显然, 按定义计算定积分非常困难,
数学分析(下)9-2牛顿莱布尼茨公式
§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难,
须寻找新的途径计算定积分.在本节中,介绍牛顿－莱布尼茨公式,从而建立了定积分与不定积分之间的联系,大大简化了定积分的计算.
返回
若质点以速度v =v (t ) 作变速直线运动,由定积分()d ()().
b
a s v t t s
b s a ==-ò注意到路程函数s (t ) 是速度函数v (t ) 的原函数, ()d b
a s v t t =ò定义,质点从时该a 到
b 所经过的路程为.另一方面, 质点从某时刻a 到时刻b 所经过的路()(),s t v t ¢=于是
程记为s (b )-s (a ), 则因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下面的牛顿—莱布尼茨公式.
证因 f 在[a , b ] 上一致连续, 则0,0,e d ">$>,[,],||,
x x a b x x d ¢¢¢¢¢¢Î-<当时.
|)()(|e <¢¢-¢x f x f 任取又F 在1[,],1,2,,.i i i x x i n x -Î= ],[1i i x x -上满足满足拉格朗日中值定理条件拉格朗日中值定理条件,],,[1i i i x x -Î$h ,
)()()()(1i i i i i i x f x F x F x F D D h h =¢=--于是
n
1x
d
n
1
1
江西财经大学统计学院作业
P209：1（6）、（7）、（8）；2（1）、（3）。
高等数学课程思政建设与实践
高等数学课程思政建设与实践作者：顾燕严亚强来源：《大学教育》2023年第24期［摘要］课程思政研究是当今教学活动的新课题。
文章以高等数学课程为研究对象，从数学历史文化、数学思想、数学建模、科学家的奋斗经历以及身边的鲜活案例等五个方面探讨推进课程思政的方法。
教学实践表明，课程思政与专业知识的有机融合受到学生的广泛好评，有利于激发学生的主观能动性，同时也极大地提高了学生的学习兴趣。
［关键词］高等数学；课程思政；立德树人［中图分类号］ G641 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 2095-3437（2023）24-0089-04随着社会的发展和进步，国家对高等教育的人才培养提出了更高的目标和要求，高等院校肩负着培养具有创新精神的高素质人才的重任。
优秀的高素质人才不仅要拥有扎实的专业知识和技能，还要有强烈的社会责任感和高尚的道德品质。
这就要求高校教师在教学的同时，充分发挥教师的主导作用，把育人目标与知识能力目标有机地融合到一起，将思政教育融入教学大纲的每一个环节中，引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。
高等数学课程是理科、工科经管类专业学生的重要的公共基础课程，也是其大学期间开设最早、持续时间最长、影响最大的一门课程，对其后续课程的学习有着至关重要的影响作用。
这门课程的内容包含丰富的历史文化知识，具有良好的育人功能，是高校开展立德树人的有效载体。
我国部分高校数学教师开始重视在课堂教学中对学生进行思政教育，做了一些有益尝试，并取得了一些成果[1-6]。
笔者所在高校的高等数学教学团队于2021年初开始进行高等数学课程思政的教学研究，本文通过分析其教学实践来探讨如何将课程思政有机地融入高等数学的教学过程中。
一、高等數学课程开展思政教学的实践高等数学进行课程思政研究是新形势下的新课题。
笔者拟从数学历史文化、数学思想、数学建模、科学家的奋斗经历以及身边的鲜活案例等五个方面讨论推进课程思政的方法。
按定义计算定积分非常困难汇总
i 1
i 1
因此, b f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) b .
a
a
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注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b] 上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的.
注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在
定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件:
(i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则
(1) f 在 [a, b] 上可积;
(2)
b a
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
F(b) F(a).
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证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0, 当 x, x [a, b], | x x | 时,
[(1 x)ln(1 x) ( x 1)]1 0
2ln 2 1.
1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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1
例6 求 lim(1 1)(1 2) (1 n)n .
n n
n
n
1
解
令
an
ln (1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
牛莱公式
n
1
i1 1 i
2
1 n
n
1 0
1
1 x
2
dx
[arctan x]10
lim
n
i
p
1
n i1 n n
1 x pdx 0
x p
p 1
1
10
1 p 1
arctan1
4
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另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路
程记为 s(b)- s(a), 则 s(t) v(t), 于是
s
s(b)
s(a).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数,
因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下
面的牛顿—莱布尼茨公式.
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1
lim
n
(1
1 )(1 n
2 )L n
(1
n n
)
n
elim n
an
e2ln21 4 .
e
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n n
例6 求
lim
n
i 1
n2
i2
例7.求
1p lim
n
2p n p1
np
( p 0)
lim
n
1
2
1 x2
2 0
arcsin
x
2 0
2
3
6
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例4
求 lim n
对于定积分的理解和认识
对于定积分的理解和认识一、什么是定积分定积分是微积分中的一个重要概念，它是一个数学工具，用于计算曲线下面的面积。
在数学上，定积分可以看作是一个区间内函数值的加权平均值。
它可以用来求解许多实际问题，如物理学中的速度、加速度、质心等问题。
二、定积分的定义定积分的定义可以通过极限来进行表述。
假设有一个函数f(x)，我们要求解它在[a,b]区间内的定积分，则可以将[a,b]区间划分成n个小区间，并假设每个小区间长度为Δx。
那么我们可以将[a,b]区间内f(x)函数所对应的曲线下面的面积近似地表示为：S ≈ f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx其中，xi表示每个小区间中任意一点。
当n趋向于无穷大时，这个近似值就会越来越接近真实值。
因此，我们可以用极限来表示这个面积：S = lim(Δx→0) Σf(xi)Δx这里，lim表示取极限。
三、定积分与不定积分不同于定积分需要具有上下限和被积函数，不定积分只需要被积函数即可。
不定积分的结果是一个函数，而定积分的结果是一个数值。
不定积分可以看作是对原函数的求解，而定积分则是对曲线下面的面积进行求解。
四、定积分的性质1. 反比例如果将被积函数f(x)乘以一个常数k，则其定积分也会乘以k。
∫kf(x)dx = k∫f(x)dx2. 线性性如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的和或差的定积分等于它们各自的定积分之和或差。
∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx∫[f(x)-g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx3. 区间可加性如果将一个区间[a,b]划分成两个子区间[a,c]和[c,b]，则整个区间[a,b]上的定积分等于两个子区间上的定积分之和。
∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx五、如何计算定积分在实际计算中，我们通常使用牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等方法来计算定积分。
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]定积分计算的总结闫佳丽摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法.关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和1(,)()nk k k T f x σξξ==∆∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设()0()01lim (,)lim ()nk k l T l T k T f x I σξξ→→==∆=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ∀>∃>∀<∀=有1()nkkk f xI ξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[],a b 可积，I 是函数()f x 在[],a b 的定积分，记为()01()lim ()nbk k a l T k f x dx f x I ξ→==∆=∑⎰.其中，a 与b 分别是定积分的下限与上限；()f x 是被积函数；()f x dx 是被积表达式；x 是积分变量.若当()0l T →时，积分和(,)T σξ不存在极限，则称函数()f x 在[],a b 不可积.定积分的几何意义也就是表示x 轴，x a =，x b =与()y f x =围成的曲边梯形的面积.但是我们知道并不是所有的被积函数都是可积的，这就涉及到定积分的三类可积函数：1、函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.2、函数()f x 在闭区间[],a b 有界,且有有限个间断点,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积.3、若函数()f x 在闭区间[],a b 单调,则函数()f x 在闭区间[],a b 可积. 在定积分的计算中，常用的有四种方法,在不同的情况下用的方法也是不同的.一、按照定义计算定积分.定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单的来说就是分割求和取极限.以()ba I f x dx =⎰为例：任意分割,任意选取k ξ作积分和再取极限.任意分割任意取k ξ所计算出的I 值如果全部相同的话，则定积分存在.如果在某种分法或者某种k ξ的取法下极限值不存在或者与其他的分法或者k ξ的取法下计算出来的值不相同，那么则说定积分不存在.如果在不知道定积分是否存在的情况下用定义法计算定积分是相当困难的，涉及到怎样才是任意分割任意取k ξ.但是如果根据上述三类可积函数判断出被积函数可积，那么就可以根据积分和的极限唯一性可作[],ab 的特殊分法，选取特殊的k ξ，计算出定积分.第一步：分割.将区间[],a b 分成n 个小区间，一般情况下采取等分的形式.b ah n-=，那么分割点的坐标为(),0a ，(),0a h +，()2,0a h +......()(1),0a n h +-，(),0b ，k ξ在[]1,k k x x -上任意选取，但是我们在做题过程中会选取特殊的k ξ，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n 个小曲边梯形.我们近似的看作是n 个小长方形.第二步：求和.计算n 个小长方形的面积之和，也就是()1nkk f h ξ=∑.第三步：取极限.()()0011lim lim n nk k h h k k I f h h f ξξ→→====∑∑，0h →即n →∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n 趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.例1、用定义法求定积分10xdx ⎰.解：因为()f x x =在[]0,1连续 所以()f x x =在[]0,1可积 令101h n n-== 将[]0,1等分成n 个小区间，分点的坐标依次为02...1h h nh <<<<=取k ξ是小区间[](1),k h kh -的右端点，即k kh ξ=于是210(1)1lim lim 2n n n n xdx khh n →∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰211(1)1lim lim 222n n n n n n →∞→∞++=== 所以，112xdx =⎰二、微积分基本公式：牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好的把定积分与不定积分联系在一起。
定积分的定义公式分割近似求和取极限
定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。
它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。
我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”咱先说分割。
这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。
比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。
每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。
然后是近似。
这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。
对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。
再说说求和。
把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。
最后是取极限。
当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。
比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。
咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。
然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。
比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。
把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。
最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。
在实际生活中，定积分也有很多用处呢。
就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。
还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。
我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
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b
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注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b] 上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的. 注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在 函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可
积.
§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难, 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中,
介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算.
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若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分 定义,质点从时该a到b所经过的路程为 s v ( t )dt .
1 n 1 Tn : 0 1, n n i i 1 i i [ , ], i 1, 2, , n. n n n
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n
因此 lim 1 1 1 1 dx n i 1 i n 01 x 1 n
ln(1 x )
1 0
n
ln 2.
例2 求 x ndx .
a b
解
a
b
x 1 x dx (b n1 a n1 ). n 1a n 1
n
n1 b
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例3 求
解
1 2 0
1 2 0
dx . 2 1 x
π π arcsin x 0 . 6 6 1 x2 dx
1 2 0
例4 求 x 4 x 2 dx .
a b
另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路 程记为 s(b)- s(a), 则 s( t ) v ( t ), 于是
s a v ( t )dt s(b) s(a ).
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下 面的牛顿—莱布尼茨公式.
0
2
解
1 0 x 4 x dx 3 (4 x )
2 2
3 2 2 2 0
8 . 3
用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限.
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1 1 例5 求 lim . n in i 1 1 n n 1 1 1 在 [0, 1] 解 易见 lim 是函数 f ( x ) n i n 1 x i 1 1 n 上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为
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定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件:
(i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F,
则 (1) f 在 [a, b] 上可积;
( 2) f ( x )dx F ( x ) a F (b) F (a ).
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