2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题3 突破点7 用样本估计总体
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题2 突破点5 数列的通项与求和
12 分
给出 Sn 与 an 的递推关系，求 an，常用思路：一是利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2) 转化为 an 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an. 提醒：在利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式时，务必验证 n＝1 时的情形．
n－1
2 1 [当 n＝1 时，S1＝3a1＋3，∴a1＝1.
1 2 2 1 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3an＋3－3an－1＋3＝3(an－an－1)， an ∴an＝－2an－1，即 ＝－2， an－1 ∴{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2， ∴an＝1×(－2)n 1，即 an＝(－2)n 1.]
[ 变式训练 1]
(1)(2016· 合肥三模)已知数列{an}前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an
－2n ，则 Sn＝__________. (2)已知数列{an}的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn， 且 2Sn＋2＝3an(n∈N*)， 则 an＝__________.
(1)n· 2n(n∈N*) (2)2×3n－1(n∈N*) [(1)由 Sn＝2an－2n 得当 n＝1 时，S1＝a1
n＋1
an {bn}其中bn＝qn，得
1 p bn＋1＝q· bn＋q，接下来用待定系数法求解．
m (6)取对数法： 形如 an＋1＝pan (p>0， an>0)， 先在原递推公式两边同时取对数，
再利用待定系数法求解.
数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相 消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相 减法是常用的两种方法．
2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分 专题6 突破点18 导数的应用酌情自选
(1)可导函数__________________，但导数为 0 的点_________________，如
函数极值的判别注意点 函数 f(x)＝x3，当 x＝0 时就不是极值点，但 f′(0)＝0.
(2)极值点______一个___， 而是一个______， 当 x＝x0 时， 函数取得极值． 在
(2016·山东高考)设 f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f′(x)＝ln x－2ax＋2a，1 分 可得 g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)． 所以 g′(x)＝1x－2a＝1－x2ax.2 分 当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增；3 分 当 a>0，x∈0，21a时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增， x∈21a，＋∞时，函数 g(x)单调递减.5 分 所以当 a≤0 时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)； 当 a>0 时，g(x)的单调增区间为0，21a，单调减区间为21a，＋∞.6 分
故 f(x)为增函数； 当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0， 故 f(x)为减函数． 由 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知 x2＝6－a＋6 a2＋36≤3，解得 a≥－92， 故 a 的取值范围为－92，＋∞.12 分
热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以 解答题的形式考查，难度较大.
不符合题意，排除 A、C.
(1)
当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈－∞，－32时， f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f－32 ＝－54，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 突破点21 算法初步、复数、推理与证明
满足则停止 _______________ ．两种循环只是实现循环的方式不同，它们是可以相互转化的.
复数
(1)四则运算法则：
(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R) ． (a＋bi)± (c＋di)＝______________________________ (ac－bd)＋(bc＋ad)i(a，b，c，d∈R)． (a＋bi)(c＋di)＝________________________________ ac＋bd bc－ad b， c， d∈R， c＋di≠0) 2 2＋ 2 2 i(a， c ＋ d c ＋ d (a＋bi)÷ (c＋di)＝________________________________________．
归纳推理的三个特点
几个已知的特殊对象 (1) 归 纳 推 理 的 前 提 是 ______________________ ，归纳所得到的结论是 尚属未知的一般现象 超越了前提所包含的范围 ． _______________________ ，该结论________________________
(2)常用结论：
2i ；② ①(1± i) ＝± ____
2
1＋i 1－i i －i ；④－b＋ai＝________ i(a＋bi) ；⑤ ＝____；③ ＝_____ 1－i 1＋i
1 ，i4n＋1＝____ i ，i4n＋2＝_____ －1 ，i4n＋3＝_____ －i ，____________. 其中n∈N* i4n＝____
具有猜测的性质 ，结论___________ 是否正确 ，还需要 (2)由归纳推理得到的结论__________________
逻辑推理 和___________ 实践检验 ，因此它不能作为数学证明的______ 工具 ． 经过___________ 创造性 的推理，通过归纳推理得到的______ 猜想 ，可 (3)归纳推理是一种具有________ 起点 ，帮助_____________________ 发现问题和提出问题 ．、复数、推理与证明
(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略 第2部分 必考补充专题 突破点19 集合与常用
专题限时集训(十九) 集合与常用逻辑用语[A 组 高考题、模拟题重组练]一、集合1．(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 D [∵x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3，∴A ＝{x |1＜x ＜3}．∵2x －3＞0，∴x ＞32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32. ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32＜x ＜3.故选D.] 2．(2016·全国甲卷)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}C [B ＝{x |(x ＋1)(x －2)＜0，x ∈Z}＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z}＝{0,1}，又A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．]3．(2016·山东高考)设集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R}，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [由已知得A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，则A ∪B ＝{x |x >－1}．故选C.] 4．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B [∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q ＝{x ∈R|x 2<4}＝{x |－2<x <2}． ∵P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，∴P ∪(∁R Q )＝{x |－2<x ≤3}＝(－2,3]．]5．(2012·全国卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅B [∵A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，∴BA .]6．(2016·威海二模)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝( )A ．(－1,2)B ．[2,3)C ．(2,3)D ．(－1,2]B [A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |x ＜2}， 由题意知A －B ＝{x |2≤x ＜3}，故选B.] 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 7．(2016·泰安一模)以下说法错误的是( )【导学号：67722074】A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有 x 2－x ＋1≥0D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D [“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，A 项正确；由x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或2，因此“x ＝2”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 项正确；命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0＋1＜0，则綈p ：对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋1≥0，C 项正确；由p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，因此D 项不正确．故选D.]8．(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C [当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立； 若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y . 所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．]9．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [p表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.]10．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A [由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.] 11．(2016·黄冈二模)设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是( )A．－1＜x≤1B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1D [由x∈A且x∉B知x∈A∩(∁R B)，又∁R B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝{x|－1＜x＜1}．]三、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词12．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2nC [因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]13．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．綈p∧qC．p∧綈q D．綈p∧綈qB [当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解， ∴q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题． ∴p ∧q 为假命题，排除A.∴綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题，选B.] 14．(2016·潍坊二模)下列命题中假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 0D [对于A ，比如x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1，是真命题；对于B ，令f (x )＝e x－x －1，f ′(x )＝e x－1＜0，f (x )递减，所以f (x )＞f (0)＝0，是真命题；对于C ，函数y ＝a x当a ＞1时是增函数，是真命题，对于D ，令g (x )＝x －sin x ，g ′(x )＝1－cos x ≥0，g (x )递增，所以g (x )＞g (0)＝0，是假命题．故选D.]15．(2016·青岛一模)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2或m ＞－1C ．m ≤－2或m ≥2D ．－1＜m ≤2B [由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，可得－2＜m ＜2，若命题p ，q 均为真命题，则此时－2＜m ≤－1.因为p ∧q 为假命题，所以命题p ，q 中至少有一个为假命题，所以m ≤－2或m ＞－1.]16．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距结合题意知p 1，p 2正确．][B 组 “10＋5”模拟题提速练]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －8≤0}，集合N ＝{x |lg x ≥0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－2≤x ≤4}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1≤x ≤4}D ．{x |x ≥－2}C [M ＝{x |－2≤x ≤4}，N ＝{x |x ≥1}，则M ∩N ＝{x |1≤x ≤4}．]2．(2016·菏泽一模)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z||x |≤1}，则A ∩(∁Z B )＝( ) A ．∅ B ．4 C ．{3,4}D ．{2,3,4}D [因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x ∈Z||x |≤1}＝{－1,0,1}，所以A ∩(∁Z B )＝{2,3,4}．]3．(2016·江南十校一模)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N}，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [集合P ＝{x |－1＜x ＜b ，b ∈N}，Q ＝{x |x 2－3x ＜0，x ∈Z}＝{1,2}，P ∩Q ≠∅，可得b 的最小值为2.]4．(2016·武汉一模)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，集合B ＝{x |x 2－cx ＜0，c ＞0}，若A ⊆B ，则c 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)C [由题意将两个集合化简得：A ＝(0,1)，B ＝(0，c )，因为A ⊆B ，所以c ≥1.] 5．(2016·贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是( ) ①“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题； ②存在正实数a ，b ，使得lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”； ④在△ABC 中，A <B 是sin A <sin B 的充分不必要条件． A ．0B ．1C ．2D ．3C [对于①，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，而a ＝2，b ＝－2满足a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故①是假命题；对于②，根据对数的运算性质，知当a ＝b ＝2时，lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，故②是真命题；对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A <B ⇔a <b (a ，b 为角A ，B 所对的边)⇔2R sinA <2R sinB (R 为△ABC 外接圆的半径)⇔sin A <sin B ，故A <B 是sin A <sin B 的充要条件，故④是假命题．选C.]6．(2016·郑州一模)已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )【导学号：67722075】A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [命题甲能推出命题乙，是充分条件，命题乙：直线EF 和GH 不相交，可能平行，命题乙推不出命题甲，不是必要条件．]7．(2016·临沂一模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ≥－1，B ＝{y |y ＝e x ＋1，x ≤0}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∪B ＝RC ．A ∩(∁R B )＝∅D ．B ∩(∁R A )＝∅D [A ＝{y |0＜y ≤2}，B ＝{y |1＜y ≤2}，则∁R A ＝{y |y ≤0或y ＞2}，从而B ∩(∁R A )＝∅.] 8．(2016·青岛一模)已知a ∈R ，则“a ＜1”是“|x －2|＋|x |＞a 恒成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为|x －2|＋|x |≥|(x －2)－x |＝2，所以a ＜1时，|x －2|＋|x |＞a 恒成立，反之若|x －2|＋|x |＞a 恒成立，则a ＜1不一定成立，故选A.]9．(2016·威海二模)命题p ：若2x≥2y，则lg x ≥lg y ；命题q ：若随机变量N (3，σ2)，P (ξ≤6)＝0.72，则P (ξ≤0)＝0.28.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∨綈qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x ＜0，y ＜0时，lg x ，lg y 没有意义，故命题p 是假命题，对于命题q ：由P (ξ≤3)＝12，P (0＜ξ≤3)＝P (3＜ξ≤6)＝0.72－0.5＝0.22，得P (ξ≤0)＝0.5－0.22＝0.28，故命题q 是真命题．综上知綈p ∧q 为真命题，故选B.]10．(2016·商丘二模)命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨qC ．p ∧(綈q )D ．綈qB [令t ＝x 2－2x ，则函数y ＝log 2(x 2－2x )化为y ＝log 2t ， 由x 2－2x ＞0，得x ＜0或x ＞2，所以函数y ＝log 2(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 函数t ＝x 2－2x 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x ＝1， 所以函数t ＝x 2－2x 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 又因为函数y ＝log 2t 是增函数，所以复合函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)． 所以命题p 为假命题；由3x ＞0，得3x＋1＞1，所以0＜13x ＋1＜1，所以函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，故命题q 为真命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∧(綈q )为假命题，綈q 为假命题， 故选B.]二、填空题11．(2016·厦门二模)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．4 [A ＝{x |(x －1)(x －2)＝0，x ∈R}＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}＝{1,2,3,4}． 因为A ⊆C ⊆B ，所以C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．] 12．(2016·泉州二模)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为________.【导学号：67722076】至少有一个实数的平方不是正数 [因为“全称命题”的否定一定是“特称命题”，所以命题“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．]13．(2016·郴州二模)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8，B ＝{x ∈R|－1＜x ＜m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12＜2x＜8＝{x |－1＜x ＜3}， 因为x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A ⊆B ，所以m ＋1＞3，即m ＞2.]14．(2016·菏泽一模)已知命题p ：∀x ∈R ，|1－x |－|x －5|＜a ，若綈p 为假命题，则a 的取值范围是________．(4，＋∞) [由题意知，命题p 为真命题，由|1－x |－|x －5|≤|(1－x )＋(x －5)|＝4，得a ＞4.]15．(2016·哈尔滨一模)设p ：(x －a )2＞9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ [綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12.因为綈p 是q 的充分不必要条件，所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.]。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析
突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示， 则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |， 令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象． 如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点． 当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ； 当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0， 所以f (x )＝f (－x )， 所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点， 所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0， 所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第2部分 技法篇：4大思想提前看渗透整本提时效
π π 而此图象关于 y 轴对称，则 4m－3＝kπ＋2(k∈Z)， 1 5π 5π 解得 m＝4kπ＋24(k∈Z)．又 m＞0，所以 m 的最小值为24.]
思想 2
数形结合思想
数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 .其应用 包括以下两个方面： 1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思 维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质. 2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.
1 解得 k＞2.
又 M 为线段 AB 的中点，所以 x0＝x1＋x2＝ －8k 2， 2 3＋4k y1＋y2 6 y0 ＝ 2 ＝ 2. 3 ＋ 4 k 由 P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线， 6 ＋2 3＋4k2 0－－2 所以 ＝ ， －8k a－0 3＋4k2
(2)(2015· 吉林模拟)若不等式 4x －logax<0 对任意 的取值范围为(
1 A.256，1 1 C.0，256
2
1 x∈0，4恒成立， 则实数
a
)
1 B.256，1 1 D.0，256
(1)C
|PF1| 7 ∴|PF |＝2. 2 若∠F2PF1＝90° ， 则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， |PF1| ∴|PF |＝2. 2 |PF1| 7 综上所述，|PF |＝2 或2.] 2
分类讨论思想在解题中的应用 1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、 指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是 分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数 的单调性等．
2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分 专题1 突破点3 平面向量
数量积常见的三种应用
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)证明向量垂直：a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 2 2 a· a x ＋ y 1 1 (2)求向量的长度：|a|＝_______＝________.
x1x2＋y1y2 a· b 2 2 2 2 x ＋ y · x ＋ y |a||b| 1 1 2 2 (3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝_______＝_______________.
平面向量解题中应熟知的常用结论
→ → → (1)A，B，C 三点共线的充要条件是存在实数 λ，μ，有OA＝λOB＋μOC，且
λ＋μ＝1 _________.
→ 1 → → OC＝2(OA＋OB) (2)C 是线段 AB 中点的充要条件是_________________ ． → → → GA＋GB＋GC＝0 ，若△ABC 的三个 (3)G 是△ABC 的重心的充要条件为__________________
[ 变式训练 2]
π x∈0，2.
(2016· 德州模拟)设向量 a＝(sin x， 3sin x)， b＝(sin x， cos x)，
(1)若|a|＝|b|，求 x 的值； π (2)设函数 f(x)＝a· b，将 f(x)的图象向左平移6个单位得到函数 g(x)的图象， 求 g(x)的最大值及此时相应的 x 的值．
核 心 知 识 · 聚 焦
专题一
热 点 题 型 · 探 究
三角函数与平面向量 平面向量
突破点 3
专 题 限 时 集 训
平面向量共线、垂直的两个充要条件
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
x1x2＋y1y2＝0 . (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔______________
2017高考数学理山东专用二轮课件：1-3 函数与方程思想
-4考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
函数与方程思想在解三角形中的应用 例1在四边形PABQ中,A,B为定点,且 AB= 3 ,P,Q为动点,满足 AP=PQ=QB=1. (1)写出cos A与cos Q的关系式; (2)设△PAB和△PQB的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.
-11考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三
-9-
故 f(x)在[-2,-1]上单调递减,在(-1,0)上单调递增, 函数与方程思想在不等式中的应用 1+4-3 此时有 a ≤ f ( x ) = 2 . 4x+3≥0恒成立,则实数a的取值 min 例2当x∈[-2,1]时 ,不等式ax3=-x2 + -1 [ 6, 2] 范围是 . . 当 x=0 时,不等式恒成立
2 2
2 2
关闭
2 -4������-3 ������ 考情分析导引 思想方法诠释 教学思想应用 应用一 应用二 应用三 当 -2 ≤ x<0 时,不等式转化为 a≤ , ������3 ������2-4������-3 -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 令 f(x)= (-2≤x<0),则 f'(x)= = , 4 4 3 ������ ������ ������
������2-4������-3 ������2-4������-3 当 0<x≤1 时,a≥ ,令 g(x)= (0<x≤1), 3 3 ������ ������ -������2+8������+9 -(������-9)(������+1) 则 g'(x)= = , 4 4 ������ ������ 1-4-3 故 g(x)在(0,1]上单调递增,此时有 a≥f(x)max= 1 =-6.
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图 72
A．30 辆 C．60 辆
B．40 辆 D．80 辆
B [ 由题图可知，车速大于或等于 70 km/h 的汽车的频率为 0.02×10＝0.2， 则将被处罚的汽车大约有 200×0.2＝40(辆)．]
回访 2
茎叶图
3．(2015· 山东高考)为比较甲、乙两地某月 14 时的气 温情况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气 温数据(单位：℃)制成如图 73 所示的茎叶图．考虑以下 结论： ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温； ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温； ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差；
作茎叶图时先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么，根据茎叶图，可以得 到数据的众数、中位数，也可从图中直接估计出两组数据的平均数大小与稳定 性．
[ 变式训练 2]
(名师押题)某车间 20 名工人年龄数据如下表：
(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差； (2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图； (3)求这 20 名工人年龄的方差． [ 解] (1)由题表中的数据易知，这 20 名工人年龄的众数是 30，极差为 40
－19＝21.2 分 (2)这 20 名工人年龄的茎叶图如下：
6分
1 (3)这 20 名工人年龄的平均数 x ＝20(19×1＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4 ＋32×3＋40×1)＝30，8 分 故方差 s2＝ 1 2 2 2 2 2 [1 × (19 － 30) ＋ 3 × (28 － 30) ＋ 3 × (29 － 30) ＋ 5 × (30 － 30) ＋ 4 × (31 － 30) ＋ 20 1 3× (32－30) ＋1× (40－30) ] ＝20×(121＋12＋3＋0＋4＋12＋100)＝12.6.12 分
(4)样本标准差 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ] 2 n n 1 s＝______________________________________.
回访 1
频率分布表或频率分布直方图
1．(2016· 山东高考)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)， 制成了如图 71 所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30] ，样本 数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30] ．根据直方图， 这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是( )
(3)利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数，在频率分布直方图中：
最高的小长方形底边中点的横坐标 即是众数； ①________________________________
相等的 ； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是_________
每个小 ③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中_________ 长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和 . _______________________________________________
热点题型 1
频率分布直方图
题型分析：频率分布直方图多以生活中的实际问题为背景，考查学生运用 已知数据分析问题的能力，难度中等. (2016· 潍坊模拟)某高中为了解全校学生每周参与体育运动的情况， 随机从全校学生中抽取 100 名学生，统计他们每周参与体育运动的时间如下： 每周参与运动的 时间(单位：小时) 频数 [0,4) 24 [4,8) 40 [8,12) 28 [12,16) 6 [16,20] 2
2 2
解决该类问题的关键是正确理解已知数据的含义．掌握图表中各个量的意 义，通过图表对已知数据进行分析． 频率 提醒：(1)小长方形的面积表示频率，其纵轴是 ，而不是频率． 组距 (2)各组数据频率之比等于对应小长方形Biblioteka 高度之比．[ 变式训练 1]
某电子商务公司随机抽取 1 000 名网络购物者进行调
核 心 知 识 · 聚 焦
专题三
热 点 题 型 · 探 究
概率与统计 用样本估计总体
突破点 7
专 题 限 时 集 训
频率分布直方图
频率 组距 ，频率＝组距 (1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示______ 频率 组距 . ×______
1 (2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为__.
茎叶图的优点
(1)所有的信息都可以从茎叶图中得到． (2)可以帮助分析样本数据的大致频率分布情况.
样本的数字特征
(1)众数、中位数．
1 (x1＋x2＋„＋xn) n (2)样本平均数 x ＝___________________． 1 2 2 2 [( x 2 1－ x ) ＋(x2－ x ) ＋„＋(xn－ x ) ] n (3)样本方差 s ＝__________________________________ ．
A．56
图 71 B．60
C．120 D．140 D [ 由直方图可知每周自习时间不少于 22.5 小时的频率为 (0.16＋ 0.08＋
0.04)× 2.5＝0.7，则每周自习时间不少于 22.5 小时的人数为 0.7× 200＝140.故选 D.]
2．某雷达测速区规定：凡车速大于或等于 70 km/h 的汽车视为“超速”， 并将受到处罚， 如图 72 是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检测所 得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( )
(1)作出样本的频率分布直方图； (2)①估计该校学生每周参与体育运动的时间的中位数及平均数； ②若该校有学生 3 000 人，根据以上抽样调查数据，估计该校学生每周参与 体育运动的时间不低于 8 小时的人数．
[ 解] (1)频率分布直方图如图所示：
26 (2)①由数据估计中位数为 4＋40×4＝6.6，8 分 估计平均数为 2×0.24 ＋ 6×0.4 ＋ 10×0.28 ＋ 14×0.06 ＋ 18×0.02 ＝ 6.88.10 分 ②将频率看作概率知 P(t≥8)＝0.36， ∴3 000×0.36＝1 080.12 分
4．(2015· 湖南高考)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟) 的茎叶图如图 74 所示.
图 74
若将运动员按成绩由好到差编为 1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间[139,151] 上的运动员人数是( A．3 C．5 B．4 D．6 )
B [35÷ 7＝5，因此可将编号为 1～35 的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个 数据，在区间[139,151] 上共有 20 个数据，分在 4 个小组中，每组取 1 人，共取 4 人．]
图 76 (1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计哪个班的学生平 均上网时间较长； (2)从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a，从 B 班的样 本数据中随机提取一个不超过 21 的数据记为 b，求 a>b 的概率．
[ 解]
1 (1)A 班样本数据的平均值为5(9＋11＋14＋20＋31)＝17.3 分
(1)求这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数； (2)以这 1 000 名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率， 求一个购物 者获得优惠券金额不少于 150 元的概率．
[ 解] x y
(1)购物者的购物金额 x 与获得优惠券金额 y 的频率分布如下表： 0.3≤x<0.5 50 0.4 0.5≤x<0.6 100 0.3 0.6≤x<0.8 150 0.28 0.8≤x≤0.9 200 0.02
图 73
④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( A．①③ C．②③ B．①④ D．②④ )
B [ 甲地该月 14 时的气温数据分布在 26 和 31 之间，且数据波动较大，而 乙地该月 14 时的气温数据分布在 28 和 32 之间，且数据波动较小，可以判断结 论①④正确，故选 B.]
频率
这 1 000 名购物者获得优惠券金额的平均数为： 50×400＋100×300＋150×280＋200×20 ＝96.4 分 1 000
(2)由获得优惠券金额 y 与 购物金额 x 的对应关系，有 P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝(2＋0.8)×0.1＝0.28， P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.2×0.1＝0.02，10 分 从而，获得优惠券不少于 150 元的概率为 P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.12 分
由此估计 A 班学生每周平均上网时间 17 小时； 1 B 班样本数据的平均值为5(11＋12＋21＋25＋26)＝19， 由此估计 B 班学生每周平均上网时间较长.6 分
(2)A 班的样本数据中不超过 19 的数据 a 有 3 个，分别为 9,11,14，B 班的样 本数据中不超过 21 的数据 b 也有 3 个，分别为 11,12,21，从 A 班和 B 班的样本 数据中各随机抽取一个共有： 9 种不同情况， 分别为(9,11)， (9,12)， (9,21)， (11,11)， (11,21)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)， 其中 a>b 的情况有(14,11)，(14,12)两种， 2 故 a>b 的概率 P＝9.12 分
查． 这 1 000 名购物者 2015 年网上购物金额(单位： 万元)均在区间[0.3,0.9] 内， 样本分组为： [0.3,0.4)， [0.4,0.5)， [0.5,0.6)， [0.6,0.7)， [0.7,0.8)， [0.8,0.9] ， 购物金额的频率分布直方图如下：