2011届高考数学平面的基本性质复习题
高中数学必修二1.2.1__平面的基本性质练习题
1.2.1 平面的基本性质一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．1解析由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M∈b⊂β3．1,2或34．③解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
高中数学必修二1.2.1__平面的基本性质练习题
1.2.1 平面的基本性质一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为________．2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN；③A∈α，A∈β?α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a?α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a?α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．1解析由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．2．M∈b?β3．1,2或34．③解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．5．③6．1或4解析四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连结SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1?β，l2?β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1?β，P∈l2?γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F?平面ADD1A1，P∈CE?平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
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平面的基本性质练习题一、选择题：1．若点 N在直线 a 上，直线 a 又在平面内，则点 N，直线 a 与平面之间的关系可记作（）Ａ、 N a Ｂ、 N a Ｃ、 N a Ｄ、 N a2. Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点， a, 表示不同的直线， , 表示不同的平面，下列推理错误的是（）Ａ .A , A ; B , BＢ . A , A ; B , B =ABＣ . , A AＤ .A,B,C ,A,B,C 且 A，B， C 不共线与重合3. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）Ａ . ０Ｂ. １Ｃ. １或４Ｄ . 无法确定4. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A. 4 或6或 7个部分B. 4 或 6或 7或8个部分C.4 或 7或 8个部分D. 6 或 7或 8个部分5．下列说法正确的是 ( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内 , 则这条直线在这个平面内; ③若线段 AB , 则线段 AB延长线上的任何一点一点必在平面内 ; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内 .A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③6．如果 a , b , a A, b B, 那么下列关系成立的是( )A. B. C. A D. B7．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为( )A.7 个B.6 个C. 5 个D.4 个8．两个平面重合的条件是它们的公共部分有( )A. 两个公共点B. 三个公共点C. 四个公共点D. 两条平行直线9．空间四边形 ABCD 各边 AB 、BC 、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF GH=P ，则点 P（）A. 一定在直线 BD 上B. 一定在直线 AC 上C. 在直线 AC或BD上D. 不在直线 AC 上也不在直线BD 上10．如图，在正方体 ABCD-A 1 B1C1D 1中，直线 EF 是平面 ACD 1与下面哪个平面的交线（）A．面 BDB1 B. 面 BDC1C. 面ACB1D. 面 ACC1二、填空题：11．设平面与平面交于直线, 直线a , 直线b , a b M , 则 M_______ .12．三条直线直线两两相交, 过其中两条直线作一个平面, 共可以作 __________个平面 .13.如图 ,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1C1 D1中，M 、N 分别为 AA 1、C1D1的中点，过 D 、M 、 N 三点的平面与直线 A 1B1交于点 P，则线段PB1的长为_______________.14.个平面把空间分成 6 个部分时，它们的交线有条．三、解答题：( 写出解答过程，规范表达)15. 已知A l ， B l ， C l ， D l ，求证：直线AD ， BD ， CD 共面．DA B C l16．如图， E、 F、 G、 H 分别是空间四边形AB、BC、 CD、 DA上的点，且EH与 FG交于点 O. 求证： B、 D、 O三点共线 .AEHDOB GFC17. O1是正方体ABCD ABC D A1 B1 C1 D1的中心，M是对角线A C和截面1 1 1 1的上底面 1B1D1 A 的交点．求证：O1, M , A 三点共线．D1 C1O 1A 1B 1MD CA B。
高考数学总复习 课时作业13 平面的基本性质 文 新人教B版
课时作业(十三) 平面的基本性质A 级1．(2011·浙江卷)若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则( ) A ．α内的所有直线与l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交2．若异面直线a ，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝l ，则直线l ( ) A ．与直线a ，b 都相交 B ．至少与a ，b 中的一条相交 C ．至多与a ，b 中的一条相交 D ．与a ，b 中的一条相交，另一条平行3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直4．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面垂合． A ．0 B ．1 C ．2D ．35．下列命题中不正确的是( )A ．若a ⊂α，b ⊂α，l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，则l ⊂α B ．若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αD ．若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外6．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC＋BD )；②MN ＞12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN ＜12(AC ＋BD )．其中正确的是________．7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b8．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(把符合要求的命题序号都填上)9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．10.如图是一正方体ABCD－A1B1C1D1，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG.求证：直线FG⊂平面ABCD，且直线FG∥直线A1B1.B 级1．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面2．(2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．3．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)①求证AE与PB是异面直线；②求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(2)求三棱锥A－EBC的体积．答案：课时作业(十三)A 级1．B 由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的．2．B 若a∥l，b∥l，则a∥b，故a，b中至少有一条与l相交，故选B.3．A 直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．C 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确． 5．D ∵l ∩a ＝A ，l ∩b ＝B ，∴A ∈l ，A ∈a ，B ∈l ，B ∈b . 又∵a ⊂α，b ⊂α，∴A ∈α，B ∈α， ∴l ⊂α，故选项A 正确；由公理4及线面平行的判定定理可知选项B 、C 均正确．若直线上有两点在已知平面外，则该直线平行此平面或与此平面相交，故选项D 不正确．6.解析： 如图，取BC 的中点O ， 连接MO ，NO ， 则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN ＜OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确． 答案： ④7．解析： 当a ∩α＝P 时，P ∈a ，P ∈α，但a ⊄α， ∴①错；a ∩β＝P 时，②错；如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P ∉a ，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面γ，但γ经过直线a 与点P ，∴γ与α重合，∴b ⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案： ③④8．解析： 对于①可举反例，如AB ∥CD ，A ，B ，C ，D 没有三点共线，但A ，B ，C ，D 共面．对于②由异面直线定义知正确，故填②.答案： ②9．解析： 直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案： ③④10．解析： (1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体， 知AA 1C 1C 为平行四边形， 所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角． 由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°， 即A 1C 1与B 1C 所成角的大小为60°. (2)如(1)中图，连接BD ，∵AC ∥A 1C 1， ∴AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角． ∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥BD .又∵AC ⊥BD ，∴EF ⊥AC ，即所求角的大小为90°. 11．证明： 已知E 是CD 的中点，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有A ∈平面ABCD ，E ∈平面ABCD ，所以AE ⊂平面ABCD .又因为AE ∩BC ＝F ，所以F ∈AE . 从而F ∈平面ABCD .同理G ∈平面ABCD ，所以FG ⊂平面ABCD . 因为EC 綊12AB ，故在Rt △FBA 中，CF ＝BC ，同理DG ＝AD .又在正方形ABCD 中，BC 綊AD ，所以CF 綊DG . 所以四边形CFGD 是平行四边形．所以FG ∥CD . 又CD ∥AB ，AB ∥A 1B 1，所以直线FG ∥直线A 1B 1.B 级1．A 连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1， ∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上， 同理O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．2.解析： 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.答案： 353．解析： (1)①证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α， ∵A ∈α，B ∈α，E ∈α，∴平面α即为平面ABE ，∴P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． ②取BC 的中点F ，连接EF ，AF ， 则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角． ∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2； cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.(2)因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距离为12PA ＝1，V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×32×1＝33.。
高中数学平面的基本性质与推论检测考试题(附答案)
高中数学平面的基本性质与推论检测考试题（附答案）高中数学平面的基本性质与推论检测考试题（附答案）1.2.1 平面的基本性质与推论优化训练1．下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若Al，Bl，且A，B，则必有l；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中，正确的命题个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①中应为l；②中空间四边形对角线异面；③中平面没有界线．2．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线 B．一点和一直线C．一个三角形 D．三个点答案：C3．点M在直线a上，直线a在平面内，可记为()A．M B．MC．Ma D．M答案：B4．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面的个数是________．答案：1个或3个5．假设一块木板斜立在地面上，当用一根木棒在后面撑住时，能使板面固定，这个道理是________．答案：过直线和直线外一点有且只有一个平面1．如图，平面平面＝l，A，B，ABl＝D，C，且Cl，则平面ABC与平面的交线是()A．直线ACB．直线BCC．直线ABD．直线CD解析：选D.由题意知平面ABC与平面有公共点C，根据基本性质3，这两平面必定相交，有且只有一条经过点C的交线．由于两点确定一条直线，所以只要再找到两平面的另一个公共点即可．显然点D在直线AB上，从而它在平面ABC 内；而D在直线l上，所以它又在平面内，这样D也是平面ABC与平面的公共点．因此平面ABC与平面的交线是直线CD. 2．如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱共有()A．3条B．4条C．5条D．6条解析：选B.依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱．∵AA1在面A1ABB1内，B1在面A1ABB1内，C1不在面A1ABB1内，C1B1是与AA1异面的棱．同理，BC，CD，C1D1都是与AA1异面的棱，故正确答案为B.3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()解析：选C.选项A、B中RS与PQ平行；选项D中RS与PQ 的延长线相交，选项C中的PQ与下底面平行，它与下底面中的RS不平行，不相交．4．空间三条不重合的直线a、b、c能确定的平面的个数是()A．0,1或2 B．0,2或3C．1,2或3 D．0,1,2或3解析：选D.若a、b、c两两异面，不能确定平面，为0个；若三线共面，为1个；若其中两条是异面直线，第3条与它们都相交，确定2个平面；若两两平行不共面，或三线交于一点且不共面，则确定3个平面．5．下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是()A．②③④ B．②③C．①②③ D．①③解析：选B.四棱柱中每个面都有四个点，但这四个点中没有三点是共线的，所以①错；对于④，三点不共线但四点可以共面．6．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A．5部分 B．6部分C．7部分 D．8部分解析：选C.作出这三个平面的截面，如图所示，把空间分为7部分，本题考查了学生的空间想象能力．顺利作出截面是解决本题的关键，其中l1，l2，l3是截线．7．已知点A，直线a，平面.①Aa，aA；②Aa，aA；③Aa，a.以上命题正确的个数为________．解析：①中“a”符号不对；②中A可以在内，也可以在外，故不正确；③中“A”符号不对．答案：08．空间2条直线，最多确定1个平面，空间3条直线最多确定3个平面，空间4条直线最多确定________个平面……空间n条直线，最多确定________个平面．解析：2条直线最多确定1＝212个平面；3条最多确定3＝322个；4条最多确定432＝6个；…；猜想n条最多确定nn －12个平面．答案：6 nn－129．如图是正方体或正四面体，其中P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．解析：题图①，③中的PS∥QR，所以P，Q，R，S共面，而题图②，④中的PS与QR是异面直线，所以这四个点不共面．答案：①③10．用符号表示下列语句，并画出图形．(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；(2)直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；(3)平面与平面相交于过点A的直线l.解：(1)符号：Al，Bl，如图①所示．(2)符号：l，m＝M，如图②所示．(3)符号：＝l，Al，如图③所示．11. 如图所示，已知直线a与b不共面，直线ca＝M，直线bc＝N.又a平面＝A，b平面＝B，c平面＝C，求证A，B，C 三点不共线．证明：假设A，B，C三点共线，设都在直线l上．∵A，B，C，l，cl＝C，c与l可确定一个平面.∵ca＝M，M.又A，a，同理可证b.直线a，b共面，这与已知a与b不共面矛盾，A，B，C三点不共线．12．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．已知：ABAC＝A，ABBC＝B，ACBC＝C.求证：直线AB、BC、AC 共面．证明：法一：∵ACAB＝A，直线AB、AC确定一个平面.∵BAB，CAC，B，C.故BC.因此直线AB、BC、CA都在平面内，AB、BC、AC共面．法二：∵A、B、C三点不在一条直线上，过A、B、C三点可以确定平面.∵A，B，AB，同理，BC，AC，AB、BC、AC共面．。
2011高考数学真题考点分类新编考点33直线、平面垂直的判定及其性质(新课标地区)
考点33直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1.（2011·辽宁高考理科·Ｔ8）如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确Array．．．的是(A) AC⊥SB(B) AB∥平面SCD(C) SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角(D)AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【思路点拨】先逐项分析，再判断结论．【精讲精析】选D.2.（2011·浙江高考理科·Ｔ4）下列命题中错误的是（A）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β（B）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【思路点拨】本题考查空间线面的垂直关系.【精讲精析】选D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其它与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D 项叙述是错误的． 二、解答题3.（2011·江苏高考·Ｔ16）如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB =AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD【思路点拨】本题证明的线面平行和面面垂直，解决的关键是根据线面平行和面面垂直的判定定理寻找需要的条件，注意要把所需的条件摆充分. 【精讲精析】(1) 在PAD ∆中，因为F E ,分别是AD AP ,的中点，所以//EF PD ，又因为⊄EF 平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,所以直线//EF 平面PCD .(2)连结BD.因为AD AB =， 60=∠BAD ，所以ABD ∆为等边三角形.因为F 分别是AD 的中点，所以AD BF ⊥.因为平面⊥PAD 平面ABCD ，ABCD BF 平面⊂,又因为AD ABCD PAD =⋂平面平面,所以PAD BF 平面⊥.又因为BEF BF 平面⊂，所以平面⊥BEF 平面PAD.4.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ18）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为平行四边形.60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD . （I ）证明：PA BD ⊥（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高. 【思路点拨】第(1)问,通过证明BD ⊥平面PAD PA BD ⇒⊥,证明BD AD ⊥时,可利用勾股定理222BD AD AB +=，第（2）问，在Rt ∆PDB 中，可证PB 边上的高即为三棱锥D PBC -的高，其长度利用等面积法可求.【精讲精析】（Ⅰ ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=, 由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD. 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD. 所以BD ⊥平面PAD. 故PA ⊥BD（Ⅱ）过D 作DE⊥PB 于E ，由（I ）知BC⊥BD,又PD⊥底面ABCD ，所以BC ⊥平面PBD ，而DE ⊂平面PBD ，故DE⊥BC,所以DE⊥平面PBC 由题设知PD=1，则BD=3,PB=2，由DE ﹒PB=PD ﹒BD 得DE=23, 即棱锥D PBC -的高为23. 5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（II ）求棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值．【思路点拨】（I ）⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⇒==⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥QD PQ PD PQ DQ DC PQ AD DC ABCD PDAQ 22由已知可得面由已知可证面 DCQ PQ 面⊥⇒；（II ）设出正方形的边长为a ，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值．【精讲精析】（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ， 所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ．又四边形ABCD 为正方形，DC⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得DC PQ ⊥．在直角梯形PDAQ 中可得==PQ DQ PD 22，则QD PQ ⊥． 所以DCQ PQ 平面⊥． ……6分 （II ）设a AB =．由题设知AQ 为棱锥ABCD Q -的高，所以棱锥ABCD Q -的体积3131a V =． 由（I ）知PQ 为棱锥DCQ P -的高，而PQ =a 2，DCQ ∆的面积为222a ， 所以棱锥DCQ P -的体积3231a V =．故棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值为1． ……12分 6.（2011·广东高考文科·Ｔ18）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A ，//A ′，B ，B ′分别为CD ,''CD ,DE ,''D E 的中点，''112,2,,O O O O 分别为,'',,''CD C D DE D E 的中点.（1）证明：''12,,,O A O B 四点共面；（2）设G 为A A ′中点，延长''1AO 到H ′，使得''''11O H AO =. 证明：⊥'2BO 平面G B H ''【思路点拨】(1)证明B O A O 21//''，从而它们确定一个平面，这个四点同在此平面内. (2)作辅助线如图，证G H BO '⊥'2，B H BO ''⊥'2从而得结论. 【精讲精析】【证明】证明：（1）,,A A CD C D '''分别为中点，11//O A O A ''∴连接BO 2直线BO 2是由直线AO 1平移得到 12//AO BO ∴12//O A BO ''∴ 12,,,O A O B ''∴共面.（2）将AO 1延长至H 使得O 1H=O 1A ，连接1,,HO HB H H ''∴由平移性质得12O O ''与HB 平行且相等 21//BO HO ''∴11,,2A G H O H H A H O H H GA H π''''''''''==∠=∠=1GA H O H H ''''∴∆≅∆12H O H GH A π'''∴∠+=1O H H G ''∴⊥ 2BO H G ''∴⊥12212222222,,O O B O O O O O B O O O O '''''''''''⊥⊥⋂=1222O O B BO O ''''∴⊥平面122O O BO '''∴⊥ 2BO H B '''∴⊥H B H G H ''''⋂=2.BO H B G '''∴⊥平面即求二面角P AD B --的余弦值为721-.7.（2011·广东高考理科·Ｔ18）如图5，在锥体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的菱形，且60∠=DAB ，PA PD =2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点.（1） 证明：AD DEF ⊥平面 （2）求二面角P AD B --的余弦值.【思路点拨】（1）证明AD ⊥EF ， AD ⊥DE ，从而证得AD DEF ⊥平面；（2）取AD 的中点G ，连结PG 、BG.，证∠PGB 是所求二面角的平面角，在∆PGB 中由余弦定理可求得所求二面角的余弦.【精讲精析】（1）证明：取AD 的中点G ，连结PG 、BG.PA=PD ，∴AD ⊥PG.在∆ABG 中， ∠GAB=060,AG=21，AB=1, ∴∠AGB=090,即AD ⊥GB. 又PG GB=G ，∴AD ⊥平面PGB ，从而AD ⊥PB.,E F 分别是,BC PC 的中点，∴EF//PB ，从而AD ⊥EF.又DE//GB ，AD ⊥GB ，∴AD ⊥DE,DE EF=E, ∴AD DEF ⊥平面.（2）由（1）知∠PGB 是所求二面角的平面角.在∆PGB 中，PG 2=7)1()2(22=-,BG=1⨯sin600=23,PB=2.由余弦定理得cos ∠PGB=BGPG PB BG PG ⋅-+2222=7212327244347-=⨯⨯-+,8.（2011·山东高考文科·Ｔ19）（本小题满分12分）如图，在四棱台1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=∠60°（Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面.【思路点拨】（I ）本题考查线面垂直的判定定理，以及空间位置关系的转化思想，要证1AA BD ⊥，可先证BD ⊥平面11ADD A ,只需证1D D ⊥BD ，BD ⊥AD 由1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD ，设AD=a ，则AB=2a 由余弦定理得：2222(2)22cos603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以，在由勾股定理的逆定理判断BD⊥AD.原命题得证.（II ）本小题考查线面平行的判定，只需在平面A 1BD 内找一条直线和CC 1平行即可，因此可连结AC, A 1C 1,设AC BD E =，连结EA 1 ，只要证CC 1∥EA 1即可. 【精讲精析】（Ⅰ）证明：因为AB=2AD ，所以设AD=a,则AB=2a,又因为BAD=∠60°, 所以在ABD ∆中, 由余弦定理得：2222(2)22cos603BD a a a a a =+-⨯⨯=,所以,所以222AD BD AB +=,故BD ⊥AD, 又因为1D D ⊥平面ABCD ，所以1D D ⊥BD, 又因为1AD D D D ⋂=, 所以BD ⊥平面11ADD A , 故1AA BD ⊥.(II)连结AC, A 1C 1,设AC BD E =， 连结EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以12EC AC =由棱台定义及AB=2AD=2A 1B 1知CC 1∥EA 1， 又因为EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ， 所以11CC A BD ∥平面.9.（2011·北京高考文科·T17）（14分）如图，在四面体PABCD 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点D,E,F,,G 分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点. （Ⅰ）求证：DE//平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四边形PABCD 六条棱的中点的距离相等？说明理由.【思路点拨】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理进行证明；（Ⅱ）先证DEFG 为平行四边形，再证明相邻两边垂直；（Ⅲ）假设存在，再证明. 【精讲精析】（Ⅰ）因为D,E 分别为AP,AC 的中点， 所以DE//PC.又因为DE ⊄平面BCP ，所以DE//平面BCP. (Ⅱ)因为D,E,F,G 分别为AP,AC,BC,PB 的中点， 所以DE//PC//FG , DG//AB//EF ， 所以四边形DEFG 为平行四边形. 又因为PC AB ⊥,所以DE DG ⊥. 所以四边形DEFG 为矩形.（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下：连接DF,EG ，设Q 为EG 的中点，由（Ⅱ）知，DF EG Q =，且12QD QE QF QG EG ====，分别取PC,AB 的中点M,N ，连接ME,EN,NG,MG,MN.与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线交点为EG 的中点Q ，且12QM QN EG ==，所以Q 为满足条件的点. 10．（2011·湖南高考文科T19）（本小题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知PO=2，⊙O 的直径AB=2，点C 在AB 上，且,30 =∠CAB D 为AC 的中点.AECFBG PDMQN AECFBGP D（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ；（Ⅱ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【思路点拨】本题主要考查了空间位置关系，考查空间观念和空间想象能力.首先考查空间垂直的证明，考查线面垂直，转到线线垂直，考查线面垂直的判断定理.再考查线面角的求法，求线面角要扣住定义法.另外解决立体几何的方法有两种：一是几何法，主要考查思维能力.二是向量法，主要考查向量的运用，而向量法又有两种，一是坐标法，二是基底法. 【精讲精析】（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD. 又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥底面底面所以PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以;AC POD ⊥平面（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是OC PAC 在平面上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC所成的角．在1,3Rt POD OH ===中在,sin OH Rt OHC OCH OC ∠==中 11.（2011·陕西高考文科·T16）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC=90°.（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（Ⅱ）若BD=1，求三棱锥D —ABC 的表面积.【思路点拨】（Ⅰ）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（Ⅱ）充分利用垂直所得的直角三角形，根据直角三角形的面积公式计算．【精讲精析】（Ⅰ）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴ 当ΔABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ⋂DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ，又∵AD 平面BDC.∴平面ABD ⊥平面BDC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA DB ⊥,DB DC ⊥,DC DA ⊥,DB=DA=DC=1，∠ABC= ∴111122DAB DBC DCA S S S ∆∆∆===⨯⨯=，1sin 602ABC S =︒= ∴三棱锥D—ＡＢＣ的表面积是132S =⨯+= 12.（2011·天津高考文科·Ｔ17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，045ADC ?，1AD AC ==，O 为AC 中点，PO ^平面ABCD ， 2PO =，M 为PD 中点．（Ⅰ）证明：PB //平面ACM ；（Ⅱ）证明：AD ^平面PAC ；（Ⅲ）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．【思路点拨】(1)证明 MO//PB;(2)证明AD 垂直于平面PAC 内的两条相交直线PO 、AC ；(3)取OD 的中点N ，证明MAN Ð即为所求的线面角，【精讲精析】（Ⅰ）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB//MO.因为PB Ë平面ACM ，MO ⊂平面ACM ，所以PB//平面ACM.（Ⅱ）证明：因为45ADC ??，且AD=AC=1，所以90DAC ??，即AD AC ^，又PO ^平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以,PO AD AC PO O ^?而，所以AD ^平面PAC.（Ⅲ）取DO 中点N ，连接MN ，AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN//PO ，且11,2MN PO PO ==^由平面ABCD ，得MN ^平面ABCD ，所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt DAO ∆中，12AN DO =从而12AN DO =在,tan 5MN Rt ANM MAN AN D ?=中，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为513. （2011·浙江高考文科·Ｔ20）（本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O落在线段AD 上.（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =.求二面角B AP C --的大小.【思路点拨】（1）小题只需把线线垂直转化为线面垂直问题；（2）利用二面角平面角的定义做出其平面角并在三角形中即可求解，本题主要考查点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间想象能力与运算求解能力.【精讲精析】（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD故BC⊥PA.即二面角B-AP-C 的大小为900．（Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内作BM ⊥PA 于M,连CM. 因为BC ⊥PA.，得AP ⊥平面BMC.所以AP ⊥CM.故∠BMC 为二面角B-AP-C 的平面角.在Rt △ADB 中，AB 2=AD 2+BD 2=41，得在Rt △POD 中, PD 2=PO 2+OD 2,在Rt △PDB 中, PB 2=PD 2+BD 2,所以PB 2=PO 2+OD 2+BD 2=36，得PB=6.在Rt △PO Ａ中, PA 2=AO 2+OP 2=25,得PA=5 又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅从而sin BPA ∠=所以sin BM PB BPA =∠=同理CM =因为BM 2+MC 2=BC 2所以BPA ∠=900高$考∽试╓题⌒库。
苏教版数学高一必修2试题 平面的基本性质 (3)
1.2.1 平面的基本性质一、填空题1．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为________．【解析】∵α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈m，P∈n，P∈α，P∈β，∴P∈l.【答案】P∈l2．经过空间任意三点可以作________个平面．【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数个平面．【答案】一个或无数3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是__________．①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A；④A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合．【解析】图1－2－8∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β，由公理知α∩β为经过A的一条直线而不是一个点A，故③错误．【答案】③4．看图填空：(1)AC∩BD＝________；(2)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1＝________；(3)平面A1C1CA∩平面ABCD＝________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；(5)平面A1B1C1D1∩平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.【答案】(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B15．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形；④三个点【解析】①不正确，由于两条直线的位置关系不明确，故无法判断其能否确定一个平面；②不正确，只有当点在直线外时才满足题意；③正确，由公理3可知其正确；④不正确，只有在三点不共线时，才合题意．【答案】③图1－2－96．如图1－2－9所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是________．①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1四点共面；③A、O、C、M四点共面；④B、B1、O、M四点共面．【解析】因为A、M、O三点既在平面AB1D1内，又在平面AA1C内，故A、M、O 三点共线，从而易知①②③均正确．【答案】④7．如图所示的正方体中，P、Q、M、N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________．(把正确图形的序号都填上)图1－2－10【解析】图形①中，连结MN，PQ，则由正方体的性质得MN∥PQ.根据推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确，分析可知图形②④中这四点均不共面．③中4点恰是正六边形的4点，故③正确．【答案】①③8．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条．【解析】如图所示，利用投影的观点，把平面视作三条线，则它们的交线有3条．【答案】 3二、解答题9．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2，又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.故直线l1，l2，l3在同一平面内．10．如图1－2－11，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面ABCD的交线．图1－2－11【解】依据公理2，应找出平面D′EF和平面ABCD的两个公共点．延长D′E交DA 的延长线于点M，延长D′F交DC的延长线于点N，则M、N就是平面D′EF与平面ABCD 的两个公共点，直线MN就是两个平面的交线．图1－2－1211．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图1－2－12.(1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．【解】(1)由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．(2)由于AA1∥CC1，所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．P∈BD，而BD⊂α，故P∈α.又P∈AC，而AC⊂β，所以P∈β，所以P∈α∩β，同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.又因为A1C⊂β，所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点，连结A1C，则A1C与PQ的交点R 就是所求的交点.。
平面与性质复习练习题
例1.(线共面问题)直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证： 这四条直线共面。
分析：先确定一平面，然 后再证明其它直线也在此 平面上。
a1 A a2
B
αP
a3 C
例2.(点共线问题)已知ΔABC在平面α外，AB、AC、
BC的延长线分别与平面α并于点M、N、P三点，求证：
空．
(1)A1 ___∈____, B1 ___∈____ (2)B1 ___∈____ , C1 ___∈____
(3)A1 ___∈____ , D1 _______
(4) ___∩____ A1B1
___∩____ BB1
(5)A1B1 ________, BB1 ________ A1B1 ________
则 α 与 β 重 合 。 （√） （ 5） 两 两 相 交 的 三 条直 线 不 共 面 。（×）
3、课本P48 练习题
4、典型问题基本解法： （提高题）
• ①线共面问题 • 证明思路一：先确定一平面，然后证余下元素都在这
个平面内； • 证明思路二：先确定几个平面，然后证这些平面重合； • ②点共线问题 • 证明思路：证这些点是两相交平面的公共点； • ③线共点问题 • 证明思路：先由两直线确定一交点，然后证其余直线
M、N、P三点共线。
A
分析：点M、N、P三点是
B C
两平面的公共点。
αM
N
P
例3、P58 B3
2、平面的基本性质一览表：
公理
内容
作用
公理1
一直线上有两个点在一个平面内， 则这直线上所有点都在这个平面内。
判断或证明直线 在平面内
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平面的基本性质
选题：王梅
班级 姓名 学号
一、填空题
1. 一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是__________.
2. 若空间三个平面两两相交,则它们的交线条数是________.
3. 下列说法正确的是___________.
①若空间四点不共面，则其中无三点共线; ②若直线a,b,c 中，a 与b 共面且b 与c 共面，则a 与c 共面; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点必在平面α内; ④两两相交的三条直线确定一个平面.
4. 已知a,b,c 是空间三条直线，若a ∥b,a 与c 相交,则b 与c 必______.(填
平行或不平行)
5. 不重合的三条直线，若相交于一点，可以确定_________平面；若相交于两
点可确定__________平面；若相交于三点可确定_________平面；不重合的四条直线，若相交于一 点，可以确定_________平面。
6. 空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果
EF ⋂GH=P ，则点P 一定在直线________上.
7. 两条相交直线l,m 都在平面α内且都不在平面β内，命题甲：l 和m 中至
少有一条与β相交，命题乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的____ ____条件.
*8.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，那么，正方
体过P 、Q 、R 的截面图形是 .
二、解答题
9. 如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB
的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K ，求证：M 、N 、K 三点共线．
10.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， 求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）CE 、D 1F 、DA 三线共点
11.已知: 直线c b a ////, 且直线 与a, b, c 都相交． 求证: 直线 ,,,c b a 共面．
B
P K
N C A D
M
Q R。