八年级第十七章勾股定理

一、同步知识梳理知识点1：勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．二、同步题型分析例1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ，求证：a 2+b 2=c 2. (提示：利用下列三种图形的面积相等进行证明)分析：正方形的面积为C 2四个三角形加空白部分的正方形面积和为a 2+b 2 所以a 2+b 2=c 2.解答题过程（略）总结：通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

变式练习：根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

c b a D CABb ccaa bDCAEB例2：在Rt ABC ∆，90C ∠=︒，a =8，b =15，则c = .( A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别为a 、b 、c ) 答案：17三、课堂达标检测1、填空题：在Rt ABC ∆，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别为a 、b 、c . ⑴如果a =7，c =25，则b = ； 答案：24⑵如果A ∠=30°，a =4，则b = ； 答案：23⑶如果A ∠=45°，a =3，则c = ； 答案：22⑷如果b =8，a ：c =3：5，则c = ． 答案：10⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a +b +c = ； 答案：12⑹已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，则第三边长为 ． 答案：4或34⑺如右图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为 ． 答案：15 cm 22、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积．小结：Rt ABC ∆的主要性质是：（90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对应边分别为a 、b 、c ，用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若B ∠=30°，则B ∠的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ． 能力提升1．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )．(A)1个(B)2个 (C)3个(D)4个答案：B2．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的边长为 ． 答案：53．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．答案：44．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6cm 、BC ＝8cm ，现将ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）． A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm答案：B5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长．6．如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3．(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、2题图3题图A4题图BCDES3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?DC 2m1mBAC2m1mBA图1一、 同步知识梳理1．在直角三角形中，若已知任意两边，就可以运用勾股定理求出第三边．无直角时，可作垂线构造直角三角形. 2.勾股定理的作用：（1）计算；（2）证明带有平方的问题；（3）实际应用．3.利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点．二、同步题型分析例1：在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC长． AC=5①如图1，在长方形ABCD 中，求AB 、BC 、AC 的大小关系？ 答案：AB 2+BC 2=AC 2②一个门框的尺寸如上题图所示． ⑴若有一块长3m ，宽0.8m 的薄木板，问怎样从门框通过？ 答案：斜着通过⑵若薄木板长3m ，宽2.1m 呢？为什么？ 答案：不能通过总结：明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

变式训练：⑴甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，此时甲、乙两人相距______km ．⑵如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了______m 路，却踩伤了花草．⑶一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则1.5小时后两船相距海里．⑷有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。

⑵题图O ADBC图2答案：（1）5 km （2）2 （3）30 （4）22例2：如图2，一个2.5m 长的梯子AB ，斜着靠在竖直的墙AO 上，这是AO 的距离为2.4m ． ① 你能从所给的图形中找到直角三角形吗？试试看，把它们写出来．②求梯子的底端B 距墙角O 是多少？③如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.4米至C ，请同学们猜一猜，底端也 将滑动1米吗？算一算，底端滑动的距离． 答案：①AOB ②0.7m ③没有滑动1m 底端滑动的距离为0.8m 总结：熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化；同时学会构造直角三角形。

变式训练：⑴如图，有两棵树，一棵高8m ，另一棵高2m ，两树相距8m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m ．⑵如图，从台阶的下端点B 到上端点A 的直线距离为( )．(A)212 (B)310 (C)56 (D)58（1） （2） 答案：（1）10 （2）A⑶在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处；另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?⑷某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图7所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？例3：⑴数轴上的点表示什么数呢？⑵你能画出长为13的线段吗？⑶如何在数轴上描出表示13的点？答案：⑴全体实数⑵能⑶（1）做一个两直角边分别为2，3的直角三角形；（2）以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，这点就是所求的表示13的点．点评：无理数也可以在数轴上表示出来，但应先把它整理为有形的线段长．总结：会利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数⑷图一一对应的理论。

变式训练1. 在数轴上作出表示-5的点．答案：（1）做一个两直角边分别为1，2的直角三角形；（2）以原点为圆心，所画直角边的斜边为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，这点就是所求的表示的点．-5三、课堂达标检测1、如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(π取3)2、长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了____________m ．3、已知直角三角形的周长为62+，斜边为2，则该三角形的面积是( )． (A)41 (B)43 (C)21 (D)14、若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )．(A)7 (B)7或41 (C)24(D)24或7答案：1、25 2、32—22 3、D 4、D5、如图，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长．1题图2题图6、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐，求河水的深度．7、如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是多少？8、如图，△ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝20，AB ＝10，延长AB 到D ，使CD ＋DB ＝AC ＋AB ，求BD 的长．7图一、 能力培养例1 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥BC 于D ，AD=1，CD=3，求线段AB 的长。

分析：在Rt △ADC 中 通过勾股定理求出 AC=2 利用30°特殊角的特殊性质 得出∠ACD=30° 从而得出∠B=30°，最后得到AB=4总结：“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。

目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。

例2 已知：如图，△ABC 中，AC=4，∠A=45°，∠B=60°，根据题设可知什么？答案：AB=362+22 BC=62总结：注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。

掌B ACDCA BD握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。

作辅助线不能破坏已知角。

例3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

分析：将AD 、BC 延长交于一点E 。

通过勾股定理分别求出BE 和CD 的长度。

算出两个三角形的面积。

四边形的面积为大三角形的面积减去小三角形的面积。