2018届人教B版(文) 几何证明选讲 单元测试
几何证明选讲(教师版)
BCDO AP1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD=.2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________答案43．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。
解：依题意，BC =，∴AC =5，2AD =.AB AC =15，∴AD =154．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=, 在△POD中由余弦定理，得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与ADAD=DC ，则sin ∠ACO=_________解：由条件不难得ABC ∆为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =，OC =sin BCO ∠==，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=10106．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ，TEAD= ．；7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23；8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设COD θ∠=，则cos 2θ＝ ．解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =，22237cos 22cos 12121525OD OC θθ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。
2017-2018学年高中数学人教B版必修2学业分层测评：章
章末综合测评(二) 平面解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0的倾斜角是( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 直线的斜率k ＝3，倾斜角为60°. 【答案】 B2．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )【导学号：45722126】A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2【解析】 由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12.【答案】 A3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )【解析】 当a >0时，A ，B ，C ，D 均不成立；当a <0时，只有C 成立． 【答案】 C4．两平行直线5x ＋12y ＋3＝0与10x ＋24y ＋5＝0之间的距离是( ) A.213 B.113 C.126D.526【解析】 5x ＋12y ＋3＝0可化为10x ＋24y ＋6＝0.由平行线间的距离公式可得d＝|6－5|102＋242＝126.【答案】 C5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定【解析】由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0【解析】圆心C(1,0)，k PC＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选D.【答案】 D7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是()A．(x－2)2＋y2＝1B．(x＋2)2＋y2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.【答案】 A8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36 B．18C．6 2 D．5 2【解析】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6 2.【答案】 C9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A．4 B．2C.85 D.125【解析】P为圆上一点，则有k OP·k l＝－1，而k OP＝4－1－2－2＝－34，∴k l＝43.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为|20|42＋(－3)2＝4.【答案】 A10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是()图1A．(1,1,1) B．(1,1, 2)C．(1,1, 3) D．(2,2, 3)【解析】由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为3，则第五个顶点的坐标为(1,1，3)．故选C.【答案】 C11．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为()A．2x－y－3＝0B．x＝2C．2x－y－3＝0或x＝2D．以上都不对【解析】满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，所以直线x＝2满足条件．由题意知k AB＝5－13－1＝2.所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.【答案】 C12.已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是()图2A．[27，215] B．[27，8]C．[23，215] D．[23，8]【解析】S△OAB ＝12|AB|·2＝|AB|，设C到AB的距离为d，则|AB|＝242－d2，又d∈[1,3]，7≤42－d2≤15，所以S△OAB＝|AB|∈[27，215]．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________.【解析】 令x ＝0，得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，∴a ＝83. 【答案】 8314．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________.【导学号：45722127】【解析】 由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.【答案】 2x ＋3y －2＝015．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．【解析】 ∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 【答案】 x ＋2y －5＝016．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________．【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程．【解】 法一 ∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧ (－1)2＋(4－b )2＝r 2，32＋(2－b )2＝r 2，∴⎩⎨⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二 线段AB 的中点为(1,3)， k AB ＝2－43－(－1)＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心． 由两点间距离公式得圆半径r 为 (0＋1)2＋(1－4)2＝10， ∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．(本小题满分12分)如图3所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．求：图3(1)AD边所在直线的方程；(2)DC边所在直线的方程．【解】(1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，∴AD边所在的直线的斜率k AD＝－3，而点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为x－3y＋m＝0(m≠－6)．而M到直线AB的距离d＝410＝2510.∴M到直线DC的距离为2 510，即|2＋m|10＝2510⇒m＝2或－6，又m≠－6，∴m＝2，∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE 所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.(1)求点A的坐标；(2)求直线AC的方程．【解】(1)设点A(x，y)，则⎩⎨⎧8x ＋9y －3＝0，y ＋3x ＋1·13＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝3.故点A 的坐标为(－3,3)． (2)设点C (m ，n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －3n －1＝0，8·m －12＋9·n －32－3＝0，解得m ＝4，n ＝1，故C (4,1)， 又因为A (－3,3)，所以直线AC 的方程为y －13－1＝x －4－3－4，即2x ＋7y －15＝0.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |. ∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图4(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长.【导学号：45722128】【解】(1)AC的中点E(0,2)即为圆心，半径r＝12|AC|＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.(2)直线BC的斜率k＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y－1＝34(x－2)，即3x－4y－2＝0.点E到直线BC的距离为d＝|－8－2|5＝2，所以BC截圆E所得的弦长为25－22＝2.22. (本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．图5(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的1 4，求直线m的方程．【解】(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，又圆N的圆心在直线y＝x上，所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有(a－0)2＋(a－6)2＝(a－0)2＋(a－0)2，解得a＝3，所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝32，故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的14，所以CP⊥CQ.所以点C到直线m的距离为5.当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，即kx－y＋6＝0.所以|－5k＋5＋6|1＋k2＝5，解得k＝4855.所以此时直线m的方程为4855x－y＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。
2018届人教B版 反证法在证明题中的应用 单元测试
1. 【2016高考山东文数】观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯； 2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯； 2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； 2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯； …… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_________． 【答案】()413n n ⨯⨯+ 【解析】考点：合情推理与演绎推理【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.2. 【2015高考广东，理8】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C ．【考点定位】空间想象能力，推理能力，含有量词命题真假的判断．【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，推理求解能力和含有量词命题真假的判断，此题属于中高档题，如果直接正面解答比较困难，考虑到是选择题及选项信息可以根据平时所积累的平面几何、空间几何知识进行排除则不难得出正确答案C ，由于3n =时易知正三角形的三个顶点是两两距离相等的从而可以排除A 、B ，又当4n =时易知正四面体的四个顶点也是两两距离相等的从而可以排除D ．3.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题，难度较小.4. 【2015高考北京，理20】已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，①若n a 中有3的倍数，由（2）知：所有的n a 都是3的倍数，所以n a 都是3的倍数，所以n a 除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M 中的数从第三项起最多2项，加上前面两项，最多4项.②n a 中没有3的倍数，则n a 都不是3的倍数，对于3a 除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从3a 起，n a 除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M 中的项加上前两项最多8项，则11a =时，{1,2,4,8,16,32,28,20}M =，项数为8，所以集合M 的元素个数的最大值为8. 考点定位：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二、三两步难度较大，适合选拔优秀学生.【反馈练习】1．【2015-2016学年陕西延川县中学高二下学期期末数学（文）试卷】用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）A ．有两个内角是钝角B ．有三个内角是钝角C ．至少有两个内角是钝角D ．没有一个内角是钝角【答案】C【解析】考点：否定命题的写法．2．【2016-2017学年江西南昌市高三新课标一轮复习一数学试卷】用反证法证明命题“设3()3||()f x x x a a R =+-∈为实数，则方程()0f x =至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）A ．方程()f x 没有实根B ．方程()0f x =至多有一个实根C ．方程()0f x =至多有两个实根D ．方程()0f x =恰好有两个实根【答案】A【解析】试题分析：由反证法证明命题的格式和步骤,可知应设方程()f x 没有实根,故应选A. 考点：反证法证明命题的格式及步骤.3．【2016-2017河北武邑中学高二上周考9.25理数学试卷】在用反证法证明命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()()222a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，反证时假设正确的是（ ）A ．假设()()()222a b b c c a ---、、都小于1B ．假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1C ．假设()()()222a b b c c a ---、、都不大于1D ．以上都不对【答案】D【解析】试题分析：根据反证法的概念可知，命题“已知()0,2a b c ∈、、，求证()()22a b b c --、、()2c a -不可能都大于1”时，反证时假设因为“假设()()()222a b b c c a ---、、都大于1”，故选D ．考点：反证法．4．【2015-2016学年山东枣庄三中高二6月调查数学（理）试卷】用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A. 假设三内角都不大于60度B. 假设三内角都大于60度C. 假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】考点：反证法．5．【2015-2016学年福建晋江平山中学高二下学期期中数学（文）试卷】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数【答案】B【解析】试题分析：原命题的结论为：“恰有一个偶数”。
2018年高考数学题分类汇编(20)选修4-1：几何证明选讲 精品
2018年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）一、填空题：1．（2018年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。
若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为 。
【答案】13【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PAB ∆，所以PB PD =PC PA =BC AD ，所以BC AD =PB PD =13。
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。
2．（2018年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF= 。
【答案】2a 解：连结DE ，可知AED ∆为直角三角形。
则EF 是DEA Rt ∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a . 3．（2018年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165cm二、解答题：1．（2018年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小. 证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.2(2018年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。
2018年秋人教B版数学选修1-1第一章检测(含精品解析)
第一章检测一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 给出下列命题:(1)有的四边形是菱形;(2)有的三角形是等边三角形;(3)无限不循环小数是有理数;(4)∀x∈R,x>1;(5)0是最小的自然数.其中假命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：逐一分析各个命题的真假，综合可得答案详解：是真命题，无限不循环小数是无理数，故为假命题为假命题，故为假命题综上所述，假命题的个数为故选点睛：本题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用，结合各知识点的概念即可判断。
2. 设p,q是两个命题,则命题“p∨q”为真的充要条件是( )A. p,q中至少有一个为真B. p,q中至少有一个为假C. p,q中有且只有一个为真D. p为真,q为假【答案】A【解析】分析：由课本知识即可判断点睛：本题考查了“或”命题的真假性，结合课本知识即可得出答案。
3. 已知p:{1}⊆{0,1},q:{1}∈{1,2,3},由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“ p”中,真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：分别判断命题的真假，然后利用复合命题的真假关系进行判断。
详解：由题意可知，为真命题，为假命题是假命题，是真命题，是假命题故真命题的个数为故选点睛：本题主要考查了复合命题与简单命题的真假关系，比较基础。
4. 已知命题p:∃x∈R,x+6>0,则p是( )A. ∃x∈R,x+6≥0B. ∃x∈R,x+6≤0C. ∀x∈R,x+6≥0D. ∀x∈R,x+6≤0【答案】D【解析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案详解：命题：为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题可得：：故选点睛：本题主要考查了全称命题和命题的否定，属于基础题，熟练掌握根据全称命题的否定是特称命题是解题的关键5. 已知命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在该命题的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】试题分析：因为根据幂函数的定义，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．故答案为B考点：本试题主要考查四种命题的真假，本题解题的关键是在这四个命题中，正确命题的个数是成对出现的，注意判断．点评：解决该试题的关键是明确互为逆否命题真值相同的道理，那么原命题真和逆否命题真值一样，其否命题和其逆命题真值相同，只要判定两个即可。
2018届人教B版 立体几何 (1) 单元测试
(限时40分钟)[基 础 练]扣教材 练双基一、选择题1．一个几何体的三视图如图7-2-12所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是( )图7-2-12A ．16 πB ．14 πC ．12 πD ．8 π【解析】 由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余部分，由于球的半径为2，所以这个几何体体积为34×43π×23＝8π.【答案】 D2．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图7-2-13所示，则该三棱锥的表面积是( )图7-2-13A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5【解析】作出三棱锥的示意图如图，在△ABC 中，作AB 边上的高CD ，连接SD .在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥底面ABC ，SC ＝1，底面三角形ABC 是等腰三角形，AC＝BC ，AB 边上的高CD ＝2，AD ＝BD ＝1，斜高SD ＝5，AC ＝BC ＝ 5.∴S表＝S △ABC ＋S △SAC ＋S △SBC ＋S △SAB ＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.【答案】 C3．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7-2-14，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图7-2-14A.18B.17C.16D.15【解析】 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16， 剩余部分的体积V 2＝13－16＝56. 所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.【答案】 D4．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图7-2-15所示，则该四面体的表面积是( )图7-2-15A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2【解析】 根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD ⊥底面BCD ，另两侧面ABC 、ACD 为等边三角形，则S 表面积＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3.【答案】 B5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A. 81π4 B ．16π C ．9π D.27π4【解析】 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ，∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，∴AO ′＝ 2. ∵PO ′＝4， ∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2，∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝94，∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫942＝81π4，故选A.【答案】 A 二、填空题6．如图7-2-16，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1-EDF 的体积为 ．图7-2-16【解析】 VD 1-EDF ＝VF -DD 1E ＝13 ·AB ＝13×12×1×1×1＝16.【答案】 167．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是 ．【解析】 设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r 1，r 2，母线长分别为l 1，l 2，则由S 1S 2＝94得r 1r 2＝32.又两圆柱侧面积相等，即2πr 1l 1＝2πr 2l 2，则l 1l 2＝r 2r 1＝23，所以V 1V 2＝S 1l 1S 2l 2＝94×23＝32.【答案】 328．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图7-2-17所示，则该几何体的体积是 ．图7-2-17【解析】 根据三视图，画出其直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图所示．其中正方体棱长为2，AF ＝AE ＝1，故所求几何体体积为V ＝23－13×2×12×1×1＋12×2×2＋12×1×1×12×2×2＝173.【答案】 173 三、解答题9．(2015·荥阳月考)已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的体积．【解】 如图，设以r 1为半径的截面面积为5π，圆心为O 1，以r 2为半径的截面面积为8π，圆心为O 2，O 1O 2＝1，球的半径为R ，设OO 2＝x ，可得下列关系式：r 22＝R 2－x 2，πr 22＝π(R 2－x 2)＝8π，r 21＝R 2－(x ＋1)2，πr 21＝π[R 2－(x ＋1)2]＝5π，∴R 2－x 2＝8，R 2－(x ＋1)2＝5，解得R ＝3，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×33＝36π.10．(2015·全国卷Ⅱ)如图7-2-18，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图7-2-18(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 【解】 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56， S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.[能 力 练]扫盲区 提素能1．(2015·山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，选C.【答案】 C2．如图7-2-19，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为( )图7-2-19A ．2B ．1 C. 2 D.22【解析】 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，在Rt △OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝1，即x ＝2，则AB ＝AC＝1，∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.【答案】 C3．圆锥的全面积为15 π cm 2，侧面展开图的圆心角为60°，则该圆锥的体积为 cm 3.【解析】 设底面圆的半径为r ，母线长为a ，则侧面积为12×(2πr )a ＝πra .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πra ＋πr 2＝15π，πra ＝16πa 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r2＝157，a 2＝36×157，故圆锥的高h ＝a 2－r 2＝53，所以体积V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π(cm 3)．【答案】 2573π4．已知正四面体的俯视图如图7-2-20所示，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，则这个正四面体的表面积为 ，体积为 ．图7-2-20【解析】 由题意知正四面体的直观图E -ACF 补成正方体如图所示． 由正方体棱长为2，知正四面体的棱长为22，正四面体表面积为34×(22)2×4＝8 3.点E 到平面ACF 的距离为(22)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22×232＝433.正四面体的体积为13×433×34×(22)2＝83. 【答案】 83 835．如图7-2-21所示，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，求该多面体的体积．图7-2-21【解】 如图所示，分别过A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，∵三棱锥高为12，直三棱柱高为1， AG ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，取AD 中点M ，则MG ＝22，∴S △AGD ＝12×1×22＝24， ∴V ＝24×1＋2×13×24×12＝23.6．如图7-2-22，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝2，BD ⊥CD ，四边形ADEF 为正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．记CD ＝x ，V (x )表示四棱锥F -ABCD 的体积．图7-2-22(1)求V (x )的表达式； (2)求V (x )的最大值．【解】 (1)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD 且F A ⊥AD ，∴F A ⊥平面ABCD .∵BD ⊥CD ，BC ＝2，CD ＝x ， ∴F A ＝2，BD ＝4－x 2(0＜x ＜2)， ∴S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝x 4－x 2，∴V (x )＝13S ▱ABCD ·F A ＝23x 4－x 2(0＜x ＜2)． (2)V (x )＝23x 4－x 2＝23－x 4＋4x 2 ＝23－ x 2－2 2＋4.∵0＜x ＜2，∴0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，V (x )取得最大值，且V (x )max ＝43.。
2018届人教B版 立体几何(文)检测卷
第七章 综合过关规范限时检测(文)(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·山东枣庄八中高三月考)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( D )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④[解析] ①的正视图、侧视图、俯视图均为正方形，不符合题意；②的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆；③的正视图、侧视图、俯视图分别为等腰梯形且左右中间加一条线、一般梯形、三角形，不符合题意；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形且连接两条对角线．故选D ．2．(2016·四川雅安高三模拟)下列说法错误的是 ( D ) A ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B ．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直C ．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直D ．如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行[解析] 由平面性质的公理1,2,3易知A ，B 两项正确；由面面垂直的判定定理知C 项正确；D 项不正确，因为这两条直线可能相交，可能平行，可能异面．故选D ．3．(2017·福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ( B )A ．16B ．13C ．23D ．1[解析] 由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中P A ⊥底面ABC ，P A ＝2，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1.∴S △ABC ＝12×AB ×BC ＝12×12＝12.因此V ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2＝13.故选B ．4．(2016·宁夏回族自治区银川一中高三一模)已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 ( A )A ．m ，n 与α成等角B ．m ⊥α，且n ⊥αC ．m ∥α，且n ⊂αD ．m ∥α，且n ∥α[解析] 因为m ∥n ，所以m ，n 与α所成角相等，但m ，n 与α所成角相等，m 与n 可能相交、异面，也可能平行．故选A ．5．(2016·广东江门3月模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点．下列结论中，正确的是 ( B )A ．EF ⊥BB 1 B ．EF ∥平面ACC 1A 1 C ．EF ⊥BDD ．EF ⊥平面BCC 1B 1[解析] 如图所示，取BB 1的中点M ，连接ME ，MF ，延长ME 交AA 1于P ，延长MF 交CC 1于Q ，∵E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点，∴P 是AA 1的中点，Q 是CC 1的中点，从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点，所以EF ∥PQ .又PQ ⊂平面ACC 1A 1，EF ⊄平面ACC 1A 1，所以EF ∥平面ACC 1A 1.故选B ．6．(2016·河北邯郸上学期1月份教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，P A＝2，直线P A与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线P A与BE所成的角为(C) A．90°B．60°C．45°D．30°[解析]连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.因为E为PC中点，所以OE∥P A，所以∠OEB即为异面直线P A与BE所成的角．因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，所以AO为P A在平面ABCD内的射影，所以∠P AO即为P A与平面ABCD所成的角，即∠P AO＝60°.因为P A＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，即异面直线P A与BE所成的角为45°.故选C．7．(2016·贵州八校联盟第二次联考)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD 的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是(D)A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心[解析]易知P A，PE，PF两两垂直，P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF 的垂心．故选A．8．(2017·浙江省名校协作体2016届高三下学期3月联考数学试题)已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是(D)A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n[解析]由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α；若m⊥α，m⊥β，则α∥β；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；若m∥α，α∩β＝n，则m与n相交、平行或异面．解：由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α，故A正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∩β＝n，则m与n相交、平行或异面，故D不正确．故选D．9．(2015·福建厦门期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，且平面P AD⊥平面ABCD，则下列说法错误的是(D)A．在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P－BC－A的大小为45°D．BD⊥平面P AC[解析]对于A项，如图，取AD的中点M，连接PM，BM.因为则面P AD为正三角形，所以PM⊥AD．又底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，所以△ABD是等边三角形，所以AD ⊥BM，所以AD⊥平面PBM，故A项正确，对于B项，因为AD⊥平面PBM，所以AD⊥PB，即异面直线AD与PB所成的角为90°，故B项正确．对于C项，因为底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，平面P AD⊥平面ABCD，所以BM⊥BC，则∠PBM是二面角P－BC－A的平面角．设AB＝1，则BM＝32，PM＝32.在Rt△PBM中，tan∠PBM＝PMBM＝1，即∠PBM＝45°，所以二面角P－BC－A的大小为45°，故C项正确．故选D．10．正三棱锥P －ABC 的高为2，侧棱与底面ABC 成45°角，则点A 到侧面PBC 的距离为 ( B )A ．355B ．655C ． 5D ．5[解析] 如图所示，正三棱锥P －ABC 中高PO ＝2，侧棱P A 与底面所成的角∠P AO ＝45°延长AO 交BC 、于点M ，则点M 为BC 边的中点，连接PM ，∴AO ＝PO ＝2，OM ＝1，PM ＝PO 2＋OM 2＝5，过点A 作AN ⊥PM 于点N ，则AN ⊥平面PBC ，即得AN 的长就是点A 到平面PBC 的距离，∵AM ×PO ＝PM ×AN ，∴AN ＝AM ×PO PM ＝3×25＝655.11．(2016·河南商丘高三一模)已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为 ( A )A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π[解析] 由三棱锥的三视图，易得俯视图斜边上的中点到三棱锥各顶点的距离均为1，所以三棱锥的外接球球心为俯视图斜边上的中点，外接球的半径为1.由球的表面积公式S 球＝4πR 2，知外接球表面积为4π，故选A ．12.(2016·江西上饶第一次模拟)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1的中点，且FD ⊥AC 1，有下述结论：(1)AC 1⊥BC ； (2)ADDC 1＝1；(3)平面F AC 1⊥平面ACC 1A 1； (4)三棱锥D －ACF 的体积为33. 其中正确结论的个数为 ( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1，所以AC 1与BC 不垂直，故(1)错误；连接AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5.因为FD ⊥AC 1，所以可得D 为线段AC 1的中点，故(2)正确；取AC 的中点为H ，连接BH ，DH ，因为该三棱柱是正三棱柱，所以CC 1⊥底面ABC ，因为BH ⊂底面ABC ，所以CC 1⊥BH ，因为底面ABC 为正三角形，可得BH ⊥AC ，所以BH ⊥侧面ACC 1A 1.因为D 和H 分别为AC ，AC 1的中点，∴DH ∥CC 1∥BF ，DH ＝BF ＝12CC 1，可得四边形BFDH 为平行四边形，所以FD ∥BH ，所以可得FD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面F AC 1⊥平面ACC 1A 1，故(3)正确；V D －ACF ＝V F －ADC ＝13·FD ·S △ACD ＝13×3×(12×1×2)＝33，故(4)正确．故选C ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．(2016·山东青岛模拟)已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的表面积之比是_2∶3__.[解析] 设球的半径为R ，则球的表面积S 球＝4πR 2，圆柱的底面半径为R ，高为2R ，则圆柱的表面积S 柱＝2×πR 2＋2πR ×2R ＝6πR 2.球的表面积与圆柱的表面积的比为4πR 2∶6πR 2＝2∶3.14．(2016·浙江，6分)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_72__cm 2，体积是_32__cm 3.[解析] 将三视图还原成直观图如图所示，它由2个长方体组合而成，其体积V＝2×2×2×4＝32 cm 3，表面积为6×2×4＋6×2×2＝72 cm 2.15．如图所示是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E ，F ，分别为P A ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD ． 其中正确的有_2__个.[解析] 将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．16．(2016·浙江，4分)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是66.[解析] 作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E ，则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ，∵D ′N ＝56＝306，BM ＝FN ＝152＝302，∴D ′F 2＝253－5cos θ，∵AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，∴D ′F ⊥AC ，∴D ′F ⊥BE ，又BF ＝MN ＝63，∴Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，∴cos ∠D ′BE ＝BF D ′B ＝639－5cos θ≤66，当且仅当θ＝0°时取“＝”．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)如图，在三棱锥P －ABC 中，BC ⊥平面P AB ．已知P A ＝AB ，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点.(1)求证：AD ⊥平面PBC ；(2)若F 在线段AC 上，满足AD ∥平面PEF ，求AFFC 的值．[答案] (1)略 (2)12[解析] (1)证明：∵BC ⊥平面P AB ，AD ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AD ． ∵P A ＝AB ，D 为PB 的中点，∴AD ⊥PB ． ∵PB ∩BC ＝B ，∴AD ⊥平面PBC ．(2)解：如图所示，连接DC 交PE 于G ，连接FG . ∵AD ∥平面PEF ，平面ADC ∩平面PEF ＝FG ， ∴AD ∥FG .∵G 为△PBC 的重心， ∴AF FC ＝DG GC ＝12. 18.(本小题满分12分)(2016全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P －ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6.顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G(1)证明：G 是AB 的中点；(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．[解析] (1)因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以AB ⊥PD ．因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE .所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG .又由已知，可得P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点．(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心． 由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2. 所以四面体PDEF 的积体V ＝13×12×2×2×2＝43.19．(本小题满分12分)(2017·黑龙江省大庆市高三上学期第一次质检数学试题)如图，已知三棱锥A ﹣BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形.(1)求证：BC⊥平面APC；(2)若BC＝3，AB＝10，求点B到平面DCM的距离．[解析](1)根据正三角形三线合一，可得MD⊥PB，利用三角形中位线定理及空间直线夹角的定义可得AP⊥PB，由线面垂直的判定定理可得AP⊥平面PBC，即AP⊥BC，再由AC⊥BC结合线面垂直的判定定理可得BC⊥平面APC；(2)记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD＝V B﹣MDC．分别求出MD长，及△BCD 和△MDC面积，利用等积法可得答案．证明：(1)如图，∵△PMB为正三角形，且D为PB的中点，∴MD⊥PB．又∵M为AB的中点，D为PB的中点，∴MD∥AP，∴AP⊥PB．又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC，(2)记点B到平面MDC的距离为h，则有V M﹣BCD＝V B﹣MDC．∵AB＝10，∴MB＝PB＝5，又BC＝3，BC⊥PC，∴PC ＝4，∴S △BDC ＝12S △PBC ＝14PC ·BC ＝3. 又MD ＝532， ∴V M －BCD ＝13MD ·S △BDC ＝532. 在△PBC 中，CD ＝12，PB ＝52， 又∵MD ⊥DC ，∴S △MDC ＝12MD ·DC ＝2583， ∴V B －MDC ＝13h ·S △MDC ＝13·h ·2583＝532 ∴h ＝125即点B 到平面DCM 的距离为125. [点拨] 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，点到平面的距离，其中(1)的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的相互转化，(2)的关键是等积法的使用．20.(本小题满分12分)(2016·福建莆田一中等上学期三校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝1，AB ＝3，点F 是PD 的中点，点E 是边DC 上的任意一点.(1)当点E 为DC 边的中点时，判断EF 与平面P AC 的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF ；(3)求三棱锥B －AFE 的体积．[答案] (1)平行 (2)略 (3)312[解析] (1)解：当点E 为DC 边的中点时，EF 与平面P AC 平行．证明如下：在△PDC 中，E ，F 分别为DC ，PD 的中点，∴EF ∥PC ，又EF ⊄平面P AC ，而PC ⊂平面P AC ，∴EF ∥平面P AC ．(2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD ．∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD ．∵AD ∩AP ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．又AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD ．∵P A ＝AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ．又CD ∩PD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ．∵EF ⊂平面PCD ，∴AF ⊥EF .即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解：作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B －AEF ＝V F －AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312. ∴三棱锥B －AFE 的体积为312. 21.(本小题满分12分)(2016·洛阳统一考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，点O 是对角线AC 与BD 的交点，M 是PD 的中点，且AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：OM ∥平面P AB ；(2)求证：平面PBD ⊥平面P AC ；(3)当三棱锥M －BCD 的体积等于34时，求PB 的长． [答案] (1)略 (2)略 (3)52[解析] (1)∵在△PBD 中，O ，M 分别是BD ，PD 的中点，∴OM 是△PBD 的中位线，∴OM ∥PB ，又OM ⊄平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，∴OM ∥平面P AB ．(2)∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又AC ⊂平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，AC ∩P A ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面P AC ．(3)∵底面ABCD 是菱形，M 是PD 的中点，∴V M －BCD ＝12V M －ABCD ＝14V P －ABCD ，从而V P －ABCD ＝ 3. 又AB ＝2，∠BAD ＝60°，∴S 四边形ABCD ＝2 3.∵四棱锥P －ABCD 的高为P A ，∴13×23×P A ＝3，得P A ＝32， ∵P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AB ．在Rt △P AB 中，PB ＝P A 2＋AB 2＝(32)2＋22＝52. 22．(本小题满分12分)(2017·福建省南平市邵武七中高三上学期第一次月考数学试题)如图，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面互相垂直，F 为BC 的中点，∠BAC ＝∠ACD ＝90°，AE ∥CD ，DC ＝AC ＝2AE ＝2.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求四面体B ﹣CDE 的体积．[解析] (1)取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，△BCD 中利用中位线定理，证出PF ∥DC且PF ＝DC ，结合题意EA ∥DC 且EA ＝12DC ，可得PF 与EA 平行且相等，从而得到四边形AFPE 是平行四边形，可得AF ∥EP ，再由线面平行判定定理可得AF ∥平面BDE ；(2)由面面垂直的性质定理，证出BA ⊥面ACDE ，得BA 就是四面体B ﹣CDE 的高．根据直角梯形ACDE 的上下底边长和直角腰长，算出△CDE 的面积为S △CDE ＝S 梯形ACDE ﹣S △ACE ＝2，最后利用锥体的体积公式即可算出四面体B ﹣CDE 的体积．解：(1)取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，∵△BCD 中，PF 为中位线，∴PF ∥DC 且PF ＝12DC ， 又∵AE ∥CD ，DC ＝2AE ＝2，∴EA ∥DC 且EA ＝12DC ， 由此可得PF ∥EA ，且PF ＝EA∴四边形AFPE是平行四边形，可得AF∥EP∵EP⊂面BDE，AF⊄面BDE，∴AF∥面BDE(2)∵BA⊥AC，面ABC⊥面ACDE，面ABC∩面ACDE＝AC ∴BA⊥面ACDE，即BA就是四面体B﹣CDE的高，BA＝2 ∵DC＝AC＝2AE＝2，AE∥CD∴S梯形ACDE＝12(1＋2)×2＝3，S△ACE＝12×1×2＝1因此，△CDE的面积为S△CDE＝3﹣1＝2∴四面体B﹣CDE的体积V B－CDE＝13·BA·S△CDE＝13×2×2＝43.。
2018届人教B版 导数的几何意义与应用 单元测试
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0,若| f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( )A 、（－∞,0]B 、（－∞,1]C 、[－2,1]D 、[－2,0] 【答案】D ；2.【2013⋅新课标全国】已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ,g (x )＝e x (cx ＋d ),若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ,b ,c ,d 的值【解析】（1）因为曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0,2),所以b=d=2；因为'()2f x x a =+,故'(0)4f a ==；'()()xg x e cx d c =++,故'(0)24g c =+=,故2c =；所以2()42f x x x =++,()(22)x g x e x =+；3.【2014全国卷2理】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a =（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D【解析】设()()ln 1f x ax x =-+,则()()1012 3.1f x a f a a x ''=-⇒=-=⇒=+ 4.【2014全国卷1文21(1)】设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0（1）求b; 【解析】'()(1)af x a x b x=+--,由题设知'(1)0f =,解得1b =.5.【2014全国卷2文21（1）】已知函数32()32f x x x ax =-++,曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；【解析】'()f x =236x x a -+,'(0)f a =.曲线()y f x =在点（0,2）处的切线方程为2y ax =+.由题设得22a-=-,所以a =1. 6.【2015全国Ⅰ卷文】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7,则a = 【答案】1【解析】()12f a =+,()131f a '=+,所以切线方程为()()()2311y a a x -+=+-.又过点()2,7,即()()723121a a --=+-,解得1a =.故填1.7.【2015全国2卷文】已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切, 则=a . 【答案】88.【2015全国1理21（1）】已知函数()314f x x ax =++,当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x =的切线.【解答】设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ,则()00f x =,()00f x '=,即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得012x =,34a =-,所以当34a =-时,x 轴为曲线()y f x =的切线．【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看,导数的几何意义是高考的热点,几乎年年都出题,题型既有客观题,又有解答题,试题多以二次函数、三次函数及对数函数为载体,难度中档左右,如出现在解答题中一般是解答题的第一问．在2013年高考中,涉及到导数的几何意义有两道,一道选择题文科是第12题,理科第11题,都作为把关题,一道是解答题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程,在2014年高考中,无论是客观题、解答题都是根据切线求参数取值,难度较小；2015年高考中依然是根据切线方程求参数取值.预测2016年高考仍将以导数的几何意义为背景设置成选择题或解答题第一问,理科难度有可能增加,有可能是根据切线条数求参数范围,另外指数函数的切线问题在近几年高考中还没有涉及到．请考生重视． 【重点知识整合】 导数的概念与几何意义（1）导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时,则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0x x y =',即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆.注意：在定义式中,设x x x ∆+=0,则0x x x -=∆,当x ∆趋近于0时,x 趋近于0x ,因此,导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. （2.）导数的几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的,后者A 必为切点,前者未必是切点.3（）导数的物理意义： 函数()s s t =在点0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ,即0().v s t '=【应试技巧点拨】利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时,利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”,利用该点出的导数为直线的斜率,便可直接求解；若“过”,解决问题关键是设切点,利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点,则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f ))((00/x x x -,再根据题意求出切点. 【考场经验分享】函数切线的相关问题的解决,抓住两个关键点：其一,切点是交点；其二,在切点处的导数是切线的斜率．因此,解决此类问题,一般要设出切点,建立关系——方程(组)．其三,求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线,点P 是切点．【名题精选练兵篇】1．【2016届安徽省合肥168中学高三上10月月考】设曲线y=ax ﹣ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x,则a=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据导数的几何意义,即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率,再代入计算．解：,∴y′（0）=a ﹣1=2,∴a=3．故答案选D ．2．【2016届湖北省孝感市六校联盟高三上学期期末】曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．30°C ．60°D ．120° 【答案】A【解析】2132,|3121,x y x y =''=-∴=⨯-= 所以切线在点()1,3处切线的斜率1k =,设切线的倾斜角为α,则tan 1α=,又)0α⎡∈⎣ ，180,解得=45α ,故选A ．3．【2016届广东省广州实验中学高三上学期第二次段考】已知函数f （x ）=e x ﹣mx+1的图象是曲线C,若曲线C 不存在与直线y=ex 垂直的切线,则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞,﹣） B ．[,+∞） C ．（﹣∞,） D ．（﹣∞,] 【答案】D4．【2016届河北省邯郸一中高三下学期调研】已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+,设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点,且在该点处的切线相同,则()0,a ∈+∞时,实数b 的最大值是（ ）A ．6136eB ．616e C ．2372e D ．2332e【答案】D【解析】设切点为（0x ,0y ）,则由切点处的斜率相同且切线相同得,0203x a a x =+2……①,b x a ax x +=+02003221ln ……②.因为(0,)a ∈+∞,所以由①得0x a =,并将其代入②得,a a a b ln 22325-=．设a a a a h ln )(22325-=,利用导数法求得函数在区间），（31e 0上单调递增,在区间),(+∞31e 上单调递减,所以323123e e h a h ==)()(max ,则=maxb 2332e ．选D ． 5．【2016届广西省武鸣县高中高三上学期8月月考】已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切,设()2xg x e bx =+a +,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m （ ）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e + 【答案】D6．【2016届吉林省长春外国语学校高三上第二次质检】已知函数()y f x =的图像在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=,若()()xg x f x =,则()1g '=（ ） A ．12 B ．12- C ．32- D ．2 【答案】A【解析】由切线方程得()01121=+-f ,()11=∴f ,由导数的几何意义得()211='f , ()()()()()()()x f x f x x f x f x f x x f x x g 22'⋅-='⋅-⋅'=',()()()()21111112-='-='∴f f f g 21=,故答案为A ．7．【2016届河北省衡水中学高三上学期一调】设a R ∈,函数()xxf x e ae-=-的导函数为()'f x ,且()'f x 是奇函数,则a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 【答案】D8．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】函数2()2ln f x x x =-在1x =处的切线方程是（ ）A ．45y x =-B ．31y x =-C ．32y x =-D ．42y x =-【答案】B【解析】由题意,得1()4f x x x'=-．因为(1)2f =,(1)4113f '=⨯-=,所以切线方程为23(1)y x -=-,即31y x =-,故选B ．9．【2016届云南师范大附中高考适应性月考】若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线,则a 的A ．最大值为28eB ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e【答案】B【解析】设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，,与曲线2C 切于点22(e )x x a ，,则2221121e 2e x x a x x a x x -==-,将212ex x a =代入221121e 2x a x x x x -=-,可得1222x x =-,代入212e x x a =可得224(1)e x x a -=,设4(1)()e xx f x -=,求导 得4(2)()e xx f x -'=,可得()f x 在(12)，上单调递增,()f x 在(2)+∞，上单调递减,所以max 24()(2)e f x f ==, 故选B ．10．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】已知()y f x =是(0,)+∞上的可导函数,满足[](1)2()'()0x f x xf x -+>（1x ≠）恒成立,(1)2f =,若曲线()f x 在点(1,2)处的切线为()y g x =,且()2016g a =,则a 等于（ ）A ．500.5-B ．501.5-C ．502.5-D ．503.5- 【答案】C11.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线,则实数a 的取值范围是（ ） A ．]2,(-∞ B ．(,2)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞ 【答案】B ．【解析】∵()ln f x x ax =+,∴1'()f x a x =+,由题意得,12a x +=有解,122a x=-<, ∴实数a 的取值范围是(,2)-∞． 12.若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线,则实数a =（ ） A ．2- B ．12C ．1D ．2 【答案】C【解析】根据题意可知：1,a y x y e x ''==,两曲线在点(),P s t 处由公共的切线,所以1a s e s=即：s =代入2ln 2s a s e=解得：1a =,所以答案为C ．13．【2016届江西师大附中高三上学期期末】已知函数()y f x =的图象在点()()2,2M f 处的切线方程是4y x =+,则()()22f f '+= ． 【答案】7【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知1)2(='f ,有点M 必在切线上,代入切线方程4y x =+,可得6)2(=f ,所以有7)2()2(=+'f f ．14．【2016届辽宁省沈阳二中高三第一次模拟】322()13f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a 的取值范围为 ． 【答案】7(3,)215．【2016届重庆一中高三下学期3月月考】已知函数2()ln f x x ax =-在点(2,(2))f 处的切线的斜率是32-,则a =________． 【答案】12【解析】由题意,得1()2f x ax x '=-,则由导数的几何意义,知13(2)422f a '=-=-,解得12a =． 16．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点00(,)P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C,下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）． ①直线:0l y =在点(0,0)P 入“切过”曲线3:C y x = ②直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x = ③直线:l y x π=-+在点(,0)P π处“切过”曲线:sin C y x = ④直线:1l y x =+在点(0,1)P 处“切过”曲线:x C y e = 【答案】①③【解析】对于①,3y x =在点(0,0)P 处的切线为0y =,符合题 中两个条件,所以正确；对于②曲线:ln C y x =在直线:1l y x =-的同侧,不符合题意,所以错误；对于③,由图象可知,曲线:sin C y x =在点(,0)P π附近位于直线l 的两侧,符合题意,所以正确；对于④,曲线:x C y e =在直线:1l y x =+的同侧,不符合题意,所以错误；即正确的有①③．【名师原创测试篇】1．已知曲线2()ln(1)f x x a x =++在原点处的切线方程为y x =-,则a =________． 【答案】-1【解析】由题意()21af x x x '=++,所以(0)f a '=,又切线方程为y x =-,所以1a =-,所以答案应填：1-．2.已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线,则实数m 的取值范围为（ ）A ．),[+∞eB ．),(+∞eC ．),1(+∞e D ．)1,(e-∞ 【答案】C 【解析】设切点的横坐标为0x ,因为()f x '=x e m -,所以函数()f x 在))(,(00x f x 的切线斜率为0xe m -,由题知,01xe m e -=-,所以011xm e e e =+>,所以实数m 的取值范围为),1(+∞e． 3. 设点P 在曲线上ln y x =上,点Q 在曲线11y x=-(x >0)上,点R 在直线y x =上,则||||PR RQ +的最小值为（ ）A 1)e -B . 1)e -C D4. 已知函数2()f x x = 的图像在点11(,())A x f x 与点22(,())B x f x 处的切线互相垂直并交于一点P ,则点P 的坐标可能为（ ） A.3(,3)2- B.(0,4)- C.(2,3) D.1(1,)4- 【答案】D【解析】由已知得,()()221122,,,A x x B x x ()12x x ≠ ,因为()2f x x '= ,则在A,B 两点的切线斜率为11222,2k x k x == ,由于切线垂直,∴1212114k k x x =-⇒=-,两条切线方程分别为 22111222:2,:2l y x x x l y x x x =-=- ,可得()()121220x x x x x --+=⎡⎤⎣⎦ , ∴122x x x += ,则1214y x x ==- ,结合所给的选项,可得P 点的坐标可能是D 5. 在平面直角坐标系中xOy 中,直线2y x b =+是曲线ln y a x =的切线,则当0a >时,实数b 的最小值是【答案】-2【解析】设切点为(00,ln x a x ),则y=alnx 上此点处的切线为00ln a y x a x a x =+-,故002ln a x a x a b ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴()ln 02a b a a a =- 在（0,2）上单调递减,在()2,+∞上单调递增. ∴b 的最小值为-2.6.已知函数()=-x af x x e 存在单调递减区间,且()=y f x 的图象在0=x 处的切线l 与曲线x y e =相切,符合情况的切线l （ ）（A ）有3条 （B ）有2条 （C ） 有1条 （D ）不存在【答案】D所以()h x 在)0,(-∞上单调递减,在),0(+∞上单调递增,当,()1x h x →-∞→-,,()x h x →+∞→+∞ 所以()h x 在(0,)+∞有唯一解,则01x e >,而0>a 时,111<-a,与01x e >矛盾,所以不存在．。
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A
B
C
D E F
G
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编
15．几何证明选讲
一、解答题
（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且
AE=MN=EBCF 的面积.
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交
于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；
（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.
（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，
E ，
F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四
点共圆.
（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；
（Ⅱ）若D B BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.
（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .
（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合. 已
知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根.
（Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.
G
A B
C
D E F
G
2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ文科数学试题分类汇编
15．几何证明选讲（逐题解析版）
（2016·22）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
22. 证明：（Ⅰ）∵DF CE ⊥，∴Rt Rt DEF CED △∽△，∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠，
DF CF DG BC =，∵DE DG =，CD BC =，∴DF CF
DG BC =，∴GDF BCF △∽△， ∴CFB DFG ∠=∠，∴GFB GFC CFB ∠=∠+∠90GFC DFG DFC =∠+∠=∠=︒， ∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．
（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =，∴1
2
DG CG DE ===，∴在Rt GFC △中，GF GC =，
连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△，∴111
2=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．
（2015·22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF ∥BC ；
（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且
AE=MN=EBCF 的面积.
（2015·22）解析：（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线，又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥，从而//EF BC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上. 连结,OE OM ，则OE AE ⊥，由AG 等于⊙O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=
，因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形. 因
为AE =，所以4,2AO OE ==. 因
为
1
2,
32
O M O E D M ===所以1OD =. 于是5,AD
=AB . 所以四边形EBCF
的面积为221122⨯⨯
（2014·22）如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交
于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E . 证明：（Ⅰ）BE = EC ；
（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.
（2014·22）解析：（Ⅰ）∵PC =2P A ，PD =DC ，∴P A =PD ，△P AD 为等腰三角形. 连接AB ，
则∠P AB =
∠DEB =β，∠BCE =∠BAE =α，∵∠P AB +∠BCE =∠P AB +∠BAD =∠P AD =∠PDA =∠DEB +∠DBE ，∴β+α=β+∠DBE ，即α=∠DBE ，亦即∠BCE =∠DBE ，所以BE =EC .
（Ⅱ）∵AD ·DE =BD ·DC ，P A 2=PB ·PC ，PD =DC =P A ， ∴BD ·DC =(P A -PB ) ·P A =PB ·PC -PB ·P A =PB ·(PC -P A )， ∴PB ·P A =PB ·2PB =2PB 2.
（2013·22）如图，CD 为ABC △外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，
E ，
F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC AE DC AF ⋅=⋅，B 、E 、F 、C 四
点共圆.
（Ⅰ）证明：CA 是ABC △外接圆的直径；
（Ⅱ）若D B BE EA ==，求过B 、E 、F 、C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.
（2013·22）解析：（Ⅰ）因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知
BC DC
FA EA
=
，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
（Ⅱ）连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2. 而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为1
2
.
（2012·22）如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .
（2012·22）解析：（Ⅰ） ∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC . ∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB =CF =BD ，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD .
（2011·22）如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点
重合. 已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2-14x +mn =0的两个根.
（Ⅰ）证明：C 、B 、D 、E 四点共圆；
（Ⅱ）若∠A =90º，且m =4，n =6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径.
（2011·22）解析：（Ⅰ）连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ，
即AB
AE AC AD ，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ，所以C 、B 、D 、E 四点共圆.
（Ⅱ）m =4，n =6，方程x 2-14x +mn =0的两根为2，12. 即AD =2，AB =12，取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G 、F 作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点H ，连结D 、H ，因为C 、B 、D 、E 四点共圆，所以圆心为H ，半径为DH . 由于∠A =90º，故GH ∥AB ，HF ∥AC .
从而HF =AG =5，DF =5，故半径为。