2013届高三数学高考仿真试卷125

2013届高三数学高考仿真试卷125本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数ii4332-+-（i 是虚数单位）所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 设集合}032|{2<--=x x x M ,{}22<=xx N ，则N C M R ⋂等于 A ．[]1,1-B ．)0,1(-C ．[)3,1D ．)1,0(3. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A.1B.2C.8D.16 4. “2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设m 、n 为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④6. 从集合｛1，2，3，4｝中随机取一个元素a ，从集合｛1，2, 3｝中随机取一个元素b ，则b a >的概率是A.125 B. 21 C. 127 D. 327. 对数函数x y a log =（10≠>a a 且）与二次函数()x x a y --=21在同一坐标系内的图象可能是8. 已知ABC ∆的三个顶点C B A ,,及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++= ，则点P 与ABC ∆的关系A ．P 在ABC ∆内部B ．P 在ABC ∆外部C ．P 在边AB 上D ．P 在边AC 上9. 在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是A. 403k ≤≤B. <0k 或4>3kC. 3443k ≤≤D. 0k ≤或4>3k10. 已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程()a x x f =+22有六个不同的实根，则常数a 的取值范围是A ．(]2,8B ．(]2,9C ．(]8,9D ．()9,8第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题,每小题4分,共28分.把答案填在答题卷的相应位置.11. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，规定不低于60分为及格，则及格人数是 ▲ 名.12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 ▲13. 已知O 为坐标原点, A(1,1), C(2,3) 且=2, 则OB的坐标是__▲___14. 已知()⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=0,310,3x x x f x x ，则不等式()9<x f 的解集是 ▲15．若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为_▲_16. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是 ▲17.已知实数0,0<<b a ,且1=ab ,那么ba b a ++22的最大值为 ▲三.解答题：本大题共5小题,满分72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. （本题满分14分）已知函数()21)cos sin 3(cos +-=x x x x f ωωω的周期为π2. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足a c A b 32cos 2-=，求)(B f 的值．19. （本题满分14分）设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且2a -，3a ，1a 成等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）求数列{}n nS 的前n 项和n T20. （本题满分14分） 如图，在四边形ABCD 中，4==AD AB ，7==CD BC ，点E 为线段AD 上的一点.现将DCE ∆沿线段EC 翻折到PAC ，使得平面PAC ⊥平面ABCE ，连接PA ，PB . (Ⅰ)证明：⊥BD 平面PAC ；(Ⅱ)若︒=∠60BAD ，且点E 为线段AD 的中点，求直线PE 与平面ABCE 所成角的正弦值.21．（本题满分15分）已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅定义域为[]t ,2-（2t >-）．（Ⅰ）试确定t 的取值范围,使得函数)(x f 在[]t ,2-上为单调函数；（Ⅱ）当14t <<时，求满足()()201320-='t ex f x 的0x 的个数．22．（本题满分15分）如图，过抛物线2:4C y x =上一点()2,1-P 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点1122(,),(,)A x y B x y（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若120,0y y ≥≥，求PAB ∆面积的最大值.2013届高三数学高考仿真试卷125答案二、填空题(4×7=28分)11.800 12.3 13.()7,4 14.()2,2- 15.4916.3 17.-1 三、解答题(共72分) 18．解：（Ⅰ）()2122cos 12sin 2321cos cos sin 32++-=+-=x x x x x x f ωωωωω x x ωω2cos 212sin 23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62s i n πωx 21=∴ω ——7分 （Ⅱ）解法（一）a c A b 32cos 2-=a c bca cb b 3222222-=-+⋅⇒ 整理得ac b c a 3222=-+，故232cos 222=-+=ac b c a B6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分解法（二）a c A b 32cos 2-=A C A B sin 3sin 2cos sin 2-=⇒A B A A B sin 3)sin(2cos sin 2-+=⇒0sin 3cos sin 2=-⇒A B A 0)3cos 2(sin =-⇒B A0sin ,0≠∴<<A A π 23c o s =∴B 又6,0ππ=∴<<B B00sin )6sin()(==-=∴πB B f ——14分FH O P E DCBA 19解：（Ⅰ）设设正项等比数列{}n a 的公比为q （0>q ），由题有3212a a a =-，且211=a ∴21112q a q a a =-，即有0122=-+q q ，解得1-=q （舍去）或21=q ， ∴n n a 21=； （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故 .2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n n n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n nn n T 前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n ，即.22212)1(1-+++=-n n nn n n T 20解：(Ⅰ)连接AC ，BD 交于点O ,在四边形ABCD 中，∵4==AD AB ，7==CD BC∴ADC ABC ∆≅∆，∴BAC DAC ∠=∠,∴BD AC ⊥又∵平面PAC ⊥平面A B C E ，且平面PAC 平面A B C E =AC∴⊥BD 平面PAC ………… 6分(Ⅱ)如图，过点P 作AC 的垂线，垂足为H ，连接EH ，EC并取AO 中点F ，连接EF ，∵平面PAC ⊥平面ABCE ，且平面PAC 平面ABCE =AC ，AC PH ⊥ ∴⊥PH 平面ABCE ，∴PEH ∠即为直线PE 与平面ABCE 的所成角， 由(Ⅰ)可知，BD AC ⊥，且32=AO ，3=CO ，又2=PE ，7=PC ，设x CH =，则有27x PH -=，3222-=-=x PH PE EH又∵F 为AO 的中点，在EFH Rt ∆中，x FH -=32，1=EF 由勾股定理得，31)32(22-=+-x x ，解得334=x ， ∴332=EH ，335=PH ∴直线PE 与平面ABCE 的所成角的正弦值即33sin ==∠PE EH PEH . 21（1）解：因为2()(33)(23)(1)xxx f x x x e x e x x e '=-+⋅+-⋅=-⋅ 由()010f x x x '>⇒><或；由()001f x x '<⇒<<，所以()f x 在(,0),(1,)-∞+∞上递增，在(0,1)上递减， 欲)(x f 在[]t ,2-上为单调函数，则20t -<≤．—————7分（3）因为02000()x f x x x e '=-，所以020()2(1)3x f x t e '=-即为22002(1)3x x t -=-， 令222()(1)3g x x x t =---，从而问题转化为求方程222()(1)3g x x x t =---=0在(2,)t -上的解的个数， ————————10分 因为222(2)6(1)(2)(4)33g t t t -=--=-+-，221()(1)(1)(2)(1)33g t t t t t t =---=+-，所以当14t <<时，(2)0()0g g t ->>且，但由于22(0)(1)03g t =--<， 所以()0g x =在(2,)t -上有两解． 即，满足20()2(1)3x f x t e '=-的0x 的个数为2． ————————14分 22.解：（Ⅰ）因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在抛物线:C 24y x =上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121,4,,4y y B y y A ，PA k =112211124(2)44214y y y y y ++==---， 同理242PB k y =-，依题有PA PB k k =-，因为124422y y =---，所以124y y +=．……6分 （Ⅱ）由⑴知212221144AB y y k y y -==-，设AB 的方程为221111,044y y y y x x y y -=--+-=即，P 到AB的距离为d =221214y AB y y -=-=-，…10分∴112PAB S y ∆=-=2111141224y y y --- 2111(2)1624y y =---， ……12分 令12y t -=，由124y y +=，120,0y y ≥≥，可知22t -≤≤．31164PAB S t t ∆=-， 因为31164PAB S t t ∆=-为偶函数，只考虑02t ≤≤的情况， 记33()1616f t t t t t =-=-，2()1630f t t '=->，故()f t 在[]02，是单调增函数，故()f t 的最大值为(2)24f =，故PAB S ∆的最大值为6．…………15分。