衡水中学 高三年级全仿真模拟 (仿真模拟)数学(理)试题(word版)

启用前★绝密衡水中学高三年级全仿真模拟理科数学本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。

4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数)(x f y =，[]b a x ,∈，那么集合[]{}{},(),,(,)2x y y f x x a b x y x =∈=I （）中元素的个数为 （ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或22.已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c ∈R ，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为 （ ） A ．－1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．1 3．设)(),161(log );32(,21221R x x N a a a M ∈+=<<-+=，则M ，N 大小关系是（ ） A ． M ＞N B ． M =N C ．M ＜N D ． 不能确定4.设向量)25sin ,25(cos οορ=a ，)20cos ,20(sin οορ=b ，若t 是实数，且b t a u ϖρϖ+=，则u ϖ的最小值为（ ）A ．2B ．1C 2D ．125.如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是( ). A ．正方形 B ．矩形 C ． 梯形 D ．菱形6.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(2x x x x x f )(x g 是二次函数，若))((x g f 的值域是[0，＋∞)，则)(x g 的值域是 ( ).A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)7.右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( ). A.S =S +n x B.S =S +nx nC.S =S + nD.S =S +10nx8.函数)0(cos sin )(≠-=a x b x a x f 的图象关于4x π=对称，则3()4y f x π=-是（ ） A ．图象关于点），（0π对称的函数 B ．图象关于点302π（，）对称的函数C ．图象关于点），（02π对称的函数D ．图象关于点），（04π对称的函数 9. 如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A.21-B.()2421π-C.()2421π+D.1610.f （x ）是集合A 到集合B 的一个函数，其中，A={1，2，…，n}，B={1，2，…，2n}，n ∈N *，则f （x ）为单调递增函数的个数是（ ） A ．B ．n 2nC ．（2n ）nD ．11.已知函数()ln 2x axf x x-=，若有且仅有一个整数k ，使得()1f k >，则实数a 的取值范围是 ( ) A. (1,3]B.1111ln 2,ln34262⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C.11ln 21,ln3123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D.11,1e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦12..设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点的任意一点，F 1，F 2分别是其左右焦点，O 为中心，2212||||||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为 （ ）A ．12 B ．22 C. 32 D ． 24二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 若实数x ，y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z ＝ln y －ln x 的最小值是________． 14． 210(2018)()x y x y +-展开式中56x y 的系数为 ．15. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为线段A 1B 1的中点，点F ，G 分别是线段A 1D 与BC 1上的动点，当三棱锥E ﹣FGC 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ． 16.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，2ABC=3π∠，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，BD=2，则△ABC 面积的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知正项的数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点21(,)n n P a a +在曲线244y x x =++上.（1）求n a 和n S ；（2）若数列{}n b 满足1117,2n n b b b n +=-=，求使得n nS 最小值时n 的值.18.（本小题满分12分）某企业生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指标值并绘制频率分布直方图（如图1）：规定产品的质量指标值在[)65,75的为劣质品，在[)75,105为优等品，在[)105,115的为特优品，销售时劣质品每件亏损1元，优等品每件盈利3元，特优品每件盈利5元.以这1000件产品的质量指标值位于各区间的频率代替产品的质量指标值位于该区间的概率；（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该企业为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年年营销费用i x 和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到如图2的散点图及一些统计量的值根据散点图判断by ax =可以作为年销售量y(万件）关于年营销费用x(万元)的回归方程. ①求y 关于x 的回归方程②用所求的回归方程估计该企业应投入多少年营销费，才能使得该企业的年收益的预报值达到最大？（取3.0120e =）19.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB//EF ，矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．（1）求证：平面DAF ⊥平面CBF ；（2）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°？21.（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos 2f x x x x ax =+++，其中a 为常数. (Ⅰ)若曲线()y f x =在0x =处的切线在两坐标轴上的截距相等求a 的值； (Ⅱ)若对[]0,x π∀∈，都有()2f x ππ≤≤，求a 的取值范围.选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为t t t tx e e y e e--⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l 的极坐标方程为sin 23πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(1) 求曲线C 的极坐标方程；(2) 求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()21f x x x =-+，且,,a b c R ∈.(1) 若2a b c ++=，求()()()f a f b f c ++的最小值； (2) 若1x a -<，求证：()()()21f x f a a -<+.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（仿真二）答案一、选择题：1-4CBAC 5-8 DCDA 9-12 BDBB 二、填空题：13.－ln 3;14.210;15.2 16. 43. 三、解答题： 17.18．19.解（Ⅰ）∵平面ABCD ⊥平面,ABEF CB AB ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF CB ⊥， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥，∴AF ⊥平面CBF ， ∵AF ⊂平面ADF ，∴平面DAF ⊥平面CBF ………5分 （Ⅱ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点， OA OG AD 、、方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设(0)AD t t =>，则点D 的坐标为()1,0,t ，则()1,0,C t -，又()()131,0,0,1,0,0,,,022A B F⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴，设平面DCF 的法向量为()1,,n x y z =，则，即20{302x y tz =-+=，令3z =，解得0,2x y t ==．∴()10,2,3n t =．由（1）可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为213,,022n AF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1212·cos60n n n n =，即231243t t =+，解得6t =， 因此，当AD 的长为6时， 平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60°。

…………12分21解：(Ⅰ)求导得()cos sin f x x x x a '=-+，所以()0f a '=. 又()04f =，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为4y ax =+. 由切线在两坐标轴上的截距相等，得44a-=，解得1a =-即为所求. ………4分 (Ⅱ)对[]0,x π∀∈，()sin 0f x x x ''=-<，所以()f x '在[]0,π区间内单调递减.（1）当0a ≤时，()()00f x f a ''<=≤，所以()f x 在区间[]0,π内单调递减，故()()f x f a ππ>=，由()f x π>恒成立，得1a ≥，这与0a ≤矛盾，故舍去. …6分（2）当a π≥时，()()0f x f a ππ''>=-≥，所以()f x 在区间[]0,π内单调递增，故()()()0f f x f π<<，即()4f x a π<<，由()2f x ππ<<恒成立得a π≤，结合a π≥得a π=. ………8分（3）当0a π<<时，因为()00f a '=>，()0f a ππ'=-<，且()f x '在[]0,π区间上单调递减，结合零点存在定理可知，存在唯一()00,x π∈，使得()00f x '=，且()f x 在区间[]00,x 内单调递增，在区间[]0,x π内单调递减. 故()()(){}min 0,f x f fπ>，由()f x π>恒成立知，()04f π=≥，()f a πππ=≥，所以1a π≤<.又()f x 的最大值为()00000sin 2cos 2f x x x x ax =+++，由()00f x '=得000sin cos a x x x =-， 所以()20000002sin 2cos cos 2f x x x x x x =+-+.设()()22sin 2cos cos 20g x x x x x x x π=+-+<<，则()2sin 0g x x x '=>，所以()g x 在区间[]0,π内单调递增，于是()()2g x g ππ<=，即()20f x π<.所以不等式()2f x π<恒成立. 综上所述，所求a 的取值范围是[]1,π. ………12分 22.解：(Ⅰ)消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥. 将cos x ρθ=，y sin ρθ=代入224x y -=，得()222cos 4sin ρθθ-=.所以曲线C 的极坐标方程为2cos 2444ππρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭.．．．．5分 (Ⅱ)将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得242cos 23sin πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-.因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=.于是方程的解为tan θ=，即6πθ=.代入sin 3πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭可得ρ=P 的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.．．．．10分 23.解：(1)由柯西不等式得，()22221433a b c a b c ++≥++=（当且仅当23a b c ===时取等号），所以()()()()()222473133f a f b f c a b c a b c ++=++-+++≥+=，即()()()f a f b f c ==的最小值为73；．．．．5分 (2)因为1x a -<，所以()()()()2211f x f a x a x a x a x a x a -=---=-•+-<+-()()()()212112121x a a x a a a a =-+-≤-+-<++=+，故结论成立.．10分。