高中数学第3章数系的扩充与复数的引入单元测试苏教版选修2 2
近年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入习题理苏教版选修2-2(2021年整理)
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第3章 数系的扩充与复数的引入（答题时间:60分钟）一、选择题1。
对任意复数()i ,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是 A. 2z z y -= B. 222z x y =+ C. 2z z x -≥ D. z x y ≤+2. 复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭A 。
34i -- B. 34i -+ C 。
34i - D 。
34i +3。
复数θ+θ=sin cos i z （(0,2)θπ∈）在复平面所对应的点在第二象限上，则θ的取值范围是 ( ）A .(0,)2πB 。
(,)2ππ C. 3(,)2ππ D 。
3(,2)2ππ 4。
设i 是虚数单位，若122i z i-=+，则z 的值是（ ） A 。
－1 B 。
1 C. i - D 。
i5. 复数（11i i－＋）9的值等于（ ) A 。
22B. 2C. i D 。
－i 6. 复数2i i+-等于（ ) A 。
12i + B. 12i - C 。
12i -+ D 。
12i -- 7. =++-i i i 1)21)(1( ( )A. i --2B. i +-2C. i -2D. i +28。
下列各数中，纯虚数的个数有（ ）27+，27i ，0i ，58i +,()13i -，0.618 A. 0个 B 。
苏教版高中数学选修第三章数系的扩充与复数的引入综合测试(2)
第三章 数系的扩充与复数的引入测试题一．选择题（每小题5分，共50分）1．设z 为复数，则“1=z ”是“R zz ∈+1”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．下面四个命题中正确的命题个数是 （ ）①0比i -大 ②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数 ③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． A.0 B.1 C.2 D.3 3．已知122,13z i z i =-=+，则复数5i 21z z +的虚部为 （ ） A.1B.－1C.iD.－i4．220071i i i ++++L 的值是（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．i5.复数221(23)()2z a a a a i =-+--+()a R ∈在复平面内对应点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.复平面内，方程|z |2－3|z |－4=0所表示的轨迹图形是 ( ) A.两个点 B.两条直线 C.一个圆 D.两个圆7.椭圆92522y x +=1的复数表达形式为 （ ） A.|z －4|+|z+4|=10 B.|z －4i |+|z+4i |=10C.|z －3|+|z+3|=10D.|z －3i |+|z+3i |=108.设z 1，z 2∈C ,且120z z ≠，1221A z z z z =+，1122B z z z z =+,则A 与B 之间 ( ) A.不能比较大小 B. A B ≤ C. A B ≥ D. A B =9.当n N ∈时，计算n i ,下列四个结论中正确的是 （ ） A.11)(444===n n n i i B. n nn i i )1()(22-==，其值为1或i ± C. 333)1()(n nn i i -==其值不定 D. n i 的值可能是1±或i ±10.已知{}226M z z z =++-≤，{}11N z z =+≤，则N M ,的关系是（ ） A.M N ⊆ B. M N ⊇ C. M N N ⋃= D. ∅=⋂N M二．填空题（每小题6分，共36分）11．设复数z 满足11z i z-=+, |1|z +=12. 设C z ∈，由复数222,,,,,,,z z z z z z z z z 所构成的集合中最多有 个元素13. 已知11-=+x x ，则3422)1)(1(x x x x x +-+-的值为 14．设12,z z C ∈，112||||1z z z =-=，12||2z z +=，则2||z = 15．若,C Z ∈且221,Z i -+=则Z 的最大值是16．关于x 的方程260x x m -+=有两个虚根12,x x ，且满足124x x -=，则实数m = 三．解答题（共5小题，74分）17．（14分）已知：复数2211112222log 2log (log 3log )z x x i x x =-+-,求满足下列统计的x 的值.（1）z 为纯虚数； （2）0z >．18．（16分）解关于x 的方程： （1）3()z z =； （2）221(33)0x x x i ----=19（14分）已知在复平面上点A 、B 对应复数1和i ，该线段AB 上的点Z 对应复数z ，求复数z 2对应点的轨迹方程20．（14分）设βα,是关于x 的方程)(022R m m x x ∈=++的两根，求βα+的值. 21．（16分）若0a ≤，解关于复数z 的方程：z|z|+a z+i =0．参考答案一．选择题1．A 2．A 3．A. 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．D 10.B 二．填空题：11；12．5；13．4；14；15．1+；16．13． 三．解答题17解(1)211221221122log 2log 01log 24log 3log 0x x x x x x -=⎧⎪⇔=⇔=⎨-≠⎪⎩，所以，当14x =时，z 为纯虚数. (2)211221221122log 2log 010log 38log 3log 0x x z x x x x ->⎧⎪>⇔⇔=⇔=⎨-=⎪⎩, 所以，当18x =时, 0z >. 18．解（1）方程两边取模，得：3|()|||z z =,即3||||z z =, ∴||0z =或||1z =当||0z =时，0z =当||1z =时，1z z ⋅=，∴ 1z z =，原方程化为：31()z z=，41z =，∴1z =±或z i =± 综上，原方程的解为：0，1±，i ±.（2）原方程可化为：2(23)130x i x i -+-+=,22[((23)]4(13)1i i i ∆=-+--+=-=(23)2i ix +±=∴12x i =+或1x i =+ ∴ 原方程的解为：12x i =+或1x i =+19．解：线段AB 的方程为：1x y +=(01)x ≤≤ 设(1)z a a i =+-()a R ∈，2(,)z x yi x y R =+∈则2[(1)]a a i x yi +-=+，即212(1)a a a i x yi -+-=+∴ 212(1)x a y a a =-⎧⎨=-⎩，消去a 得：1(1)(1)2x y x +=+-，即21122y x =-+∴ 复数z 2对应点的轨迹方程为：21122y x =-+(11)x -≤≤.20．解：m 44-=∆，（1）当0≥∆，即1≤m 时，方程有两个实根：m -+-=11α，m ---=11β， ①当10≤≤m 时，βα+=m m -++--1111=2； ②当0<m 时，βα+=m -12；（2）当0<∆，即1>m 时，方程有两个共轭虚根：i m 11-+-=α，i m 11---=ββα+=m m m 21111=-++-+. 综上所述：βα+=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<-)1(,2)10(,2)0(,12m m m m m .21．解：设(,)z x yi x y R =+∈,则原方程化为：(()0x yi a x yi i +++=，即(1)0ax ay i ++=∴0(1)10(2)ax ay ⎧=⎪⎨+=⎪⎩L L L L L L L L L L L L L L L 由（1）得：0x =0a =①当0x =时，代入（2）得：||10y y ay ++=当0y ≥时，210y ay ++=，24020a a a ∆=-≥⎧⇔≤-⎨≤⎩y =y 当0y <时，210y ay -++=,即210y ay --=,24000a a a ∆=+≥⎧⇔≤⎨≤⎩0,y >舍）或y0a =时，代入（2）得：1=0,无解. 综上：当2a ≤-时，原方程的解为：z =或z或z = 当20a -<≤时，原方程的解为：z复数单元检测题班级 姓名 成绩一、填空题（每小题5分，共70分）1、复数z=3-2i 的共轭复数为_________________。
高中数学苏教版2-2+第3章数系的扩充与复数的引入+单元测试+Word版含解析
第3章过关检测(时间90分钟，满分100分) 一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．复数(2＋i)i的虚部为__________．2．复数4＋3i1＋2i的实部是__________．3．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第__________象限．4．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于__________．5．复数z满足(1＋2i)z＝5，则z＝__________.6．已知复数z满足z2＋1＝0，则(z6＋i)(z6－i)＝__________.7．已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部的取值范围是__________．8．(1＋i)20－(1－i)20的值为__________．9．已知z为复数，则z＋z>2的一个充要条件是z满足__________．10．在复数集C内分解因式2x2－4x＋5等于__________．11．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A、B、C所对应的复数分别为2＋3i、3＋2i、－2－3i，则D点对应的复数是__________．12．若关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)i＝0有实根，则纯虚数m＝__________.13．若a，b为非零实数，则下列四个命题都成立：①a＋1a≠0；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③若|a|＝|b|，则a＝±b；④若a2＝ab，则a＝b.对于任意非零复数a，b，上述命题仍然成立的序号是__________．14．复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，则实数c的取值范围是__________．二、解答题(本大题共5小题，满分44分)15．(8分)设|z1|＝13，z2＝12＋5i，z1·z2是纯虚数，求z1.16．(8分)已知z＝1＋i，求z2－3z＋6z＋1的模．17．(8分)已知z＝1＋i，如果z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求实数a、b的值．。
高中数学苏教版《选修2 2》《第三章 数系的扩充与复数的引入》精
高中数学苏教版《选修 2 2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精高中数学苏教版《选修2-2》《第三章数系的扩充与复数的引入》精第三章选修2-2，高中数学素教版，数制的拓展与复数的应用引入》精品专题课后练习【2】(含答案考点及解析)类别：_________________;分数：___________1.若复数[答]【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》复数》复数概念和向量表示【解析】问题分析：从问题的含义来看，考点：复数的概念，解得．（为实数，i为虚数单位）是纯虚数，则m_____.2.如果从图中所示的矩形区域中选取任何点，则从阴影部分选取该点的概率为【答案】【考点】高中数学知识点函数与导数积分【分析】试题分析：由定积分的几何意义可知，点积为矩形面积，那么这个比率是取自阴影部分的面积为，总面积考点：1.定积分的几何意义；2.几何概型.3.如果复数的真实部分是，并且，则复数的虚部是（）b。
c．d。
【答案】b【考点】高中数学知识点推理与证明、数系与复数展开、复数综合运算【分析】试题分析：集合，则由收到，即复数的虚部是选择考点：复数的概念，复数的模.4.穿过点P（-1,2）并平行于点m（1,1）处曲线y=3x-4x+2切线的直线2等式是___【答案】2x－y＋4＝0【考点】高中数学知识点“函数与导数”导数的概念和几何意义【分析】容易找到y'=6x-4，y'|x=1=2直线的斜率k=2∴所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.5.假设函数f（x）在x=1处的导数为3，则f（x）的解析式为（）。
A.f（x）=（x-1）+3（x-1）B.f（x）=2（x-1）2c、 f（x）＝2（x－1）d.f（x）＝x－1【答案】a【考点】高中数学知识点“函数与导数”导数计算【解析】分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.二6.设函数f(x)=,g(x)=,对任意x1,x2∈(0,+∞),不等式是.[答：{k | k]≥ 1}≤恒成立,则正数k的取值范围【测试点】函数和导数在高中数学知识点中的综合应用【分析】∵ K是一个正数，∵ 对于任何x1，X2∈ (0, + ∞), 不等式由G'（x）组成==0,得x=1,≤恒成立?[]麦克斯≤[]min当x∈ （0,1），G'（x）>0，当x∈ (1, + ∞), G'（x）<0[]max==.=0,得x=,类似地，f'（x）=x∈(0,)时,f'(x)<0,x∈(,+∞)时,f'(x)>0,[]min==,∴≤，k>0k≥1.7.以下是演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线所以直线平面，直线平面；直线，在这个推理中（）a．大前提正确，结论错误b、小前提和结论是错误的c．大、小前提正确，只有结论错误d．大前提错误，结论错误[答：]d【考点】高中数学知识点》推理与证明、数系的扩充与复数》推理与证明》合情推理与演绎推理【解析】试题分析：如果直线平行于平面，那么直线只平行于平面中的一些直线，而不是所有直线，所以大前提是错误的。
【高二】选修2 2第三章 数系的扩充与复数的引入测试题及答案解析
【高二】选修2 2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案解析【高二】选修2-2第三章数系的扩充与复数的引入测试题及答案解析第三章数制扩展与复数介绍（选修课2-2）一.（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.复数是一个纯虚数（）a．充分条件b.必要条件c.充要条件d.非充分非必要条件2.如果，复平面中的对应点位于（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限3．（）a．b．c．d．4.如果复数Z满足，那么=（）a．2＋ib．2－ic．1＋2id．1－2i5.如果复数的实部和虚部彼此相反，那么实数B等于（）a.2b.23c.2d.－236.集合{Z？Z=，集合由枚举表示，集合为（）a｛0，2，－2｝b.｛0，2｝c、｛0,2、-2,2｝d.｛0,2、-2,2、-2｝7.设o是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（）8.复数，则复数平面中的点位于（）象限。
a．一b.二c.三d.四9.如果复数不是纯虚数，则有（）10.设i为虚数单位，则的值为（）a、 4b.－4c。
4id.－4i二.题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
）11.集合（虚单位），然后z=；z=。
12.复数的实部为，虚部为。
13.众所周知，复数Z和（Z+2）2-8i是纯虚数，然后是Z=14.设，，复数和在复平面内对应点分别为a、b，o为原点，则的面积为。
三、回答问题（这个大问题有6个小问题，每个小问题74分，共80分。
答案应写上文字描述、证明过程或计算步骤。
）15.（本小题满分12分）已知复数z=（2+）当实数取什么值时，复数z为：（1）零；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数。
17.（本分题满分13分）设r，若z对应的点在直线上。
求的值。
18.（本分题满分14分）已知关于的方程组有实数，求的值。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课(二)数系的扩充与复数的引入 苏教版选修2-2-苏教
习题课（二）数系的扩充与复数的引入1．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－b i ，则 (a ＋b i)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i解析：选A 由a ＋i ＝2－b i 可得a ＝2，b ＝－1，则(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i. 2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝(1＋i )2－1＋i ＝2i (－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝2i (－1－i )2＝1－i ，故z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．3．如果复数z ＝2－1＋i ，则( )A ．|z |＝2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：选C 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )2＝－1－i ，所以|z |＝2，z 的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i ，因此选C.4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D ∵AB →对应复数2＋i ，BC →对应复数1＋3i ， ∴AC →对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i ， ∴CA →对应的复数是－3－4i.5．已知i 为虚数单位，若复数z ＝1－a i1＋i (a ∈R )的实部为－3，则|z |＝( )A.10B ．2 3 C.13D ．5解析：选D ∵z ＝1－a i 1＋i ＝(1－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－a －(a ＋1)i 2的实部为－3，∴1－a2＝－3，解得a ＝7.∴z ＝－3－4i ，则|z |＝5.故选D.6．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，选项A ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a ，b 都为0，即z 为实数，正确．选项B ，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i<0，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，故z 一定为虚数，正确．选项C ，若z 为虚数，则b ≠0，z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ，由于a 的值不确定，故z 2无法与0比较大小，错误．选项D ，若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，则z 2＝－b 2<0，正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝(3＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝5－5i5＝1－i ，因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2,3)， ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z ，ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z2＋i ，且|ω|＝52，则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝k i(k ≠0且k ∈R )，则ω＝k i(2＋i )(1＋3i ).∵|ω|＝52，∴k ＝±50，故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i.(1)求|z |；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，某某数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ， ∵z ＝1－i ，∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32，求ω·ω.解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x2＝－32，得x 2－1＝3. ∵x >0，∴x ＝2，∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .解：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图，因为OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， 所以k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝4.因为|OA |≠|BC |，所以x ＝－3，y ＝4(舍去)，故z＝－5.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 章末检测
第三章《数系的扩充与复数的引入》章末检测一、填空题1．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的________条件．2．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i的共轭复数为________． 3．已知a 是实数，a －i 1＋i是纯虚数，则a ＝________. 4．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________.5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC →对应的复数为________．6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________．7．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是________． 8．若z 1＝x －2＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在第________象限．9．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是________．10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．11．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______．12．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ， y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y 1＝－(3－y )； ②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 二、解答题13．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？14．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.15．计算：(1)(2＋2i )4(1－3i )5；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.16．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线x ＋y ＋5＝0上．17．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．18．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．答案1．充分不必要2．1－2i3．14．2＋i5．4－4i6．07．－38．三9．三10．(3,4)11．(1，5)12．⑤13．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0， 解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3. 即当m ＝3时，z 是纯虚数．14．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i.设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1， 解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.15．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i )＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)( 3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.16．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414. 17．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.18．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋a a 2＋b2)＋(b －b a 2＋b 2)i. 因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 还可得z 2＝2a . 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12， 即z 1的实部的取值范围是[－12，12]． (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入单元测试苏教版选修1_2
第3章 数系的扩充与复数的引入单元检测一、填空题1．(2012辽宁高考，文3改编)复数11i=+__________.2．(2012浙江高考，文2改编)已知i 是虚数单位，则3i 1i+=-__________.3．设复数22i (1i)z +=+，则复数z 的实部是__________．4．(2012江西高考，文1改编)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋2z 的虚部为__________．5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)i(i 是虚数单位)为“等部复数”，则实数a 的值是__________．6．已知1im +＝1－n i(m ，n ∈R )，则m ＋n i ＝__________.7．若f (z )＝1－z (z ∈C )，已知z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，则12z f z ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.8．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R )，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，且B C ＝C A，则z 1＋z 3＝__________.9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足1z ·z 2∈R ，则z 2＝__________.10．复数z 满足方程241iz +=+，那么复数z 的对应点P 组成的图形为________．11．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使得z 2＝－1的θ的值是________． 12．已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，则复数z ＝________.二、解答题13．已知a －1＋2a i ＝－4＋4i ，求复数a .14．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭； (3)对应的点在x 轴上方．15．设O 为坐标原点，已知向量1O Z ，2O Z分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝35a +＋(10－a 2)i ，z 2＝21a-＋(2a －5)i(a ∈R )，若1z ＋z 2可以与任意实数比较大小，求1O Z ·2O Z的值．参考答案1. 答案：11i 22- 解析：11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222--===-++-.2. 答案：1＋2i 解析：∵23i (3i)(1i)3+3i+i+i24i 1i(1i)(1i)22++++===--+＝1＋2i.3. 答案：12解析：22i 2i 2i 11i (1i)2i22z ++-+====-+，∴实部为12.4. 答案：0 解析：因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i. 而z 2＝(1＋i)2＝2i ，2z ＝(1－i)2＝－2i ， 所以z 2＋2z ＝0.5. 答案：－1 解析：z ＝(1＋a i)i ＝－a ＋i ，由已知得－a ＝1，∴a ＝－1.6. 答案：2＋i 解析：1im +＝1－n i 可化为i 2m m -＝1－n i ，∴12.2mm n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，∴21.m n =⎧⎨=⎩，∴m ＋n i ＝2＋i. 7. 答案：1917i 2626- 解析：∵z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，∴1z ＝2－3i ，2z ＝5＋i ，1223i (23i)(5i)10317i717i 5i(5i)(5i)262626z z -----====-++-.又∵f (z )＝1－z ，∴1271719171i i 26262626z f z ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.8. 答案：5＋7i 解析：∵B C ＝C A，∴O C －O B ＝O A－O C ， ∴2O C ＝O A ＋O B，∴2b ＋4i ＝3＋a i ＋1－i ＝4＋(a －1)i ，∴24,14,b a =⎧⎨-=⎩∴5,2.a b =⎧⎨=⎩∴z 1＋z 3＝3＋5i ＋2＋2i ＝5＋7i. 9. 答案：1＋12i 解析：由z 1＝2＋i ，得1z ＝2－i.由z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上， 可设z 2＝1＋b i(b ∈R ).则1z ·z 2＝(2－i)(1＋b i)＝(2＋b )＋(2b －1)i ， 由1z ·z 2∈R ，得2b －1＝0， ∴b ＝12，即z 2＝1＋12i.10. 答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆 解析：21iz ++＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4.设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，以4为半径的圆. 11．答案：k π＋π2(k ∈Z ) 解析：z 2＝cos 2θ－sin 2θ＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴c o s21,sin 20.θθ=-⎧⎨=⎩∴2θ＝2k π＋π，k ∈Z .∴θ＝k π＋π2，k ∈Z .12．答案：5－3i 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则－z ＝－x －y i. 由f (－z )＝10＋3i ，得|1＋(－z )|－(z -)＝10＋3i ， |(1－x )－y i|－(－x ＋y i)＝10＋3i ，∴10,3.x y =-=⎪⎩ 解之，得5,3.x y =⎧⎨=-⎩∴所求z ＝5－3i.13. 答案：解：设a ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入a －1＋2a i ＝－4＋4i 得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，∴214,24,x y x y --=-⎧⎨+=⎩解得1,2.x y =⎧⎨=⎩∴a ＝1＋2i.14. 答案：解：(1)根据复数相等的充要条件得22562,21512.m m m m ⎧++=⎨--=-⎩解之，得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612,21516.m m m m ⎧++=⎨--=-⎩解之，得m ＝1. (3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之，得m ＜－3或m ＞5. 15. 答案：解：依题意得1z ＋z 2为实数， 由1z ＝35a +－(10－a 2)i ，∴1z ＋z 2＝35a +＋21a-＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0.∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3. 又分母不为零， ∴a ＝3. 此时z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，即1O Z ＝3,18⎛⎫⎪⎝⎭，2O Z ＝(－1,1)，∴1O Z ·2O Z ＝38×(－1)＋1×1＝58.。
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高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入单元测试 苏教版选修2-2(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．复数(2＋i)i 的虚部为__________． 2．复数4＋3i1＋2i的实部是__________．3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于第__________象限． 4．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b 等于__________． 5．复数z 满足(1＋2i)z ＝5，则z ＝__________.6．已知复数z 满足z 2＋1＝0，则(z 6＋i)(z 6－i)＝__________. 7．已知复数z 满足z ＝－|z |，则z 的实部的取值范围是__________． 8．(1＋i)20－(1－i)20的值为__________．9．已知z 为复数，则z ＋z >2的一个充要条件是z 满足__________． 10．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于__________．11．复平面上平行四边形ABCD 的四个顶点中，A 、B 、C 所对应的复数分别为2＋3i 、3＋2i 、－2－3i ，则D 点对应的复数是__________．12．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)i ＝0有实根，则纯虚数m ＝__________. 13．若a ，b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①a ＋1a≠0；②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .对于任意非零复数a ，b ，上述命题仍然成立的序号是__________．14．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若∠BAC 是钝角，则实数c 的取值范围是__________．二、解答题(本大题共5小题，满分44分)15．(8分)设|z 1|＝13，z 2＝12＋5i ，z 1·z 2是纯虚数，求z 1.16．(8分)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．17．(8分)已知z ＝1＋i ，如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a 、b 的值．18．(8分)已知方程x2＋4x＋C＝0(C∈R)的一个根为x1＝－2＋i，求C的值及方程的另一个根．19．(12分)设z 是虚数，w ＝z ＋1z是实数，且－1<w <2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数；参考答案1．2 解析：(2＋i)i ＝－1＋2i. 2．2 解析：4＋3i1＋2i ＝＋－＋－＝4－8i ＋3i ＋61＋4＝10－5i5＝2－i ，∴实部为2.3．四 解析：z ＝z 1·z 2＝(3＋i)(1－i)＝4－2i. 4．2 (1＋b i)(2＋i)＝2＋i ＋2b i －b ＝(2－b )＋(1＋2b )i ，∵(1＋b i)(2＋i)是纯虚数，∴2－b ＝0且1＋2b ≠0. ∴b ＝2.5．1－2i 解析：∵(1＋2i)z ＝5， ∴z ＝51＋2i＝－＋－＝1－2i.6．2 解析：(z 6＋i)(z 6－i)＝z 12－i 2＝(z 2)6－(－1)＝(－1)6＋1＝2. 7．(－∞，0] 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a ＋b i ＝－a 2＋b 2.所以⎩⎨⎧a ＝－a 2＋b 2，b ＝0，即a ＝－|a |，所以a ≤0.8．0 解析：(1＋i)20－(1－i)20＝(2i)10－(2i)10＝0.9．z 的实部大于1 解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )．由z ＋z ＝2a >2得a >1.反之，由a >1得z ＋z ＝2a >2.10．(2x －2＋3i)(2x －2－3i) 解析：2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3＝(2x －2)2－(3i)2＝(2x －2＋3i)(2x －2－3i)．11．－3－2i 解析：∵A 、B 、C 对应的复数分别为2＋3i 、3＋2i 、－2－3i ，∴A (2,3)、B (3,2)、C (－2，－3)．设D 点坐标为(x ，y )，则2＋－2＝3＋x 2，3＋－2＝2＋y2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，即D 点坐标为(－3，－2)．∴D 点对应的复数为－3－2i.12.112i 解析：设m ＝k i(k ∈R ，且k ≠0)，则x 2＋x ＋2x i ＋3k ＋i ＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋3k ＝0，2x ＋1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，k ＝112.∴m ＝112i.13．②④ 解析：对于①：解方程a ＋1a＝0，得a ＝±i，所以非零复数a ＝±i 使得a ＋1a＝0，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C 中，|1|＝|i|，则|a |＝|b |D ⇒/a ＝±b ，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数a ，b ，上述命题仍然成立的序号是②④.14．(4911，9)∪(9，＋∞) 解析：AB →对应复数z 2－z 1＝－3－4i ，即AB →＝(－3，－4)，AC →对应复数z 3－z 1＝(c －3)＋(2c －10)i ，即AC →＝(c －3,2c －10)．∠BAC 是钝角⇒AB →·AC →<0⇒－3(c －3)－4(2c －10)<0⇒c >4911.但当AB →，AC →共线时：－3(2c －10)－(－4)(c －3)＝0，c ＝9. AC →＝(6,8)与AB →＝(－3，－4)反向，此时〈AB →，AC →〉＝π，不合题意，舍去，故c 的取值范围是(4911，9)∪(9，＋∞)．15．解：设z 1＝a ＋b i ， 则z 1·z 2＝(a ＋b i)(12＋5i) ＝(12a －5b )＋(5a ＋12b )i.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝169，12a －5b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－12.∴z 1＝5＋12i 或－5－12i.16．解：z 2－3z ＋6z ＋1＝＋2－＋＋62＋i＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2.17．解：z ＝1＋i ，则z 2－z ＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1 ＝12＋2i ＋i 2－1－i ＋1＝i. ∴z 2＋az ＋b ＝2i ＋a (1＋i)＋b ＝a ＋b ＋(2＋a )i.a ＋b ＋＋ai＝1－i.a ＋b ＋(2＋a )i ＝i(1－i)＝1＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，2＋a ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.18．解：∵x 1＝－2＋i 为方程x 2＋4x ＋C ＝0的一个根， ∴(－2＋i)2＋4(－2＋i)＋C ＝0， 即4－4i ＋i 2－8＋4i ＋C ＝0. ∴C ＝5.∴方程x 2＋4x ＋C ＝0可写成x 2＋4x ＋5＝0. 由求根公式得x ＝－4±4i2＝－2±i. ∴方程的另一个根为－2－i.∴C 的值为5，方程的另一个根为－2－i. 19．(1)解：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R ，且b ≠0)， 则w ＝z ＋1z ＝a ＋b i ＋a －b ia 2＋b 2＝(a ＋a a 2＋b2)＋(b －ba 2＋b 2)i.∵w 是实数， ∴b －ba 2＋b 2＝0.由b ≠0，得a 2＋b 2＝1， 即|z |＝1. ∵|z |＝1， ∴z ·z ＝|z |2＝1. ∴w ＝z ＋1z＝z ＋z ＝2a .由已知－1<w <2， 即－1<2a <2， 解得－12<a <1.(2)证明：u ＋u ＝1－z 1＋z ＋1－z 1＋z ＝1－z 1＋z ＋z －1z ＋1＝0，∵z ≠1(否则与－1<w <2矛盾)， ∴u ≠0.从而u 为纯虚数． (3)解：u ＝1－z 1＋z ＝1－a ＋b 1＋a ＋b＝－b i1＋a， w －u 2＝2a －(－b i a ＋1)2＝2a －－b 2＋a2＝2a －a 2－1＋a2＝2a ＋1－a 1＋a＝2(1＋a )＋21＋a －3.∵－12<a <1，∴12<1＋a <2. ∴4≤2(1＋a )＋21＋a<5. ∴w －u 2的最小值为4.。