第27讲 正、余弦定理及应用
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。
在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。
一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。
1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。
这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。
例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。
进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。
因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。
2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。
例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。
根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。
计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。
通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。
它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。
二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
正弦余弦定理及应用
正弦余弦定理及应用正弦定理和余弦定理是在解三角形问题中常用的两个定理。
在解决三角形问题时，我们经常需要求解三角形的边长或者角度。
使用正弦定理和余弦定理可以帮助我们更方便地解决这些问题。
首先来看正弦定理。
正弦定理是针对一个三角形中的角和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个内角分别为∠A、∠B和∠C，三个对边长度分别为a、b和c，则正弦定理可以表示为：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C其中sin∠A表示∠A的正弦值。
正弦定理的推导过程非常简单，可以通过三角形的面积公式进行得出。
由于三角形的面积与其对边的关系为S = (1/2)ab*sin∠C，我们可以得到sin∠C = (2S)/(ab)，从而推导出上述的正弦定理。
正弦定理的应用非常广泛。
通过正弦定理，我们可以方便地求解角度或者边长。
举个例子来说，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5、b=7，以及它们之间的夹角为∠C=30，我们可以利用正弦定理来求解第三条边c的长度。
根据正弦定理，我们可以得到c/sin∠C = b/sin∠B，化简后得到c = b*sin∠C/sin ∠B。
将具体数值代入计算可以得到c=3.5。
而余弦定理则是针对三角形的边和边之间的关系进行描述的。
对于一个三角形ABC，其三个边的长度分别为a、b和c，三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则余弦定理可以表示为：c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C余弦定理的推导过程较为复杂，这里我们只给出其结果。
余弦定理是由向量的内积推导而来的，通过应用余弦定理，我们可以求解未知角或边长。
同样以一个例子来说明，如果我们已知一个三角形的两条边分别为a=5和b=7，以及它们夹角的余弦值cos∠C=1/2，我们可以利用余弦定理来求解第三条边c 的长度。
根据余弦定理，我们可以得到c²= a²+ b²- 2ab*cos∠C，将具体数值代入计算可以得到c²= 25 + 49 - 35/2 = 59.5。
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
第27讲 正、余弦定理及应用
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座27）—正、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
正弦定理和余弦定理ppt课件
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理、余弦定理应用
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形各边与其对应角 的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理指出，在任何三角形ABC中，边 长a、b、c与对应的角A、B、C的余弦值 之比都相等，即：a/cosA = b/cosB = c/cosC。这个定理可以通过三角形的相似 性质和直角三角形的勾股定理来证明。
计算三角函数值
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出其他角的正弦值。
在物理问题中的应用
计算振动频率
在振动问题中，可以利用正弦定理求 出振动的频率。
解决波动问题
在波动问题中，可以利用正弦定理分 析波的传播规律。
03
余弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
01
通过余弦定理可以判断三角形是否为直角三角形、等腰三角形
物理问题中的综合应用
1 2
振动和波动问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与振动 和波动相关的物理问题，如简谐振动、波动传播 等。
交流电问题
通过正弦定理和余弦定理，可以解决一些与交流 电相关的物理问题，如电流、电压、功率等。
3
光学问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与光学 相关的物理问题，如光的反射、折射等。
02
正弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
通过正弦定理可以判断三角形是直角三角形、等 腰三角形还是一般三角形。
计算角度
利用正弦定理可以求出三角形中未知的角度。
计算边长
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求 出第三边的长度。
在三角函数问题中的应用
求解三角函数方程
利用正弦定理可以将三角函数方程转化为代数方程，从而求解。
正弦定理和余弦定理的应用
建筑设计：确 定建筑物的最 佳设计方案， 例如高度、角
度和长度等
机械设计：计 算齿轮的旋转 角度和速度， 以确保机械设 备的正常运行
水利工程：计 算水流的流速 和方向，以设 计合理的排水 系统或水电站
Part Four
正弦定理和余弦定 理的应用技巧和注
意事项
应用技巧
掌握基本公式：熟悉正弦定理和余弦定理的基本公式，能够熟练运用。
理解几何意义：理解正弦定理和余弦定理在几何图形中的应用，能够根 据图形特点选择合适的定理。
灵活变换形式：能够根据问题需要，灵活变换正弦定理和余弦定理的形 式，简化计算过程。
注意适用范围：明确正弦定理和余弦定理的适用范围，避免在不适合的 情况下使用。
注意事项
适用范围：正 弦定理和余弦 定理适用于直 角三角形，注 意角度的取值
水利工程：在水利工程中，如大坝、水库和水电站的设计和建设中，需要利用正弦定理和余弦 定理进行水流角度和速度的计算，以确保工程的安全性和稳定性。
Part Three
正弦定理和余弦Байду номын сангаас 理的实例分析
几何学中的实例分析
直角三角形中的 正弦定理应用
等腰三角形中的 余弦定理应用
任意三角形中的 正弦定理和余弦 定理综合应用
正弦定理是解三角形的重要工具，可以用于计算角度、边长等。
余弦定理的定义
余弦定理公式： a²=b²+c²-2bc cos A
适用范围：解决 任意三角形边长 和角度的问题
证明方法：利用 向量的数量积和 向量的模长公式 进行证明
应用举例：通过 余弦定理可以求 出三角形的任意 一边长度和角度
定理的证明和推导
定理
Part Two
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《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座—正、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。
今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。
题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。
三．要点精讲1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。
（R 为外接圆半径） （5）△＝Rabc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。
解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理R CcB b A a 2s i n s i n s i n ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；它们的变形形式有：a = 2R sin A ，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=。
5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。
（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。
四．典例解析题型1：正、余弦定理例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理，sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2．（1）在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ； （2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解析：（1）∵2222cos =+-b a c ac B=222+-⋅cos 045=2123(31)+- =8∴=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b2.4 1.43.8,+=2 1.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A（2）由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ；cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈ 03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'= 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A 的取值范围。
题型2：三角形面积例3．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==tan tan(4560)2A ∴=+==- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=22 ① .0cos ,0sin ,180021cos sin 221)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62② ① + ② 得 s i n A=+264。
① － ② 得 c o s A=-264。
从而 sin tan 2cos A A A ===- 以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。
两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例4．（06年湖南）已知ΔABC 的三个内角A 、B ．C 成等差数列，其外接圆半径为1，且有22)cos(22sin sin =-+-C A C A 。
（1）求A 、B ．C 的大小；（2）求ΔABC 的的面积。
解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C ，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A 。
∵22)cos(22sin sin =-+-C A C A ， ∴)]60(sin 21[22cos 23sin 2102--+-A A A =22， .22)60sin(0)60sin(,0)]60sin(21)[60sin(0000=-=-∴=---∴A A A A 或 又∵0°<A<180°，∴A=60°或A=105°，当A=60°时，B=60°，C=60°，;43360sin 421sin 21 032=⨯==∆R B ac S 此时 当A=105°时，B=60°，C=15°，.4360sin 15sin 105sin 421sin 21 0002=⨯==∆R B ac S 此时点评：要善于借助三角形内的部分变形条件，同时兼顾三角形的面积公式求得结果。
题型3：与三角形边角相关的问题例5．（1）（2005江苏5）△ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（ ）A ．)33B π++ B ．)36B π++C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++（2）（06年全国2文，17）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，1）?BC =（2）若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。