湖北省荆州市石首笔架山中学2019-2020学年高二数学理测试题
湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
湖北省荆州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直三棱柱ABC A B C '''-中，AC BC AA '==，90ACB ∠=︒，E 、D 分别为AB 、BB '的中点，则异面直线CE 与C D '所成角的余弦值为（ ） A ．10B ．10 C ．2 D ．15 【答案】B 【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C D '所成角的余弦值. 【详解】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AC BC AA '===,则()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,1,0E 、()0,0,2C '，()0,2,1D ，()1,1,0CE =、()0,2,1C D '=-，设异面直线CE 与C D '所成角为θ， 则10cos 25CE C D CE C Dθ'⋅===⋅'∴异面直线CE 与C D '10故选：B 【点睛】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.2．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ）A B ．2C ．D【答案】D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi3．已知正三棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，且该正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则球O 的表面积为（ ） A ．53π B ．5π C ．253πD ．25π【答案】C 【解析】 【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为233r ==，设正三棱柱的高为h ，由1232⨯=，得h =∴外接球的半径为R ==∴外接球的表面积为：2252544123S R πππ==⨯=． 故选C ．【点睛】本题主要考查了正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．4．若实数满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1C．10D．12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数经过平面区域的点时，取最大值.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】 D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=1． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．6．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】设2()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限. 【详解】因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2()(0)f x ax bx a =+≠，()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>,2240,0244b ac b b a a a--->=>， 则函数2()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在第一象限，故选A. 【点睛】本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题.7．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。
2019-2020学年湖北省荆州市石首一中高二(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2019-2020学年湖北省荆州市石首一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数a−3i1+2i 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a 的取值范围为( )A. a <6B. a >−32C. a <−32D. a >62. 已知i 为虚数单位，复数z =(1i −1)(1+i)，则|z|=( )A. √5B. 2C. √3D. 13. 设x <a <0，则下列不等式一定成立的是( )A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax4. 函数f(x)=log a (2x −3)(a >0,a ≠1)的图象过定点( )A. (0,32)B. (32,0)C. (0,2)D. (2,0)5. 长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 12πB. 14πC. 16πD. 18π6. 已知向量a ⃗ =(λ,−2),b ⃗ =(1+λ,1)，则“λ=1”是a ⃗ ⊥b ⃗ 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知数列1，x ，y ，9是等差数列，数列1，a ，b ，c ，9是等比数列，则bx+y =( )A. 910B. 310C. −310D. ±3108. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且3a 12，a 34，a 2成等差数列，则a 20+a 19a18+a 17=( )A. 9B. 6C. 3D. 19. 记{S n }为等差数列{a n }前n 项和，若数列{Snn}的第六项与第八项之和为4，则a 4等于( )A. 2B. 4C. 6D. 810. 在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且满足S 3=S 15.有下列命题：③S9<S10；④若S n>0，则n的最大值为17．其中正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 411.已知数列{a n}的通项公式是a n=f(nπ6)，其中f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，S n为数列{a n}的前n项和，则S2019的值为()A. −1B. 0C. 12D. 112.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，S n2−5S n S n−1+4S n−12=0，且a1=1，设b n=log2S n，T n=b1+b2+⋯+b n，若存在n∈N∗使不等式T n<mn−12成立，则正整数m的最小值是()A. 4B. 5C. 6D. 7二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若z=(m2+m−6)+(m−2)i为纯虚数，则实数m的值为______14.已知S n是等差数列{a n}的前n项和．a2=3，S5=25，则a4=______．15.已知等比数列{a n}的公比为2，若存在两项a m，a n，使得a m⋅a n=64a12，则1m +9n的最小值为______．16.有一列向量{a n⃗⃗⃗⃗ }：a1⃗⃗⃗⃗ =(x1,y1),a2⃗⃗⃗⃗ =(x2,y2),…,a n⃗⃗⃗⃗ =(x n,y n)，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列{a n⃗⃗⃗⃗ }，满足a1⃗⃗⃗⃗ =(−20,13)，a3⃗⃗⃗⃗ =(−18,15)，那么这列向量{a n⃗⃗⃗⃗ }中模最小的向量的序号n=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等差数列{a n}满足：a1+a2=10，a5−a3=4(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足：b2=a3，b3=a7，问b4是数列{a n}的第多少项？18.已知在数列{a n}中，a2=4，向量x⃗ =(a n+1,2)，y⃗=(a n,1)，且x⃗ //y⃗．(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若满足b n=13+2log12a n，Sn=b1+b2+⋯+b n，求S n的最大值．19.已知出f(x)=2x−4x−m，x∈[−1,1]．(1)当m=−2时，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)在[−1,1]上有零点，求实数m的取值范围．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2n−a n(n∈N∗)．(1)计算a1，a2，并写出a n+1与a n的关系；(2)证明数列{a n−2}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．21. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=−a 5．(1)若a 3=4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．22. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ．(1)若a ，b ，c 成等比数列，cosB =1213，求cosAsinA +cosCsinC 的值； (2)若角A ，B ，C 成等差数列，且b =2，求△ABC 周长的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：a−3i1+2i =(a−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=a−65−2a+35i在复平面内对应的点(a−65,−2a+35)位于第二象限，∴{a−65<0−2a+35>0，解得a<−32．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵z=(1i −1)(1+i)=(1−i)(1+i)i=2ii2=−2i，∴|z|=2．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解∵x<a<0，∴ax>a2，x2>ax，∴x2>ax>a2故选：B．直接利用不等式性质a>b，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．4.【答案】D【解析】解：对于函数f(x)=log a(2x−3)(a>0,a≠1)，令2x−3=1，求得x=2，可得它的图象经过定点(2,0)，故选：D．令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得它的图象经过的定点坐标．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：长方体的长，宽，高分别为3，2，1，设外接球的半径为R，则(2R)2=12+ 22+32=14，解得R=√142，所以S球=4π(√142)2=14π．故选：B．首先求出长方体的外接球半径，进一步求出球的表面积．本题考查的知识要点：长方体的外接球的半径与边长之间的关系，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =0，即λ(1+λ)−2=0，即λ2+λ−2=0，得λ=1或λ=−2，则“λ=1”是a⃗⊥b⃗ 的充分不必要条件，故选：A．根据向量垂直的等价条件，求出λ的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量垂直的等价条件求出λ的值是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵数列1，x，y，9是等差数列，∴x+y=1+9=10；∵数列1，a，b，c，9是等比数列，b2=ac=9，∴b为正值且b=3，则bx+y =310，故选：B．由题意利用等差数列的定义和性质，求得x+y和b的值，可得要求式子的值．本题主要考查等差数列的定义和性质，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．【解答】解：设各项都是正数的等比数列{a n}的公比为q，(q>0)，由题意可得2×a34=3a12+a2，即q2−2q−3=0，解得q=−1(舍去)，或q=3，∴a20+a19 a18+a17=(a18+a17)q2a18+a17=q2=9．故选：A．9.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则数列{S nn }的第六项为S66=6a1+15d6，第八项为S88=8a1+28d8，所以S66+S88=6a1+15d6+8a1+28d8=4，变形可得：2a1+6d=4，即a1+3d=2，则a4=a1+3d=2；故选：A．根据题意，设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，结合等差数列的前n项和公式分析差数列的通项公式分析可得答案．本题考查等差数列的前n项和公式以及通项公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由{a n}是等差数列，S3=S15，得S15−S3=0，即a4+a5+⋯+a15=0，所以122(a4+a15)=0，即a4+a15=0，所以S18=182(a1+a18)=9(a4+a15)=9(a9+a10)=0，故命题①④正确；∵a1>0，S3=S15，∴等差数列{a n}的公差d<0，又a9+a10=0，∴a9>0，a10<0，S9是S n中的最大项，命题②正确；∴S9>S10，故命题③错误；故选：C．根据等差数列的性质对四个命题逐项判断即可．本题考查等差数列的性质，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由图象可得T4=7π12−π3=π4，即T=π，ω=2πT =2，再将(7π12,−1)代入y=sin(2x+φ)，可得7π6+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即有φ=2kπ+π3，k∈Z，可令k=0，可得φ=π3，即f(x)=sin(2x+π3)，a n=f(nπ6)=sin nπ+π3，为最小正周期为6的数列，由a1=√32，a2=0，a3=−√32，a4=−√32，a5=0，a6=√32，可得一个周期的和为0，则S2019=336S6+(a1+a2+a3)=0+0=0．求得f(x)的周期，可得ω，再将(7π12,−1)代入y=sin(2x+φ)，可得f(x)的解析式，求得{a n}的周期，计算可得所求和．本题考查三角函数的解析式的求法，注意运用数形结合，考查数列的周期性的判断和运用，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由题意a1=1，当n≥2时，S n2−5S n S n−1+4S n−12=0，即(S n−S n−1)(S n−4S n−1)=0，∵{a n}是正项数列，∴S n=4S n−1，即S nS n−1=4，累成可得S nS1=4n−1，即S n=4n−1．∵b n=log2S n=2n−2，∴{b n}是首项为0，公差为2的等差数列．∴T n=b1+b2+⋯+b n=0+2+4+⋯…2n−2=n(n−1)，存在n∈N∗使不等式T n<mn−12成立，即n(n−1)<mn−12成立，可得：n(n−1)+12n<m．令f(n)=n−1+12n ≥2√n×12n−1，(当且仅当n=12n去等号)∴n=√12，存在n∈N∗∴n=3或4时，f(n)取得最小值为6．∴正整数m的最小值是7．故选：D．由{a n}是正项数列，对S n2−5S n S n−1+4S n−12=0，因式分解，求解S n，b n=log2S n，T n=b1+b2+⋯+b n，求解T n.根据T n<mn−12成立，分离参数，即可求解正整数m 的最小值．本题考查了数列与不等式的结合以及转化思想的应用．13.【答案】−3【解析】解：z=(m2+m−6)+(m−2)i为纯虚数，则{m 2+m−6=0m−2≠0，解得m=−3，故答案为：−3．由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】7【解析】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2=3，S5=25，∴{a2=a1+d=3S5=5a1+5×42d=25，解得a1=1，d=2，∴a4=1+3×2=7．故答案为：7．利用等差数列通项公式列出方程组，求出a1=1，d=2，由此能求出a4的值．本题考查等差数列第4项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】2【解析】解：∵等比数列{a n}的公比为2，若存在两项a m，a n，使得a m⋅a n=64a12，∴a122m+n−2=64a12，即m+n=8，∴1 m +9 n=18(1m+9n)(m+n)=18(10+nm+9mn)≥18(10+2√ nm⋅9mn)=2，当且仅当nm =9mn，即m=2，n=6时取等号，故则1m +9n的最小值为2，故答案为：2．根据等比数列的通项公式和指数幂的运算可得m+n=8，再根据基本不等式即可求出．本题考查了等比数列的通项公式和指数幂的运算和基本不等式，考查了运算求解能力，属于基础题．16.【答案】4或5【解析】解：∵{a n ⃗⃗⃗⃗ }是等差向量列，∴{x n }，{y n }是等差数列，设{x n }，{y n }的公差分别是d 1，d 2，∴{−20+2d 1=−1813+2d 2=15，解得d 1=1，d 2=1，∴x n =−20+n −1=n −21，y n =13+n −1=n +12，∴a n ⃗⃗⃗⃗ =(n −21,n +12)．∴|a n ⃗⃗⃗⃗ |2=(n −21)2+(n +12)2=2n 2−18n +585=2(n −92)2−812+585．∴当n =4或n =5时，|a n ⃗⃗⃗⃗ |2取得最小值． 故答案为4或5．求出等差向量列的差向量，得出{a n ⃗⃗⃗⃗ }得通项公式，代入模长公式求解最小值．本题考查了数列与向量的综合应用，求出{a n ⃗⃗⃗⃗ }的通项公式是关键．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1+a 2=10，a 5−a 3=4． ∴2a 1+d =10，2d =4，联立解得a 1=4，d =2，a n =4+2(n −1)=2n +2．(2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3=8，b 3=a 7=16=qb 2，解得q =2． ∴2b 1=8，解得b 1=4，∴b 4=4×23=32=2n +2，解得n =15．∴b 4是数列{a n }的第15项．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2=10，a 5−a 3=4.可得2a 1+d =10，2d =4，联立解得a 1，d ，即可得出．(2)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 2=a 3=8，b 3=a 7=16=qb 2，解得q =2.由2b 1=8，解得b 1，利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)向量x⃗ =(a n+1,2)，y ⃗ =(a n ,1)，且x ⃗ //y ⃗ ， 可得a n+1=2a n ，而a 2=4，可得a 1=2，所以a n =2⋅2n−1=2n ；(2)b n =13+2log 12a n =13+2log 122n =13−2n ， S n =b 1+b 2+⋯+b n =12n(11+13−2n)=12n −n 2=−(n −6)2+36， 当n =6时，S n 取得最大值36．【解析】(1)由向量共线的坐标表示和等比数列的通项公式，可得所求；(2)由对数的运算性质和等差数列的求和公式，以及配方法，可得所求最大值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式，以及向量共线的坐标表示和数列的和的最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=2x −4x +2，得：2x −4x +2=0． ∴2x =2或2x =−1舍去，解得x =1．∴函数的零点为1．(2)设t =2x ，∵x ∈[−1,1]，∴t ∈[12,2]，f(x)=2x −4x −m ，g(x)=t −t 2=−(t −12)2+14，t =12时，g(x)max =14，t =2时，g(x)min =−2． ∴g(x)的值域：[−2,14].函数有零点等价于方程有解等价于m 在f(x)的值域内，∴m 的取值范围为[−2,14].【解析】(1)通过解方程求解即可．(2)设t =2x ，求出t ∈[12,2]，利用二次函数的性质求解最值．然后求解m 的取值范围为[−2,14].本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】(1)解：由S n =2n −a n ，得a 1=S 1=2−a 1，得a 1=1；a 1+a 2=1+a 2=S 2=4−a 2，得a 2=32；a n+1=S n+1−S n =2n +2−a n+1−2n +a n ，即2a n+1=a n +2；(2)证明：由(1)得2a n+1=a n +2，∴2(a n+1−2)=a n −2，又a 1−2=−1≠0，∴a n+1−2a n −2=12，即数列{a n −2}是以−1为首项，以12为公比的等比数列；则a n −2=−(12)n−1，∴a n =2−(12)n−1．【解析】(1)在已知数列递推式中，分别取n =1和2，即可求得a 1，a 2，再由a n+1=S n+1−S n ，整理即可得到a n+1与a n 的关系；(2)由(1)中求得的a n+1与a n 的关系，可得2(a n+1−2)=a n −2，得到a n+1−2a n −2=12，即可证明数列{a n −2}是以−1为首项，以12为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得数列{a n }的通项公式．本题考查数列递推式，训练了等比数列通项公式的求法，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，若S 9=−a 5，则S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a 5，可得a 5=0，即a 1+4d =0，若a 3=4，则d =a 5−a 32=−2，则a n =a 3+(n −3)d =−2n +10；(2)若S n ≥a n ，则na 1+n(n−1)2d ≥a 1+(n −1)d ，当n =1时，不等式成立，当n ≥2时，有nd 2≥d −a 1，变形可得(n −2)d ≥−2a 1，又由(1)得a 1+4d =0，即d =−a14， 则有(n −2)−a 14≥−2a 1，又由a 1>0，则有n ≤10，则有2≤n ≤10，综合可得：1≤n ≤10且n ∈N ∗．【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式，涉及数列与不等式的综合应用．(1)根据题意，等差数列{a n }中，设其公差为d ，由S 9=−a 5，即可得S 9=(a 1+a 9)×92=9a 5=−a5，可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；(2)若S n≥a n，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，分n=1与n≥2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案．22.【答案】解：(1)∵cosB=1213，∴sinB=513，∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，∴依据正弦定理得sin2B=sinAsinC，∴cosAsinA +cosCsinC=sin(A+C)sin2B=sinBsin2B=1sinB=135．(2)∵角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=π3，由正弦定理，得asinA =bsinB=csinC=4√33，∴a=4√33sinA，c=4√33sinC．∵A+C=2π3，即C=2π3−A，∴△ABC周长为L=a+b+c=4√33(sinA+sinC)+2=4cos(A−π3)+2，∵0<A<2π3，∴−π3<A−π3<π3，∴12<cos(A−π3)≤1，∴4<4cos(A−π3)+2≤6，∴当A=B=C=π3时，△ABC周长L取得最大值6．【解析】(1)首先求出sin B的值，再依据正弦定理及a、b、c成等比数列得出sin2B=sinAsinC，对cosAsinA +cosCsinC化简代入即可；(2)由等差数列的性质，三角形内角和定理可求B，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC的周长，再结合三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，即可求解．本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，基本不等式在解三角形中的运用，考查等比数列，等差数列的性质，考查运算能力和转化思想，属于中档题．。
湖北省荆州市数学2019-2020年普通高中毕业班理数质量检查试卷
湖北省荆州市数学 2019-2020 年普通高中毕业班理数质量检查试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018·延边模拟) 已知集合，,则（）A.B.C.D.2. （2 分） 设 i 为虚数单位且 z 的共轭复数是 ， 若 z+ =4，z =8，则 z 的虚部为（ ）A . ±2B . ±2iC.2D . -23. （2 分） 等差数列{an}中，首项 曲线上（ ），公差，Sn 为其前 n 项和，则点（n，Sn）可能在下列哪条A.B.第 1 页 共 14 页C.D.4. （2 分） (2018·茂名模拟) 以 近线相离，则 的离心率的取值范围是（为圆心， 为半径的圆与双曲线 ）A.B.C.D.的渐5. （2 分） (2014·安徽理) x、y 满足约束条件 则实数 a 的值为（ ），若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一，A . 或﹣1B . 2或 C . 2或1 D . 2 或﹣1 6. （2 分） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第 2 页 共 14 页A. B. C. D. 7. （2 分） (2018·株洲模拟) 已知 表示不超过 的最大整数，如 所示的程序框图，则输出 的值为（ ）.执行如图A . 450B . 460C . 495D . 5508. （2 分） (2018·栖霞模拟) 已知命题，，，，若为假命题，则实数 的取值范围是（ ）A.第 3 页 共 14 页B. C. D.9. （2 分） (2019 高三上·郑州期中) 已知，A.B.C.D.10. （2 分） (2018 高一下·齐齐哈尔期末) 函数示，若，且，则，，则下列关系正确的是（ ）（）的部分图象如图所A.B.C.D.11. （2 分） 直线 3x﹣4y﹣9=0 被圆（x﹣3）2+y2=9 截得的弦长为（ ）A.3B.4第 4 页 共 14 页C.5 D.6 12. （2 分） 有一块边长为 36 的正三角形铁皮，从它的三个角剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三 棱柱容器，如左下图示，则这个容器的最大容积是（ ）A . 288 B . 292 C . 864 D . 876二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （ 1 分 ） 已 知 函 数 y=ax ﹣ 4+2 （ a ＞ 0 ， a≠1 ） 的 图 象 过 定 点 P ， P 为 角 α 终 边 上 一 点 ， 则 cos2α+sin2α+1=________．14. （1 分） (2018·浙江学考) 若平面向量满足则________.15. （1 分） 经过直线 x+2y﹣3=0 与 2x﹣y﹣1=0 的交点且和点（0，1）距离为 的直线的方程是________． 16. （1 分） 过边长为 2 的正方形的中心作直线 l 将正方形分成两部分，将其中的一个部分沿直线 l 翻折到另 一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值是________三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） 已知椭圆 C：=1（a＞b＞0）的右焦点为 F，离心率 e=线与椭圆交于 C，D（D 在 x 轴上方）两点，，过点 F 且斜率为 1 的直第 5 页 共 14 页（1） 证明是定值；（2） 若 F（1，0），设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆恒过原点 O，求△OAB 面 积最大值．18. （10 分） (2017 高三上·长葛月考) 设 为数列 的 项和，，数列 满足，.（1） 求 即 ；（2） 记 表示 的个位数字，如，求数列的前 项和.19. （5 分） 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边．已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B）， 试判断该三角形的形状．20. （5 分） (2018 高二上·西城期末) 如图，在四棱柱中，平面，，，，， 为 的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点 在线段上，且直线与平面（Ⅲ）判断线段上是否存在一点 ，使得所成角的正弦值为 ，求线段 ？（结论不要求证明）的长度；21. （15 分） (2019 高二下·上海月考) 已知椭圆的左、右两个顶点分别为 、 ，曲线是以 、 两点为顶点，焦距为的双曲线，设点 在第一象限且在曲线 上，直线 与椭圆相交于另一点 .（1） 求曲线 的方程；第 6 页 共 14 页（2） 设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证为一定值；（3） 设△与△（其中 为坐标原点）的面积分别为 与 ，且，求的取值范围.22. （15 分） (2016 高一上·临川期中) 已知函数 f（x）=x+ （x≠0）． （1） 判断并证明函数在其定义域上的奇偶性； （2） 判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性； （3） 解不等式 f（2x2+5x+8）+f（x﹣3﹣x2）＜0．第 7 页 共 14 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 14 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、第 9 页 共 14 页17-2、 18-1、 18-2、第 10 页 共 14 页19-1、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
2019-2020年高二上学期期末考试数学(理)试卷 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试数学（理）试卷含答案一、选择题（每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 给出以下的输入语句，正确的是A. INPUT a;b;cB. INPUT x=3C. INPUT 20D. INPUT “a=”;a2. 若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是A. （3，－4）B. （－3，－4）C. （3，4）D. （－3，4）3. 命题甲“a>2”；命题乙：“方程x2+2x+a＝0无实数解”，则命题甲是命题乙成立的A. 充分不必要条件B. 充分且必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A. 至多有一次中靶B. 两次都中靶C. 两次都不中靶D. 只有一次中靶5. 下边的程序框图表示的算法的功能是A. 计算小于100的奇数的连乘积B. 计算从1开始的连续奇数的连乘积C. 在从1开始的连续奇数的连乘积运算中，当乘积大于100时，计算奇数的个数D. 计算1×3×5×…×n≥100时的最小的n的值6. 椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A. B. C. D.7. 设平面上四个互异的点A、B、C、D，若·（）＝0，则△ABC的形状是A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形8. 已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆+＝1（m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9. 命题“对任意x∈R，|x| ≥0”的否定是_________.10. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：℃）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____，气温波动较大的城市是____.11. 某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所，小学290所.现在取50所学校作为一个样本进行一项调查，用分层抽样方法，应该选取大学____所，中学____所，小学____所．12. 如图，在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率为____.13. 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2），则它的离心率为______.14. 已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），点P（x，－1，3）在平面ABC内，则x=______.三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分8分）用三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种，求：（Ⅰ）3个矩形颜色都相同的概率；（Ⅱ）3个矩形颜色都不同的概率．16. （本小题满分8分）将一颗骰子分别投掷两次，观察出现的点数 .（Ⅰ）求出现点数之和为7的概率；（Ⅱ）若记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p＝（m，n），q=（2，6），求向量p与q共线的概率.17. （本小题满分9分）已知，如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为.（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角余弦值；（Ⅱ）若点F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值.18. （本小题满分9分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理数据得到频数分布表和频率分布直方图.组号分组频数频率1 [0，2） 6 0.062 [2，4）8 0.083 [4，6）x 0.174 [6，8）22 0.225 [8，10）y z6 [10，12）12 0.127 [12，14） 6 0.068 [14，16） 2 0.029 [16，18） 2 0.02合计100（Ⅰ）求出频率分布表及频率分布直方图中的x，y，z，a，b的值；（Ⅱ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅲ）若从一周课外阅读时间超过12小时（含12小时）以上的同学中随机选取2名同学，求所抽取同学来自同一组的频率.19. （本小题满分10分）已知椭圆+＝1（a>b>0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为2.（Ⅰ）求椭圆的方程.（Ⅱ）若直线l：y=k（x－1）与椭圆相交于A、B两点，以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点F1，求直线l的方程.参考答案一、选择题（每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）二、填空题：本题共6小题，每小题4分，若有2－3空题错一空扣1分，共24分.9. 存在x0∈R，使得|x0|<0 10. 乙，乙11. 1，20，2912. 13. 或14. 11三、解答题：本大题共5小题，其中第15，16题各8分，第17，18题各9分，第19题10分，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学(理)试卷含解答
2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1.设集合{}1,0,1,2A =-,{}|22B x x =-≤<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}1,0- C. {}|10x x -<< D.{|10}x x -≤≤2.已知向量(1,2)a m =-,(,3)b m =-,若a b ⊥,则实数 m 等于( )A. 2-或3B. 2或3-C. 3D. 353.在ABC ∆中,若2a =,b =,30A =︒,则B 为( )A. 60B. 60或120C. 30D. 30或1504.已知命题11:,23xxp x R ⎛⎫⎛⎫∀∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；命题2000:,10q x R x x ∃∈--=；则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∨⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝5.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值 为( )A. 10-B. 6C. 14D. 186.若4cos 5α=-, α是第二象限的角,则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( ) )A. 10-C. 10-D.107.若某多面体的三视图(单位: cm) 如图所示, 则此多面体的体积是( )A ．2cm 3B ．32m 3C ．1cm 3D ．31cm 38.抛物线214y x =的准线方程是( ) A. 1y =- B. 2y =- C. 1x =- D. 2x =-9.已知,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≥-04001y x y x x ,则目标函数3z x y =+的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 10.已知数列{}n a 是递增的等比数列, 14239,8a a a a +==,则数列{}n a 的前10项和等于( )A.1024B.511C.512D.1023 11.函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是( ) A.6 B.8 C.-6 D.-812.过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,若1260F PF ∠=︒,则椭圆的离心率为( )A. 2B. 3C. 12D. 13第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州中学2019-2020学年高二下学期第四次周考数学(理)试题Word版含答案
湖北省荆州中学2019-2020学年高二下学期第四次周考数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.函数2cos y x x ==的导数为（ ） A.2'2cos sin y x x x x =+B.2'2cos sin y x x x x =-C.'2cos y x x =D.2'sin y x x =-2.在去年的中国足球校园联赛荆州中学赛区，荆州中学代表队每场比赛平均失球数是1.5，整个赛事每场比赛失球个数的标准差为1.1；大冶一中代表队每场比赛平均失球数是2.1，整个赛事每场比赛失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说荆州中学代表队比大冶一中代表队防守技术好；②大冶一中代表队比荆州中学代表队防守技术水平更稳定；③荆州中学代表队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④大冶一中代表队很少不失球. A.1个B.2个C.3个D.4个3.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）A.2B 4C.5D.64.“3<<7m ”，是“方程22173x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.某同学抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率>5e 的概率是（ ） A.16 B.14C.13 D.136 6.平行六面体1111ABCD A B C D -中，(1,2,0)AB =u u u r ,(2,1,0)AD =u u u r ,1(0,1,5)CC =u u u u r，则对角线1AC 的边长为（ ） A.42B.43C.52D.127.某种品牌摄像头的使用寿命ξ (单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.荆州中学在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为（ ）A.18 B.14C.12 D.348.如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线AE 与平面11ABC D 所成角的正弦值是（ ）A.15 B.15 C.10 D.109.353(12)(1)x x +的展开式中x 的系数是（ ）A.4-B.2-C.2D.410.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A.74B.94C.4D.211.已知直线y kx =与曲线1y nx =有公共点，则k 的最大值为（ ） A.1B.12C.1eD.21e12.给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）①若“()p ⌝或q ”是假命题，则“p 且()q ⌝”是真命题； ②命题“若5a b +≠，则2a ≠或3a ≠”为真命题；③若()(1)(2)(3)(4)(5)6f x x x x x x x =++++++，则(0)5f '=！④直线(3)y k x =-与双曲线22145x y -=交于A ,B 两点，若5AB =，则这样的直线有3条； A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）13.用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 ．14.若曲线5()a 1f x x nx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．15.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，抽奖活动的规则是：每个优胜队的队长通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ,y ,并按如图所示的程序框图执行若电脑显示“中奖”，则该优胜队中奖；若电脑显示“谢谢”，则该优胜队不中奖。
湖北省荆州中学2019-2020学年高二数学7月双周考试题【含答案】
湖北省荆州中学2019-2020学年高二数学7月双周考试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，()11z i i -=+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )A ．36种B ．30种C ．42种D ．60种3．已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为34，每一道中等题做对的概率为23，每一道难题有三个选项，其中正确答案有且只有一项，贾天才面对难题时，他极有自知之明，答案完全凭感觉随机蒙一个。
在贾天才参加的某次考试中，简单题有8道题，做对一题得5分，做错或不做得0分；中等题有有6道题，做对一题得10分，做错或不做得0分；难题有3道题，做对一题得15分，做错或不做得0分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期望为（ ） A ．70分B ．145分C ．95分D ．85分4．已知圆22:240C x y x y +--=上存在不同两点关于直线210x ay +-=对称，则实数a =( )A ．32-B ．54-C ．12-D ．34-5.已知椭圆与抛物线214y x =有一个公共焦点，椭圆的离心率是0和1的等差中项，则椭圆的长轴长为( )A ．18B ．14C ．2D ．46．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据表中数据可得回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为15万元，则m 的值为( ) A ．8.0B ．8.5C ．9.6D ．8.87．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上一点()3,M m 到该抛物线焦点距离为4，(),N s t 为已知抛物线上任意一点，则1ts+的取值范围为 ( ) A ．()2,-+∞ B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．[1,2)-8．若焦点在y 轴上的双曲线222y x m-=，则该双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为( )AB ．1C D ．29．已知11,,22AB m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是单位向量，点A 的坐标为A ⎛- ⎝⎭ ,则点B 的坐标为 ( )A ．31,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,22⎛- ⎝B ．11,,022⎛⎫-- ⎪⎝⎭或11,22⎛-- ⎝C ．11,,022⎛⎫⎪⎝⎭或11,22⎛ ⎝ D ．选项A 、B 、C 都不对10．如图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，事件A ：甲的平均成绩超过乙的平均成绩；事件B ：乙在4次考试中成绩的中位数不高于90分，则()P B A 的值为 ( )A ．67B ．56C ．0D ．111．已知1x =是函数()()()2ln 1,0,f x a x x x x =++-∈+∞的一个极值点，直线y b =与函数()()()2ln 1,0,f x a x x x x =++-∈+∞的图象恰有两个不同交点，则实数b 的取值范围是( )A ．(),2ln 2-∞-B ．(]2ln2,0-C ．()2ln2,0-D ．()2ln 2,-+∞12．已知方程2222123x y m n n m+=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为42则实数n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．3296,77⎛⎫-⎪⎝⎭D ．824,77⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题13. 已知函数2()3x f x =，则函数()f x 的图象在点0x =处的切线方程为_______. 14．nx x ⎛⎝的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，则该展开式的常数项是__________．（用数字作答）15．已知某批零件的长度误差ξ（单位mm ）服从正态分布(1,4)N ，若(13)0.6826P ξ-<≤=，(35)0.9544P ξ-<≤=，现从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,3)-内的概率(33)P ξ-<<=_____________．16．在三棱锥P ABC -中，若5,10,13PA BC PB AC PC AB ======该三棱锥外接球的体积为_________． 三、解答题17. (本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()221n S n n n N*=-+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()2nn n a b n N *=∈，求数列{}n b 的前n 项和()3n T n ≥。
湖北省荆州市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷(理科)D卷
湖北省荆州市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·泰安期中) 定积分 =（）A . 10﹣ln3B . 8﹣ln3C .D .2. （2分）复数z=1-i,则对应的点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误4. （2分） (2016高二下·鹤壁期末) 设a是实数，且，则实数a=（）B . 1C . 2D . ﹣25. （2分） (2016高二下·江门期中) 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A . 4B . 4C . 2D . 26. （2分） (2017高二下·潍坊期中) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过济南、潍坊、青岛三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过潍坊；乙说：我没去过青岛；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为（）A . 济南B . 青岛C . 济南和潍坊D . 济南和青岛7. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A . 2人B . 3人C . 4人8. （2分）已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A .B .C .D .9. （2分）一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A . 7米/秒B . 6米/秒C . 5米/秒D . 8米/秒10. （2分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A . 方程+ax+b=0没有实根B . 方程+ax+b=0至多有一个实根C . 方程+ax+b=0至多有两个实根D . 方程+ax+b=0恰好有两个实根11. （2分）(2018·广东模拟) 定义在上的函数满足，当时，，函数．若对任意，存在，不等式成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（）A . y＝3x－4B . y＝4x－5C . y＝－4x＋3D . y＝－3x＋2二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·长春期中) 已知f（x）= 是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是________．14. （1分）(2012·江苏理) 设a，b∈R，a+bi= （i为虚数单位），则a+b的值为________．15. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知双曲正弦函数shx= 和双曲余弦函数chx= 与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论________．16. （1分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f（x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)17. （5分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数f（x）= （a，b∈R）在点（2，f（2））处切线的斜率为﹣﹣ln 2，且函数过点（4，）．（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），对任意的实数x0＞1，都存在实数x1 ， x2满足0＜x1＜x2＜x0 ，使得f （x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．18. （5分）用数学归纳法证明下列等式：，n∈N* ．19. （5分） (2017高二下·安阳期中) 已知复数z=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（Ⅱ）当m=0时，化简．20. （15分）(2019·天河模拟) 设函数．（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）讨论函数的单调区间与极值；（3）若函数有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．21. （10分）(2019·武汉模拟) 已知函数．（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）设的两个极值点为，证明：当时，．（附注：）22. （15分） (2017高三上·徐州期中) 已知函数f（x）=（ax﹣1）ex（a≠0，e是自然对数的底数）．（1）若函数f（x）在区间[1，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围；（2）求函数f（x）的极值；（3）设函数f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分)18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
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湖北省荆州市石首笔架山中学2019-2020学年高二数学
理测试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知数列的前项和满足：，且，那么( )．A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 已知命题；命题函数的图像关于直线对称。
则下列判断正确的是（）
A. 为真
B.为假
C.为假
D.为真
参考答案：
C
3. 设x，y满足约束条件，若z=的最小值为，则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
【考点】简单线性规划．
【分析】根据分式的意义将分式进行化简，结合斜率的意义，得到的最小值是，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：z===1+2?，
若z=的最小值为，
即1+2?的最小值为，
由1+2?=，得的最小值是，
作出不等式组对应的平面区域，即的几何意义是区域内的点P（x，y）到定点D（﹣1，﹣1）的斜率的最小值是，
由图象知BD的斜率最小，由得，
即B（3a，0），
则=，即3a+1=4，则3a=3，
则a=1，
故选：A．
4. 若是任意实数，则方程所表示的曲线一定不是（）
A．直线B．双曲线C．抛物线 D．圆
参考答案：
C
略
5. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图像上；②
关于原点对称．则称点对是函数的一个“友好对点”（点对与
看作同一个“友好对点”），已知函数，则函数
的“友好对点”的个数
为
（）
A．1 B． 2 C．3
D．4
参考答案：
B
6. 某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
参考答案：
B
【分析】
由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．
【详解】由题意可得，，求得，∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于基础题．
7. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=在同一直角坐标系下的图象大致
是（）
参考答案：
C
8. 将两个数交换,使,下面语句正确一组是 ( )
参考答案：
B
9. 下列命题中正确的个数为（）
①线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
②残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；
③用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好．
A．1 B．2 C．3 D．0
参考答案：
A
【考点】相关系数．
【专题】对应思想；定义法；概率与统计．
【分析】根据“残差”的意义、线性相关系数和相关指数的意义，即可作出正确的判断．【解答】解：根据线性相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，判断①错误；
根据比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，判断②正确；
根据用相关指数R2刻画回归的效果时，R2的值越大说明模型的拟合效果就越好，判断③错误；
综上，正确的命题是②．
故选：A．
【点评】本题考查了“残差”与线性相关系数、相关指数的意义与应用问题，是基础题．
10. 已知等差数列{a n}前n项和为,则下列一定成立的是( )
A. B. C.
D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某县中学高二年级文科班共有学生350人，其中，男生70人，女生280人，为了调查男女生数学成绩性别差异，现要从350名学生中抽取50人，则男生应抽取人.
参考答案：
10
略
12. 设，复数（i为虚数单位）．若，则ab=________，
________．
参考答案：
(1). 6 (2).
【分析】
先由复数的除法，化简，再由复数相等的充要条件，求出，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，解得，
所以，.
故答案为(1). 6 (2).
【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的模，熟记复数的除法运算法则、复数相等的充要条件，以及复数模的计算公式即可，属于常考题型.
13. 两条平行直线之间的距离是；
参考答案：
14. 已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．
参考答案：
【分析】
函数既有极大值又有极小值，等价于方程
有两个不同的根，利用判别式大于零可得结果.
【详解】，
因函数
所以，
因为函数既有极大值又有极小值，
所以方程有两个不同的根，
由题意得,
解得或，
即，故答案为.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值问题，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，以及转化与划归思想的应用，属于中档题.
15. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为，则球的表面积
是。
参考答案：
12x
16. 甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是________.
参考答案：
乙
【分析】
在射击比赛中，平均环数越高越好，标准差越小说越稳定.
【详解】平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．乙的平均数大并且标准差小，故选乙.
【点睛】本小题主要考查平均数和标准差的理解.平均数反映平均水平，标准差表示稳定程度，属于基础题.
17. 如图所示的流程图的输出结果为sum＝132，则判断框中？处应填________．
参考答案：
11
三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数，求函数的最大值及对应自变量的集合．
参考答案：
，……………………6分
取最大值，只需，
即，
……………………………..10分当函数取最大值时，自变量的集合为………12分
19. （本小题满分13分）
参考答案：
20. (本小题满分12分)椭圆:的两个焦点为，,点在椭圆
上，且
（Ⅰ）求椭圆的方程 ;
（Ⅱ）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程.
参考答案：
(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3.
在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2－c2=4,
所以椭圆C的方程为＝1. --------4分
因为A，B关于点M对称.
所以[解得，--------10分
所以直线l的方程为
即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) --------12分
21. （本题满分12分）
已知函数，
（Ⅰ）判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
参考答案：
解：（Ⅰ）函数的定义域为{且}
∴为偶函数…………4分（Ⅱ）当时，…………5分
若，则，递减；
若，则，递增．再由是偶函数，…………10分
得的递增区间是和；
递减区间是和．… …………………………12分
22. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为AB的中点，O为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过(-1,0)的直线交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积最大时直线的方程.
参考答案：
（1），
（2）
略。