一元二次方程求根公式推导的教案
用配方法推导一元二次方程的求根公式--教学设计
《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教学设计一.教学内容的分析 1.教材的地位和作用一元二次方程的求根公式是一元二次方程中的重要内容，是在学习了一次方程、方程组，分式方程以及一元二次方程有关概念的基础之上学习的.求根公式的推导是引出根的判别式、进一步讨论一元二次方程的实数根的存在性的前提，同时也为推导根与系数的关系以及今后学习二次函数等有关内容奠定基础.2.对教学内容的认识用配方法推导一元二次方程的求根公式是本节课的教学内容.由于公式的推导均为字母间的运算，为了让学生能够亲自参与推演求根公式的过程，设计了三个活动，逐步由数字系数的一元二次方程过渡到含三个字母系数的一元二次方程，学生经历从特殊到一般的研究过程.一元二次方程的解法---公式法，安排3课时.本节课是第一课时:用配方法推导一元二次方程的求根公式.根据以上分析，确定本节课的教学重点是：用配方法推导一元二次方程的求根公式.3.学生学情分析我校是通州区一所普通中学，所授班级是学校音乐特长班，大部分学生个性活泼、开朗, 学习数学的积极性较高，兴趣较为浓厚，但数学基础一般.在上本节课之前，我对本校九年级两个班共计72位同学做了一次调查，用配方法解方程： 结果仅有3位同学推导过程完全正确，正确率仅约为4.17%。
我对其中的错误进行了简单分析：同时，设置了这样两个问题：在推导一元二次方程的求根公式时，你觉得有20(0).ax bx c a ++=≠哪些困难？有很多学生提到“字母太多”、“运算量大”等困难；在运用公式法解一元二次方程时，你有哪些困惑？有些学生认为公式的结构复杂，不便于记忆，主要靠死记硬背，套公式解一元二次方程，而不知公式从何而来.基于以上分析和调查，我认为虽然课标中并未对用配方法推导一元二次方程的求根公式提出具体要求，但推导过程本身的价值在于通过让学生亲历公式的推演，帮助学生理解一元二次方程的根是由系数a 、b 、c 决定的.由于公式的推导过程均为字母间的运算，对学生来说困难较大，因此本节课的难点是：一元二次方程求根公式的推导过程. 二.教学目标的确定结合教材内容和学生的实际情况，我从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三方面确定本节课的教学目标：1.理解配方法，能用配方法推导一元二次方程求根公式.2.经历探索一元二次方程求根公式的过程，初步了解从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律.3.逐步培养学生的探究意识和创新精神，渗透探索数学问题的一般方法. 三、教学过程设计与实施为了达到教学目标,我把教学过程设计为以下五个阶段:具体教学过程如下：3）用配方法解方程 222221+1111+22111方程两边同时除以 a x x a x x a a a a x ≠∴⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+=-+12212x a a x a +=±=-±220040可判断a a a a ⎝⎭≠∴≠∴∴>24=2只有当b b x a -+。
一元二次方程公式法求解教案使用
x2
5
x
1
•
5
2
2
5
2
配方得：__________________3_____2__3_____3___ _6____
（在二次项系数为1的前提下，配 一次项系数一半的平方）
x
5
2
49
整理得：_________________________6_____3__6__________
（方程整理为
因为 所以
即
b2 4ac 132 45 6 49
x b b2 4ac 2a
13 49
25
13 7
10
x1 -2
, x2
3 5
探究：用公式法解一元二次方程一般有哪几个步骤？
1．把方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，进而确定a、b，c的值．
2．求出 b2 4ac 的值(先判别方程是否有实数根).
一元二次方程公式法求解教案
教学目标 1．掌握一元二次方程求根公式的推导过程，加强推理技能训练， 进一步发展逻辑思维能力． 2．要求学生熟练掌握用公式法解一元二次方程，培养计算能力． 3．渗透“特殊与一般”的观点，体会从特殊到一般的思维方式， 养成严谨、认真的态度和学风．
教学重点和难点 重点：一元二次方程求根公式的推导和应用． 难点：用配方法推导求根公式．
1
（3）方程两边都加上一次项系数____2__的平方；
（4）原方程变形为__x___m___2___n__ 的形式；
（5）如果等号右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如 果右边是负数，则一元二次方程_____实__数__解______．
问题： 用因式分解或者直接开平方法只能解决一些小儿科的一元二次 方程． 难度比较大的一元二次方程就得用配方法来求解，但是配方比 较麻烦，而且总在重复相同的解题过程． 因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程，得到根的一般 表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
《一元二次方程》优秀教案(精选5篇)
《一元二次方程》优秀教案（精选5篇）《一元二次方程》优秀教案1学习目标1、一元二次方程的求根公式的推导2、会用求根公式解一元二次方程.3、通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯学习重、难点重点：一元二次方程的求根公式.难点：求根公式的条件：b2 -4ac≥0学习过程：一、自学质疑：1、用配方法解方程：2x2-7x+3=0.2、用配方解一元二次方程的步骤是什么?3、用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢?二、交流展示：刚才我们已经利用配方法求解了一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c=0(a≠0)呢?三、互动探究：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的系数a、b、c确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下，把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根.注：(1)把方程化为一般形式后，在确定a、b、c时，需注意符号.(2)在运用求根公式求解时，应先计算b2-4ac的值;当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2-4ac<0时，方程没有实数解.就不必再代入公式计算了.四、精讲点拨：例1、课本例题总结:其一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b，c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根.例2、解方程：(1)2x2-7x+3=0 (2) x2-7x-1=0(3) 2x2-9x+8=0 (4) 9x2+6x+1=0五、纠正反馈：做书上第P90练习。
八年级数学下册《用配方法推导一元二次方程的求根公式》教案、教学设计
1.配方法的原理：教师讲解配方法的基本原理，即通过添加和减去同一个数，将一元二次方程转化为完全平方形式。
2.求根公式的推导：引导学生运用配方法将一元二次方程转化为标准形式，进而推导出一元二次方程的求根公式。
3.求根公式的应用：通过实例，讲解如何运用求根公式解决一元二次方程问题。
（三）学生小组讨论
（1）x^2 - 6x + 9 = 0
（2）2x^2 - 4x - 6 = 0
（3）实际问题：某公司生产的产品，每件成本为1000元，售价为2000元。若公司每月固定成本为50000元，求公司每月盈利达到100000元时的销售数量。
2.学生解答：学生在课堂上独立完成练习题，教师对解答过程进行指导。
（五）总结归纳
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对配方法和求根公式的掌握程度。
（3）收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困难和需求，及时调整教学方法。
4.教学关注点：
（1）关注学生的个体差异，针对不同学生的需求进行差异化教学。
（2）注重培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。
（3）关注学生的情感态度，激发学生的学习兴趣，使他们在愉快的氛围中学习数学。
4.通过典型例题的讲解和练习，让学生掌握一元二次方程求根公式的使用方法，培养学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生主动探索数学问题的积极性。
2.通过配方法和求根公式的学习，使学生体会到数学知识的内在联系，培养学生的数学思维。
3.培养学生面对困难时，勇于挑战、善于思考、持之以恒的精神风貌。
4.学生对数学学科的兴趣和热情存在差异，教学中要注意激发学生的学习兴趣，关注学生的情感态度，使他们在轻松愉快的氛围中学习数学。
用配方法推导一元二次方程的求根公式
一元二次方程的解法用配方法推导一元二次方程的求根公式素养目标：1.了解一元二次方程求根公式的历史，带上配方法重温一元二次方程求根公式的推导过程。
2.运用配方法求解含参的一元二次方程，提升从特殊到一般的解题能力，发现难点，多方位突破。
3.认识公式法和根的判别式，加深对一元二次方程求根公式的理解，会用求根公式构造一元二次方程解决问题。
活动一：课前热身赛：挑战配方法比赛程序：1，同桌之间互相出题：在表格中给你的同桌出一道题“用配方法解一元二次方程”，互相批改，决出胜负。
2，向老师推荐：好题，完美的解题，典型的错误，自己无法批改的题目等。
活动一总结：活动二：穿越之旅：带上配方法去旅行重走先贤之路：推导一元二次方程求根公式（配方法）揭秘先贤的智慧：探寻一元二次方程求根公式的多种推导方法1，首系数不化为12， 几何法活动二总结：活动三：穿越归来：学以致用用求根公式解下列方程2(1)470x x --=())2322222x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2(3)178x x +=活动三小结：12x x +()221212x x a x x b ==或()()2224c a-)21.x x =-我国数学家赵爽在其《周髀算经》注文的《勾股圆方图注》一文中提到：“其倍弦（2c ）为广袤合（ ），而令勾股见者自乘为实，四实以减之 开其余，所得为差以差减合 ，半其余为广。
活动四：火眼金睛：由求根公式构造一元二次方程()24222240,2.22b ac b b a ac b c a a -≥⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题：已知试化简22,4.b ac b ac ≤=--练习1：已知a>0,b 0,c<0,求的最小值321,40381112.222a a a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭练习2，已知求的值21,.28a =-练习3，已知求a32,.2a +=练习4，已知求-a活动五：归纳小结：方法，模型，应用活动六：布置作业1，活页P9-10（必做）2，导学案上的练习补充完整（选做）3，。
一元二次方程求根公式推导的教案
一元二次方程的解法（求根公式法）教学目标（一）使学生掌握一元二次方程求根公式的推导过程；（二）要求学生熟练掌握用公式法解一元二次方程；（三）培养计算能力。
渗透“一般与特殊”的观点。
教学重点和难点重点：一元二次方程的求根公式解法。
难点：用配方法推导求根公式。
教学过程设计（一）引入1、复习配方法的步骤；2、问题：一个一元二次方程如果不能用因式分解或者直接开平方法，那么一定就可以用先配方再开平方来求解。
但是配方比较麻烦，而且总在重复相同的解题过程。
那么能否推导一个一元二次方程的求根公式，从而可以直接代公式求解？这就是本节课要解决的问题。
新课（在教师的引导下完成以下的推导）推导求根公式02=++c bx ax ()0≠a （1） 解：因为0≠a ，两边同时除以a ,得02=++a c x a b x ，把常数项移到方程的右边，并在两边加上一次项系数一半的平方，得⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a c a b a b x a b x 22222即 ,442222a acb a b x -= ⎝⎛⎪⎭⎫+ 因为24,0a a ≠>0，当042≥-ac b 时， 得,2422a ac b a b x -±=+ 所以,242a ac b b x -±-= ()2 即,2421a ac b b x -+-= ,2422a ac b b x ---=公式（2）叫做一元二次方程的求根公式。
2、运用求根公式求一元二次方程的根。
注意两点：（1）一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的根的值是由系数c b a ,,确定的，所以在代入求根公式前，务必认准所求题目中c b a ,,所取值是多少（特别容易在正、负号上出错).（2）方程02=++c bx ax ()0≠a 不一定有实数解，为此，在代公式之前，先判断一下ac b 42-的值很有必要，,042≥-ac b 方程有实数解。
2.4用因式分解法求解一元二次方程根(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解法求解一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示因式分解法的基本原理。
-举例：x^2 - 5x + 6 = 0的因式分解过程：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。
-重点二：一元二次方程求解后的验根方法。
-强调验根的重要性，确保解的正确性。
-介绍将解代入原方程检验的步骤和方法。
-举例：将求得的解x1 = 2, x2 = 3代入原方程x^2 - 5x + 6 = 0进行验证。
5.激发学生的自主学习与合作交流能力：鼓励学生在课堂上积极思考、主动探索，与同伴进行交流与合作，共同解决问题，提高自主学习能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：因式分解法求解一元二次方程的基本原理和步骤。
-明确因式分解的目的是将一元二次方程转化为两个一次因式的积，从而求解。
-强调在因式分解过程中，正确寻找公因式和恰当的分解方法的重要性。
其次，学生在进行因式分解时，有时会忽略掉一些细节，导致最终解得的结果并不正确。这一点提醒我，在讲解过程中，要特别强调每个步骤的重要性，让学生们明白每一步都不能马虎。同时，我也计划在后续的练习中，加入更多的验算环节，让学生们养成自我检查的好习惯。
此外，我发现学生们在小组讨论中，能够主动提出问题、分享解题思路，这是一个非常好的现象。但也有一些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对自己的观点不够自信。针对这个问题，我打算在以后的课堂中，多给予鼓励和支持，让每个学生都能勇敢地表达自己的看法。
一元二次方程解法(公式法)教学案
一元二次方程的解法(公式)【目标导航】1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的解一元二次方程的一般步骤，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2．初步了解一元二次方程根的情况;3.通过解决问题，让学生体验问题解决的成功感，从而养成积极思考、主动探究的学习习惯.【预习引领】1．用配方法解下列方程（1）6x 2-7x +1=0 （2）4x 2-3x =52总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边加上一次项系数一半的平方； （4）原方程变形为（x +m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．2.如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+b x+c =0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题． 问题：已知ax 2+bx +c =0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx = 二次项系数化为1，得x 2+bax= 两边加上一次项系数一半的平方(配方)得：x 2+b a x+（ ）2=-ca+（ ）2即 （x + ）2=∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x +2ba =∴这个方程的根是x 1x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定.3.利用上述推导得到的公式求下列方程的根 (1)2x 2-4x -1=0 解：（1）a =2，b =-4，c =-1b 2-4ac =（-4）2-4×2×（-1）=24>0 x==∴x 1x 2小结:以上解一元二次方程的方法叫公式法.【要点梳理】1．用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把方程化为一般形式,确定a ,b ,c 的值(各项系数若有分数,通常化为整数) ; (2)求出ac b 42-的值,根据ac b 42-的值的情况确定是否可以利用公式求解; (3)如果ac b 42-≥0,可以将一般式中的a ,b ,c 的值代入求根公式x 1x 22.注意问题:(1)用公式法解一元二次方程时,一定要将方程化成ax 2+bx +c =0（a ≠0）的一般形式,否则,找a ,b ,c 时,很容易发生符号错误.(2)当ac b 42-=0时 ,方程的根写成abx x 221-==的形式,从而说明一元二次方程有两个根,而不是一个根. 例1 解下列方程: (1)0182=+-x x ； 【答案】1,8,1=-==c b a060114)8(422>=⨯⨯--=-ac b1542608±=±=x154,15421-=+=x x(2) 5x +2=3x 2；【答案】 原方程可化为：02532=--x x2-,5,3=-==c b a0492-34)5(422>=⨯⨯--=-）（ac b67532495±=⨯±=x31-,221==x x(3) ()()0532=--x x ；【答案】 原方程可化为：0101132=+-x x10,11,3=-==c b a011034)11(422>=⨯⨯--=-ac b611132111±=⨯±=x 35,221==x x(4) 01342=+-x x ；【答案】 1,3,4=-==c b a07-144)3(422<=⨯⨯--=-∴ac b ∴原方程无解。
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一元二次方程的解法（求根公式法）
教学目标
（一）使学生掌握一元二次方程求根公式的推导过程；
（二）要求学生熟练掌握用公式法解一元二次方程；
（三）培养计算能力。
渗透“一般与特殊”的观点。
教学重点和难点
重点：一元二次方程的求根公式解法。
难点：用配方法推导求根公式。
教学过程设计
（一）引入
1、复习配方法的步骤；
2、问题：一个一元二次方程如果不能用因式分解或者直接开平方法，那么一定就可以用先配方再开平方来求解。
但是配方比较麻烦，而且总在重复相同的解题过程。
那么能否推导一个一元二次方程的求根公式，从而可以直接代公式求解？
这就是本节课要解决的问题。
新课（在教师的引导下完成以下的推导）
推导求根公式
02=++c bx ax ()0≠a （1） 解：因为0≠a ，两边同时除以a ,得
02=++a c x a b x ，
把常数项移到方程的右边，并在两边加上一次项系数一半的平方，得
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a c a b a b x a b x 2
2222
即 ,442222
a ac
b a b x -= ⎝⎛⎪⎭⎫+
因为24,0a a ≠>0， 当042≥-ac b 时， 得
,2422a ac b a b x -±=+ 所以
,242a ac b b x -±-= ()2 即,2421a ac b b x -+-= ,2422a ac b b x ---=
公式（2）叫做一元二次方程的求根公式。
2、运用求根公式求一元二次方程的根。
注意两点：
（1）一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的根的值是由系数c b a ,,确定的，所
以在代入求根公式前，务必认准所求题目中c b a ,,所取值是多少（特别容易在正、负号上出错).
（2）方程02=++c bx ax ()0≠a 不一定有实数解，为此，在代公式之前，先
判断一下ac b 42-的值很有必要，,042≥-ac b 方程有实数解。
若ac b 42-<0时，
方程无实数解，就没有必要代入求根公式了。
解题举例
例1、解方程：03422=+-x x
解：（1）因为： 3,4,2=-==c b a
所以
324)4(422⨯⨯--=-ac b = 08<-
即原方程无实数解
例2 解方程：()).2(2)1(71+=-++x x x x
解：（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式
.01162=-+x x
因为 11,6,1-===c b a
所以
()11146422-⨯⨯-=-ac b 80=, 代入求根公式
即 ,2
546242±-=-±-=a ac b b x
所以 ,5231+-=x .
5232--=x
1、 练习： 1、.3252x x =
2、0223422=-+x x
3、0322=+-x x
三、小结
1、用公式解一元二次方程时要注意的条件；
2、ac b 42-的值与一元二次方程的根之间的联系：
（1） 042>-ac b 时一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 有两个不相等的实数根；
（2）042=-ac b 时一元二次方程
02=++c bx ax ()0≠a 有两个相等的实数根； （3）042<-ac b 时一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 没有实数根；
四、作业
1.用求根公式法解下列方程：
（1）、0222=-+x x ； （2）、081322=+-x x
（3）、
;2222a b ax x -=-- . .。