学案15 导数的概念(文理)
(整理)导数概念 教案.
导数的概念（教案∙讲稿∙PPT）一、教案【教学目标】 (1)、知识与技能目标1. 了解导数的历史背景,体会导数定义的探索过程2. 掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解．3. 使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求函数在区间上的导数． (2)、过程与方法目标1. 在导数定义的过程中,用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力、抽象思维能力.体会数形结合的思想.2．通过探究导数定义的过程，体验数学思维的严谨性。
(3)、情感、态度与价值观目标1. 了解导数发现的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣与本领。
2. 在探究活动中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某点处的变化率的思想，培养学生的探究精神。
【教学重点】导数的概念.【教学难点】如何引出导数的概念，并根据导数的定义计算导数. 【教学方法】形象直观式教学法、问题探究式教学法.【背景知识】自由落体物体的瞬时速度问题，曲线切线的斜率问题等. 【特色和创新之处】用通俗易懂的语言，通过文、理结合的方式，最后以口诀的形式结尾，讲解抽象的内容，体现数学的草根本色。
【教学进程概要】用两个实际问题阐述函数在一点上导数的定义，由例题1和例题2，来讲述在一点上求导的方法；接着由例题2，引出函数左、右导数的概念；用例题3引出在开区间上的导数，即导函数的定义，在此基础上给出求导函数的例子，例题4；最后以口诀的形式结尾。
【板书内容】导数的概念0000()()()lim lim t t s t t s t sv t t t∆→∆→+∆-∆==∆∆0000()()lim lim MTx x f x x f x yk x x∆→∆→+∆-∆==∆∆ 对一般函数：()y f x =0000()()|lim lim x x x x f x x f x yy x x=∆→∆→+∆-∆'==∆∆ xx f x x f x y y x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim00二、讲稿（一）、引言在前面，我们学习了函数的极限，利用极限讨论了函数的一种性质，叫连续，即：0lim 0x y ∆→∆=，今天我们来研究函数的另外一种性质。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 让学生理解导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数解决实际问题，如速度、加速度等。
二、教学内容1. 导数的定义2. 导数的几何意义3. 导数的计算方法4. 导数在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义和计算方法。
2. 难点：导数的计算方法和在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学。
五、教学过程1. 导入：回顾函数的斜率概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率。
2. 导数的定义：介绍导数的定义，强调极限的思想，引导学生理解导数的含义。
3. 导数的几何意义：通过图形演示，让学生直观地理解导数表示曲线在某一点的切线斜率。
4. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算等。
5. 应用导数解决实际问题：举例说明导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
6. 练习：布置练习题，让学生巩固导数的概念和计算方法。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数的重要性和应用价值。
8. 作业：布置作业，巩固所学内容。
六、教学反思在教学过程中，注意观察学生的反应，根据学生的实际情况调整教学节奏和难度。
针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习。
七、教学评价通过课堂表现、作业和练习，评价学生对导数的理解和应用能力。
鼓励学生积极参与讨论，提高解决问题的能力。
八、课时安排本节课安排2课时，共计45分钟。
九、教学资源1. 多媒体课件2. 练习题3. 相关参考资料十、教学拓展1. 导数的进一步应用，如函数的单调性、极值等。
2. 导数在其他学科中的应用，如物理、化学等。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的函数实例，让学生理解导数的计算过程和应用场景。
2. 小组讨论：鼓励学生分组讨论导数问题，培养合作解决问题的能力。
3. 实际操作：让学生利用计算器求解导数，增强实践操作能力。
导数的概念及其意义——高三一轮复习导学案
导数的概念及其意义2023.10.26课前一题记函数)(x f 的导函数是)(x f '，若)(x f ＝xx f 1)1(2-'，则)1(f '的值为 . 学习目标：1. 理解导函数的概念；2. 理解导数的几何意义；3. 学会应用导数的几何意义；4. 学会利用导数求曲线的切线方程。
温故知新：1．导数的概念对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到 ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到 ．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．(1) 如果当Δx →0时， x y ΔΔ无限趋近于一个确定的值，即x y ΔΔ有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的 ，记作 或y ′|x ＝x 0，即xx f x x f x y x f x x ΔΔΔΔΔΔ)()(lim lim )(00000-+=='→→ (2)当0x x =时，)(0x f '是一个唯一确定的数，当x 变化时，)(x f y '=就是x 的函数，我们称它为y ＝f (x )的导函数(简称导数)，记为)(x f '(或y ′)，即x x f x x f y x f x ΔΔΔ)()(lim )(0-+='='→. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的 ，相应的切线方程为 ．一、导数与图象问题例1. 函数f (x )的图象与其在点P 处的切线如图所示，则)1()1(f f '-等于( )A ．－2B ．0C ．2D ．4变式. 已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，其中A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是( )A ．)()()(321x f x f x f '>'>'B ．)()()(123x f x f x f '>'>'C ．)()()(213x f x f x f '>'>'D ．)()()(231x f x f x f '>'>'例2. 函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0)3()2()1(>'>'>'f f fB ．0)3()2()1(<'<'<'f f fC ．)3()2()1(0f f f '<'<'<D ．)3(0)2()1(f f f '>>'>'变式1. 已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的图象是( )变式2. 已知函数y ＝f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数)(x f y '=的图象如图所示，则该函数的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、求切线方程 例3. 函数f (x )＝x ln(－2x )，则曲线y ＝f (x )在x ＝2e -处的切线方程为变式. 曲线y ＝xx ln ＋x 在点(1,1)处的切线方程为例4. 曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为 ， .变式1. 若过点P (1,0)作曲线y ＝x 3的切线，则这样的切线共有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条变式2. 过原点与曲线y ＝(x －1)3相切的切线方程为 .本堂小结：作业布置：1. 完成学案2. 课时作业163. 订正纠错。
导数概念教案
导数概念教案教案标题：导数概念教案教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学准备：1. 教材：包含导数概念和计算方法的相关章节；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔或马克笔、计算器；3. 学具：练习题集、实际问题案例。
教学过程：引入：1. 引导学生回顾函数的概念和图像特征；2. 提问学生是否知道如何描述函数在某一点的变化情况；3. 引出导数的概念，并解释导数是描述函数变化速率的工具。
讲解导数的定义：1. 介绍导数的定义：函数f(x)在点x处的导数表示函数在该点的变化率，记作f'(x)或dy/dx；2. 解释导数的几何意义：导数是函数曲线在某一点处的切线斜率；3. 通过几个示例图形化展示导数的概念。
计算导数的方法：1. 讲解导数的计算方法：使用极限的概念，计算函数在某一点的导数；2. 指导学生通过求导法则计算导数：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则；3. 给予学生一些练习题，巩固导数计算方法。
应用导数解决问题：1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用：如速度、加速度、最优化问题等；2. 通过实际问题案例，让学生应用导数解决相关问题；3. 强调导数在实际问题中的重要性和实用性。
总结：1. 总结导数的概念和意义；2. 强调导数的计算方法和应用；3. 鼓励学生继续练习和应用导数，提高数学问题解决能力。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多导数的性质和应用；2. 引导学生进一步探究导数的图像和曲线变化特征；3. 提供更多的实际问题案例，让学生应用导数解决更复杂的问题。
教学评估：1. 教师观察学生对导数概念的理解和计算方法的掌握情况；2. 课堂练习题的完成情况和准确度；3. 学生在实际问题解决中的应用能力。
导数的概念-课件-导数的概念
导数的计算 练习
通过计算导数的练 习，我们可以巩固 导数的基本计算方 法。
导数与几何 问题的练习
通过几何问题的练 习，我们可以将导 数与图形之间的关 系运用到实际问题 中。
导数与极值 的练习
通过极值问题的练 习，我们可以运用 导数的概念来解决 优化问题。
导数与凹凸 性的练习
通过凹凸性问题的 练习，我们可以运 用导数的凹凸性判 定方法来分析函数 图像。
2 作用
导数用于研究函数的局部特性、极值、凹凸性和切线斜率等。
3 符号与表示方法
导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示，其中f为函数，x为自变量。
导数的定义
导数的定义涉及函数的极限，几何和物理意义的理解。通过导数的定义，我们能够深入了解导数的本质 和作用。
函数的极限与导数 的定义
通过极限的概念，导数的定 义表达了函数在某一点的切 线斜率的极限值。
总结
导数作为数学的重要概念，具有广泛的应用前景和未来发展趋势。通过深入理解导数的概念和应用，我 们能够提升数学思维和问题解决能力。
参考文献
计算数学导论，陈红，2019 导数在现代物理中的应用，张立，2020 从函数到导数，王海，2018
导数的概念-课件-导数的 概念
导数的概念课件将带领我们深入探索导数的世界。我们将了解导数的定义、 计算方法和应用，以及导数在几何和物理中的意义。
什么是导数
导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数的极小变化量与自变量的极小变化量之间的关系。 导数帮助我们理解函数的变化规律。
1 定义
导数是函数变化率的极限，衡量了函数在某一点上的变化速度。
导数的几何意义
导数代表了函数图像在某一 点的切线斜率，可以帮助我 们理解函数的曲线特征。
导数的概念及运算
()
A．f′(x0)
B．．－f(x0)
解：liΔmx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝－liΔmx→0
f[x0＋－Δx]－fx0 －Δx
＝－f′(x0)．
考点二·导数的运算
【例 2】求下列函数的导数：
(1)y＝exln x;
(2)y＝11－＋csoins
x－1 x2 .
点评：利用导数公式和运算法则求导数，是求导数的基本 方法(称为公式法)．用公式法求导数的关键是：认清函数式的结 构特点，准确运用常用的导数公式．
点评：利用定义求导数的基本步骤：
①求函数的增量：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
②求平均变化率：ΔΔyx＝fx＋ΔΔxx－fx；
fx＋Δx－fx
③取极限得导数：f′(x)＝liΔmx→0
Δx
.
【变式探究】
1．设函数 f(x)在 x0 处可导，则 liΔmx→0 fx0－ΔΔxx－fx0等于
答案：2x－y＋1＝0
5．(1)(2016·天津卷)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex,f′(x)为 f(x)
的导函数,则 f′(0)的值为
.；
(2)y＝x＋x 1，则 y′x＝2＝________.
解：(1)因为 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex,
所以 f′(0)＝3e0＝3.
(2)导数的运算法则 ①和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝_________________. ②积的导数 [f(x)·g(x)]′＝________________________； ③商的导数 [gfxx]′＝_________________________ (g(x)≠0)．
1．若 f(x)＝2x2 图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义和物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义：引入极限的概念，讲解导数的定义及求导法则；2. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则；3. 导数的应用：讲解导数在实际问题中的应用，如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及求导法则；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、求导法则及应用；2. 利用例题，演示导数的计算过程；3. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学过程1. 引入极限的概念，讲解导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率，通过极限的概念来理解导数；2. 讲解基本函数的导数公式，四则运算法则，复合函数的链式法则：引导学生掌握导数的计算方法；3. 利用例题，演示导数的计算过程：让学生通过例题，加深对导数计算方法的理解；4. 讲解导数在实际问题中的应用：如运动物体的瞬时速度、加速度，函数的单调性、极值等，培养学生运用导数解决实际问题的能力；5. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、例题演示、练习题等方式，评价学生对导数的概念、计算方法及应用的掌握程度。
六、教学拓展1. 导数的几何意义：讲解导数表示曲线在某一点的切线斜率，引导学生理解导数的几何interpretation；2. 导数与函数的单调性：讲解导数与函数单调性的关系，引导学生理解如何利用导数判断函数的单调性；3. 导数与函数的极值：讲解导数与函数极值的关系，引导学生如何利用导数求函数的极值。
七、教学案例分析1. 分析实际问题，引导学生运用导数求解：如物体运动的速度、加速度问题，函数的单调性问题等；2. 分析复杂函数的导数求解过程：引导学生理解并掌握复杂函数导数的求解方法。
导数的概念教案
导数的概念[教学目的]1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。
[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点 [教学方法]讲授启发，自学演练。
[授课类型]：新授课[课时安排]：1课时[教 具]：多媒体、实物投影仪[教学过程]一、复习提问(导数定义的引入)1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度) 2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系()105.69.42++-=t t t h ，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ （2）新课我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。
先计算2秒之前的t ∆时间段内的平均速度v ，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉表格1表格20<∆t 时，在[]2,2t ∆+这段时间内0>∆t 时，在[]t ∆+2,2这段时间内()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆-∆+∆=∆+-∆+-=t tt t t t h h v ()()()1.139.41.139.422222-∆-=∆∆-∆-=-∆+-∆+=t tt t t h t h v 当-=∆t 0.01时，-=v 13.051； 当=∆t 0.01时，-=v 13.149； 当-=∆t 0.001时，-=v 13.095 1； 当=∆t 0.001时，-=v 13.104 9； 当-=∆t 0.000 1时，-=v 13.099 51； 当=∆t 0.000 1时，-=v 13.100 49； 当-=∆t 0.000 01时，-=v 13.099 951；当=∆t 0.000 01时，-=v 13.100 049；当-=∆t 0.000 001时，-=v 13.099 995 1； 当=∆t 0.000 001时，-=v 13.100 004 9； 。
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学案 导数的概念及其运算（文理）
一、 目标要求
1、了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义。
2、能据导数定义，求函数y=c ，x y x
y x y x y x y ==
===,1,,,32的导数， 3、能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算求简单函数的导数。
二、知识梳理
⑴ 函数在点0x x =处的导数及导函数：
⑵ 函数在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处
⑶导数的基本运算
① 基本初等函数的导数公式
C C (0'=为常数) '()n x = =')(sin x '(cos )x =
'()x e = ；'()x a = ；'(ln )x = ；'(log )a x = ② 函数的和、差、积、商的求导法则
（4）、（理）复合函数的导数：一般地，设函数()u x ϕ=在x 处有导数''()x u x ϕ=，函数
y=f(u)在x 的对应点u 处有导数''()x y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，
且
三、基础训练
1、设()ln ,f x x x =若()'02f
x =，则0x =（ ） A 2e B e C ln 22 D ln2 2、若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直，则l 的方程为（ ）
)(A 034=--y x )(B 430x y -+= （C ）450x y +-=（D ）430x y ++=
3、半径为r 的圆的面积2
)(r r s π=，周长r r c π2)(=，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)('2=………………… ①
①式可用自然语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.
对于半径为R 的球,若将R 看作),0(+∞上的变量,请你写出类似于①的式子___________,
且用自然语言叙述为____________.
4、如图，函数f(x)的图像是折线段A,B,C ，其中的坐标分
别为(O,4)，(2,0),(6,4),则f(f(0))= , 函数f(x)在x=1处的导数(1)f '= 四、典例精析 例 1 求下列函数的导数： ⑴ ;sin 2x x y = ⑵;ln x x
y =
(3)1cos x y xe -= (理) （4）y=21x + (理)
例2 已知函数f(x)=x 3+x-16 ⑴ 求直线)(x f y =在点)6,2(-处的切线的方程； ⑵ 直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； ⑶如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341
+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程。
C B A 4 3
2
1 6 5 4 3
2 1 o x
五、当堂检测
⒈ 函数)(x f 在a x =处可导，则a
h a f h f a h --→)()(lim 等于（ ） )(A )('a f )(B )(h f )(C )(a f )(D )('h f
⒉下列求导数运算正确的是（ ）
)(A 2'11)1(x
x x +=+ )(B 2ln 1)(log '2x x = )(C e x x 3'log 3)3(= )(D x x x x sin 2)cos ('2-=
3.已知使函数y=x a 3
4ax 2
3-+的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为（ ） A ．0 B ．3± C ．0或3± D ．非以上答案 六、体验高考
1.（2010全国卷2文数）（7）若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则
（A ）1,1a b == (B) 1,1a b =-=
(C) 1,1a b ==- (D) 1,1a b =-=-
2.（2010辽宁文数）（12）已知点P 在曲线41x y e =
+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是
(A)[0,4
π) (B)[,)42ππ （C ） 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ 六、课后作业
1．已知,23)(23++=x ax x f 若,4)1('=-f 则a 的值等于（ ）
)(A 319 )(B 316 )(C 313 )(D 3
10 2)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个可导函数，若)(x f ，)(x g 满足),()(''x g x f =则)
(x f 与)(x g 满足（ ） )(A )()(x g x f = )(B )()(x g x f -为常数函数
)(C 0)()(==x g x f )(D )()(x g x f +为常数函数
3.已知曲线方程为2y x =（１）求过(2,4)A 点且与曲线相切的直线方程； （２）求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程
4.设曲线Ｃ：ln (01)y x x M =-<≤≥-t 在点（,t ）(t 0)e 处的切线为l １）求直线l 的方程
2）若直线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S （t ），求S （t ）的最大值
5、已知函数32
()2()f x ax g x b c x x =+=+与的图象都过P （2，0），且在点P 处有相同的切线 1）求实数a,b,c 的值 2）设函数()()(),F x f x g x =+求F （x ）的单调区间。