脉冲时滞SVEIR模型的持久性
具有脉冲接种和分布时滞的SVEIR传染病模型
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ３ — ５ １ ９ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５ － ０ １ ３ ０ － ０ ５
具 有 脉 冲 接种 和 分布 时 滞 的 Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ传染 病 模 型
黄灿 云 ， 樊海 霞，惠富春
（ 兰州理工大学 理学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ５ ０ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｔｈ ｅ ｄ ｙ ｎ ａ ｍｉ ｃ ｓ ｂ ｅ ｈ ａ ｖ ｉ ｏ ｒ ｓ ｏ ｆ ａ ｎ Ｓ ＶＥＩ Ｒ ｅ ｐ ｉ ｄ ｅ ｍｉ ｃ ｍｏ ｄ ｅ ｌ ｗｉ ｔ ｈ ｐ ｕ ｌ ｓ ｅ ｖ ａ ｃ ｃ ｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｓ ｔ ｒ ｉ ｂ ｕ ｔ ｅ ｄ
传染 病是 由病毒 、 立 克 次体 、 细菌 、 螺 旋体 等病 原微 生 物和 寄生虫感 染人 体后产 生 的具 有传染 性 的
疾病 ，给人 类 的生 存带 来 巨大 危 害 ，近 年来 引起 了
的接种率 导致传 染病 的消 除．脉 冲接种 模 型 已经研
究 多年 ， 获 得 了大 量 有 益 的研 究 成 果 ［ － ８ ］ ．受 文 献
［ ２ ，５ ］ 的启发 ， 本 文考 虑具 有 分 布 时滞 和脉 冲接 种 的Ｓ ＶＥ Ｉ Ｒ传 染病模 型 ， 建立 、 讨论 无病 周期 解 的全
局 吸引性 和疾 病持久 存在 的条件 ．
数 学工作 者 的重视 ， 关 于 传染 病 数 学模 型 的研究 目 前 已经 取得 很 多 成 果ｌ ＿ １ ．大 部 分 时滞 传 染 病 模 型 都 以离散 时滞 ｒ刻 画疾 病 的潜 伏期 或者恢 复者 的免 疫期， 这 是 一 种理 想 的简 化．实 际上 ，传 染病 的潜 伏 期 ，恢复 者对疾 病 的免疫期 或者 染病 者对 疾 病 的 感 染期 的长短 是 因人 而异 的 ， 因此 它们 用 分 布 时滞 来 模拟 显 得更 符 合 实 际．２ ０ ０ １年 ，Ｂ ｅ ｒ ｅ ｔ ｔ ａ等 人 Ｅ ４ ］
具脉冲效应和反馈控制的企业集群竞争模型的持久性分析
１ 引 言
企业集 群是 指相 同或 相关行 业 的企业 和机构 在 特定地 理位 置聚集 而形 成 的 紧 密联 系 的 集 合体 ， 形
些 学者 从生 态学 角度 研 究 企 业集 群 ， 文献 ［ ～ 如 １ ３ ．基 于生态 学 理论 基 础 ， ］ 建立 恰 当 的数 学模 型模
ＬＩ ｎｇ， ＬＩ Ｙｏｎ — ｎ Ｕ Ｐｉ ｇ ｋｕ
（ ｐ ｒｍｅ ｔ ｆ Ｍａ ｈ ｍ ｔ ｓ Ｙ ｎ ａ ｎ ｖ ｒｉ Ｋｕ ｍｉｇ。 ｕ ｎ ｎ ６ ０ ９ 。Ｃ ｉａ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｔｅ ａ ｉ ， ｕ ｎ ｎ Ｕ ｉｅｓｔ ｏ ｃ ｙ， ｎ ｎ Ｙ ｎ ａ ５ ０ １ ｈ ｎ ）
一
拟经 济生 活 中的企 业集 群 现 象 ， 用 动 力 系统 理 论 运
研究 模型 的周期 解 、 久性 、 持 平衡 点稳 定性 及 吸引性
成 一定 的经济 产 出 ， 具有 一定 的经 济影 响． 企业 集群 有着 类似 于生 命有 机体 的诸多 生命 现象 ， 如萌芽 、 成 长 、 熟 和衰退 的生命 演 化规律 ， 成 以及 类似 于物种 间
状 型 企 业 集 群 模 式 下 企 业 间 竞 争 关 系的数 学模 型 ～
型 系统 ， 通 过 脉 冲 微 分 方 程 的 比 较 性 定 理 ． 立 了该 系统 持 久 性 生 存 的 充 分条 件 ， 做 经 济 学 解 释 ． 并 建 并 关 键 词 企 业 集群 ； 争 模 型 ； 冲 ； 馈 控 制 ； 久性 竞 脉 反 持 中 图分 类 号 Ｆ ２ ２４ 文献标识码 Ａ
Ａｎａ ｙ ｉ ｎ Ｐｅ ｍ ａ ｅ ｅ ｏ ｍ ｐ ｌｉ ｅ Ｔｙ ｍ ｐｅ ｉｉ ｅ ｌ ｓｓ ｏ ｒ ｎ ｎｃ ｆＩ ｕ ｓ ｖ ｐｅ Ｃｏ ｔｔｖ
非线性电路与系统的脉冲建模及其稳定性
２ ０ １ ４年 ４月
黑龙江科学
ＨＥ Ｉ Ｌ ＯＮＧＪ Ｉ ＡＮＧ Ｓ Ｃ Ｉ Ｅ ＮＣ Ｅ
Ｖｏ １ ． ５ Ｎｏ ． ４
Ａｐ ｒ ｉ ｌ ２ ０１ ４
非线性 电路与 系统 的脉 冲建 模及其稳定性
任 思 颖
（ 吉林司法警官职业学院 ， 长春 １ ３ ０ ０ ６ ２ ）
文献标志码 ：Ｂ
文 章 编 号 ：１ ６ ７ ４ — ８ ６ ４ ６ （ ２ ０ １ ４） ０ ４ — ０ ０ ６ ９ — ０ １
我 们 通过 构 造 Ｔ — Ｓ模 糊 模 型来 研 究 非线 性 系统 ， 引入脉 冲 控 制律 得 到 Ｔ — Ｓ模糊 模 型 的脉冲 时 滞 微 分 方程。 再 利用 李雅 普 诺夫 函数 推 出 固定 Ｂ Ｃ － ， Ｎ 脉 冲控 制 的模糊 时 滞 系统 的指 数稳 定 准则 。
脉 冲 时 滞 模糊 系 统 的 稳定 性 研 究。 第三 ， 关于 不确 定 性 时滞 系统 的脉 冲 建 模 及 其 控 制 的 研 究。
关 键 词 ： 非 线性 电路 ； 脉 冲 控 制 系统 ； 稳 定 性 中 图 分 类号 ：Ｏ４ １ ５ １ 鲁 里 叶 系统
鲁 里 叶 系 统 最 早 是 由苏 联 数 学 控 制 学 家在 研 究 飞 机 的 自动
摘 要 ：非线 性 电 路 与 系统 是 非 线性 科 学 的一 部 分 ， 目前 已经 受 到 各 个 领 域 的关 注 。本 文主 要针 对 非线 性 电研 究 ， 主要包括 ： 第 一， 关 于 鲁里 叶 系 统和 时 变 时 滞 非线 性 系 统 的脉 冲建 模 及 其 控 制 的研究 。 第 二， 关 于模 糊 混 沌 系统 与
含潜伏时滞效应和非线性发生率的SEIR 模型的长时间行为
含潜伏时滞效应和非线性发生率的SEIR 模型的长时间行为杨若晨;马明菊;齐逸飞;李君【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【摘要】研究了一类含有潜伏时滞和非线性发生率的 SEIR 流行病模型。
给出了疾病流行的阈值条件，并且得到了无病平衡点和流行病平衡点的局部稳定性条件。
通过构造适当的 Lyapunov 泛函，结合 LaSalle 不变集原理，证明了当基本再生数R01时，无病平衡点是全局渐近稳定的；但当 R0＞1时，流行病平衡点是全局渐近稳定的，同时利用数值模拟验证了分析的结果。
%A mathematical model describing the transmission dynamics of disease with nonlinear inci-dence rate and delay is constructed.The local stability of the disease-free equilibrium and epidemic equi-librium is established by analyzing the corresponding characteristic ing suitable Lyapunov function and LaSalle's invariance principle,it is proved that if R0 1 then the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable,but if R0 >1 then the epidemic equilibrium is globally asymptotically sta-ble.Some numerical simulations are also given to explain the conclusions.【总页数】7页(P24-29,36)【作者】杨若晨;马明菊;齐逸飞;李君【作者单位】圣约翰大学托宾商学院，美国纽约 NY11439;莆田学院数学学院，福建莆田 351100;西北师范大学经济学院，甘肃兰州 730070;西安电子科技大学，陕西西安 710071【正文语种】中文【中图分类】O175【相关文献】1.一类具有潜伏期和非线性传染率的SEIR模型的全局稳定性 [J], 杨秀香2.具有潜伏期和双线性发生率的SEIR传染病模型的全局稳定性 [J], 薛春荣3.一类具有饱和发生率和潜伏期的SEIR模型的稳定性 [J], 豆中丽;王锐4.具有饱和发生率和恢复率的潜伏期时滞SEIR模型 [J], 陈桦剑;韦煜明5.具有饱和发生率和恢复率的潜伏期时滞SEIR模型 [J], 陈桦剑;韦煜明因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类具有时滞和非连续治愈的脉冲SEIR模型分析
是一种非常有效的控制疾病的策略 [7]； 像疟疾、 班 氏丝虫病、 马来丝虫病、 乙型脑炎、 登革热等依靠 媒介传播的疾病， 脉冲扑杀媒介也是控制疾病传 播有效策略 [8]。为更真实的描述的传播过程及预 防和控制， 人们往往同时将时滞和脉冲接种考虑 在模型之中, 这就构成了时滞脉冲传染病模型， 其 分析方法有别于时滞微分方程和脉冲微分方程。 基于以上论述我们将建立具有疾病潜伏期、 脉冲 预防接种和分时断治疗的 SEIR 模型分析， 将利用 脉冲比较方程理论和右端不连续微分方程理论讨 论系统无病周期解和地方病周期的相关性态。
Analysis of impulsive SEIR model with time delay and discontinuous treatment
FEI Li-zhia, LV Heng-minb, JI Wei-weib
(a. Normal College;b.Department of Basic Course Education, Ji'an College,Ji’ an Jiangxi 343000, China) Abstract: An impulsive SEIR epidemic model with time delay and discontinuous treatment was formulated and studied ． Based on comparison theorem of impulsive differential equation, the research proves that the global attractive and the globally asymptotically stable of the disease free periodic solution. The threshold R* and R* for disease to be extinct or not is calculated. If R* < 1 , the disease is extinct; If R* > 1 , the disease is permanence. Eventually, there will be endemic. Key words: epidemic; time delay; pulse vaccination; permanence
时滞系统几种控制策略研究
时滞系统几种控制策略研究时滞系统几种控制策略研究时滞系统是一类在实际控制中常见的系统，其特点是系统状态变量在对应的输出值上受到时间延迟的影响。
时滞系统在工程领域广泛应用，例如飞行器、机器人等。
然而，由于时滞的存在，时滞系统往往容易出现不稳定、震荡和性能下降的问题，因此如何有效地控制时滞系统，降低时滞对系统性能的影响成为了一个重要的研究方向。
针对时滞系统的控制策略研究，主要包括经典控制方法、自适应控制方法和智能控制方法等。
经典控制方法中，最常用的是PID控制器。
PID控制器是一种基于比例、积分、微分控制的经典控制策略，它能够对系统的误差进行调节。
然而，对于时滞系统，传统PID控制器存在不足之处，因为时滞会导致控制信号滞后，从而影响系统的稳定性。
因此，需要对PID控制器进行改进，使其能够对时滞系统进行有效的控制。
自适应控制方法通过根据系统的特性实时调整控制器的参数，从而适应系统的变化。
其中，模型参考自适应控制（Model Reference Adaptive Control, MRAC）是一种常用的方法。
MRAC通过在线估计系统的模型，并根据估计的模型来调整控制器的参数，从而实现对时滞系统的控制。
此外，自适应滑模控制（Adaptive Sliding Mode Control, ASMC）也是一种常用的控制方法。
ASMC通过引入滑模面，并根据系统误差的变化调整滑模面的位置，以降低时滞对系统的影响。
智能控制方法中，模糊控制和神经网络控制是常见的策略。
模糊控制是一种基于模糊逻辑推理的控制方法，通过将人类的经验和知识转化为模糊规则，来对系统进行控制。
神经网络控制是一种通过训练神经网络来实现对系统的控制的方法，神经网络可以学习系统的非线性映射关系，并通过适当的训练来调整权值，从而实现对时滞系统的控制。
在实际应用中，不同的控制策略可以结合使用，以实现更好的控制效果。
例如，可以将PID控制器和模糊控制器结合，利用PID控制器对系统进行粗略调节，再利用模糊控制器进行微调，从而达到更好的控制效果。
疫苗接种效应影响下的SVEIR模型的动力学分析
JGH2019003,
JGH2019023);漳州市自然科学基金(
ZZ2018
J
26)
*通信作者:
19099828@q
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om
q.
引文格式:王海玲,翁智峰.疫苗接种效应影响下的 SVEIR 模型的动力学分析[
J].厦门大学学报(自然科学版),
2024,
63(
并建立各
种新冠肺炎病毒传播的动力学模型,
通过模型对疫情的
发展趋势做预测分析,如邵俊杰等[1]通过建立易感者潜伏者-感染者-康复者(
SE
IR)动力学模型对中国山东
收稿日期:
录用日期:
2022
05
10
2023
03
19
基金项目:福建省教育教学改革研究项目(
FBJG20170154);福建省高校产学合作项目(
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脉冲接种SIRS模型的持久性分析
１ 模型建 立
为了控制 传染 病 的流行 ，通常通 过疫苗 接种使 易感 者获 得暂 时的免疫 能力 。染病 者经 过一定 的病程 ， 也可 获得暂 时 的免 疫能力 ，易感者 每一次接触 感染 者并 不都会 感染 ，即并非 每一 次接触 都是 有效 的 。非 线 性有效 接触率 的引 入 ，使 模型更 加符合实 际情况 ［ ４ ２ １ 冲接种 【是指在某 一个 固定 时问点 、按一 定 比例 对 － 。脉 ５ 】
寻 找控制 和防治 的最优 策略 。１ ２ ９ ７年 ，Ｋｅｍａｋ和 Ｍｅｅ ｄｉ ｒ ｒ ｋ ｎ ｒ ｋ做 了奠基 性的工 作 ， 们将 总人 口分为 易感 ｃ 他
者 、染病者 （ 和恢 复者 ） ，利 用动力学 方法 建立 了 ＳＲ传 染病模 型 ，提 出 了阈值理论 。 ， ） ３类 Ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ａｎ Ｓ ＲＳ ｅ ｉ ｅ ｉ ｄ ｌｗｉｈ ｓ ｔ ｒ ｔ ｎ ｉ ｃ ｄ ｎ ｅ ｒ ｔ ，ｃ ｎ ｔｎ ｆｒ ｃ ｕ ｔ ｎ ， ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｈ ｓ ｃ ｌ Ｉ ｐ ｄ ｍ ｃ ｍｏ ｅ ｔ ａ ｕ ａ ｉ ｎ ｉ ｅ ｃ ａ ｅ ｏ ｓ ａ ｔｏ ｒ ｉｍｅ ｔ ｅ ｐ ｎ ｎ ｉ ｙ ｉ ａ ｏ ｅ ａ ｐ
ｄ ｓ ａ ｅ ｔ ｍｐ ｒ ｒ ｍｍｕ ｉ ｎ ｕ ｓ ａ ｃ ｎ ｔｏ ｏ ｍ ｕ ａ ｅ ． ｉ ｇ ｉ ｕ ｓ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ， ｈ ｗ ｉｅ ｓ ， ｅ ｏ ａ ｙ ｉ ｎ ｔ ａ ｄ ｐ ｌｅ ｖ ｃ ｉ ａ ｉ ｎ ｉ ｆ ｒ ｌ ｔ ｄ Ｕｓ ｎ ｙ ｓ ｍｐ ｌｅｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｅ ｕ ｌ ｉ ｓ ｗｅ ｓ ｏ ｉ ｔ ｐ ｒ ｎ ｎ ｅｏ ｅ ｓ ｓ ｅ ｅ ｍａ ｅ ｃ ｆｔ ｙ ｔ ｍ． ｈ Ｋｅ ｒ ｓ ａ ｕ ａ ｉ ｎ ｉ ｃ ｄ ｎ ｅ ｒ ｔ ； ｎ ｅ ｔｏ －ｒ ｅｐ ｒｏ ｉ ｏ ｕ ｉ ｎ ； ｕ ｓ ａ ｃ ｎ ｔ ｎ ｐ ｒ ｎ ｎ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ：ｓ ｔ ｒ ｔ ｉ ｅ ｃ ａ ｅ ｉ ｆ ｃ ｉ ｎ ｆｅ ｅ ｉ ｄ ｃ ｓ ｌ ｔｏ ｓ ｐ ｌｅｖ ｃ ｉ ａ ｉ ； ｅ ｍａ ｅ ｃ ｏ ｎ ｏ
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系统 （ ２ ） 的初 始 条件是
（ Ｓ （） ）＝
（ （ ｂ （ ｔ ） ， ： （ ｔ ） ， ３ （ ￡ ） ）Ｅ
Ｃ （ ［ 一ｒ ， ０ ］ ； Ｒ ： ） ，
且在 一ｋ Ｔ （ 七∈ Ｎ） 不连 续 ， 而 是左 连续 ， 即
２ ０ １ ３年 １ ｔ月
四川 师范大学 学报 （ 自然科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｉ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｎｏ ｖ ．． ２０１ ３ Ｖｏ １ ． ３６． Ｎｏ ． ６
ｔ＝ ｋ Ｔ ， ∈Ｎ ． （ ２ ）
ｌ ｅ － Ｖ （ ｔ—ｒ ） ， （ ￡ 一 ）一 ｙ ｌ （ ￡ ）一 ／ ｘ Ｉ （ ｔ ）一 ， （ ￡ ） ， Ｒ ＝７ 】 Ｖ （ ｔ ）＋ｙ Ｉ （ ｔ ）一ｔ ｚ Ｒ（ ￡ ） ，
ｔ ≠ ｋＴ， ∈ Ｎ，
ｌ
Ｖ ：一 ｌ Ｖ （ ） ， （ ｔ ）一 Ｖ （ ｔ ）一 Ｉ ｚ Ｖ （ ｔ ） ，
一 ： １ ＋ｍＳ（ （ ）一 ｔ ） ＋Ｊ ’ ８ 、 ） 、
￣ ｅ－ ｐ ． ｒ ｌ 一
，
￣ｅ － Ｉ ｚ Ｔ
＋
１ ｅ － ｔ ￣ ｒ Ｖ （ ｔ —ｒ ） ， （ ｔ 一丁 ）一（ ＋ ＋ ） ， （ ｔ ） ，
持久性 ， 即 Ｒ＞１ 时， 系统是持久的 ， 并通过数值模拟验证 了获得的结果． 关键词 ： 时滞 ； Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ模型 ； 持久性
中 图分 类 号 ： ０ １ ７ ５ ； Ｑ１ ４ １ 文 献标 志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ １— ８ ３ ９ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ８ ４ ６— ０ ５
ｓ ＝Ａ — ＾ ｓ （ ￡ ）一 ，
由于 （ １ ） 式 的第 １ 、 ２、 ４方 程 都 不 显 含 Ｅ（ ｔ ） 和
Ｒ （ ｔ ） ， 所 以主要 考虑 系统
ｓ ＝Ａ 一 ｓ （ ｆ ）一 ，
Ｖ ＝一 １ Ｖ （ ｔ ） ， （ ｔ ）一 １ Ｖ （ ）～ （ ｔ ） ，
件是 ｓ （ ｏ ） ， Ｖ （ ０ ） ， ， （ ０ ）∈Ｃ ， Ｅ（ ０ ） ， Ｒ（ ０ ）∈Ｒ＋ ， 且 ｓ （ ｏ ）＝ Ｓ （ ０ ） ， ｖ （ ｏ ） ：Ｖ （ ０ ） ， Ｉ （ ０ ） ＝ ， （ ０ ） ， 一 ｒ ≤ ≤Ｏ ．
伏者 、 染病 者 、 康 复 者 和 免疫 者 ． Ｓ （ ￡ ） 、 Ｅ（ ） 、 ， （ ） 、 Ｒ（ ｔ ） 、 Ｖ （ ｔ ） 分 别代 表在 ｔ 时刻 易感 者 、 潜伏者 、 染病 者、 康 复者 、 免疫 者 的数 量． 本 文考 虑 带有 饱 和 接触 率 和 变化种 群大小 的 Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ模 型 ：
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ —８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ６ ． ０ ０ ８
１ Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ传染病模 型及预 备知识
假 设 种群可 以 被 划 分 为 ５个 仓 室 ： 易感者 、 潜
区间 ［一 ｒ ， ０ ］ 映 射 到非 负 实 数． 系统 （ １ ） 的初 始 条
怍 背简介 ： 章培 （ １ ９ ８ ４ 一） ， 男， 讲帅 ， 主要从事生物数学的研究 ， Ｅ— ｍ ａ ｉ ｌ ： ｚ ｈ ａ ｎ ｇ ｐ ｊ ２ ０ ０ ６ ＠１ ２ ６ ・ ｃ ｏ ｎ ｒ
第 ６期
章 培军 ， 等 ：脉 冲时滞 Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ模 型的持 久性
８ ４ ７
（ ， （ 一ｋ Ｔ ） ， （ 一ｋ Ｔ ） ， 咖 ， （ 一ｋ Ｔ ） ） ． 考 虑 到 系统 的生 物 意 义， 假 设 （ ０）＞０ ，
：
（ ０ ）＞ ０ ， ３ （ ０ ）＞ ０ ， 并 且易证
＝
Ｒ（ ） ：Ｒ （ ￡ ） ，
￡＝ｋ Ｔ ， ∈Ｎ． （ １ ）
第３ ６卷
第 ６期
脉冲时滞 Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ模型的持久性
章培军 ， 孙 卫 ， 张 慧
（ １ ．西京学院 基础部 ，陕西 西安 ７ １ ０ １ ２ ３； ２ ． Ｎ４ ｇ Ｘ￣ ｌ ｋ ￣ｑ ：应用数学系 ，陕西 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２ ）
摘要 ： 考虑了具有饱和接触率和变化种群大小的脉冲时滞 的 Ｓ Ｖ Ｅ Ｉ Ｒ模 型 ， 使用 比较 原理得到 了模 型的
￡≠ ｋ Ｔ． ∈ Ｎ．
Ｓ （ ）＝ （ １—０ ） Ｓ （ ￡ ） ，
Ｖ （ ｔ ）＝Ｖ （ ｔ ）＋Ｏ Ｓ （ ｔ ） ， 】 ｅ 一 Ｖ （ ￡ 一ｒ ） ， （ ￡一ｒ ）一 Ｉ ｚ Ｅ（ ） ，
Ｂ ｅ － ｕ ｒ ＋
， （ ｔ ） ＝， （ ） ，
｛ （ ５ ， ， ， ）∈Ｒ ： ： Ｓ＋Ｖ＋， ≤— Ａ — ｝
令 Ｃ： Ｃ （ ［ 一 ， ０ ］ ； Ｒ＋ ） ， 这个连续 函数空问把
收稿 ¨朋 ： ２ ０ Ｉ ３— ０ １ —１ ７ 基金项 口： 国家 自然科学基金 （ １ ０ ９ ７ １ １ ６ ４ ） 资助项 目
是 系统 （ ２ ） 的正 向不变 集． 还 可证 明在初 始条 件 下 ，
（ ３ ）
Ｓ （ ｔ ）：（ １—０ ） Ｓ （ ｔ ） ， Ｖ （ ）＝ Ｖ （ ￡ ）＋Ｏ Ｓ （ ￡ ） ，
Ｅ（ ｔ ） ＝Ｅ （ ｔ ） ，
， （ ｔ ） ＝， （ ｔ ） ，
（ （ 一ｋ Ｔ 一 ） ， （ 一 一 ） ， （ 一ｋ Ｔ） ）＝