。
传送带的运行速度为v0＝6m/s，将质量m＝1.0kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0m，“9”形轨道全高H＝0.8m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10m/s2，试求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)。
[典例2](2015·山东邹平一中检测)如图533所示，半径为R 的光滑半圆轨道ABC 与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC 相切于C ，圆轨道的直径AC 与斜面垂直。
质量为m 的小球从A 点左上方距A 高为h 的斜上方P 点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A 点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D 处。
已知当地的重力加速度为g ，取R ＝509h ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：(1)小球被抛出时的速度v0；(2)小球到达半圆轨道最低点B 时，对轨道的压力大小；(3)小球从C 到D 过程中克服摩擦力做的功W 。
[针对训练]6．(多选)(2015·兰州一模)如图534所示，竖直面内光滑的34圆形导轨固定在一水平地面上，半径为R 。
一个质量为m 的小球从距水平地面正上方h 高处的P 点由静止开始自由下落，恰好从N 点沿切线方向进入圆轨道。
不考虑空气阻力，则下列说法正确的是()A ．适当调整高度h ，可使小球从轨道最高点M 飞出后，恰好落在轨道右端口N 处B ．若h ＝2R ，则小球在轨道最低点对轨道的压力为5mgC ．只有h 大于等于2.5R 时，小球才能到达圆轨道的最高点MD ．若h ＝R ，则小球能上升到圆轨道左侧离地高度为R 的位置，该过程重力做功为mgR7．(2014·全国卷Ⅱ)取水平地面为重力势能零点。
一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等。
不计空气阻力。
该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．(2015·南开中学模拟)如图534所示，压力传感器能测量物体对其正压力的大小，现将质量分别为M 、m 的物块和小球通过轻绳固定，并跨过两个水平固定的定滑轮(滑轮光滑且较小)，当小球在竖直面内左右摆动且高度相等时，物块始终没有离开水平放置的传感器。
已知小球摆动偏离竖直方向的最大角度为θ，滑轮O 到小球间轻绳长度为l，重力加速度为g，求：(1)小球摆到最低点速度大小；(2)小球摆到最低点时，压力传感器示数为0，则M/m的大小。
9．(2015·海南高考)如图535，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点。
已知h＝2m，s＝2m。
取重力加速度大小g＝10m/s2。
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小。
要点三多物体的机械能守恒和B。
A、B之间用一长为2R的轻杆相连，如图536所示。
开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：(1)B球到达最低点时的速度大小；(2)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；(3)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置。
[典例4](2015·青岛检测)一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图535所示。
已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小；(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。
[针对训练]10．(2015·天津高考)如图537所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。
现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变11．(多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图538，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。
a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。
不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。
则()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为2ghC．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg12．(多选)(2015·江西红色六校联考)如图536所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。
开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然且由静止释放B，直至B获得最大速度。
下列有关该过程的分析正确的是()A．B物体受到细线的拉力保持不变B．A物体与B物体组成的系统机械能不守恒C．B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量D．当弹簧的拉力等于B物体的重力时，A物体的动能最大13.质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球L3处有一个光滑固定轴O，如图537所示。