【文献综述】一类随机时滞系统周期解的阶矩稳定性研究
文献综述 数学与应用数学 一类随机时滞系统周期解的阶矩稳定性研究 p时滞系统普遍存在于生物自然现象和工程实际应用中，若一个动态系统的演化不仅以来于当前的状态，而且也受之前状态的影响，由此会产生时滞。时滞系统在生物学的一个重要应用是对时滞神经网络的研究。 神经网络是一门新兴的，交叉性学科。以神经网络为基础的自然活动和社会活动以成为众多学科研究的热点和焦点，其理论在信号处理、模式识别、联想记忆和优化问题等前沿领域的应用也十分广泛。 神经网络，尤其是人工神经网络是一种模仿动物神经网络行为特征，进行分布式并行信息处理的算法数学模型。这种网络依靠系统的复杂程度，通过调整内部大量节点之间相互连接的关系，从而达到处理信息的目的。对其的研究一般认为从年美国芝加哥大学的生理学家W.S. McCulloch和W.A. Pitts提出M-P神经元。20世纪80年代初，J.J. Hopfield和D. Rumelhart等人的PDP报告显示出神经网络的巨大潜力，使得该领域的研究进入了繁荣期。1982年，J. Hopfield提出单层全互连含有对称突触连接的反馈网络，用能量函数的思想形成了一种新的计算方法，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，形成了所谓的离散Hopfield网络。美国Berkeley加州大学的著名学者Chua LO教授于1988年提出细胞神经网络(Cellular Neural Networks，简称CNN)是一个非线性模拟电路的数学模型，继续推动了神经网络的发展。至此以后，神经网络的研究进入了新时期，理论在机械工程、航空航天、生态学、生物学、电子和信息技术等领域广泛应用。 近几年来，神经网络的研究主要依靠根据一定的实际情况建立微分方程，分析使其解存在和稳定条件。 在微分方程建立方面，随着研究的深入，时滞因素慢慢被纳入考虑范围。神经网络的研究发展出了许多类型： 原始的Hopfield神经网络模型是一个带有复杂算法的二值神经网络。考虑到生物神经元在进行信号传输过程中存在的诸如细胞时滞、传输时滞及突触时滞等原因，X.Li和J.Cao在《Exponential stability of stochastic interval Hopfield neural networks with time-varying delays》中介绍了引入变时滞的Hopfield神经网络。 Chua LO和Yang L在《Cellular neural networks:theory》和《Cellular neural networks:applications》中提出了细胞神经网络（Cellular neural networks,记作CNN）。该模型是一个非线性模拟系统，细胞之间的连接是局部的，信号输出函数是分段线性的，信号处理是连续实时的。细胞神经网络是目前最流行的人工神经网络之一，它的每一细胞只与其相邻的细胞连接。一个细胞包括线性电容、线性电阻、线性和非线性的控制电源和独立电源。 Jun-Xiang Lu和Yichen Ma在CNN的基础上引入随机时滞，在《Mean square exponential stability and periodic solution of stochastic delay cellular neural networks》中介绍了随机时滞细胞神经网络模型（Stochastic delay cellular neural networks,记作SDCNN）。 Cohen-Grossberg神经网络是Cohen和Grossberg在《Absolute stability and global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural network》中首次提到。该模型考虑到外部输入的影响。Maraeus和Westervelt在《On impulsive auto-associative neural networks》将时滞引入该系统进行了分析。 虽然随着神经网络这类系统的研究不断地深化，进几年来，时滞因素，包括常时滞和变时滞的影响被充分考虑纳入系统模型建立之中，但是对系统具有重大影响的随机干扰，包含系统内部和外界的，却很少有文献考虑。另外，分布时滞也很少考虑纳入模型之中。 在实际应用中，神经网络模型的稳定性具有十分深远的意义。当模型被用作联想存储时，系统的均衡状态相当于存储模式，如果系统稳定，表示存储模式在出现扰动或者外界脉冲的时候是能被修复的。当模型应用于最有化问题时，网络的均衡状态表示最优可行解。如果模型是稳定的，如果均衡点唯一且全局渐进稳定，表示初始状态可以是任意的；如果解是指数稳定的，则表示解将在很短时间内收敛。所以通过稳定性研究，通过神经网络模型参数控制，给出系统稳定的充分条件，对实际应用具很大的参考意义。以下是近几年对神经网络稳定性的研究状况： Wan L和Sun J在《Mean square exponential stability of stochastic delayed Hopfield neural networks》中运用线性矩阵不等式方法研究随机时滞神经网络的指数稳定性。该方法相对于传统的用矩阵范数估计的方法而言具有较少保守性。将该方法运用于研究系统与时滞相关稳定性间题时, 对原系统作合适的变换并构造相应的泛函, 是获得较少保守性结果的关键。 Q Song和Z Wang在《Stability analysis of impulsive stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed time delays》中用L算子微分不等式，M椎体性质和随机分析方法证明了混合时滞脉冲随机Cohen-Grossberg神经网络解的唯一存在性和P阶矩指数稳定性。 Jun-Xiang Lu和Yichen Ma在《Mean square exponential stability and periodic solution of stochastic delay cellular neural networks》中利用一般Lyapunov函数、随机分析、杨式不等式来证明随机时滞神经网络均方指数稳定性。运用不动点定理和Poincares收敛定理证明周期时滞随机时滞神经网络周期接存在性和收敛性。 Chen Y和Wu J在《Minimal instability and unstable set of a phase-locked periodic orbit in a delay neural network》用离散Lyapunov泛函和不变流理论，用以求Hopf分岔产生的锁相周期解的极小不稳定性和不稳定集。 经过几十年的发展，对神经网络稳定性研究虽然有了很大发展，方法也日趋多样，但相当一部分研究仅局限于解的均方指数稳定性，很少推广到p阶矩指数稳定性，缺乏一定普遍性。同时模型的周期性也当纳入考量范围，把常系数这一特殊周期的情况推广。 从以上综述可以看出，于普通神经网络相比，具有随机时滞的周期神经网络更为复杂，研究难度更大。另一方面，国内外对时滞动力系统的研究还是集中在几个典型的问题上，结论相对是普通的，很少有创新性的研究。人们对神经网络类似的动力系统认识还十分有限,仍有许多问题有待我们去深入理论研究，仍有许多现象等待我们去发现，徐鉴和裴利军在《时滞系统动力学近期研究进展和展望》中认为以时滞反馈为中心的控制与鲁棒控制、非线性因素和时滞联合作用的影响、时滞导致的多稳态运动、多级分岔和复杂动力学及含有耦合时滞状态变量的网系统动力学这四个方向是今后几年时滞系统研究关注的热点问题。 主要参考文献 [1] Jun-Xiang Lu,Yichen Ma. Mean square exponential stability and periodic solution of stochastic delay cellular neural networks[J].Chaos Solitons and Fractals 38,2008:1323-1331. [2] Chuangxia Huang,Yigang He,Lihong Huang,Wenji Zhu.pth moment stability analysis of stochastic recurrent neural networks with time-varing delays[J].Information Science 178,2008:2194-2203. [3] X.Li, J.Cao. Exponential stability of stochastic interval Hopfield neural networks with time-varying delays[J].Neural Network World 16(1),2007:31-40. [4] Chua LO, Yang L. Cellular neural networks:theory[J],IEEE Trans Circ Syst 35(10),1988:1257-72. [5] Chua LO, Yang L. Cellular neural networks:applications[J].IEEE Trans CircSys.35(10),1988:1273-90. [6] Cohen MA, Grossberg S. Absolute stability and global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural network[J].IEEE Trans,Systems Man Cybernet 13,2000:63-69. [7] Wan L, Sun J. Mean square exponential stability of stochastic delayed Hopfield neural networks[J].Phys Lett A,2006:306-318. [8] Q Song, Z Wang. Stability analysis of impulsive stochastic Cohen-Grossberg neural networks with mixed time delays[J].Physica A 387,2008:3314-3326. [9] Chen Y, Wu J. Minimal instability and unstable set of a phase-locked periodic orbit in a delay neural network[J].Dhysica D 134,1999:185-199. [10] J.Cao,J Wang.Global asymptotic stability of a general class of recurrent neural networks with time-varying delay[J].IEEE Trans.Circ.Syst.1 50(2003):34-44. [11] X.Li.Global exponential stability for a class of neural networks[j].Appl.Math.Lett 22,2009:1235-1239. [12] Q Zhou,LWan.Exponential stability of stochastic delayed Hopfield neural networks[J].Appl.Math.Comput.199,2008:84-89. [13] C Huang,J Cao.Almosr sure exponenetial stability of stochastic cellular neural networks with unbounded distributed delays[J].Neurocomputing 72,2009:3352-3356. [14] X Yang.Existence and global exponential stability of periodic Cohen-Grossberg shunting inhibility cellular neural netwoeks with delays and impulses[J].Neurocomputing 72,2009:2219-2226. [15] Roska T,Wu CW,Chua LO.Stability of cellular neural networks with dominant nonlinear and delay-type templates.IEEE Trans Circ Syst Pt I,1994,518-528. [16] Mastsuoka K.Stability conditions for nonlinear continous neural networks with asymmetric connection weights.Neural Networks[J],1992:495-500. [17] Blythe S,Mao X,Liao X.Stability of stochastic delay[j] neural networks. J Franklin Inst,2001:165-185.
一类具有时滞的生态一流行病系统的稳定性和Hopf分支
ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏｎｓ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｎｇ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｂｙ ｕｓ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏｒ ｍａ ｌ ｆ ｏｒ ｍ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎｄ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍａ ｎｉ ｆ ｏ ｌ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ． Ｎｕｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｒ ｅ ｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄ ｏ ｕｔ ｔ ｏ ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ： ｐｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ； Ｈｏｐ ｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｉ ｍｅ ｄｅ ｌ ａ ｙ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｓ ｅ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐｒ ｅ ｙ ｉ ｓ ｉ ｎｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｄ． Ｂｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ — ｚ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎｄ ｉ ｎｇ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈｅ ｌ ｏｃ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ａ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕｍ ｉ ｓ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ —
一类滞后时变广义系统稳定性的拉什密辛型定理
一类滞后时变广义系统稳定性的拉什密辛型定理拉什米辛型（Lur'e–Khasminskii）定理，是一种极具影响力的系统稳定性定理，可以用来分析系统的动态特性。
它可以用来测定系统是否保持稳定性，并且可以用于研究这些系统的持续性。
拉什米辛型定理的思想和其他定理相似，但它却能够涵盖更大的范围。
它可以用于分析更加复杂的应用程序，使系统的特性，更加有效的分析和控制。
拉什米辛型定理属于滞后时变(time-varying)的广义系统稳定性定理。
它是由苏联理论计算机科学家YuriA.Lur'e（1966）和苏联理论计算机科学家AndreA.Khasminsky （1970）提出的，它重要的创新在于将普通时变系统的稳定性特性纳入到了范围更广的广义系统的稳定性特性的讨论学习之中。
拉什米辛型定理改进了之前其他稳定性定理，因为它从数学和技术的角度对系统稳定性进行了全面描述。
拉什米辛型定理可以用来研究时变系统的稳定性性质。
它可以通过调控输入值，控制和调节系统耦合参数而使时变系统保持稳定性。
例如，拉什米辛型定理可以用来分析控制和优化一类工程中的微分方程，以及控制温度变化的参数，这些都是需要采用时变系统的控制流程的应用环境。
此外，该定理还可以用来研究交通路线和动态仿真。
拉什米辛型定理的发展，极大地促进了时变系统的稳定性的研究，也为时变系统的稳定性设计和控制提供了指导方针。
它可以用来研究时变系统的稳定性特性，并且可以帮助人们把握系统在不同情况下的行为规律。
拉什米辛型定理是信息系统和微分Δ正则算法等系统稳定性研究和设计的基础。
该定理已经被用于测试电力系统的动态特性，以及对复杂控制问题进行建模和建模。
拉什米辛型定理的有效性和必要性得到了广泛的认可，它的适用范围也在不断扩大。
它的研究仍然在持续发展，新的定理也正在被开发出来，以期拓展该定理的使用范围。
拉什米辛型定理也在不断地为工程技术和科学研究提供更为全面和深入的支持和服务。
一类具时滞的金融市场模型的稳定性与分支分析
一类具时滞的金融市场模型的稳定性与分支分析本文在离散型HAM(heterogenpous agent models)模型基础之上,考虑了多
分析人员参与投资,建立了一类具有时滞的金融市场模型。
首先,本文采用了与离散型的HAM模型一致的分析过程,包括利用历史信息所产生的期望,如加权的动
态平均值方法,对投资者行为进行描述,并讨论了参数特别是时滞的变化对市场
价格的影响。
其次,本文利用投资者行为参数,得到了基础价格稳定性的条件。
随着时滞的增加,滞量不但能破坏稳定性,而且能重新恢复系统平衡点的稳定性,这在离散型的HAM模型中是很难发现的。
本文主要考虑了此金融市场模型的稳定性和分支问题,研究了其分支参数值、分支方向及分支周期解的稳定性,主要工作如下:1.通过考虑基础分析人员和技
术分析人员的行为建立了金融市场模型。
2.运用匡阳的理论分析特征方程,研究了此模型的平衡点的稳定性和Hopf分支存在性。
3.应用规范型方法和中心流形理论分析了系统的Hopf分支方向以及分支周期解的稳定性,并给出了决定分支周期解稳定性及分支方向的计算公式。
4.依据实验数据,分别对不同的参数值进行了相应的数值模拟来支撑理论结果,本文通
过数值模拟发现由Hopf分支分支出的周期解可以进行整体延拓。
一类含控制时滞的Lurie间接控制系统的绝对稳定性
第 ４期
高正晖 ： 一类含控制时滞 的 Ｌ ｆ ｕ ｅ间接控制 系统的绝对稳定性 ｉ
３ ５
通过 构造合 适 的 Ｌａｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数 并结 合 线性 矩阵 不等 式 的方 法 ， 出该 间 接 控制 系统 （ ） 对 稳定 给 １绝
间接 控制 系统 ：
ｘ ｔ ＝Ａｘ ｔ （） （）＋Ｂ （ ｘ ｔ—ｒ ）＋
｛ （） ：Ｃ （）＋Ｄ （） ｔ ，
（） ｔ ）＋Ｆ （ ｔ—ｒ ） ｆ （ ），
（） １
ｔ（）： ∈ ［ － １ ｘ （） 一７ｏ ． ，
，
收 稿 日期 ：０ ０— １— ９ ２ １ ０ ０
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔｅ ａ ｃ ａ ｄ Ｃ ｍ ｕ ｔ ｎ ｌ ｃ ｎ ｅ Ｈ ｎ ｙ ｎ ｏｍａ Ｕ ｉ ｒｉ ， ｅ ｇａ ｇ ４ １ ０ ， ｈｎ ） Ｄ ｐｒ ｍｅ ｔ ｈ ｍ ｔ ｓ ｎ ｏ ｐ ｔ ｉ ａ Ｓ ｉ ｃ ， ｅ ｇａ ｇＮ ｒ ｌ ｎ ｅｓ ｙ Ｈ ｎ ｙ ｎ ２ ０ ８ Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａｏ ｅ ｖ ｔ ａ
并结合线性矩阵不等式 的方法 ， 对具有控制 时滞 的 Ｌ ｆ ｕ ｅ间接控制 系统 的绝对 稳定性 进行分 析 ， 到该 ｉ 得 系统 绝对稳定 性的若 干充分条件． 关键 词 ：ｕ ｅ间接控制系统 ；ｙｐ ｎｖ函数 ； Ｌｆ ｉ Ｌ ａｕ ｏ 线性 矩阵不等式 ； 绝对稳定性
中 图 分 类 号 ： ２ １２ ； １５ １ Ｏ ３ ．７ ０ ７ ．３ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：００— １２ ２ １ ）４—０ ３ ０ １０ ２６ （００ ０ ０ ４— ５
基金项 目： 湖南省教育厅科研基金资 助项 目（９ １１ ０Ｃ ７ ）
一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则
李欢欢;姜偕富;唐超超
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】2016(036)004
【摘要】研究了一类时变时滞系统的稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的 Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证了该准则的有效性。
【总页数】5页(P52-56)
【作者】李欢欢;姜偕富;唐超超
【作者单位】杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州310018
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.时变时滞奇异系统的时滞相关型稳定性准则 [J], 邵风;姜偕富;严顺行
2.时变时滞BAM神经网络系统的时滞依赖指数稳定性准则 [J], 陈一鸣;苏卫卫
3.一类区间时变时滞非线性广义系统的稳定性准则 [J], 焦建民
4.一类时变时滞系统改进的稳定性准则 [J], 唐亮; 姜偕富; 尹宗明; 刘丽丽
5.一类多时变时滞中立微分方程的时滞相关稳定性准则(英文) [J], 杨瑞珍;包俊东;田志坤
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一类时变时滞系统的稳定性准则
一类时变时滞系统的稳定性准则李欢欢;姜偕富;唐超超【摘要】This paper investigates a problem of time-varying delay stability criterion.By using integral inequality approach,a new Lyapunov-Krasovskii functional is established based on the information of the upper and lower bounds of time-varying delay.Different integral inequalities are adopted to deal with the integral terms of the Lyapunov-Krasovskii functional derivation and a less conservative stability criterion is obtained.Finally,a numerical example is given to examining the effectiveness of the stability criterion.%研究了一类时变时滞系统的稳定性问题。
采用积分不等式法和时滞分解法，充分利用时变时滞的上界和下界等信息，构造一个新的 Lyapunov-Krasovskii 泛函，并使用不同的积分不等式对Lyapunov-Krasovskii 泛函求导过程中所产生的积分项进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则。
最后通过数值实例验证了该准则的有效性。
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》【年(卷),期】2016(036)004【总页数】5页(P52-56)【关键词】时变时滞;积分不等式;稳定性准则【作者】李欢欢;姜偕富;唐超超【作者单位】杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州 310018;杭州电子科技大学自动化学院，浙江杭州310018【正文语种】中文【中图分类】TP273时滞现象存在于许多系统中，如制造业、电信、化工等，对系统性能有不利影响[1].一般情况下，人们主要对常时滞和时变时滞系统进行研究，但大多情况下，适用于常时滞系统的稳定性判据并不一定适用于时变时滞系统，所以，众多学者主要对时变时滞系统进行研究.为了减少已有成果的保守性，解决系统的时滞问题，使系统更稳定地工作，学者们提出了许多有效的方法，如文献[2]为减小固定权矩阵产生的保守性，在对时滞系统分析时采用了自由权矩阵法；文献[3]采用了时滞分解的方法，但过多的分割区间增加计算的复杂度和仿真时间，使系统的运行效率降低；文献[4]在构造泛函时引入了三重积分项，加入该项后并没有明显减小所得结果的保守性.上述文献的一个共同点是对泛函求导过程中产生的积分项进行处理时都使用了Jensen不等式，虽然Jensen不等式使用方便、简单，但存在一定的保守性.文献[5]引入了Wirtinger型积分不等式，在不影响所得结果保守性的前提下使用的决策变量数较少.但该方法主要用于未对时滞进行分解的情况，因此，尝试着将时滞分解法与Wirtinger型积分不等式结合使用，以得到保守性更小的稳定性准则，是一个有意义的研究问题.本文针对一类具有时变时滞的线性系统，将时滞τ(t)分解为τ1(t)和τ2(t)两部分，充分利用时变时滞的信息构造一个Lyapunov泛函，针对泛函求导过程中所产生的不同积分项，采用不同的积分不等式进行处理，得到了一个保守性更小的稳定性准则.本文中，考虑如下区间时变时滞系统：式中：x(t)∈Rn为状态向量，A和B为已知的适当维数的系统矩阵，φ(t)∈Rn为系统的初始条件，τ(t)为系统状态时滞.满足0≤τm≤τ(t)≤τM，其中τm,τM为常数.为了得到时变时滞系统保守性较小的稳定性准则，充分利用时滞信息，假设τ(t)=τ1(t)+τ2(t).其中0<τ1m≤τ1(t)≤τ1M,0<τm≤τ(t)≤τM，显然τ1m≤τm,τ1M≤τM.引理1[6] 对于任意矩阵，非负标量σ，函数τ(t)满足0≤τ(t)≤σ，向量函数∶[-σ,0]→Rn，使得不等式成立.引理2[7] 对任意半正定矩阵≥0，不等式成立.针对具有时变时滞的线性系统(1)，给出以下稳定性准则：定理对于给定的τ1m,τ1M,τm,τM，若存在具有适当维数的矩阵P>0，Qi>0(i=1,2,3),Zj>0(j=1,2),Si(i=1,2),Xij,Yij,Zij,(1≤i≤j≤3)使得如下线性矩阵不等式成立，则式(1)所表示的系统是渐近稳定的.式中：，Ω=δ12Z1+δ2Z2+τ1mX33+τMY33+τmZ33,δ1=τ1M-τ1m,δ=τM-τm证明选取如下所示的Lyapunov-Krasovskii泛函：V(t)=将该泛函沿式(1)所示系统对时间t求导，得：对式(6)中部分积分项做如下处理：当≥0时，由引理1可得：对式(6)中以下积分项采用文献[7]的方法来处理，由引理2得：结合式(5)-(11)，得(t).当Φ<0时，存在一个常量λ>0，使得，此时系统是渐近稳定的.式中，，.综上所述，如果定理1成立，则系统(1)是渐近稳定的.证毕.为了充分利用时滞信息，本文将时滞区间划分成非均匀的两部分，从而更准确地估计积分区间的上下界，这样定义的泛函所得结果具有更小的保守性.对泛函求导过程中产生的交叉项进行处理时，为了减少使用Jensen不等式带来的保守性，本文采用了新的积分不等式进行处理，从而得到一个较好的结果.例1 考虑式(1)具有参数.利用MATLAB中的LMI工具箱对系统进行求解，选取τ1m=0,τ1M=1，改变时滞下限τm的值时，求该系统最大允许时滞上界τM.并与其它相关文献提出的方法进行比较，比较数据如表1所示.例2 考虑式(1)具有参数：.利用MATLAB中的LMI工具箱对系统进行求解，选取τ1m=0,τ1M=1，改变时滞下限τm的值时，求该系统最大允许时滞上界τM.并与其它相关文献提出的方法进行比较，比较数据如表2所示.文献[3]没有对时滞τ(t)进行分解，文献[8]对积分项的处理采用与本文不同的不等式，但未使用时滞分解法.而本文对时滞τ(t)进行了分解，同时使用新的积分不等式对泛函求导过程中产生的积分项进行处理.由表1、2可以看出，本文将时滞分解法和不等式法结合起来使用后得到的稳定性准则保守性更小，从而说明了本文方法的有效性.本文研究了一类时变时滞系统稳定性问题.首先分析了先前文献中存在的问题，然后针对这些问题，将不等式法和时滞分解法结合起来使用，并在处理积分项时使用不同的引理，以线性矩阵不等式形式得到一个新的稳定性准则.比较先前部分文献，所得的稳定性准则具有更小的保守性，最后通过例子验证了该稳定性准则的有效性.【相关文献】[1]QIAN W, LI T, CONG S, et al. Stability analysis for interval time-varying delay systems based on time-varying bound integral method[J]. Journal of the Franklin Institute, 2014, 351(10):4892-4903.[2]WU M, HE Y, SHE J H, et al. Delay-dependent criteria for robust stability of time-varying delay systems[J]. Automatica, 2004, 40(8):1435-1439.[3]QIAN W, LIU J. New stability analysis for systems with interval time-varying delay[J]. Journal of the Franklin Institute, 2013, 350(4):890-897.[4]FARNAM A, ESFANJANI R M. Improved stabilization method for networked control systems with variable transmission delays and packet dropout[J]. Isa Transactions, 2014, 53(6):1746-1753.[5]ZHANG X, GONG C. Further Improvement of Wirtinger-based Integral Inequality for Systems With Time-varying Delay[C]. Proceedings of the 34th Chinese Control Conference. Hangzhou:IEEE, 2015:1545-1549.[6]YANG F S, ZHANG H G, WANG Y C. An enhanced input-delay approach to sampled-data stabilization of T-S fuzzy systems via mixed convex combination [J]. Nonlinear Dynamics, 2014, 75(3): 501-512.[7]LIU P L. Improved delay-range-dependent robust stability for uncertain systems with interval time-varying delay[J]. ISA Transaction, 2014, 53(6): 1731-1738.[8]TANG M, WANG Y W, WEN C. Improved delay-range-dependent stability criteria for linear systems with interval time-varying delays[J]. Control Theory & Applications Iet, 2012, 6(6):868-873.。
几类二阶时滞微分方程的振动性研究
几类二阶时滞微分方程的振动性研究摘要：时滞微分方程是一类重要的动力系统模型，具有广泛的应用价值。
本文针对几类常见的二阶时滞微分方程，研究其振动性质。
通过对这些方程进行分析和推导，得出了一些重要的结论。
引言：时滞微分方程是描述许多实际系统的重要数学模型，它们在生物学、经济学、工程学等领域中具有广泛的应用。
二阶时滞微分方程是一类特殊的时滞微分方程，其具有更加复杂的动力学行为。
一、周期解的存在性：研究了一类二阶时滞微分方程的周期解存在性。
通过构造合适的Lyapunov函数，得到了周期解的存在性条件。
这些条件为进一步研究方程的稳定性和周期性提供了理论基础。
二、稳定性分析：对另一类二阶时滞微分方程进行了稳定性分析。
通过线性化和特征方程的分析，得到了方程稳定性的判据。
进一步，利用数值方法验证了理论结果。
三、混沌现象：研究了一类非线性二阶时滞微分方程的混沌性质。
通过数值模拟和分析，发现该方程在某些参数范围内表现出混沌行为。
这一研究结果对于深入理解该类时滞微分方程的动力学行为具有重要意义。
四、周期倍增现象：研究了另一类二阶时滞微分方程的周期倍增现象。
通过数值模拟和分析，发现随着参数的变化，方程的周期解会逐渐倍增，最终进入混沌状态。
这一研究结果对于预测和控制该类方程的振动行为具有重要意义。
结论：通过对几类常见的二阶时滞微分方程的振动性质进行研究，我们得出了一些重要的结论。
这些研究结果对于深入理解时滞微分方程的动力学行为以及在实际应用中的应用具有重要意义。
进一步的研究可以将这些结论应用于更广泛的领域，并对相关领域的实际问题提供有价值的解决方案。
关键词：时滞微分方程；二阶；振动性质；周期解；稳定性；混沌现象；周期倍增。
多体力学系统的周期解与稳定性
多体力学系统的周期解与稳定性多体力学系统是研究物体运动的重要领域之一。
在多体力学系统中，物体之间存在相互作用，导致系统呈现出周期解和稳定性的特征。
本文将从周期解和稳定性两个方面探讨多体力学系统的特点和性质。
一、周期解周期解是多体力学系统中的一种重要现象。
它指的是系统在一定时间间隔内重复出现相同的状态。
周期解的存在意味着系统具有一定的规律性和可预测性。
在多体力学系统中，周期解的出现与系统的势能函数密切相关。
势能函数描述了系统中物体之间的相互作用关系。
当势能函数满足一定的条件时，系统可能出现周期解。
以简谐振子为例，它是多体力学系统中最简单的一种情况。
简谐振子的势能函数是一个二次函数，具有对称性。
当振子受到外力的作用时，它会以一定的频率振动，形成周期解。
除了简谐振子，还有许多其他的多体力学系统也存在周期解。
例如，行星绕太阳的运动、钟摆的摆动等都是周期解的典型例子。
这些周期解的出现，使得我们能够预测和描述物体的运动规律，对于科学研究和工程应用具有重要意义。
二、稳定性稳定性是多体力学系统中另一个重要的性质。
它描述了系统在受到扰动后的恢复能力。
稳定性越强，系统恢复到原来的状态所需的时间越短，反之则需要更长的时间。
在多体力学系统中，稳定性与系统的势能函数和初始条件密切相关。
当系统的势能函数具有凸性和对称性时，系统通常具有较好的稳定性。
而初始条件的选择也会对系统的稳定性产生影响。
以双摆为例，它是由两个摆锤组成的多体力学系统。
当两个摆锤的初始摆动角度相等时，系统呈现出稳定的运动状态。
而当初始摆动角度不相等时，系统会出现混沌现象，无法维持稳定的运动。
稳定性的研究不仅对于多体力学系统的理论分析具有重要意义，还对于实际应用具有指导作用。
例如，在工程设计中，需要考虑系统的稳定性，以确保系统能够正常运行并避免事故的发生。
总结多体力学系统的周期解和稳定性是研究物体运动的重要方面。
周期解的存在使得我们能够预测和描述物体的运动规律，对于科学研究和工程应用具有重要意义。
一类时滞微分方程的周期解与概周期解
一类时滞微分方程的周期解与概周期解
姚志健
【期刊名称】《甘肃联合大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(019)004
【摘要】研究一类时滞微分方程的周期解与概周期解,运用比较定理和V函数法,得出该方程存在惟一的全局吸引的正周期解的充分条件,同时也研究了其概周期解的存在惟一性与一致渐近稳定性条件.
【总页数】4页(P3-5,20)
【作者】姚志健
【作者单位】安徽建筑工业学院,数理系,安徽,合肥,230022
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类广义Lotka-Volterra模型时滞微分方程概周期解 [J], 黄记洲;黄燕斐;李鹏程;
2.一类非线性脉冲时滞微分方程的概周期解 [J], 徐苏柳;冯春华
3.一类广义Lotka-Volterra模型时滞微分方程概周期解 [J], 黄记洲;黄燕斐;李鹏程
4.一类二阶时滞微分方程的概周期解的存在性 [J], 黄记洲;李鹏程;黄庆华
5.一类带有时滞微分方程的μ-伪概周期解 [J], 朱永森;刘生喜;武枫
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一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析
第35卷第1期2021年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.35No.1Feb.2021收稿日期:2020-08-24基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省教育厅重点项目(17A181)作者简介:张露露(1996 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2234472312@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2021.01.012一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析张露露,廖茂新∗,邓兴颖(南华大学数理学院,湖南衡阳421000)摘㊀要:研究了一类具有非线性传染率的传染病模型,确定了模型的基本再生数R 0,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,以时滞为参数,得到了在地方病平衡点处Hopf 分支存在的条件㊁最后数值模拟以验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2021)01-0071-06Hopf Bifurcation and Stability Analysis of Epidemic Modelwith Time DelayZHANG Lulu ,LIAO Maoxin ∗,DENG Xingying(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :It studied an epidemic model with nonlinear infection rate was,determined the basic reproductive number of regenerations for the model,and analyzed the stability of the model disease-free balance point and the local disease balance point.The conditions forHopf bifurcation at the local disease balance point are obtained on the parameter of time delay,numerical simulation to verify the results.key words :Hopf bifurcation;delay;the balance point;stability0㊀引㊀言传染病是一类由病原体或寄生虫引起的一类疾病,部分传染病会长期伴随人类共存,而有些传染病会在有效的防治措施下逐渐消亡㊂[1]在人们与传染病的长期抗争过程中,研究者们逐渐发现,在人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的症状,在一定时间之后,某些症状才回逐步表现出来㊂[2-8]也就是说,在传染病的传播过程中,某时刻种群的变化除受当前状态影响外,也会收到此前时刻的某些因素的影响[9]㊂但在研究初期,研究者们一般未考虑到时间滞后的因素㊂我们在传㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月染病模型中将时滯因素考虑进来,可以更加精准的反应传染病的实际传播机理及传播形态,以帮助我们提出㊁制定更加有效的控制传播范围的措施[10-16]㊂在前人的基础上,本文研究了一类具有时滯和非线性传染率的传染病模型,研究了平衡点的稳定性,及Hopf 分支的存在㊂在传染病模型中引入时滯,用于模拟传染病的潜伏期,利用基本再生数R 0判断疾病在一段时间时间发展后是仍然流行或是最终消亡;发现了在一定的条件下,时滯的引入会导致系统出现周期解,地方病平衡点E ∗处出现Hopf 分支㊂本文在文献[10]的基础上,将传染率kSI1+αI 2改为kS 2I 并引入时滞,得到以下模型:Sᶄ(t )=b -dS (t )-kS 2(t -τ)I (t -τ)+rR (t )Iᶄ(t )=kS 2(t -τ)I (t -τ)-(d +u )I (t )Rᶄ(t )=uI (t )-(d +r )R (t )ìîíïïïï(1)式中:S (t ),I (t ),R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;k 是比例常数,b 为人口的新增率,d 为人口的自然死亡率,u 是已感染人群的自然恢复率,r 是恢复人群失去免疫力后重新成为易感染人群的比率㊂考虑到生物学意义,系统(1)的初始条件ϕ={ϕ1,ϕ2,ϕ3}满足C +={ϕɪC ([-τ,0]),R 3+},其中R 3+={(S ,I ,R )ɪR 3:S ȡ0,I ȡ0,R ȡ0},ϕi (0)>0,i =1,2,3㊂1㊀稳定性分析及Hopf 分支存在的条件经计算可得系统(1)总有一个无病平衡点E 0=(bd,0,0),当R 0>1时,系统(1)有一正平衡点E ∗=(S ∗,I ∗,R ∗),其中S ∗=d +u k,I ∗=(d +r )(b -dS ∗)d 2+dr +du,R ∗=u d +r I ∗㊂系统(1)总存在一个无病平衡点E 0=(b d,0,0),接下来算基本再生数,由系统(1)可知新增染病者矩阵F 与移出染病者矩阵V 分别为F =[kS 2ˑ(t -τ)]I (t -τ),V =(d +u )I (t ),且F ,V 在无病平衡点E 0处的Jacobi 矩阵分别为F (E 0)=b d,V (E 0)=d +u ,可到基本再生数为R 0=ρ(FV -1)E 0=kS 2(t )d +uE 0=kb 2d 2(d +u )(2)对系统(1)首先分析其在平衡点E 0处的稳定性㊂求得系统(1)的线性化矩阵为A =-d -2kI (t )S (t )e -λτ-kS 2(t )e -λτr2kI (t )S (t )e -λτ-(d +u )+kS 2(t )e -λτu-(d +r )()(3)特征矩阵为B =λI -A =λ+d +2kI (t )S (t )e -λτkS 2(t )e -λτ-r -2kI (t )S (t )e -λτλ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-uλ+(d +r )()(4)㊀㊀定理1:当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐近稳定的;当R 0>1时,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:在无病平衡点E 0=(bd,0,0)处的特征方程为B 0=λ+d kS 2(t )e -λτ-r 0λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ-u +fλ+d +r()=(λ+d )[λ+(d +u )-kS 2(t )e -λτ](λ+d +r )=f (λ)27第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf分支及稳定性分析令f(λ)=0,得到λ1=-d,λ2=-(d+r)为特征方程的两负根,且有λ3满足λ=kS20e-λτ-d-u(5)令g(λ)=λ-kS20e-λτ+d+u,当R0<1时,假设g(λ)有具有非负实部的根Re(g(λ))=Re(λ)+d+u-e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]=0㊀㊀(6)即Re(λ)=-(d+u)+e-Re(λ)τkS20cos[Im(λ)τ]ɤkS20-(d+u)=(d+u)(R0-1)㊂㊀㊀由于R0<1,则Re(λ)<0,则g(λ)=0的所有根具有负实部,则R0<1时,无病平衡点E0是局部渐进稳定的㊂当R0>1时,g(0)=d+u-kS20=(d+u)(1-R0)<0,又有gᶄ(λ)=1+kS20τe-λτ>0,可知Re(λ)单调递增且有g(0)<0,则必存在一正实数λ0>0,使得g(λ0)=0,因此R0>1时,无病平衡点E0不稳定㊂证毕㊂引理2:当R0>1,τ=0时,正平衡点局部渐进稳定㊂证明:系统在正平衡点E∗处的特征方程为f1(λ)=(λ+d){λ2+(2d+r+u)λ+(d+u)(d+r)+e-λτ[(2kS(t)I(t)-kS2(t))λ+2k(d+r+u)S(t)I(t)-k(d+r)S2(t)]}=(λ+d){λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4]}其中:p0=2d+r+u,p1=(d+u)(d+r),p3=d+r,p4= d+r+u,a0=kS2(t),b0=2kI(t)S(t)㊂f1(λ)=0,易得λ=-d是方程负实根,其它根由以下方程确定g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4](7)当τ=0时方程变为g1(λ)=λ2+p0λ+p1+(b0-a0)λ-a0p3+b0p4㊂利用Routh-Hurwotz准则p0+b0-a0=(2d+r+u)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗-kˑd+uk=(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗则只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p0+b0-a0>0㊂p1-a0p3+b0p4=(d+u)(d+r)+2kˑ(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗㊃(d+r+u)-k㊃d+u k㊃(d+r)=2k㊃(d+r)(b-dS∗)d2+dr+du㊃S∗ˑ(d+r+u)只需要b-dS∗>0(R0>1)时,p1-a0p3+b0p4>0㊂由Routh-Hurwotz准则知,方程根具有负实部,因此当τ=0,(R0>1)时,地方病平衡点E∗局部渐进稳定㊂证毕㊂引理3:当p1-a0p3+b0p4>0且p1+a0p3-b0p4<0时,方程具有一对纯虚根ʃiθ(θ>0)㊂证明:当τ>0时,g1(λ)=λ2+p0λ+p1+e-λτ[(b0-a0)λ-a0p3+b0p4],将λ=iθ代入式中,并分离虚实部,得-θ2+p1=(a0p3-b0p4)cosθτ+(a0θ-b0θ)sinθτ-p0θ=(a0p3-b0p4)sinθτ-(a0θ-b0θ)cosθτ(8)ìîíïïïïïï两式平方相加得(-θ2+p1)2+(-p0θ)2=(a0p3-b0p4)2+(a0θ-b0θ)2,化简得θ4+[p20-2p1-(a0-b0)2]θ2+[p21-(a0p3-b0p4)2]=0(9)解得:θ2=-[p20-2p1-(a0-b0)2]+[p20-2p1-(a0-b0)2]2-4㊃[p21-(a0p3-b0p4)2]2(10)要使θ2>0,则要p21-(a0p3-b0p4)2<0㊂证毕㊂由式(8),可得37㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月τk =1θarcsin (-θ2+p 1)(a 0θ-b 0θ)-p 0θ(a 0p 3-b 0p 4)(a 0p 3-b 0p 4)2+(a 0θ-b 0θ)2+2k πθ,k =0,1,2, (11)引理4:d(Re λ)d τλ=i θ,τ=τk>0,其中τk 为式(11)㊂证明:由题意,证明d(Re λ)d τλ=i θ>0即可㊂令g 1(λ)=λ2+p 0λ+p 1+e -λτ(q 1λ+q 2)(12)其中q 1=b 0-a 0,q 2=b 0p 4-a 0p 3㊂式子(12)左右两边关于τ求导2λd λd τ+p 0d λd τ-τe -λτ(q 1λ+q 2)d λd τ-λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1e -λτd λd τ=0(13)可得d λd τ=λe -λτ(q 1λ+q 2)2λ+p 0+e -λτ[q 1-τ(q 1λ+q 2)](14)计算再有d λd τ()-1=2λ+p 0λe -λτ(q 1λ+q 2)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ=2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)+q 1λ(q 1λ+q 2)-τλ(15)则有sign{dRe λd τλ=i θ}=sign {Red λd τ()-1λ=i θ}=sign {Re 2λ+p 0-λ(λ2+p 0λ+p 1)λ=i θ+Req 1λ(q 1λ+q 2)λ=i θ}=sign {Re -2θ-i p 0(i θ)2+i θp 0+p 1-i q 1i θq 1+q 2()}=sign {Re(2θ-i p 0)[(θ2-p 1)+i θp 0](θ2-p 1)2+(θp 0)2-i q 1(q 2-i θq 1)q 22+(θq 1)2()}=sign {2θ2-2p 1+p 20(θ2-p 1)2+(θp 0)2-q 21q 22+(θq 1)2}=sign{(2θ2-2p 1+p 20)[q 22+(θq 1)2]-q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{2θ2q 22+θ4q 21-2p 1q 22+p 20q 22[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign{q 22(2θ2+p 20-2p 1)+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=sign {q 22[2θ2+(d +r )2+(d +u )2]+θ4q 21[(θ2-p 1)2+(θp 0)2][q 22+(θq 1)2]}=1>0证毕㊂㊀㊀由引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支理论与文献[4,11,16]可得到如下结论:定理2:当p 1-a 0p 3+b 0p 4>0,p 1+a 0p 3-b 0p 4<0,且当R 0>1时,如果τɪ[0,τ0)时,τ0=min(τj ),那么系统(1)的平衡点是局部渐进稳定;如果τ>τ0,那么系统(1)的平衡点是不稳定的,且当τ=τj 时,系统(1)的平衡点经历Hopf 分支㊂2㊀数值模拟前文讨论了时滞对无病平衡点及正平衡点的影响,接下来将通过数值模拟来直观的展示出时滞对系统解的影响㊂取参数b =1,d =0.8,u =0.2,r =0.4,k =4,则系统(1)为47第35卷第1期张露露等:一类具有时滞的传染病模型Hopf 分支及稳定性分析Sᶄ(t )=1-0.8S (t )-4S 2(t -τ)I (t -τ)+㊀㊀㊀0.4R (t )Iᶄ(t )=4S 2(t -τ)I (t -τ)-I (t )Rᶄ(t )=0.2I (t )-1.2R (t )ìîíïïïï(16)此时R 0=254>1,τ=1.3<τ0,系统存在唯一地方病平衡点,且地方病平衡点E ∗是局部渐近稳定的,此时疾病发展为地方病(见图1)㊂在同样参数条件下,选择τ=2.0>τ0时,此时地方病平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀当τ=1.3<τ0时,模型(16)的正平衡解是渐进稳定的Fig.1㊀The positive equilibrium of (16)was asympomatic stable when τ=1.3<τ图2㊀当τ=2.0>τ0时,模型(16)的正平衡解是不稳定的Fig.2㊀The positive equilibrium of (16)wasn t stable when τ=2.0>τ057㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2021年2月3㊀结㊀论本文讨论了一个具有非线性发生率的具有时滞的流行病模型的稳定性,确定了基本再生数R0,由霍尔维兹定理判断了非负平衡点的局部稳定性㊂对于任意时滞,当R0<1时,无病平衡点全局渐进稳定的,即随着时间的推移,疾病最终消亡;R0 >1,时滞不为零时,在一定条件下,E∗不再稳定,系统出现周期解地方病平衡点出现Hopf分支㊂参考文献:[1]LIU Q,JIANG D Q,SHI N Z,et al.Asymptotic behavior of a stochastic delayed SEIR epidemic model with nonlinear incidence[J].Physica A:Statistical mechanics and its ap-plications,2016,462:870-882.[2]李林.经济系统中几个微分方程模型[J].中国科学院研究生院学报,2013,20(3):273-278. [3]LIU Y P,CUI J A.The impact of media coverage on the dynamics of infectious diseases[J].International journal of biomathematics,2008,1(1):65-74.[4]ZHANG Y,JIA J.Hopf bifurcation of an epidemic model with a nonlinear birth in population and stage structure [J].Applied mathematics&computation,2014,230(4): 164-173.[5]田立新,钱和平.时滞影响下区域能源供需模型及动力学分析[J].江苏大学学报(自然科学版),2008,29(5):453-456.[6]CAI Y L,KANG Y,WANG W M.A stochastic SIRS epi-demic model with nonlinear incidence rate[J].Appliedmathematics and computation,2017,305:221-240. [7]马知恩.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004:147-162.[8]魏俊杰,王洪滨,蒋卫华.时滞微分方程的分支理论及应用[M].北京:科学出版社,2012:53-61. [9]WENDI W,ZHIEN M.Global dynamics of an epidemic model with time delay[J].Nonlinear analysis-real world applications,2002,3(3):365-373.[10]XIAO D M,RUAN S G.Global analysis of an epidemicmodel with nonmonotone incidence rate[J].Mathematicalbiosciences,2007,208(2):419-429.[11]HU G P,LI X L.Stability and Hopf bifurcation for a de-layed predator-prey model with disease in the prey[J].Chaos solitons&fractals,2012,45(3):229-237. [12]JIANG Z C,MA W B,WEI J J.Global Hopf bifurcationand permanence of a delayed SEIRS epidemic model[J].Mathematics and computers in simulation,2016,122(1):35-54.[13]XIAO D,RUAN S.Global analysis of an epidemic modelwith nonmonotone incidence rate[J].Mathematical bio-sciences,2007,208(2):419-429.[14]YAN N X,CHEN L S.Global stability of a predator-prey system with stage structure for the preydator[J].Acta mathematics sinica,2004,20(1):63-70. [15]KUANG Y.Delay differential equation with applicationdynamics[M].New york:Academic press,1993:58-62.[16]ZHANG J F,LI W T,YAN X P.Hopf bifurcation andstability of periodic solutions in a delayed eco-epidemio-logical system[J].Applied mathematics andcomputation, 2008,198(2):865-876.(上接第66页)参考文献:[1]刘亚春,王盈,张娜.无延时可修系统的可靠性分析与计算[J].南华大学学报(自然科学版),2019,33(1): 44-46.[2]宋保维.系统可靠性设计与分析[M].西安:西北工业大学出版社,2000:61-61.[3]SI S B,ZHAO J B,CAI Z Q,et al.Recent advances in sys-tem reliability optimization driven by importance measures [J].Frontiers of engineering management,2020,7(3): 335-358.[4]KUMAR G,JAIN V,SONI U.Modelling and simulation of repairable mechanical systems reliability and availability [J].International journal of system assurance engineering and management,2019,10(5):1221-1233. [5]HU L M,YUE D Q,MA Z Y.Availability analysis of a re-pairable series-parallel system with redundant dependency[J].Journal of systems science and complexity,2020,33 (2):446-460.[6]刘仁彬,刘再明,吴永.多重延误休假的单部件可修系统:一些新的可靠性指标[J].系统工程学报,2011,26 (4):573-578.[7]LI X H,DING W Y.A stochastic model on one-unit re-pairable systems with multiple degenerative states[J]. Journal of systems science and complexity,2018,31(3): 804-819.[8]ZHANG X.Reliability analysis of a cold standby repaira-ble system with repairman extra work[J].Journal of sys-tems science and complexity,2015,28(5):1015-1032.[9]唐应辉,刘晓云.修理工带休假的单部件可修系统的可靠性分析[J].自动化学报,2004,30(3):466-470.[10]SCHIFF J L.The laplace transform:Ttheory and appli-cation[M].Heidelberg:Springer-Verlag,1999:1-35.67。