天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数学归纳法在数列综合题中的应用举例(教师版)
天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数列通项公式的求法——特殊方法(教师版) 含答案
数列通项公式的求法之特殊方法1、n S 法,即⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n nn 。
思路：如果数列{}na 满足的某种关系是由数列{}na 的前n 项和nS 给出时，则可以构造出n S 式①和1-n S 式②，然后利用公式⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n a a n nn ，将①式和②式做差，使其转化为数列{}na 的递推关系，再根据递推关系的特点，按照构造辅助数列等的方法求出数列{}na 通项公式。
例1：已知数列{}na 的前n 项和n S 满足n a Sn n22+=。
(1）写出数列的前3项321,,a a a ；(2）求数列{}na 的通项公式。
解：（1）由22111+==a S a ，得21-=a 。
由422221+==+a S a a,得62-=a ，由321a a a ++6233+==a S ，得143-=a（2）当2≥n 时，有()2211+-=-=--n n n n na a S S a ，即221-=-n n a a ；令()λλ+=+-12n na a,则λ+=-12n n a a ，与①比较得，2-=λ；{}2-∴n a 是以421-=-a 为首项，以2为公比的等比数列；1122)4(2+--=⋅-=-∴n n n a ，故221+-=+n n a .补充练习：设数列{}na 的前n 项的和14122333n nn Sa +=-⨯+,*N n ∈。
（1）求首项1a 与通项na ；(2)设2n n n T S =,*N n ∈，证明：132ni i T =<∑。
解:(1）21114122333a S a ==-⨯+,解得：12a =；()2111144122333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n nn n a a ++⇒+=+;所以数列{}2n n a +是公比为4的等比数列，所以：()111224n n n a a -+=+⨯;得：42n nn a =-，*N n ∈。
2013届高考理科数学一轮复习课件7.7数学归纳法
同理可得 a1＝nan－(n－1)an＋1.
④
③－④得 2nan＋1＝n(an＋2＋an)．
即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差数列．
题型二 证明不等式 例2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)．
【解析】 (1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不 等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k>56.
当n＝k＋1时，
1 k＋1＋1
＋
1 k＋1＋2
＋…＋
1 3k
＋
1 3k＋1
＋
1 3k＋2
＋
1 3k＋1
＝
k＋1 1＋
1 k＋2
＋…＋ 31k ＋(
1 3k＋1
＋
3k＋1 2＋
1 3k＋3
－
1 k＋1)
证法二 (直接证法)依题意有
1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ n ，
①
a1a2 a2a3
anan＋1 a1an＋1
a11a2＋a21a3＋…＋ana1n＋1＋an＋11an＋2＝an1＋an＋12.
②
②－①得
1 ＝ n＋1 － n . an＋1an＋2 a1an＋2 a1an＋1
在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2. ③
1 2
，xn
＋1＝1＋1 xn，n∈N*.
(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；
(2)证明|xn＋1－xn|≤16(25)n－1.
【解析】
(1)由x1＝
1 2
及xn＋1＝
1 1＋xn
2013高考数学高频考点突破：数列的综合应用
anbn 再紧扣“对社会的有效贡献率”的定义式 Pn＝ 进行求解． 100ab
[自主解答] (1)∵a1＝a，b1＝b，a2＝a1＋2a＝3a. a1·1 b b2＝b1(1＋10%)＝1.1b，∴P1＝ ＝1% 100ab a2·2 3a×1.1b b P2＝ ＝ ＝3.3% 100ab 100ab ∴该企业第1年“对社会的有效贡献率”为1%；第二年“对 社会的有效贡献率”为3.3%.
[解法心得] 解答本题的关键是建立目标函数f(n)，从而利 用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出f(n)的 最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分 析突破．因此，函数不仅可以解决方程、不等式的问题， 也可以解决数列的问题，而极端原理的应用也尤为重要．
yn 解：(1)由 ＝2，得yn＝2logaxn， logaxn xn＋1 ∴yn＋1－yn＝2logaxn＋1－2logaxn＝2loga x . n xn＋1 ∵{xn}为等比数列，∴ x 为定值，∴{yn}为等差数列． n 设数列{yn}的公差为d，则y6－y3＝3d＝12－18， ∴d＝－2，∴y1＝y3－2d＝22， nn－1 ∴前n项和Sn＝22n＋ · (－2)＝－n2＋23n， 2 ∴当n＝11或n＝12时，Sn取得最大值，且最大值为132.
1 1 2 3 (2)Sn＝(n－1)× ＋log2 ＋log2 ＋log2 ＋„＋ 2 n－1 n－2 n－3 n－1 n－1 log2 ，倒序相加得：2Sn＝n－1，故Sn＝ . 1 2 4 1 1 (3)∵an＝ ＝4( － )， n＋1n＋2 n＋1 n＋2 2n n＋2 4 ∴Tn＝ < λ，∴λ> ， 4 n＋2 2 n＋4＋n 4 4 1 而 ≤ ＝ ，当且仅当n＝2时等号成立， 4 2 4 n＋4＋n 2 n·＋4 n 1 ∴λ> . 2
数学归纳法在数列中的应用
数学归纳法在数列中的应用
潘宏俊
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2016(000)012
【摘要】数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法。
它的基本步骤是：（1）验证n=n0时，命题成立（归纳奠基）；（2）在假设当
n=k（k≥n0，k∈N＋）时命题成立的前提下，推出当n=k＋1时，命题成立（归纳递推）。
根据（1）（2）可以断定命题对一切大于等于n0的正整数n都成立。
数列问题是与正整数有关的问题，本文就来谈谈数学归纳法在数列中的应用。
【总页数】1页(P9)
【作者】潘宏俊
【作者单位】安徽省临泉一中
【正文语种】中文
【相关文献】
1.在证明数列题中应用数学归纳法的研究
2.数学归纳法在数列问题中的应用
3.函数与方程思想在数学归纳法证明有关数列的不等式中的应用
4.数学归纳法在数列问题中的应用分析
5.数学归纳法在高考数列题中的应用
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高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧
高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。
本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。
一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。
掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。
以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。
同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。
二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。
掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。
数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。
3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。
通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。
三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。
以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。
解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。
（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。
（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。
（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。
2013届高考复习专题 数学归纳法解题举例
【数学】2013届高考复习专题数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有)时着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法以断定“对任何自然数（或n≥n是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。
命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。
又能被133整除。
所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。
由(1),(2)命题时n∈N都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。
高考数学中数列与数学归纳法的应用有哪些
高考数学中数列与数学归纳法的应用有哪些在高考数学中，数列与数学归纳法是重要的知识点，它们在解决各类问题中有着广泛而深入的应用。
首先，数列在高考中经常以等差数列和等比数列的形式出现。
等差数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差；等比数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，＼（q\）为公比。
通过这些公式，我们可以计算数列中的任意一项，或者根据已知条件求出首项、公差或公比等关键参数。
在实际应用中，数列可以用来解决与经济、生物增长等相关的问题。
例如，某公司的利润每年以固定的增长率增长，就可以构建一个等比数列模型来预测未来几年的利润情况。
数列的求和问题也是高考的重点。
等差数列的前\（n\）项和公式为\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼），等比数列的前\（n\）项和公式为当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）。
这些求和公式在解决诸如计算一堆物品的总和、计算一定时间段内的总量等问题时非常有用。
数列还常常与函数相结合。
通过将数列的项看作函数的自变量对应的函数值，我们可以利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题。
比如，判断一个数列是递增还是递减，可以通过其对应的函数的导数来进行分析。
接下来，我们再看看数学归纳法在高考中的应用。
数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的方法。
它的基本步骤通常分为两步。
第一步是基础步骤，需要证明当\（n\）取第一个值\（n_0\）（通常是\（1\））时，命题成立。
第二步是归纳步骤，假设当\（n ＝ k\）（＼（k ≥ n_0\））时命题成立，然后证明当\（n ＝ k ＋ 1\）时命题也成立。
数学归纳法在证明一些数列的通项公式、不等式等方面发挥着重要作用。
例如，要证明一个关于自然数\（n\）的不等式成立，我们可以先验证当\（n ＝ 1\）时不等式成立，然后假设当\（n ＝ k\）时不等式成立，在此基础上推导出当\（n ＝ k ＋ 1\）时不等式也成立，从而完成证明。
高考数学复习总结归纳点拨：数学归纳法的应用
数学归纳法．．．．．的应用归纳．．．．．数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法，可用来证明等式、不等式、整除性、几何问题、数列通项及其它与正整数有关的命题。
新课标只要求用数学归纳法证明等式，与数列有关的通项问题等。
下面通过几个典型例题归纳一下常见三种题型的解题方法。
一．证明恒等式例1 已知n +∈N ，求证：111111111234212122n n n n n -+-++-=+++=-++． 证明：（1）当1n =时，等式左边11122=-=，右边12=，等式成立．（2）假设当n k =时，命题成立．即111111234212k k-+-++-- 111122k k k =+++++。
则当1n k =+时，111111112342122(1)12(1)k k k k -+-++-+--+-+ 11111122212(1)k k k k k =++++-++++ 11111232112(1)k k k k k ⎡⎤=++++-⎢⎥+++++⎣⎦1111(1)1(1)22(1)12(1)k k k k =+++++++++-+．∴当1n k =+时，等式成立．综上，由（1）和（2）可知，对于任何n +∈N ，等式成立．方法点拨：（1）本题在证明过程中突出了一个“凑”字，即“凑”结论，关键是明确1n k =+时证明的目标，充分考虑由n k =到1n k =+时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略，无论简单与否，言简意赅写出。
（2）注意“两个步骤一个结论”一个也不能少，同学常常忘记归纳结论。
二．求数列的通项或前n 项和公式例2.对于数列{}n a ，若11(0,a 1)a a a a=+>≠且，n+1a = 11a n a -，求数列{}n a 的通项公式。
解：（1）11111,n na a a a a a +=+=-221214221111111a aa a a a a a a a aa a a a +∴=-=+-=-++++=（+1）同理可以解得6423421(1)a a a a a a a +++=++，864246421(1)a a a a a a a a a ++++=+++ 猜想2222222421(1)n n n n n a a a a a a a a ---++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++222221111n n a a a a a +--=-⋅-2221(1)n n a a a +-=- 证明：①当n=1时，右边= 421211(1)a a a a a a-+==-，等式成立。
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数学归纳法在数列综合题中的应用举例
1、在数列{}n a 和{}n b 中，3,121==a a ，
且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列，*N n ∈。
（1）求出43,a a 和4321,,,b b b b 的值；
（2）归纳出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明。
全解103P
2、设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
n n n a a S 121，*N n ∈，猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明。
全解104P
3、设0a 为常数，且1123---=n n n a a ，*N n ∈。
（1）证明对任意的()[]
()012121351,1a a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意的1≥n ，有1->n n a a ，求0a 的取值范围。
全解108P
4、设数列{}n a 满足12
1+-=+n n n na a a ，*N n ∈。
（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；
（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有
①2+≥n a n ；
②2
1111≤+∑=n i i a 。
全解110P
5、已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足()()22,3,021121++===--+n n n n a a a a a a ， 其中*N n ∈且3≥n 。
（1）求3a ；
（2）证明22+=-n n a a ，3≥n ；
（3）求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。
全解111P。