分式的乘除乘方运算
1.2.2分式的乘方及乘除混合运算
gn
(n为正整数)
合作学习
一、知识点一：分式的乘方
例1.P10例3(1)(2)
1
x2 y
3
2
-
3xy 2 4z
2
练一练
注意：做乘方运算要先确定符号.
判断下列各式是否成立，并改正.
1
b3 2a
2
b5 2a2
;
解：(1)不成立,改正：
b3 2a
2
b6 4a2
;
2
3b 2a
2
9b2 4a2
知识回顾1：乘方的意义
an=a·a·a·…·a (n个a相乘)
知识回顾2：幂的运算
1、同底数幂相乘： am·an=am+n
2、幂的乘方： (am)n=amn
3、积的乘方： (ab)m=ambm
f g
自主学习
1、分式的乘方法则？用式子怎样表示?
分式的乘方是把分子、分母各自乘方.
(f ) n fn
g
的运算过程对吗？然后请你给他提出恰当的建议！
4
2 4x
x2
(
x
3)
•
x x
2 3
(2
2 x)2
(x
3) •
x x
2 3
2 x2
拓展提升
１、已知 x 4 (y 5)2 0,试求
( y x)2 •
xy
y x x2 4xy 4y2
( x y )2 x 2y
的值.
1
9
2.先化简 a2 4 ( a 1)2 a2 1 ，然后选取一个
;
（2）不成立，改正： -23ab
2
9b2 ； 4a2
3
16.2.1_分式的乘除 (2)乘方
例： 已知x y 4 xy， 2 x 3 xy 2 y 求 的值。 x 2 xy y
例： 已 知x y 4 x 6 y 13 0，
2 2
y 3 1 4 x 2 求( 3 ) ( ) ( 2 ) 的 值。 x xy y
已知
l
r
答：纸箱空间的利用率约
b 为79%.
练习. 老师布置一道作业:计算
x x x 1 1 x的值 2 3 x 2 x 1 ( x 1) 1 x
2
其中x=2007,但小明在计算时,把2007错抄成 x=207,可是计算结果还是正确的,请你分析这 是什么原因?
例： 已知a 3a 1 0， 求：
2
1 (1) a a
1 ( 2)a 2 a
2
1 ( 3) a 4 a
4
1 a a 1 例： 已知a 5， 求 的值。 2 a a
4 2
1 1 例： 已 知 5， x y 2 x 3 xy 2 y 求 的 值。 x 2 xy y
x 2 例： 已 知 ， y 7 x 3 xy 2 y 求 2 的 值。 2 2 x 3 xy 7 y
5
2 x 2 18 3 x 2x 6 (4) ( x 3) 2 2 4 4x x x x 6 x2
2x y 2 (1)( ) 3z 2ab3 2 6a 4 3c 3 ( 2) 2 ) 3 ( 2 ) ( c d b b 2 x 1 2 x 6x 9 2 1 ( 3)( ) ( ) 2 2 3 x 9 x x 2x 1
4 2
3a y 2 4mn 3 ( 4) ( ) ( ) 3 2 2mn 3m n
分式的运算知识点总结
分式的运算知识点总结一、分式的含义和性质1. 分式的定义分式是指两个整数的比例，通常用a/b表示，其中a称为分子，b称为分母，b不等于0。
分式通常表示成有理数的形式，例如1/2、3/4等。
2. 分式的性质分式有以下性质：（1）分式的分母不可以为0，因为0不能作为除数。
（2）分式可以化简，即约分，将分子与分母的公因数约掉。
（3）分式可以相互转换，即通过乘以相同的数或者分式和分数的换算，可以将分式相互转换。
二、分式的加减法1. 分式的相加分式的相加即将两个分式的分子相加，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 + 1/3 = (1*3+1*2)/(2*3) = 5/6。
2. 分式的相减分式的相减即将两个分式的分子相减，分母不变，然后化简得到最简分式。
例如：2/3 - 1/4 = (2*4-1*3)/(3*4) = 5/12。
三、分式的乘除法1. 分式的相乘分式的相乘即将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：1/2 * 2/3 = (1*2)/(2*3) = 2/6 = 1/3。
2. 分式的相除分式的相除即将两个分式的分子相除作为新的分子，分母相除作为新的分母，然后化简得到最简分式。
例如：3/4 ÷ 1/2 = (3*2)/(4*1) = 6/4 = 3/2。
四、分式的乘方和括号的运算1. 分式的乘方分式的乘方即将分式的分子和分母分别进行乘方运算，得到新的分子和分母，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2)^2 = 1^2/2^2 = 1/4。
2. 分式的括号运算分式的括号运算即根据括号内的运算顺序进行计算，先乘除后加减，然后化简得到最简分式。
例如：(1/2 + 1/4) ÷ (1/2 - 1/4) = (2/4 + 1/4) ÷ (2/4 - 1/4) = 3/4 ÷ 1/2 = 3/4 * 2/1 = 3/2。
八上数学 分式的混合运算
例1 计算：
练习1 计算：
例2 计算：
(1)
4a2 a2
a
8a 2
a a
1 1a aຫໍສະໝຸດ 1 1;练习2 计算：
(2)
x2
x
2 4x
4
x2
x
2x
x
4 x
.
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后算 加减，有括号要先算括号里面的.
例3 计算：
巧用分 配律
解：原式=
a
3
3
a
18
巧用平方差 公式
课堂练习
化简：
x x
3 2
x
2
x
5
2
.
解：原式
课堂小结
对于分式混合运算：（1）先乘方 （2）后乘除 （3）再加减 （4）有括号先算括号里的 .
1.4.4 分式的混合运算
回顾与思考
1.分式的基本性质：
b a
b a
h h
2.分式的乘除（约分）：
3.分式的乘方：
4.同分母的分式加减法则：
5.异分母分式的加减法
a c ad bc ad bc b d bd bd bd
对于分式混合运算： （1）先乘方 （2）后乘除 （3）再加减 （4）有括号先算括号里的
3a
3
•
a
3
a
3 3
•
a
3
a
18
3a
3
• a
3
3a 9 18 a3 a3
3a 9 a3
3
练习3 计算： （1）
难度 升级
(2)
a
1
b2
a
1
b2
分式的乘除与乘方
分式的乘除与乘方分式是数学中的一个重要概念，它在乘除与乘方运算中有着特殊的应用。
本文将探讨分式在乘除与乘方中的运算规则，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、分式的乘法分式的乘法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和d不为0，则它们的乘积为：(a/b) * (c/d) = (a * c) / (b * d)通过这个公式，我们可以看出分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母。
例如，我们计算1/2乘以3/4，可以按照上述公式进行计算：(1/2) * (3/4) = (1 * 3) / (2 * 4) = 3/8二、分式的除法分式的除法可以用以下公式描述：若a/b和c/d是两个分式，其中a、b、c、d为实数，且b和c不为0，则它们的除法为：(a/b) / (c/d) = (a * d) / (b * c)同样地，我们可以看出分式的分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母。
举例来说，如果我们计算2/3除以4/5，可以按照上述公式进行计算：(2/3) / (4/5) = (2/3) * (5/4) = (2 * 5) / (3 * 4) = 10/12 = 5/6三、分式的乘方分式的乘方可以用以下公式描述：若a/b是一个分式，其中a和b为实数，且b不为0，则它的n次幂为：(a/b)^n = a^n / b^n通过这个公式，我们可以看出分式的分子和分母分别取n次幂得到新分式的分子和分母。
例如，我们计算(2/3)^2，可以按照上述公式进行计算：(2/3)^2 = (2^2) / (3^2) = 4/9总结：在分式的乘除与乘方运算中，我们可以运用特定的公式进行计算，以得到正确的结果。
分式乘法中，分子相乘得到新分式的分子，分母相乘得到新分式的分母；分式除法中，分子乘以除数的倒数得到新分式的分子，分母乘以被除数的倒数得到新分式的分母；分式乘方中，分子和分母分别取指数的幂得到新分式的分子和分母。
分式的乘除乘方混合运算
t t
1 1
•
1 1
t t
,并取一个你喜欢的数代入
计算这个代数式的值.
1.老师布置了一道作业 题，“计算
x2 x x2 2x
1
（xx11）3
1
1
x
x
其中 x =2013.”小明错把x=2013错抄 成 x =2031，但他的计算结果也是正 确的，请你分析一下原因。
2.已知 a²+3a+1=0，求：
16
a4 2a 8
a a
2 2
解：原式=
4
a 4 a 42
a
2
a 4
a4
a a
2 2
= 2a 4 a2
课堂 练习
计算
(1)
2x2 y
2
2y2 3x
3
2y x
4
;
解：原式= 4x4 8y6 x4 y2 27x3 16y4
= 2x5 27
课堂
练习
.. 先化简再求值：
解:原式
4 m4m 2m 4 m2
4 m2
m4 m2
24 m2 4 mm 2 4 m2 m 4m 2
2m 2
m2
2m 4（或 2m 4）
m2
m2
当m
1时, 原式=
21 4 1 2
2 3
下面的计算是否正确，若不正确，请指出哪一步 有错误并加以改正:
a
2
2
(a
2)
a2
(2)能约分的要约分；(3)有多项式的要因式分解；
(4)最后结果是分式的一定要是最简分式。
计算
5
2x x
3
3 25x2
人教版八年级上册1.分式的乘方及乘方与乘除的混合运算
2．运算中的注意事项．
数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分 1第2分课式时的乘分除式(的2课乘时方)及乘方与乘除的混合运算
教2．材运第算14中6的页注习意题事15项. ．
本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母， 不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进 一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．
教学设计
四、巩固练习 教材第139页练习第1，2题． 五、课堂小结 1．分式的乘方法则． 2．运算中的注意事项． 六、布置作业 教材第146页习题15.2第3题．
分第式2课的时除法分法式则的：乘分方式及除乘以方分与式乘，除把的除混式合的运分算子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 1第．2课分式时的分乘式除的法乘法方则． 及乘方与乘除的混合运算 第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 教分材式第 的1乘3法9页法练则习：第分1式，乘2题分．式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算
2x 3 x 教材第139页练习第1，2题． 解： ÷ · 2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运2用乘方规律进行分式的乘方运算． 5x－3 25x －9 5x＋3 1．分式的乘除法法则．
第1 2分课式时的分乘除式(的2课乘时方)及乘方与乘除的混合运算2
2x 25x －9 x 教材第139页练习第1，2题． ＝ · · 第2课时 分式的乘方及乘方与乘除的混合运算 5x－3 3 5x＋3 1．分式的乘除法法则．
(3)确定分式的符号，然后约分；
分式的乘除
分式的乘除资料编号:202201191002【自学指导】借助于课本和全品大讲堂（或分式固学案）,弄清楚以下几个问题:1. 分式的乘法运算怎样进行?2. 怎样利用转化的方法进行分式的除法运算?3. 分式的乘除,运算的结果有什么要求?4. 分式的乘方怎样计算?【重要知识点总结】分式的乘除运算分式相乘,用分子的积作积的分子,用分母的积作积的分母,结果要化为最简分式或整式. （即分子与分子相乘,分母与分母相乘）分式相除时,先把除法转化为乘法,再进行计算,结果要化为最简分式或整式.注意:（1）无论是分式的乘法运算还是除法运算,结果都要化为最简分式或整式（即结果的分子和分母不再含有公因式）.（2）为便于计算和约分,算式中的多项式要先进行因式分解再约分.（3）分式的分子、分母的系数是负数时,要先把负号提到分式的前面再进行计算.（4）分式的乘除法是同级运算,多个分式相乘除时应按照从左到右的顺序进行运算.（5）当除式是整式时,可以把其分母看作是1,然后按照除法法则进行运算.【例题讲解】例1. 计算:223243a y y a ⋅. 分析: 分式与分式相乘时,分子与分子相乘,分母与分母相乘（即分子、分母分别相乘）,结果一定要通过约分化为最简分式或整式.解:原式a y ay y a 2342322=⋅⋅=. 例2. 计算:aa a a 21222+⋅-+. 分析: 进行分式的乘法运算时,分子和分母能因式分解的,要先因式分解,以便于进行约分.解:原式()2122+⋅-+=a a a a ()()222+-+=a a a a ()21-=a a （或a a 212-）. 例3. 计算:41441222--÷+--a a a a a . 分析:分式的除法运算,要先通过转化的方法化为分式的乘法,再进行运算.解:原式()()()()()2211212-+-+÷--=a a a a a a ()()()()()1122212-+-+⋅--=a a a a a a ()()()()()()1122212-+--+-=a a a a a a （*） ()()122+-+=a a a . 说明 在熟练的情况下,（*）步可以省去不写. ❀以上例题均选自北师大版八年级下册数学课本❀【作业】1. 计算: （1）2a b b a ⋅; （2）y x xy xyy x 234222+⋅-.2. 计算:（1）2256103x y x y ÷; （2）2211y x y x +÷-.3. 计算:xx x x x x x 349622222--÷+-+.。
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分式的乘除乘方运算
一、基础知识点：
1、约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质. 若分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式.
2、分式的乘法 乘法法测：
b a ·d
c =bd
ac .
3、分式的除法 除法法则：
b a ÷d
c =b a ·c
d =bc ad 4、分式的乘方
求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(
b a )n . 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：
(b a )n =n n b a (n 为正整数) 二、典型例题
例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2
)(3，)
(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4
例2、计算：3234)
1(x y y x ∙ a a a a 2122)2(2+⋅-+
x y xy 2263)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a
例3、 若4
32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值.
例4、计算
（1）33
22）（c b a - （2）432
22
)()()(x y x y y x -÷-⋅-
（3）233
2)3()2(c b a bc a -÷- （4）23222
2)()()(x y xy xy x y y x -⋅+÷-
针对性练习：
)56(3)1(122ab cd c b a -÷-、计算： （2）432
643xy y
x ÷-
（3）（xy －x 2
）÷x y xy - （4）2223b a a ab -+÷b a b a -+3
（5）32
2
4)3()12(y x y x -÷- （6）322
2233
22322)2()2()34(c b ab a c b a b a ab c +-÷-⋅
2、 如果
32=b a ，且a ≠2，那么51-++-b a b a = .
3、已知x 2+4y 2
-4x+4y+5=0，求224
42y xy x y x -+-·22y xy y x --÷(y y x 22+)2的值.
三、巩固练习：
1、 计算（1）)22(2222a b ab b a a b ab ab a -÷-÷+-- （2）(2334b a )2·(2
23a b -)3·(a b 3-)2
（3）(22932x x x --+)3·（-x
x --13）2
2、先化简，再求值：(b a ab 22+)3÷2223)b a ab (-·[)(21b a -]2，其中a=-21,b=3
2
3、（1）先化简后求值：
2(5)(1)5a a a a
-+-÷（a 2+a ），其中a=－13．
（2）先化简，再求值：21x x x -+÷1x x +，其中x=1．
4．已知m+1m
=2，计算4221m m m ++的值．
5． 已知x －3y=0，求
2222x y x x y
+-+·（x －y ）的值．
6． 给定下面一列分式：3x y ，－52x y ，7
3x y ，－94x y ，…（其中x ≠0）． （1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
7．（规律探究题）计算：2
22200420032004200220042004
+．
8．请你先化简，再选取一个使原式有意义而你又喜爱的数代入求值：322m m m m --÷2
11m m -+．
9．（阅读理解题）请阅读下列解题过程并回答问题：
计算：22644x x x
--+÷（x+3）·263x x x +-+． 解：2
2644x x x --+÷（x+3）·263x x x +-+ =
22644x x x --+·（x 2+x －6）① =22(3)(2)
x x --·（x+3）（x －2）② =22182
x x -- ③ 上述解题过程是否正确？
如果解题过程有误，请给出正确解答．
10.已知a 2
+10a+25=－│b －3│，求代数式4
2()b a b -·32232a ab a b b +-÷222b a ab b -+的值．
五、课后练习 （一）、填空题
1.把一个分式的分子与分母的 约去，叫做分式的约分.
2.在分式xy
xy y x 222+中，分子与分母的公因式是 . 3.将下列分式约分：
(1)258x x = (2)22357mn n m -= (3)2
2
)()(a b b a --= 4.计算22
23362c
ab b c b a ÷= . 5.计算4222
2a
b a a ab ab a b a --÷+-= . 6.计算(-y x )2·(-32y
x )3÷(-y x )4= . （二）、解答题
7.计算下列各题 (1)316412446222+⋅-+-÷+--x x x x x x x (2)y
x y xy x -+-24422÷(4x 2-y 2)
(3)4344516652222+-÷-++⋅-+-a a a a a a a a (4)22222x a bx x ax a ax -÷+-
8.当x=-3时，求x
x x x x x 43342323-++-的值
六、提高练习
1、计算x x x x x x x x 22222662
----÷+-+-的结果是。