二次函数的应用复习3
华师版九年级数学下册作业课件 第26章 二次函数 专题课堂(三) 二次函数的应用
则 CD 长度为(21－3x)m，∴总种植面积为(21－3x)·x＝－3(x2－7x)＝－3(x－72 )2＋
147 4
，∵－3＜0，∴当 x＝72
时，总种植面积有最大值为1447
m2，即 BC 应设计为
7 2
m 时总种植面积最大，此时最大面积为1447
m2
类型三 利润问题 4．(2022·贺州)2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会 的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一 批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套 售价提高2元，则每天少卖4套． (1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关 系式； (2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
解：(1)设一次函数的关系式为 y＝kx＋b，由图可知，函数图象过点(25，50)和点 25k＋b＝50， k＝－2，
(35，30).把这两点的坐标代入一次函数 y＝kx＋b，得35k＋b＝30， 解得b＝100， ∴一次函数的关系式为 y＝－2x＋100 (2)由题意，得(x－10)×(－2x＋100)＝600，解 得 x1＝40，x2＝20，∴当天玩具的销售单价是 40 元或 20 元 (3)根据题意，得 w＝(x －10)×(－2x＋100)，整理得 w＝－2(x－30)2＋800.∵－2＜0，∴当 x＝30 时，w 有最 大值，最大值为 800 元．∴当玩具的销售单价定为 30 元时，日销售利润最大，最大 利润是 800 元
解：(1)y＝－35 x2＋3x＋1＝－35 (x－52 )2＋149 ，当 x＝52 时，y 有最大值
19 4
二次函数在实际问题中的应用复习教案
二次函数在实际问题中的应用一、知识回顾二次函数是一种常见的函数形式。
其一般式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是实系数，a≠0。
在二次函数图像的右开口和左开口两种情况下，其又有不同的性质：1.右开口。
此时 a>0，二次函数在顶点处取得最小值，最小值等于 c-b^2/(4a)。
2.左开口。
此时 a<0，二次函数在顶点处取得最大值，最大值等于 c-b^2/(4a)。
在实际问题中，用二次函数可以描述很多现象。
下面就来看看具体的应用。
二、实际问题中的应用1.水桶倒水有一个体积为 V 的圆柱形水桶，现在要倒掉其中的水，当水流速度为 v 时，需要 t 秒才能将桶内的水倒光。
现在需要求出水面下降深度 h 随时间 t 的变化关系。
分析：设最初水面为 y=0，水倒光时水面到桶底的距离为 h0。
可知 h(t)=h0-Vt/S，其中S 是底面积。
由于水的体积随时间的变化遵循等速度变化规律，即 V=Stv，将其代入 h(t) 中得到 h(t)=h0-tv。
得到与时间 t 的关系式后，可化为二次函数形式，即 h(t)=-\frac{v}{2}t^2+h0。
此时二次函数是左开口的，其最大值为 h0，即水面下降到最大深度时的位置。
2.抛物线运动有一个物体从平地上以初速度 v0 竖直向上抛，忽略空气阻力，球的落地时间为 t0。
现在需要求出球的最高高度和以及任意时间离落地面的高度 h(t)。
分析：在竖直上抛运动过程中，球的高度随时间的变化遵循自由落体公式 h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t。
由于自由落体是二次函数，且此时为右开口，所以球的最高高度为 h_max=v0^2/(2g)。
而将 t0 代入二次函数中，可以得到球落地时的高度 h0，即 h0=-\frac{1}{2}gt0^2+v0t0。
再将 h(t) 化为二次函数形式：h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t0+\frac{1}{2}gt0^2，此时是左开口的二次函数形式。
26.3.3实际问题与二次函数应用3
1、有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最 大高度为16m,跨度为40m.现将它的图形放在坐标 系里(如图所示),若在离跨度中心M点5m处各垂直 竖立一铁柱支撑拱顶,这铁柱应取多长?
y
D A F
16 m
O C ME
O
40 m
B
x
2、 你知道吗，平时我们在跳大绳时，绳甩到 最高处的形状可以看为抛物线。如图所示，正在 甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地 面均为1米，学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水 平距离1米2.5米处，绳子到最高处时刚好通过他 们的头顶。已知学生丙的身高是1.5米，求学生 丁的身高？
不知道并不可怕 和有害,任何人都不 可能什么都知道,可 怕的和有害的是不知 道而伪装知道.
跳水运动员进行10米跳台跳水 训练时，身体看成一点）在空中 的运动路线是一条抛物线。
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在 空中的最高处距水面32/3米，入水处距池边的距 离为4米，同时，运动员在距水面 (?,2/3) 高度为5米以前，必须完成规 (0,0) 定的翻腾动作，并调整好入 水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得 运动员在空中的运动路线是 （1）中的抛物线，且运动 员在空中调整好入水姿势时， (2,-10) 距池边的水平距离为18/5米， 问此次跳水会不会失误？并
26.3 实际问题与二 次函数的应用（三）
如图，是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离 水面2米，水面宽4米。水面下降1米，水面宽度 增加多少？
解函数应用题的步骤:
设自变量和函数(或建立坐标系); 列出函数关系式(或用待定系数法 求出解析式:①设②代③解④回代); 求自变量取值范围； 利用函数知识，解决问题； 写出结论。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考数学复习第三单元函数第15课时二次函数的综合应用
的形状为开口向下的抛物线,其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米,距地面的
高度为2.4米,灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D距地面的
高度为
米.
图15-7
[答案] 1.95 [解析]如图,以点B为原点,建立直角坐标系. 根据题意,点A(0,1.6),点C(0.8,2.4),则设抛物线解析式为y=a(x-0.8)2+2.4. 将点A的坐标代入上式,得1.6=a(0-0.8)2+2.4,解得a=-1.25. ∴该抛物线的解析式为y=-1.25(x-0.8)2+2.4. ∵点D的横坐标为1.4, ∴y=-1.25×(1.4-0.8)2+2.4=1.95. 故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米.
关系式是y=-x2+3x+4.请问:若不计其他因素,
水池的半径至少要
米,
才能使喷出的水流不至于落在池外.
图15-5
[答案]4 [解析]在y=-x2+3x+4中, 当y=0时,-x2+3x+4=0, ∴x1=4,x2=-1, 又∵x>0, ∴x=4, 即水池的半径至少要4米,才能使喷出的水流不至于落在池外.
2
3.[2018·绵阳]图15-4是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,水面下
降2 m,水面宽度增加
m.
图15-4
[答案] (4 2-4)
[解析]如图所示,建立平面直角坐标系,横轴 x 通过 AB,纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过抛物线 顶点 C,O 为原点.则抛物线以 y 轴为对称轴,A(-2,0),B(2,0),C(0,2), 通过以上条件可设抛物线解析式为 y=ax2+2,代入 A 点坐标(-2,0),解得 a=-0.5, 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+2, 当水面下降 2 m 时,水面的宽度即为直线 y=-2 与抛物线相交的两点之间的距离, 把 y=-2 代入抛物线解析式得出:-2=-0.5x2+2, 解得:x=±2 2,故水面此时的宽度为 4 2 m, 比原先增加了(4 2-4)m.故答案为(4 2-4).
备考2021年中考一轮复习数学专题：二次函数实际应用(三)
备考2021年九年级数学中考复习专题：二次函数实际应用（三）1．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A＝kx+b，y B＝（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？2．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60．（1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；（2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若60＜m≤70，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？3．丁丁推铅球的出手高度为1.6m，在如图所示的直角坐标系中，铅球运动轨迹是抛物线y ＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5，求铅球的落点与丁丁的距离．4．甲船从A处起以15km/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20km的B处起以20km/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？6．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，（1）求出s关于x的函数关系式；（2）求s的最大值与最小值．7．某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？8．某科技公司接到一份新型高科技产品紧急订单，要求在10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第一天就生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，由于机器损耗等原因，当日生产的产品数量达到50件后，每多生产一件，当天生产的所有产品平均每件成本就增加10元．（1）设第x天生产产品y件，求出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若该产品每件生产成本（日生产量不超过50件时）为1000元，订购价格为每件1460元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求该公司哪一天获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该公司当天的利润不低于22680元的是哪几天？请直接写出结果．9．电商扶贫将为乡村振兴注入新动力，某地积极利用某电商平台试销售成本为20元/斤的木耳，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于40元/斤，经试销发现，销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）符合一次函数关系，如图所示的是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数表达式；（2）设该地试销木耳获得的利润为W元，求W的最大值．10．某商店销售一种成本为40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件；（1）商店要使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？参考答案1．解：（1）由题意可得出：y B＝（x﹣60）2+m经过（0，1000），则1000＝（0﹣60）2+m，解得：m＝100，∴y B＝（x﹣60）2+100，当x＝40时，y B＝×（40﹣60）2+100，解得：y B＝200，y A＝kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，解得：，∴y A＝﹣20x+1000；（2）当A组材料的温度降至120℃时，120＝﹣20x+1000，解得：x＝44，当x＝44，y B＝（44﹣60）2+100＝164（℃），∴B组材料的温度是164℃；（3）当0＜x＜40时，y A﹣y B＝﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100＝﹣x2+10x＝﹣（x ﹣20）2+100，∴当x＝20时，两组材料温差最大为100℃．2．解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x+b1，将（0，60），（120，40）代入得：，解得：，∴线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝﹣x+60；（2）若m＝90，设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x+90，根据题意得：50＝120k2+90，解得：k2＝﹣，∴y2＝﹣x+90（0＜x≤120），设产品产量为xkg时，获得的利润为w元，根据题意得：w＝（y2﹣y1）x＝[﹣x+90﹣（﹣x+60）]x＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣90）2+1350（0＜x≤120）；∴当x＝90时，w有最大值，最大值为1350元．∴若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元；（3）设y＝k2x+m，由题意得：120+m＝50，解得：k2＝，∴y＝x+m，设产品产量为xkg时，获得的利润为w'元，∴w'＝x[（x+m）﹣（﹣x+60）]＝x2+（m﹣60）x，∵60＜m≤70，∴a＝＞0，b＝m﹣60＞0，∴﹣＜0，即抛物线对称轴在y轴左侧，对称轴为直线x＝＜0，∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大，∴当x＝120时，w'的值最大，w'max＝1200元．∴50＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元．3．解：由题意知，点（0，1.6）在抛物线y＝﹣0.1（x﹣k）2+2.5上，所以1.6＝﹣0.1（0﹣k）2+2.5，解这个方程，得k＝3或k＝﹣3（舍去），所以该抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣3）2+2.5，当y＝0时，有﹣0.1（x﹣3）2+2.5＝0，解得x1＝8，x2＝﹣2（舍去），所以铅球的落点与丁丁的距离为8m．4．解：根据题意画出示意图如下：设x小时后，两船相距ykm，根据题意，得：y2＝（15x）2+（20﹣20x）2＝225x2+400﹣800x+400x2＝（25x﹣16）2+144∴当x＝时，y2有最小值144，则y的最小值为12，答：小时后，两船的距离最小，最小距离是12km．5．解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．6．解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2+x（17≤x≤27）；（2）∵S＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣45x）＝﹣（x﹣）2+（17≤x≤27），∵17≤x≤27，a＝﹣＜0，∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2，∵|27﹣|＜|17﹣|，∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝238m2，答：s的最大值是m2，最小值是238m2．7．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：40≤x≤70，∴销售单价最多为70元．8．解：（1）∵第一天生产了该种产品42件，以后每天生产的产品都比前一天多2件，∴y＝42+2（x﹣1）＝40+2x，∴y与x之间的函数解析式为y＝40+2x（1≤x≤10，且x为整数）．（2）当1≤x≤5时，W＝（1460﹣1000）×（40+2x）＝920x+18400，∵920＞0，∴W随x的增大而增大，＝920×5+18400＝23000；∴当x＝5时，W最大值当5＜x≤10时，W＝[1460﹣1000﹣10（40+2x﹣50）]×（40+2x）＝﹣40（x﹣4）2+23040，∵此时函数图象开口向下，在对称轴右侧，W随x的增大而减小，又天数x为整数，＝22880元．∴当x＝6时，W最大值∵23000＞22880，＝23000元；∴当x＝5时，W最大，且W最大值∴W与x之间的函数解析式为：W＝，该公司第5天获得的利润最大，最大利润是23000元．（3）当1≤x≤5时，由920x+18400≥22680得x≥4，∴x＝5；当5＜x≤10时，由﹣40（x﹣4）2+23040＝22680得：x1＝1，x2＝7，∴x＝7；∵由（2）可知，当x＝6时，W＝22880元，最大值∴x＝6符合题意．∴该公司当天的利润不低于22680元的是第5、6、7天．9．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得，，解得，∴y与x的函数解析式为y＝﹣2x+340（20≤x≤40）．（2）由已知得：W＝（x﹣20）（﹣2x+340）＝﹣2x2+380x﹣6800＝﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x＝40时，W最大，最大值为﹣2×（40﹣95）2+11250＝5200（元）．10．解：（1）设销售价应定为每件x元，由题意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，化简得x2﹣140x+4800＝0，解得：x1＝60，x2＝80，∴销售价应定为每件60元或80元；（2）设销售价应定为每件x元，获得利润y元，依题意得：y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，∵x≥50，且500﹣10（x﹣50）＞0，∴50≤x＜100，当x＝70时，y取最大值9000，∴销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．。
初中数学最新-中考数学二次函数的应用复习 精品
第三单元 第18课时 二次函数的应用知识点回顾：1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象和性质、顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x 轴两交点间的距离？ 2.各类二次函数顶点位置与a 、b 、c 的关系：(顶点在x 轴上、y 轴上、原点、经过原点) 3、求二次函数解析式的方法：4、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的最大(或最小)值？ 知识点一：求二次函数的解析式例1.（18兰州）农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房如图所示，则需要塑料布（m2）与半径（（不考虑塑料埋在土里的部分） ．③交点式来求解析式。
答案：同步检测：1、（18庆阳）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立图（1） 图（2）平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =答案：C2、（18芜湖）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为(10)A -，，(0B ，(00)O ，，将此三角板绕原点O 顺时针旋转90°得到A B O ''△，一抛物线经过点A B B '、、，求该抛物线解析式。
答案：∵抛物线过(10)A B -，，设抛物线的解析式为(1)(0)y a x x a =+≠．又∵抛物线过(0B ，将坐标代入上解析式得：3)a a =⨯-=-·，．(1)3)y x ∴=-+-． 即满足条件的抛物线解析式为21)y x x =-+知识点二：利用二次函数的顶点式求最值二次函数y ＝ax2＋bx ＋c ＝0，当x ＝2a b-时，a 4b ac 4y 2-=最大（小）值例2.（18浙江台州）如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高 度（单位：米）与小球运动时间（单位：秒）的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 ．分析：将化为顶点式即可求最大高度答案：4.9米 同步检测：1、（18内江）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是 2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米． 答案：0.52、(18哈尔滨）小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 答案：（1）根据题意，得2602302xS x x x -==-+ 自变量x 的取值范围是030x <<（2）10a =-<，S ∴有最大值301522(1)b x a ∴=-=-=⨯- 2243022544(1)ac b S a --===⨯-最大∴当15x =时，225S =最大答：当x 为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米知识点三：根据二次函数图像上某些点坐标解决有关问题例3.(18襄樊)如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是m ．分析：推出的距离转化为数学上的求y=0时的x 的值（取正值） 答案：10 同步检测：1、（18庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y （元/平方米）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图所示），则6楼房子的价格为 元/平方米． 答案：2180；2、（18江西）某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2120y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ）A ．40 m/sB ．20 m/sC ．10 m/sD ．5 m/s答案：C知识点四：根据二次函数图像和性质解决销售利润问题例4、(18青岛）某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368y x =-+，而其每千克成本2y与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示．（1）试确定b c 、的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（1）由题意：将（3，25）、（4，24）两点坐标代入可得：22125338124448b c b c ⎧=⨯++⎪⎪⎨⎪=⨯++⎪⎩解得7181292b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （2）理解利润的正确意义：12y y y =- 23115136298882x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭21316822x x =-++（3）21316822y x x =-++2111(1236)46822x x =--+++21(6)118x =--+∵108a =-<，∴抛物线开口向下，在对称轴6x =左侧y 随x 的增大而增大．由题意5x <，所以在4月份出售这种水产品每千克的利润最大． 最大利润211(46)111082=--+=（元）． 同步检测：1、（18莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 答案：32、（18包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．答案：解：（1）根据题意得65557545.k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1120k b =-=，．所求一次函数的表达式为120y x =-+．（2）(60)(120)W x x =--+21807200x x =-+-2(90)900x =--+， 抛物线的开口向下，∴当90x <时，W 随x 的增大而增大，而6087x ≤≤，∴当87x =时，2(8790)900891W =--+=．∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）由500W =，得25001807200x x =-+-，整理得，218077000x x -+=，解得，1270110x x ==，．由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而6087x ≤≤，所以，销售单价x 的范围是7087x ≤≤ 知识点五：根据二次函数图像和性质解决最佳方案问题例5.(18新疆)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m ，抛物线拱高为5.6m ．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式． （2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5m ，高1.6m ，相邻窗户之间的间距均为0.8m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？分析：（1）可设抛物线的表达式为2y ax =，过点(6 5.6)B -，． ∴可得745a =-∴抛物线的表达式为2745y x =- （2）设窗户上边所在直线交抛物线于C 、D 两点，D 点坐标为（k ，t ）已知窗户高1.6m ，∴ 5.6( 1.6)4t =---=- ∴27445k --=125.07 5.07k k -≈，≈（舍去）∴ 5.07210.14CD =⨯≈（m ） 又设最多可安装n 扇窗户∴1.50.8(1)10.14n n ++≤ ∴ 4.06n ≤ ∴最多可安装4扇窗户． 同步检测：（18长春）如图，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），运动员乙在距点6米的处发现球在自己头的正上方达到最高点，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地点距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为由已知：当时即表达式为（或）（2）令（舍去）．足球第一次落地距守门员约13米．3分（3）如图，第二次足球弹出后的距离为，根据题意：（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）解得3分（米）．∴他应再向前跑17米． 随堂检测1、(18恩施). 将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体.当ｘ取下面哪个数值时,长方体的体积最大（ ）A. 7B. 6C. 5D.42、用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框,使窗户的透光面积最大,那么这个窗户的最大透光面积是 ( ) A2564m 2B 34m 2C 38m 2 D 4m 23、（18吉林长春）某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.4、(18武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x 元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？5、（18金华）跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋0.9. （1）求该抛物线的解析式；（2）如果小华站在OD之间,且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，华的身高；·AOBD EFy（3）如果身高为1.4米的小丽站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时超过．．她的头顶,请结合图像,写出t的取值范围 .6、（18兰州）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图6-1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图6-2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x7、（18四川巴中）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）是球的飞行高度，x （m ）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴． （2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．8、（18黄冈）新星电子科技公司积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线2y x x=-+-的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，5205123010，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？9、（18南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.18万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？9题图10、（18日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．随堂检测参考答案1、C2、C3、704、：（1）2(21010)(5040)101102100y x x x x =-+-=-++（015x <≤且x 为整数）；（2）210( 5.5)2402.5y x =--+．100a =-<，∴当 5.5x =时，y 有最大值2418.5．015x <≤，且x 为整数，当5x =时，5055x +=，2400y =（元），当6x =时，5056x +=，2400y =（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当2200y =时，21011021002200x x -++=，解得：12110x x ==，．∴当1x =时，5051x +=，当10x =时，5060x +=．∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）5、（1）由题意得点E （1,1.4）, B(6,0.9), 代入y =ax 2+bx +0.9得 0.9 1.43660.90.9a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得 0.10.6a b =-⎧⎨=⎩∴所求的抛物线的解析式是y =－0.1x 2＋0.6x +0.9. （2）把x =3代入y =－0.1x 2＋0.6x +0.9得 y =－0.1×32＋0.6×3+0.9=1.8∴小华的身高是1.8米 （3）1＜t ＜56、解：（1）根据题目条件，A B C ，，的坐标分别是(100)(100)(06)-，，，，，．设抛物线的解析式为2y ax c =+，将B C ，的坐标代入2y ax c =+，得60100c a c =⎧⎨=+⎩，解得3650a c =-=，．所以抛物线的表达式是y =x（2）可设(5)F F y ，，于是2356 4.550F y =-⨯+= 从而支柱MN 的长度是10 4.5 5.5-=米．（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和，则G 点坐标是(70)，．过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23763.06350H y =-⨯+>≈．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 7、解：（1）21855y x x =-+2116(4)55x =--+∴抛物线21855y x x =-+开口向下，顶点为1645⎛⎫⎪⎝⎭，，对称轴为4x =（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =∴球飞行的最大水平距离是8m ．（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为5x =，顶点为1655⎛⎫⎪⎝⎭，设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+ 又点(00)，在此抛物线上，162505a ∴+= ∴16125a =- 21616(5)1255y x ∴=--+ 2163212525y x x=-+8、（1）2210(1,2,3,4)1080120(5,6,7,8,9)502051230(10,11,12)x x y x x x x x x -=⎧⎪=-+=⎨⎪-+-=⎩（2）10(1,2,3,4)2090(5,6,7,8,9)10210(10,11,12)x s x x x x -=⎧⎪=-=⎨⎪-+=⎩（3）由（2）知当1,2,3,4x =时，s 的值均为－10；当5,6,7,8,9x =时，当9x =时s 有最大值90；而在10,11,12x =时，10210s x =-+,当10x =时，s 有最大值110； 因此第10月公司所获利润最大，它是110万元。
第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题 -2020年中考数学专项突破课之二次函数
中考专项突破课 二次函数第15课 二次函数的应用(3)——抛物线型问题一、典例分析例1：羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动．某运动员在进行羽毛球训练时，羽毛球飞行的高度()h m 与发球后球飞行的时间()t s 满足关系式22 1.5h t t =-++，则该运动员发球后1s 时，羽毛球飞行的高度是多少？【解析】22 1.5h t t =-++Q ， 1t ∴=时，12 1.5 2.5h m =-++=.例2：如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系是21251233y x x =-++，则此运动员把铅球推出多远？【解析】令212501233y x x =-++= 则：28200x x --= (2)(10)0x x ∴+-= 12x ∴=-（舍)，210x =由题意可知当10x =时，符合题意.例3：一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ，该运动员身高1.9m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手球出手时，他跳离地面的高度是？【解析】Q 当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， ∴设抛物线的表达式为2 3.5y ax =+．由图知图象过以下点：(1.5,3.05)． 2.25 3.5 3.05a ∴+=，解得：0.2a =-，∴抛物线的表达式为20.2 3.5y x =-+．设球出手时，他跳离地面的高度为hm ， 因为20.2 3.5y x =-+，则球出手时，球的高度为 1.90.25( 2.15)h h m ++=+，22.150.2( 2.5) 3.5h ∴+=-⨯-+， 0.1()h m ∴=．二、知识点小结：适当建立平面直角坐标系求解与二次函数相关的抛物线型问题的步骤： (1)恰当地建立直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数的关系式； (4)代入已知条件或点的坐标，求出表达式； (5)利用表达式求解问题． 三、知识点检测1．一学生推铅球，铅球行进的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，则学生推铅球的距离为( ) A ．35mB ．3mC ．10mD ．12m【解析】令函数式21251233y x x =-++中，0y =， 即212501233x x -++=， 解得110x =，22x =-（舍去）， 即铅球推出的距离是10m ． 故选：C ．2．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数表达式为：21(25)1250y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12B ．25C ．13D ．14【解析】21(25)1250y x =--+Q ， 顶点坐标为(25,12)， 1050-<Q ， ∴当25x =时，y 有最大值，最大值为12．故选：A ．3．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线20.2 3.5y x =-+的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l 是( )A ．3mB ．3.5mC ．4mD ．4.5m【解析】如图，把C 点纵坐标 3.05y =代入20.2 3.5y x =+中得： 1.5x =±（舍去负值），即 1.5OB =，所以 2.5 1.54l AB ==+=． 故选：C ．4．如图，铅球的出手点C 距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为( )A ．2316h t =-B ．2316h t t =-+ C ．2118h t t =-++D ．21213h t t =-++【解析】根据题意，设二次函数的表达式为2(4)3h a t =-+， 抛物线过(0,1)即代入，解得18a =-．这个二次函数的表达式为：21(4)38h t =--+2118t t =-++．故选：C ．5．一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4,3)为该抛物线的顶点，则该抛物线所对应的函数式为 21(4)332y x =--+ ．【解析】根据题意，得设抛物线对应的函数式为2(4)3y a x =-+ 把点5(0,)2代入得：51632a +=，解得132a =-， ∴抛物线对应的函数式为21(4)332y x =--+. 6．铅球行进高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系为21251233y x x =-++，铅球推出后最大高度是 3 m ，铅球落地时的水平距离是 m ． 【解析】21251233y x x =-++Q ，21(4)312y x ∴=--+ 因为1012-< 所以当4x =时，y 有最大值为3． 所以铅球推出后最大高度是3m ． 令0y =，即210(4)312x =--+， 解得110x =，22x =-（舍去） 所以铅球落地时的水平距离是10m ． 故答案为3、10．7．根据牛顿发现的有关自由落体运动的规律，我们知道竖直向上抛出的物体，上升的高度()h m 与时间()t s的关系式为212h v t gt =-，一般情况下，29.8/g m s =．如果09.8/v m s =，那么经过 1 s 竖直向上抛出的小球的上升高度为4.9m ． 【解析】由题意，得当 4.9h =时， 214.99.89.82t t =-⨯，解得：121t t ==．故答案为：1．8．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y （米)关于水平距离x （米)的函数解析式2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米．【解析】Q 函数解析式为：2113822y x x =-++，223114()428221448ac b y a ⎛⎫⨯⨯-- ⎪-⎝⎭∴===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭最值．故答案为：2．9．一斜坡上有一高尔夫球场．斜坡的坡度为1:10i =．一球从斜坡底部O 点被击起，飞行轨道是一条抛物线，轨迹最高点H 离开O 点的水平面高度是8米，离O 点的水平距离是4米．则该球落地点A 与O 点的距离为3910150（结果保留根号）【解析】Q 抛物线顶点坐标为(4,8)，∴设抛物线解析式为2(4)8y a x =-+，把(0,0)代入得：1680a +=，解得：12a =-，∴抛物线解析式为2211(4)8422y x x x =--+=-+，Q 斜坡的坡度为1:10i =，∴设A 的坐标为(10,)b b ，代入抛物线得：21100402b b b -⨯+=，解得：3950b =或0b =（舍去）， 由勾股定理得：2239101(10)101OA b b b =+==； 故答案为：39101． 10．如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：437)≈ （1）求足球的飞行高度()y m 与飞行水平距离()x m 之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）（3）若对方一名1.7m 的队员在距落点3C m 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？【解析】（1）当4h =时，2(6)4y a x =-+， 又(0,1)A ，21(06)4a ∴=-+， 112a ∴=-，21(6)412y x ∴=--+； （2）令0y =，则210(6)412x =--+， 解得：143613x =≈，2360x =-<（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球．11．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度()y m 与它的飞行时间()x s 满足二次函数关系，y 与x 的几组对应值如下表所示： ()x s0 0.5 1 1.5 2⋯()y m0 8.75 15 18.75 20⋯（Ⅰ）求y 关于x 的函数解析式（不要求写x 的取值范围）； （Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m ？请说明理由． 【解析】（Ⅰ）0t =Q 时，0h =，∴设h 与t 之间的函数关系式为2(0)h at bt a =+≠，1t =Q 时，15h =；2t =时，20h =， ∴154220a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得520a b =-⎧⎨=⎩，h ∴与t 之间的函数关系式为2520h t t =-+；（Ⅱ）225205(2)20h t t t =-+=--+，∴小球飞行的最大高度为20m ，2220>Q ，∴小球的飞行高度不能达到22m ．12．在一场篮球比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米．（1）以地面为x 轴，篮球出手时垂直地面所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线轨迹的解析式；（2）通过计算，判断这个球员能否投中？ 【解析】（1）依题意得抛物线顶点为(4,4)， 则设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+ 依题意得抛物线经过点(0,2)2(04)42a ∴-+= 解得18a =-∴抛物线的解析式为21(4)48y x =--+（2）当7x =时，2123(74)4 3.1988y =--+=≠ ∴这个球员不能投中．13．在一次高尔夫球的练习中，小成在O 处击球，其飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中()y m 是球的飞行高度，()x m 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m ． （1）请写出抛物线的顶点坐标． （2）请求出球洞离击球点的距离．（3）若小成再一次从O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【解析】（1）2218116(4)5555y x x x =-+=--+∴抛物线21855y x x =-+的顶点为16(4,)5；（2）令0y =，得：218055x x -+=解得：10x =，28x =，∴球飞行的最大水平距离是8m ， ∴球洞离击球点的距离为8210m +=；（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m∴抛物线的对称轴为直线5x =，顶点为16(5,)5 设此时对应的抛物线解析式为216(5)5y a x =-+又Q 点(0,0)在此抛物线上，162505a ∴+=，16125a =-， 21616(5)1255y x ∴=--+，即其解析式为2163212525y x x =-+．。
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(m,k)
x1 o
x2 x
a>0
o
x
a<0
练一练：
二次函数
y
1 3
(x
25)2
625 3
的开口方向
向
下
，顶点坐标为
(25,
625 3
)
，
当 20 x 24 时，函数的最小值为 200
最大值为 208
当 20 x 35 时，函数的最小值为 175 ，最大
625
值为 3 .
若农场拟建两间矩形的种牛饲养室，饲养室的一
求此时两间饲养室的总面积的最大值．
若农场拟建n间矩形的种牛饲养室，饲养室的一面靠 现有墙，相邻两间用墙隔开（如图）．已知计划中的 建筑材料可建围墙的总长为50m.求这n间饲养室的总 面积的最大值.
提示： 如果你无法直接解决该 问题，你可尝试将n取值为3、 4、5……来帮助探究．
农场员工为了进出方便，拟在两间矩形的种牛
x 对称轴 直线
x1 x2 2
直线
x
b 2a
顶点坐标
(
b 2a
,
4acb2 4a
)
y= a(x+m)2+k
直线 x m
(m, k)
最值
当a>0时，函数有最小值，当
x
b
x x
当a<0时，函数有最大值，当
x
b 2a
时，ymax
4ac b2 4a
y
y (0,c)
——以多边形面积为载体
课本题原型
（课本题原型）：某农场拟建两间矩形 的种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用 一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可 建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x(m), 总占地面积为y(m2).
（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200 (m2)， 则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到 210 (m2) 吗？
某农场拟建一间矩形的种牛饲养室，饲养室的一
面靠现有墙（如图）．已知计划中的建筑材料可 建围墙的总长为50m，则该间饲养室的最大面积 为多少？
y
y
o
x
o
x
问题2：在解答问题1的过程中， 你能发现二次函数哪些解析形式？
交点式
一般式
顶点式
解析式 y=a(x-x1)(x-x2) y= aX2+bX+c
饲养室之间开一宽为1m的通道（如图）．已知 计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.求此 时两间矩形的种牛饲养室的最大面积.
你还能为农场设计一些漂亮的、不同 形状的饲养室吗？
要使建成的饲养室的面积最大，又该 如何？
中 间 隔 栏
形状变化
面数变化 问题再生
容
方案最佳
积
最
大
课堂小结：
1、应用问题中经常会用到方程思想； 2、重视课本及作业本中的题目； 3、注意条件变化而题本质不变，学会举 一反三.
面靠现有墙，中间用一道墙隔开（如图）．已知 计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.求两间 饲养室的总面积的最大值．
若农场拟建两间矩形的种牛饲养室，饲养室的一面靠 现有墙（墙可利用长最多为23m，每间饲养室靠墙面 长不小于5m），中间用一道墙隔开（如图）．已知 计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.
作业：学案稿课外练习1—5题.
王老师寄语：学好数学其实不难，难的是在期待质的飞跃的 过程中你能否坚守长长的量的积累的过程，并 且不言放弃！