【文献综述】一类随机时滞系统周期解的阶矩稳定性研究

文献综述 数学与应用数学 一类随机时滞系统周期解的阶矩稳定性研究 p时滞系统普遍存在于生物自然现象和工程实际应用中，若一个动态系统的演化不仅以来于当前的状态，而且也受之前状态的影响，由此会产生时滞。时滞系统在生物学的一个重要应用是对时滞神经网络的研究。 神经网络是一门新兴的，交叉性学科。以神经网络为基础的自然活动和社会活动以成为众多学科研究的热点和焦点，其理论在信号处理、模式识别、联想记忆和优化问题等前沿领域的应用也十分广泛。 神经网络，尤其是人工神经网络是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。对其的研究一般认为从年美国芝加哥大学的生理学家W.S. McCulloch和W.A. Pitts提出M-P神经元。20世纪80年代初，J.J. Hopfield和D. Rumelhart等人的PDP报告显示出神经网络的巨大潜力，使得该领域的研究进入了繁荣期。1982年，J. Hopfield提出单层全互连含有对称突触连接的反馈网络，用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的离散Hopfield网络。美国Berkeley加州大学的著名学者Chua LO教授于1988年提出细胞神经网络(Cellular Neural Networks，简称CNN)是一个非线性模拟电路的数学模型，继续推动了神经网络的发展。至此以后，神经网络的研究进入了新时期，理论在机械工程、航空航天、生态学、生物学、电子和信息技术等领域广泛应用。 近几年来，神经网络的研究主要依靠根据一定的实际情况建立微分方程，分析使其解存在和稳定条件。 在微分方程建立方面，随着研究的深入，时滞因素慢慢被纳入考虑范围。神经网络的研究发展出了许多类型： 原始的Hopfield神经网络模型是一个带有复杂算法的二值神经网络。考虑到生物神经元在进行信号传输过程中存在的诸如细胞时滞、传输时滞及突触时滞等原因，X.Li和J.Cao在《Exponential stability of stochastic interval Hopfield neural networks with time-varying delays》中介绍了引入变时滞的Hopfield神经网络。 Chua LO和Yang L在《Cellular neural networks:theory》和《Cellular neural networks:applications》中提出了细胞神经网络（Cellular neural networks,记作CNN）。该模型是一个非线性模拟系统，细胞之间的连接是局部的，信号输出函数是分段线性的，信号处理是连续实时的。细胞神经网络是目前最流行的人工神经网络之一，它的每一细胞只与其相邻的细胞连接。一个细胞包括线性电容、线性电阻、线性和非线性的控制电源和独立电源。 Jun-Xiang Lu和Yichen Ma在CNN的基础上引入随机时滞，在《Mean square exponential stability and periodic solution of stochastic delay cellular neural networks》中介绍了随机时滞细胞神经网络模型（Stochastic delay cellular neural networks,记作SDCNN）。 Cohen-Grossberg神经网络是Cohen和Grossberg在《Absolute stability and global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural network》中首次提到。该模型考虑到外部输入的影响。Maraeus和Westervelt在《On impulsive auto-associative neural networks》将时滞引入该系统进行了分析。 虽然随着神经网络这类系统的研究不断地深化，进几年来，时滞因素，包括常时滞和变时滞的影响被充分考虑纳入系统模型建立之中，但是对系统具有重大影响的随机干扰，包含系统内部和外界的，却很少有文献考虑。另外，分布时滞也很少考虑纳入模型之中。 在实际应用中，神经网络模型的稳定性具有十分深远的意义。当模型被用作联想存储时，系统的均衡状态相当于存储模式，如果系统稳定，表示存储模式在出现扰动或者外界脉冲的时候是能被修复的。当模型应用于最有化问题时，网络的均衡状态表示最优可行解。如果模型是稳定的，如果均衡点唯一且全局渐进稳定，表示初始状态可以是任意的；如果解是指数稳定的，则表示解将在很短时间内收敛。所以通过稳定性研究，通过神经网络模型参数控制，给出系统稳定的充分条件，对实际应用具很大的参考意义。以下是近几年对神经网络稳定性的研究状况： Wan L和Sun J在《Mean square exponential stability of stochastic delayed Hopfield neural networks》中运用线性矩阵不等式方法研究随机时滞神经网络的指数稳定性。该方法相对于传统的用矩阵范数估计的方法而言具有较少保守性。将该方法运用于研究系统与时滞相关稳定性间题时, 对原系统作合适的变换并构造相应的泛函, 是获得较少保守性结果的关键。 Q Song和Z Wang在《Stability analysis of impulsive stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed time delays》中用L算子微分不等式，M椎体性质和随机分析方法证明了混合时滞脉冲随机Cohen-Grossberg神经网络解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。 Jun-Xiang Lu和Yichen Ma在《Mean square exponential stability and periodic solution of stochastic delay cellular neural networks》中利用一般Lyapunov函数、随机分析、杨式不等式来证明随机时滞神经网络均方指数稳定性。运用不动点定理和Poincares收敛定理证明周期时滞随机时滞神经网络周期接存在性和收敛性。 Chen Y和Wu J在《Minimal instability and unstable set of a phase-locked periodic orbit in a delay neural network》用离散Lyapunov泛函和不变流理论，用以求Hopf分岔产生的锁相周期解的极小不稳定性和不稳定集。 经过几十年的发展，对神经网络稳定性研究虽然有了很大发展，方法也日趋多样，但相当一部分研究仅局限于解的均方指数稳定性，很少推广到p阶矩指数稳定性，缺乏一定普遍性。同时模型的周期性也当纳入考量范围，把常系数这一特殊周期的情况推广。 从以上综述可以看出，于普通神经网络相比，具有随机时滞的周期神经网络更为复杂，研究难度更大。另一方面，国内外对时滞动力系统的研究还是集中在几个典型的问题上，结论相对是普通的，很少有创新性的研究。人们对神经网络类似的动力系统认识还十分有限,仍有许多问题有待我们去深入理论研究，仍有许多现象等待我们去发现，徐鉴和裴利军在《时滞系统动力学近期研究进展和展望》中认为以时滞反馈为中心的控制与鲁棒控制、非线性因素和时滞联合作用的影响、时滞导致的多稳态运动、多级分岔和复杂动力学及含有耦合时滞状态变量的网系统动力学这四个方向是今后几年时滞系统研究关注的热点问题。 主要参考文献 [1] Jun-Xiang Lu,Yichen Ma. 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