第2讲 第2章__X射线衍射方向
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第二章 Ｘ射线衍射方向
衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结 果。
衍射波的两个基本特征——衍射线（束）在空间分布的方 位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律（晶体结 构）密切相关。
X射线在晶体上衍射是这样一个过程：
X射线照到晶体上，晶体作为光栅产生衍射花样，衍 射花样反映了光学显微镜所看不到的晶体结构的特征。
自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了“选择反 射”的结果。
设一束平行的X射线（波长）以 角照射到晶体中晶面指 数为（hkl）的各原子面上，各原子面产生反射。
任选两相邻面（A1与A2），反射线光程差 =ML+LN=2dsin ；干涉一致加强的条件为=n，即
2dsin=n
式中：n——任意、布拉格方程的讨论
（1）布拉格方程描述了“选择反射”的规律。产生“选 择反射”的方向是各原子面反射线干涉一致加强的方向， 即满足布拉格方程的方向。
（2）布拉格方程表达了反射线空间方位（）与反射晶面 面间距（d）及入射线方位（）和波长（）的相互关系。
（3）入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面 产生的反射方向上的相干散射线，而被接收记录的样品反 射线实质是各原子面反射方向上散射线干涉一致加强的结 果，即衍射线。
一、布拉格方程的导出
考虑到： ①晶体结构的周期性，可将晶体视为由许多相互平行且晶
面间距（d）相等的原子面组成；
②X射线具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面上；
③光源及记录装置至样品的距离比d数量级大得多，故入
射线与反射线均可视为平行光。
布拉格将X射线的“选择反射”解释为： 入射的平行光照射到晶体中各平行原子面上，各原子面各
正交晶系
衍射的本质是晶体中各原子相干散射波叠加（合成）的结 果。
衍射波的两个基本特征——衍射线（束）在空间分布的方 位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律（晶体结 构）密切相关。
X射线在晶体上衍射是这样一个过程：
X射线照到晶体上，晶体作为光栅产生衍射花样，衍 射花样反映了光学显微镜所看不到的晶体结构的特征。
自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了“选择反 射”的结果。
设一束平行的X射线（波长）以 角照射到晶体中晶面指 数为（hkl）的各原子面上，各原子面产生反射。
任选两相邻面（A1与A2），反射线光程差 =ML+LN=2dsin ；干涉一致加强的条件为=n，即
2dsin=n
式中：n——任意、布拉格方程的讨论
（1）布拉格方程描述了“选择反射”的规律。产生“选 择反射”的方向是各原子面反射线干涉一致加强的方向， 即满足布拉格方程的方向。
（2）布拉格方程表达了反射线空间方位（）与反射晶面 面间距（d）及入射线方位（）和波长（）的相互关系。
（3）入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面 产生的反射方向上的相干散射线，而被接收记录的样品反 射线实质是各原子面反射方向上散射线干涉一致加强的结 果，即衍射线。
一、布拉格方程的导出
考虑到： ①晶体结构的周期性，可将晶体视为由许多相互平行且晶
面间距（d）相等的原子面组成；
②X射线具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面上；
③光源及记录装置至样品的距离比d数量级大得多，故入
射线与反射线均可视为平行光。
布拉格将X射线的“选择反射”解释为： 入射的平行光照射到晶体中各平行原子面上，各原子面各
正交晶系
X射线衍射方向
晶向指数：直线上任一结点为原点，与其最近的结点 坐标加方括号[uvw].
(3) 六方晶系的晶面和晶向指数 三轴和四轴表示法
(4) 面间距 dh*k*l* 与晶面指数间的关系
（h*k*l*）代表一组相互平行的晶面, 任意两个相邻的晶面的面间距都相等,
对正交晶系
900
dh*k*l*
（2） 衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因 sinθ<1，故nλ/2d <1。
为使物理意义更清楚， 现考虑n＝1（即1级反射）的情况， 此时λ/2d<1， 这就是能产生衍射的极限条件。
它说明用波长为λ的x射线照射晶体时，晶体中只有面间 距d>λ/2的晶面才能产生衍射。
转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
三、粉末法
• 单色x-ray照射多晶体或粉末试样的方法。（d变） • 衍射花样采用照相底片记录，称粉末照相法（粉
§2-4 X射线衍射方法
• 利用x-ray在晶体中衍射显示的图像特征分析 晶体结构及与结构有关的问题称为x-ray结构 分析。
• 晶体不是任何情况下都产能生衍射。 • 实验中设法连续地变化λ或θ，满足衍射几何要
求，达到产生衍射线的目的。 • 实际工作中有许多衍射实验方法。
一、劳埃法
• 劳埃法是德国物理学家劳埃在1912年首先提出的，是最早 的X射线分析方法。
图8-9 平面点阵(553)的取向
(3) 六方晶系的晶面和晶向指数 三轴和四轴表示法
(4) 面间距 dh*k*l* 与晶面指数间的关系
（h*k*l*）代表一组相互平行的晶面, 任意两个相邻的晶面的面间距都相等,
对正交晶系
900
dh*k*l*
（2） 衍射的限制条件
由布拉格公式2dsinθ=nλ可知，sinθ=nλ/2d，因 sinθ<1，故nλ/2d <1。
为使物理意义更清楚， 现考虑n＝1（即1级反射）的情况， 此时λ/2d<1， 这就是能产生衍射的极限条件。
它说明用波长为λ的x射线照射晶体时，晶体中只有面间 距d>λ/2的晶面才能产生衍射。
转晶法：(Rotation Method)
• 单色x-ray（K系）照射转动 的单晶体试样的衍射方法。 （θ变）
• 以样品转动轴为轴的圆环形 底片记录衍射花样。
• 此法用于测定试样的晶胞 常数，根据衍射花样能准 确测定晶体的衍射方向和 强度。
三、粉末法
• 单色x-ray照射多晶体或粉末试样的方法。（d变） • 衍射花样采用照相底片记录，称粉末照相法（粉
§2-4 X射线衍射方法
• 利用x-ray在晶体中衍射显示的图像特征分析 晶体结构及与结构有关的问题称为x-ray结构 分析。
• 晶体不是任何情况下都产能生衍射。 • 实验中设法连续地变化λ或θ，满足衍射几何要
求，达到产生衍射线的目的。 • 实际工作中有许多衍射实验方法。
一、劳埃法
• 劳埃法是德国物理学家劳埃在1912年首先提出的，是最早 的X射线分析方法。
图8-9 平面点阵(553)的取向
2X射线衍射方向
布拉格定律的讨论-----干涉面和干涉指数
• 为了使用方便， 常将布拉格公式改写成。
d hkl 2 sin n
• 如令 d HKL
d hkl n
，则
2d HKL sin
• 这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由面间 距为的（HKL）晶面的1级反射，（hkl）与（HKL） 面互相平行。面间距为dHKL的晶面不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反 射面，常将它称为干涉面。
• 光的干涉条件：两束或两束以上的光波， 由同一光源发出,其振动方向相同、频率相 同、位相恒定 • X射线满足上述条件，另作如下假设或近似 • X射线是平行光，且只有单一波长→滤波 • 电子皆集中在原子中心→原子间距»核外电 子间距 • 原子不做热振动→原子间距变化不大
第一节 晶体几何学基础
• 按照有序程度：晶体→准晶→液晶→非晶 （液体、气体） • 原子或原子团在三维空间周期排列构成的 固体称为晶体
第二节 布拉格方程
• 波的干涉：振动方向相同、波长相同的两列波，如果其波 程差为波长的整数倍，叠加后将造成某些固定区域的加强 或减弱。 • 1912年，德国物理学家劳埃指出：X射线照射晶体，若要某 方向上能获得衍射加强，必须同时满足三个劳埃方程，即 在晶体的三个相互垂直的方向上相邻原子散射线的波程差 为波长的整数倍。
一、布拉格定律的导出
• 同一层原子面上散射Ⅹ射线的反射。当Ⅹ射线以角θ入射到原子面并以 角θ散射时，相距为a的两原子散射x射线的光程差为： • δ=AD-BC=ABcosθ- ABcosθ=0 • 说明L1和L2在垂直方向上的光程是相等，所以同一晶面上的原子的散 射线在原子面的镜面反射方向上是可以互相加强的，因此，常将这种 散射称为晶面反射。
2 X射线衍射方向(2)主讲部分
材料学院
教师：孙 继 兵
18
3、反射级数和干涉指数（4）
d′
（a）（l00）晶面的二级反射，邻近两个晶面的波程差ABC为波长的两倍
在（l00）晶面之间本来没有别的晶面，但假想还有一个(200)面的话， 两个邻近的（200）晶面之间的波程差DEF为波长的一倍，恰好构成了 （200）晶面的一级反射，称为200反射
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结 构之间建立起定性和定量的关系。
材料学院
教师：孙 继 兵
6
在1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释，认为光 栅常数(a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生 衍射，衍射花样和光栅常数密切相关。 另一方面，晶体学家和矿物学家们对晶体的研究也有了初步的认识，当时矿 物学家认为晶体是由以原子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列所 构成的空间点阵，各共振体间距大约是10-8～10-7cm。法国晶体学家M. A. Bravais计算出晶体将有十四种点阵类型。 1895年W. C. Rontgen发现X射线，认为X射线是一种波，但还无法证明它。 1919年，法国物理学家M. ue在和青年研究生厄瓦尔德讨论光散射角时 得到启发，想：如果X射线是一种波且具有波动性的话，那么在光栅上可以产 生衍射，而这个光栅常数必须在1～10埃的数量级。这样的光栅用人工的方法 是加工不出来的，但是，如果像晶体学家所推断的，晶体由原子组成，而原 子在空间的排列间距是1-10埃，那么，如果X射线的波长也与此相当的话，晶 体就可以作为X射线衍射的光栅！这一发现使Laue很兴奋，尽管有一些科学家 表示怀疑，但他还是坚持要做这个实验。 Laue用CuSO4-5H2O晶体作试样，经两次实验得到了第一张透射花样照片， ue还推导出了X射线在晶体上衍射的几何规律，提出了著名的Laue 方程。Laue的这一发现在X射线物理学和晶体学上具有划时代的意义，一方面 证实了X射线的波动性，又证明了晶体结构的周期性，奠定了X射线衍射的基 础。 两个英国人，物理学家W.H.Bragg和W.L.Bragg（大学生）看了Laue的报告很 感兴趣，分析了Laue的实验，于同一年推导出了比Laue方程更简捷的衍射公 式－布拉格方程。 教师：孙 继 兵 7 材料学院
教师：孙 继 兵
18
3、反射级数和干涉指数（4）
d′
（a）（l00）晶面的二级反射，邻近两个晶面的波程差ABC为波长的两倍
在（l00）晶面之间本来没有别的晶面，但假想还有一个(200)面的话， 两个邻近的（200）晶面之间的波程差DEF为波长的一倍，恰好构成了 （200）晶面的一级反射，称为200反射
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结 构之间建立起定性和定量的关系。
材料学院
教师：孙 继 兵
6
在1912年之前，物理学家对可见光的衍射现象已经有了确切的解释，认为光 栅常数(a+b)只要与一个点光源发出的光的波长为同一数量级的话就可以产生 衍射，衍射花样和光栅常数密切相关。 另一方面，晶体学家和矿物学家们对晶体的研究也有了初步的认识，当时矿 物学家认为晶体是由以原子或分子为单位的共振体（偶极子）呈周期排列所 构成的空间点阵，各共振体间距大约是10-8～10-7cm。法国晶体学家M. A. Bravais计算出晶体将有十四种点阵类型。 1895年W. C. Rontgen发现X射线，认为X射线是一种波，但还无法证明它。 1919年，法国物理学家M. ue在和青年研究生厄瓦尔德讨论光散射角时 得到启发，想：如果X射线是一种波且具有波动性的话，那么在光栅上可以产 生衍射，而这个光栅常数必须在1～10埃的数量级。这样的光栅用人工的方法 是加工不出来的，但是，如果像晶体学家所推断的，晶体由原子组成，而原 子在空间的排列间距是1-10埃，那么，如果X射线的波长也与此相当的话，晶 体就可以作为X射线衍射的光栅！这一发现使Laue很兴奋，尽管有一些科学家 表示怀疑，但他还是坚持要做这个实验。 Laue用CuSO4-5H2O晶体作试样，经两次实验得到了第一张透射花样照片， ue还推导出了X射线在晶体上衍射的几何规律，提出了著名的Laue 方程。Laue的这一发现在X射线物理学和晶体学上具有划时代的意义，一方面 证实了X射线的波动性，又证明了晶体结构的周期性，奠定了X射线衍射的基 础。 两个英国人，物理学家W.H.Bragg和W.L.Bragg（大学生）看了Laue的报告很 感兴趣，分析了Laue的实验，于同一年推导出了比Laue方程更简捷的衍射公 式－布拉格方程。 教师：孙 继 兵 7 材料学院
第二章X射线衍射方向
第三节 倒易点阵
晶体中的原子在三维空 间周期性排列，这种点 阵称为正点阵或真点阵。
以长度倒数为量纲与正 点阵按一定法则对应的 虚 拟点阵 --- 称倒 易点 阵
定义倒易点阵
定义倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵异名矢量构成的平面
a bc V
b c a V
c a b V
a a
a
立方
a
a a
三方
c
120o aБайду номын сангаас
a
六方
c
a a
四方
c
b a
正交
c
b
a
单斜
c
a
b
三斜
1848年，布拉菲证实了7大晶系中只可能有14种布拉菲点阵
a
a a
Simple
Face-centered CUBIC
Body-centered
c
b
a
Simple
End face-centered
MONOCLINIC
相互作用，反射线在晶体中不被其它原子再散射（这样的 理论被称为运动学理论）。 4、认为光源和记录系统距离晶体无限远，入射线和反射线都 是平行光，也都是单色光。
2.2布拉格公式的推导
1、单一原子平面的散射
当一束平行的X射线以θ角投射到原子平面上时，其 中任意两个原子的散射线在原子平面反射方向的光程差 为：
（1）对晶胞作晶轴X、Y、Z，
以晶胞的边长作为晶轴上的单
位长度；
（2）求出待定晶面在三个晶轴
上的截距(如该晶面与某轴平行，
则截距为∞)，
（3）取这些截距数的倒数，
第2讲 第2章__X射线衍射方向
b(cos cos 0 ) K (K=0,±1,±2…,)
衍射方向应为X、Y圆锥簇交线(此处散射线 方向相同,位相成2倍数)方向.原子面有多个衍射方 向，其中H、K均为零时,衍射方向为原子面的反 射方向.
■ X射线在原子面上的镜面反射
■ 晶体中原子面对X射线的衍射
晶体可看成由平行的原子面组成,晶体的 衍射线看成是各原子面的散射线相互干涉而 成, 结果大部分方向被抵消,一些方向得到加 强成为晶体衍射线.每一衍射方向看成是一 对应晶面的反射方向. 单一原子面的反射方向(上述H、K=0) 光程差为零,各原子散射线相互加强.一组 平行晶面构成晶体的衍射线则是各原子面 的反射线加强的结果.
d hkl d hkl 2 Sin , 令d HKL n n 则有： 2d HKL Sin
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl） 晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级 反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的 反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干 涉面的面指数称为干涉指数。
1,0,1
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
2,1,1 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,0,2 1,0,3 2,2,0 95 100 105 110 3,0,1 3,1,0 115 1201,1,040 Nhomakorabea45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
0,1,1 1,0,1 1,1,0
第二章
X射线衍射方向
◆ 布拉格方程 ◆ X射线衍射方法
§2.2.1布拉格方程的导出
■一维原子列衍射
衍射方向应为X、Y圆锥簇交线(此处散射线 方向相同,位相成2倍数)方向.原子面有多个衍射方 向，其中H、K均为零时,衍射方向为原子面的反 射方向.
■ X射线在原子面上的镜面反射
■ 晶体中原子面对X射线的衍射
晶体可看成由平行的原子面组成,晶体的 衍射线看成是各原子面的散射线相互干涉而 成, 结果大部分方向被抵消,一些方向得到加 强成为晶体衍射线.每一衍射方向看成是一 对应晶面的反射方向. 单一原子面的反射方向(上述H、K=0) 光程差为零,各原子散射线相互加强.一组 平行晶面构成晶体的衍射线则是各原子面 的反射线加强的结果.
d hkl d hkl 2 Sin , 令d HKL n n 则有： 2d HKL Sin
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl） 晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级 反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的 反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干 涉面的面指数称为干涉指数。
1,0,1
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
2,1,1 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,0,2 1,0,3 2,2,0 95 100 105 110 3,0,1 3,1,0 115 1201,1,040 Nhomakorabea45
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第二章
X射线衍射方向
◆ 布拉格方程 ◆ X射线衍射方法
§2.2.1布拉格方程的导出
■一维原子列衍射
材料分析方法教学课件第二章 X射线的衍射方向
第二章 X射线衍射方向
二、晶体几何学基础 （一）晶体与空间点阵（空间格子）
2、空间点阵
空间点阵是一种 表示晶体内部质点 排列规律的几何图 形。它是按晶体中 相同点的排列规律 从晶体结构中抽象 出来的。
第二章 X射线衍射方向
二、晶体几何学基础
（一）晶体与空间点阵
2、空间点阵 空间点阵的要素： A、结点：空间点阵中的 点，它代表晶体结构中的 原子、分子等相同点。 B、行列：结点在直线上的排列，它相当晶体上 的晶棱或晶向。 C、面网：结点在平面上的排列，它相当于晶 体上的晶面。面网之间的间距称为面网间距。
ห้องสมุดไป่ตู้
1/2 1 0 120 [120]
00∞ 00 1
[001]
1/2 -1 0 1 -2 0
[120]
111 111
[111]
1 1/2 0 210
第二章 X射线衍射方向
二、晶体几何学基础 （三）晶面指数和晶向指数
2、晶向指数 晶向指数表示某一晶向（线） 的方向。
晶向指数的确定方法：
A、过坐标原点找一条平行于待定晶向的行列。 B、在该行列中任选一个结点，量出它在三个坐 标轴上的坐标值（用a, b, c度量）。 C、将它们化为简单的整数u, v, w，并用方括号括 起来，便构成晶向指数 [uvw]。
二、晶体几何学基础 （三）晶面指数和晶向指数
为表示晶面和晶向在空间点阵中的 相对位置，人们设计了晶面指数和晶向 指数。较常用的是由英国晶体学家米勒 1839年设计的，故亦称米勒指数。
第二章 X射线衍射方向
二、晶体几何学基础 （三）晶面指数和晶向指数
1、晶面指数 晶面指数确定的方法： A、量出待定晶面在三个晶轴的截
X射线运动学衍射理论讲课文档
为评价一个原子对X射线的散射本领，引入一个参量f，称原子散射因子：
f是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅。也称原子散 射波振幅。它表示一个原子在某一方向上散射波的振幅是一个电子在相同条件下 散射波振幅的f倍。它反映了原子将X射线向某一个方向散射时的散射效率。
第十八页，共43页。
原子散射因子的大小与原子序数、2θ和λ有关。它们之间的 关系用f-sinθ/ λ图来表示。
一半的晶面才能产生衍射。 当入射X射线的波长一定时，利用这个关系，我
们可以判断哪些晶面能产生衍射以及产生衍射晶 面的数目。
能够产生晶体衍射的X射线的波 例 Cu的Kα=0.154178nm
长必须小于参与反射的晶面中最大 晶面间距的2倍。粗略地讲，就是X
d>0.077089nm的晶面都能产生衍射。 X射线的波长越短，能产生衍射的晶面越多。 但波长太小，掠过角就很小，这对仪器测量来
第十三页，共43页。
二、结构因子
(一) 电子对X射线的衍射 相干散射
电子在X射线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射X射线散射波： *振动频率(波长)与原X射线相同 *各个方向的X射线频率相同 被电子散射的X射线强度在不同方向上是不同的。 强度与散射角2θ之间的关系由汤姆逊公式进行描述。
Ie 一个电子散射的X射线的强度 I0 入射X射线的强度 R 电场中任一点P到发生散射电子的距离 2θ 散射线方向与入射X射线方向的夹角 re 是个常数，称经典电子半径
第四页，共43页。
X射线的“反射”与光的镜面反射的区别：
1) 在本质上是晶体中各原子散射波干涉的结果。因此，X射线的衍射线 强度较其入射线的强度要弱得多。而可见光的镜面反射中的入射光与反 射光的强度几乎相同。 2) X射线的反射只在满足布拉格方程的若干个特殊的角度上才能产生反 射，其它角度上则不发生反射。因此，有人将X射线的反射称为选择反 射。而可见光的反射在任意角度上均可发生。 3) 在布拉格方程中掠过角是入射线与晶面的夹角，而可见光的反射定律 中是入射线与法线的夹角。
f是以一个电子散射波的振幅为度量单位的一个原子散射波的振幅。也称原子散 射波振幅。它表示一个原子在某一方向上散射波的振幅是一个电子在相同条件下 散射波振幅的f倍。它反映了原子将X射线向某一个方向散射时的散射效率。
第十八页，共43页。
原子散射因子的大小与原子序数、2θ和λ有关。它们之间的 关系用f-sinθ/ λ图来表示。
一半的晶面才能产生衍射。 当入射X射线的波长一定时，利用这个关系，我
们可以判断哪些晶面能产生衍射以及产生衍射晶 面的数目。
能够产生晶体衍射的X射线的波 例 Cu的Kα=0.154178nm
长必须小于参与反射的晶面中最大 晶面间距的2倍。粗略地讲，就是X
d>0.077089nm的晶面都能产生衍射。 X射线的波长越短，能产生衍射的晶面越多。 但波长太小，掠过角就很小，这对仪器测量来
第十三页，共43页。
二、结构因子
(一) 电子对X射线的衍射 相干散射
电子在X射线电场的作用下产生强迫振动，向四周幅射X射线散射波： *振动频率(波长)与原X射线相同 *各个方向的X射线频率相同 被电子散射的X射线强度在不同方向上是不同的。 强度与散射角2θ之间的关系由汤姆逊公式进行描述。
Ie 一个电子散射的X射线的强度 I0 入射X射线的强度 R 电场中任一点P到发生散射电子的距离 2θ 散射线方向与入射X射线方向的夹角 re 是个常数，称经典电子半径
第四页，共43页。
X射线的“反射”与光的镜面反射的区别：
1) 在本质上是晶体中各原子散射波干涉的结果。因此，X射线的衍射线 强度较其入射线的强度要弱得多。而可见光的镜面反射中的入射光与反 射光的强度几乎相同。 2) X射线的反射只在满足布拉格方程的若干个特殊的角度上才能产生反 射，其它角度上则不发生反射。因此，有人将X射线的反射称为选择反 射。而可见光的反射在任意角度上均可发生。 3) 在布拉格方程中掠过角是入射线与晶面的夹角，而可见光的反射定律 中是入射线与法线的夹角。
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2、周转晶体法
用单色（标识）X射线照射转动晶体，相当倒易点在
运动，使反射球永远有机会与某些倒易结点相交。 该法称为转动晶体法。
通常选择晶体某一已知点阵直线为旋转轴，通过层线
可计算该方向上的点阵周期，测定多个方向上点阵周 期之后就可确定晶体的结构。 旋转晶体法主要用于研究晶体结构，是晶体学家研究 晶体结构的主要手段。
(d) 体心正交: a= 0.286nm, b=0.300nm, c=0.320nm
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35
1,1,1 (43.51,100.0)
e) 面心立方：gFe a=b=c=0.360nm
(
2,0,0 (50.67,44.6) 2,2,0 (74.49,21.4) 3,1,1 (90.41,22.7) 2,2,2 (95.67,6.6) 80 85 90 95 100 105 110 4,0,0 (117.71,3.8) 115 120
b(cos cos 0 ) K (K=0,±1,±2…,)
衍射方向应为X、Y圆锥簇交线(此处散射线 方向相同,位相成2倍数)方向.原子面有多个衍射方 向，其中H、K均为零时,衍射方向为原子面的反 射方向.
■ X射线在原子面上的镜面反射
■ 晶体中原子面对X射线的衍射
晶体可看成由平行的原子面组成,晶体的 衍射线看成是各原子面的散射线相互干涉而 成, 结果大部分方向被抵消,一些方向得到加 强成为晶体衍射线.每一衍射方向看成是一 对应晶面的反射方向. 单一原子面的反射方向(上述H、K=0) 光程差为零,各原子散射线相互加强.一组 平行晶面构成晶体的衍射线则是各原子面 的反射线加强的结果.
40
45
50
55
60
65
70
75
§2-3 X射线衍射方法
劳埃照相法 周转晶体法 粉末法
1、劳埃法（劳厄法）
用多色（连续）X射线照射固定不动的单晶体。
围（从λ0到λm），因此就 有一系列与之相对应的衍射角，当入射线和单晶体中 某一镜面间的夹角正好等于此衍射角时就会发生衍射现 象
连续X射线有一定的波长范
◆选择反射
X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各 原子散射波之间的干涉结果。只是由于衍射线 的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，所 以借用镜面反射规律来描述衍射几何。 X射线的原子面反射和可见光的镜面反射不 同： 一束可见光以任意角度投射到镜面上都可以产 生反射， 原子面对X射线的反射并不是任意的，只有当、 、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射， 所以把X射线这种反射称为选择反射。
◆产生衍射的极限条件
根据布拉格方程，Sin 不能大于1， 因此：n Sin 1，即 n 2d 2d 对衍射而言， n的最小值（为1），对 应的最大值，也就是说，能够被晶体衍 射的电磁波的波长必须小于参加反射的 晶面中最大面间距的二倍。
◆干涉面和干涉指数
我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到 简化的布拉格方程：
◆衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况 下，衍射线的方向是晶面间距d的函数。如果将各 晶系的d值代入布拉格方程，可得：
立方晶系：
Sin2
2
2
2
4a 2
( H 2 K 2 L2）
2 2 2
正方晶系：
斜方晶系：
L Sin ( 2） 2 4 a 2 c2 2 2 H K L 2 Sin ( 2 2 2 ） 4 a b c
第二章
X射线衍射方向
◆ 布拉格方程 ◆ X射线衍射方法
§2.2.1布拉格方程的导出
■一维原子列衍射
一束平行且入射方向与原子 列成 0 的x射线照射单排原 子列 , 能够获得加强散射线 的方向满足劳埃一维方程
a(cos cos 0 ) H
(H=0,±1,±2…,).
H cos 0 , 可知H只能取有限值,即 由 cos a
H K
由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构 中晶胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞 中原子的品种和位置。
Intensity (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 Intensity (%)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 0,0,2 0,2,0 2,0,0 1,1,2 1,2,1 2,1,1 0,2,2 2,0,2 2,2,0 0,1,3 1,0,3 0,3,1 1,3,0 3,0,1 3,1,0 120
1,0,1
(c) 体心四方 a=b=0.286nm,c=0.320nm
2,1,1 0,0,2 2,0,0 1,1,2 2,0,2 1,0,3 2,2,0 95 100 105 110 3,0,1 3,1,0 115 120
1,1,0
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
0,1,1 1,0,1 1,1,0
衍射方向为有限几个方向,每个方向形成一圆锥, 这样单排原子的衍射线是同轴圆锥簇
■ 二维原子面衍射
一束平行且入射方向与X轴方向成 0 、Y轴方向 成 0 角，照射一原子面, 能够获得加强散射线 的方向满足劳埃二维方程:
a(cos cos 0 ) H (H=0,±1,±2…,)
3、粉末法
用单色（标识）X射线照射
多晶体试样。 多晶体中，由于各晶粒的取 向是杂乱分布的，因此固定 不动的多晶体就其晶粒的位 向关系而言，相当于晶体转 动的情况。 该法称为多晶体衍射法，这 也是目前最常用的一种方法。
该法称为多晶体衍射法，这
也是目前最常用的一种方法。 粉末法主要用于测定晶体结 构，进行物相定性、定量分 析，精确测定晶体的点阵参 数以及材料的应力、织构、 晶粒大小的测定等等。
d hkl d hkl 2 Sin , 令d HKL n n 则有： 2d HKL Sin
把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl） 晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级 反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中 的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的 反射面，我们把这样的反射面称为干涉面格方程的导出：
2dSin n
根据图示，干涉加强的条 件是：
线反 射 面 法
式中：n为整数，称为反射级数； 为入射线或反射线与反 射面的夹角，称为掠射角，由 于它等于入射线与衍射线夹角 的一半，故又称为半衍射角， 把2 称为衍射角。
§2.2.2 布拉格方程的讨论
选择反射 产生衍射的极限条件 干涉面和干涉指数 衍射花样和晶体结构 的关系