北京市崇文区2010年高三二模数学文科试题及答案

侧（左）视图正（主）视图俯视图崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）高三数学（文科） 2010.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。

3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知,a b ∈R ，那么“||a b >”是“22a b >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 （2）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 12（C ）563（D ）4 （3）设函数2log (1), (>0), (), (0).a x x f x x axb x +⎧=⎨++≤⎩若(3)2f =，(2)0f -=，则b =(A) 0 (B) 1- （C ）1 （D ）2 （4）把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为 （A ）sin(2),3y x x π=-∈R （B ）1sin(26y x x π=+∈R （C ）sin(2),3y x x π=+∈R （D ）1sin(),26y x x π=-∈R （5）已知椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值为（A ）3 （B（C（D ）253或3 （6）将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20,为“梯形数”．根据图形的构成，数列的第10项10=a（A ）90 （B ）81 （C ）77 （D ）65（7）已知命题p :对x ∀∈R0≥恒成立．命题q :x R ∃∈,使120x -≤成立．则下列命题中为真命题的是（A ）()p q ⌝∧ （B ）p q ∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）()()p q ⌝∧⌝（8）设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点B 满足222210,12,12x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB ⋅的最小值为（A（B ）2 （C ）3 （D）2崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）高三数学（文科） 2010.5第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）函数y =的定义域为 ．（10）若复数(3i)(2i)m +-+（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为 ．（11）甲、乙、丙三名射击运动员在某次测试中各射击20次，三人的测试成绩如下表123,,x x x 分别表示甲、乙、丙三名运动员的这次测试成绩的平均数，则123,,x x x 的大小关系是 ； 123,,s s s 分别表示甲、乙、丙三名运动员的这次测试成绩的标准差，则123,,s s s 的大小关系是 ． （12）向量,a b满足||1,||2=-=a a b ，a 与b 的夹角为60，||=b ． （13）若110a b<<，则下列不等式中， ①a b ab +< ②||||a b > ③a b < ④2b aa b+> 正确的不等式有 ．（写出所有正确不等式的序号）（14）已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B ，且,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于 ．C 1D 1CA 1A三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B 的横坐标分别为5（Ⅰ）求tan()αβ+的值； （Ⅱ）求2αβ+的值．（16）（本小题共14分）正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． （Ⅰ）求证：直线1B D ∥平面AEC ； （Ⅱ）求证：⊥D B 1平面AC D 1； （Ⅲ）求三棱锥1D D OC -的体积．（17）（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，平面区域W 中的点的坐标(,)x y 满足225x y +≤，从区域W 中随机取点(,)M x y ．（Ⅰ）若x ∈Z ，y ∈Z ，求点M 位于第四象限的概率；（Ⅱ）已知直线:(0)l y x b b =-+>与圆22:5O x y +=求y x b ≥-+的概率．（18）(本小题共14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =-与2x =处都取得极值． （Ⅰ）求,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若对[2,3]x ∈-，不等式23()2f x c c +<恒成立，求c 的取值范围.（19）（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P 且离心率2e =．过定点)01(，-C 的直线与椭圆相交于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存 在，请说明理由.（20）(本小题共13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*120(2,)n n n a S S n n -+⋅=≥∈N ，112a =． （Ⅰ）求证:{1nS }是等差数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若*2(1)(2,)n n b n a n n =-≥∈N ，求证: 222231n b b b +++<．崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（二）高三数学（文科）参考答案及评分标准 2010.5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（9）1(0,]4 （10）2(,1)3（11）123x x x ==；213s s s >> （12）12 （13）①，④ （14）43- 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由已知得：cos 510αβ==． ∵,αβ为锐角∴sin 510αβ==． ∴ 1tan 2,tan 7αβ==． ∴12tan tan 7tan()311tan tan 127αβαβαβ+++===-⋅-⨯．--------------------6分 （Ⅱ）∵22tan 44tan 21tan 143ααα===--- ∴41tan 2tan 37tan(2)1411tan 2tan 1()37αβαβαβ-+++===--⋅--⨯． ,αβ为锐角，∴3022παβ<+<， ∴324παβ+=． -----------12分 （16）（共14分）（Ⅰ）连接OE ，在1B BD ∆中，∵E 为1BB 的中点，O 为BD 的中点，∴OE ∥1B D 又∵1B D ⊄平面AEC∴直线1B D ∥平面AEC ． --------------------4分 （Ⅱ）在正方体1111D C B A ABCD -中，1B B ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴1B B AC ⊥．BD AC ⊥且1BB BD B ⋂= ∴1B D AC ⊥ ∴1AC B D ⊥同理可证11B D AD ⊥ ∵1AC AD A ⋂=∴⊥D B 1平面AC D 1. --------------------9分（Ⅲ）11111221333D D OC D DOC DOC V V DD S --∆==⋅⋅=⨯⨯=． -------------14分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）若x ∈Z ，y ∈Z ，则点M 的个数共有21个，列举如下：(2,1),(2,0),(2,1)----；(1,2),(1,1),(1,0),(1,1),(1,2)-------； (0,2),(0,1),(0,0),(0,1),(0,2)--；(1,2),(1,1),(1,0),(1,1),(1,2)--； (2,1),(2,0),(2,1)- ．当点M 的坐标为(1,1),(1,2),(2,1)---时，点M 位于第四象限． 故点M 位于第四象限的概率为17． ---------------- 6分 （Ⅱ）由已知可知区域W 的面积是5π．因为直线:l y x b =-+与圆22:5O x y +=15如图，可求得扇形的圆心角为23π，所以扇形的面积为12555233S ππ=⨯=， 则满足y x b ≥-+的点M 构成的区域的面积为5122015355sin 32312S πππ-=-=， 所以y x b ≥-+的概率为20153433125πππ--=．---------------- 13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）'2()32f x x ax b =++，由题意：''(1)0,(2)0,f f ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 即320,1240,a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴323()62f x x x x c =--+，'2()336f x x x =-- O令'()0f x <，解得12x -<<； 令'()0f x >，解得1x <-或2x >，∴()f x 的减区间为(1,2)-；增区间为(,1)-∞-，(2,)+∞.---------------5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在(,1)-∞-上单调递增；在(1,2)-上单调递减； 在(2,)+∞上单调递增.∴[2,3]x ∈-时，()f x 的最大值即为(1)f -与(3)f 中的较大者.7(1)2f c -=+； 9(3)2f c =-+ ∴当1x =-时，()f x 取得最大值. 要使23()2f x c c +<，只需23(1)2c f c >-+，即：2275c c >+ 解得：1c <-或72c >. ∴c 的取值范围为7(,1)(,)2-∞-⋃+∞. -------------14分 （19）（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>由已知可得222222211a b c c aa b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得 224,2a b ==．所求椭圆的方程为 22142x y +=． -------------5分 （Ⅱ）设1122(,),(,),(,0)A x y B x y M m当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+． 222222(1)(12)4240240y k x k x k x k x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩2122412k x x k +=-+，21222412k x x k -=+， 2221212121223(1)(1)(1)12k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+21122121212(,)(,)()MA MB x m y x m y x x m x x m y y ⋅=--=-+++22222222443121212k mk k m k k k --=++++++ 2222(241)412m m k m k +-+-=+2222211(241)(21)(241)42212m m k m m m k +-+-+-+-=+227212(241)212m m m k +=+--+MA MB ⋅是与k 无关的常数，∴7202m += ∴74m =-，即7(,0)4M -． 此时，1516MA MB ⋅=-． 当直线AB 与x 轴垂直时，则直线AB 的方程为1x =-．此时点A B ，的坐标分别为(1,-- 当74m =-时， 亦有1516MA MB ⋅=- 综上，在x 轴上存在定点7(,0)4M -，使MA MB ⋅为常数．------------ 14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）由*120(2,)n n n a S S n n -+⋅=≥∈N ，得1120n n n n S S S S ---+⋅=，所以*1112(2,)n n n n S S --=≥∈N ，故{1nS }是等差数列．---------------- 4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,12n n S =，所以12n S n=． 111(2)22(1)n n n a S S n n n -=-=-≥-所以1,(1),21,(2).2(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩ ---------------- 9分（Ⅲ）112(1)[](2)2(1)n b n n n n n=-⋅-=≥-所以221111(2)(1)1n b n n n n n n=<=-≥-- 2223b b ++…2n b +1111223<-+-+…111111n n n+-=-<-． ----------1 3分。