武汉大学2008-2009第二学期(180)试题

武汉大学2008—2009学年第二学期《高等数学B2》试题（A 卷）一、（30 分）试解下列各题： 1、（6分）求解微分方程0x dx dyy e+=满足02x y ==的特解。

2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。

3、（6分）已知级数1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，试讨论此级数在2x =处的敛散性。

4、（6分）计算2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 由222,y x y x=-=所围成的区域。

5、（6分）判别级数41(1)2n nn n ∞=-∑的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 二、（10分）函数(,)z z x y =由方程sin()x az y bz -=-所确定， ,a b 是不全为零的常数，证明：1z zab x y∂∂+=∂∂。

三、（12分）设2()z x f u =，而yu x=，其中)(u f 二阶可导，求2z x y ∂∂∂。

四、（10分）试将函数()tan f x xarc x =展成x 的幂级数。

五、（10分）设32(,,)f x y z x xy z =--（1）求(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P 处的梯度及方向导数的最大值； （2）问：(,,)f x y z 在哪些点的梯度垂直于x 轴。

六、（10分）计算曲面积分 ()()2232d d 1d d 9d d I xz y z y z z x z x y ∑=+++-⎰⎰,其中∑为曲面221z x y =++ ()12z ≤≤，取下侧。

七、（10分）设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分2[3()2()]()x Lx x xe ydx x dy ϕϕϕ''-++⎰与路径无关，求函数()x ϕ。

八、（8分）将正数a 分为正数,,x y z 之和,使得mnpu x y z =最大(其中,,m n p 为已知正数)。

武汉大学2006—2007学年第二学期《高等数学B2》试题A 参考解答一、（30分）试解下列各题：1、（6分）求解微分方程0x dx dyy e+=满足02x y ==的特解。

解：由0x dx dyy e+=，得0x e dx ydy +=，即2221()0222x x x y y d e e c e y c +=⇒+=⇒+= 而02246x y c c ==⇒+=⇒=，故226x e y +=2、（6分）求曲面2222312x y z ++=在点(1,2,1)-处的切平面方程。

解 设222(,,)2312(1,2,1)2,(1,2,1)8,(1,2,1)6x y z F x y z x y z F F F =++--=-=--=故曲面在点(1,2,1)-处的切平面的法向量为：(2,8,6)n =- 所以切平面方程为：43120x y z -+-= 3、（6分）已知级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，试讨论此级数在2x =处的敛散性。

解 由阿贝尔定理知，此级数在|1||11|2x -<--=即-13x <<时绝对收敛，故此级数在2x =处绝对收敛。

4、（6分）计算2d d Dx x y ⎰⎰，其中D 由222,y x y x =-=所围成的区域。

解：由对称性，221d d 2d d DD x x y x x y =⎰⎰⎰⎰2212122400824()15x x dx x dy x x dx -==-=⎰⎰⎰ 5、（6分）判别级数41(1)2n nn -n ∞=∑的敛散性. 若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ 解：411(1)12lim lim 122n+n+n n nn n u ==<n u →∞→∞+，由比值判别法知原级数的绝对值级数收敛，故原级数绝对收敛. 二、（10 分） 函数(,)z z x y =由方程sin()x az y bz -=-所确定， ,a b 是不全为零的常数，证明：1z za b x y∂∂+=∂∂证明：方程sin()x az y bz -=-两边同时对,x y 求偏导得11cos()()cos()z z z ay bz b x x x a b y bz ∂∂∂-=-⋅-⇒=∂∂∂-- cos()cos()(1)cos()z z z y bz a y bz b y y y a b y bz ∂∂∂---=-⋅-⇒=∂∂∂-- 故 1z z a b x y ∂∂+=∂∂三、（12分）设2()z x f u =，而y u x =，其中()f u 二阶可导，求2zx y∂∂∂。

解 因为222()2z y xf x f xf yf x x ∂''=+=-∂- 所以2112z x f f yf x y x x∂''''=⨯--⨯∂∂=y f f x '''-四、 （10分）试将函数()arctan f x x x =展成x 的幂级数．解 因为 210arctan (1)(11)21n n n x x x n +∞==--≤≤+∑，则得 ()()()220211121n nn x f x x n +∞==--≤≤+∑（也可利用(arctan )()22111nnn x xx ∞='==-+∑求解）五、（10分）设32(,,)f x y z x xy z =--（1）求(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P 处的梯度及方向导数的最大值；（2）问：(,,)f x y z 在哪些点的梯度垂直于x 轴。

解 （1） 由22(1,1,0)(1,1,0)(3)2x f x y =-= (1,1,0)(1,1,0)(2)2y f xy =-=-(1,1,0)(1,1,0)(1)1z f =-=-故 (1,1,0)|22f i j k ∇=-- 所以(,,)f x y z 在点0(1,1,0)P处方向导数的最大值为：(1,1,0)|||3f ∇==（2）由22(3)2f x y i xyj k ∇=---，而f x ∇⊥轴，即(1,0,0)0f ∇⋅=，由此得：y =所以平面y =上的点处的梯度垂直于x 轴。

六、（10分）计算曲面积分 ()()223219I xz dydz y zdzdx z dxdy ∑=+++-⎰⎰，其中∑为曲面122++=y x z()21≤≤z ，取下侧．解：取平面12z ∑=：，取上侧．则∑与1∑构成封闭曲面，取外侧．令∑与1∑所围空间区域为Ω，由Gauss 公式，得I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰ ()223192x y dxdydz dxdy Ω+≤=--⎰⎰⎰⎰⎰2222120011r x y d rdr dz dxdy πθ++≤=-⎰⎰⎰⎰⎰2π=-七、（10分）设函数()x ϕ具有连续的二阶导数，并使曲线积分2[3()2()]()x Lx x xe ydx x dy ϕϕϕ''-++⎰与路径无关，求函数()x ϕ。

解 由题意得：23()2()()x x x xe x ϕϕϕ'''-+= 即2()3()2()x x x x xe ϕϕϕ'''-+=特征方程2320r r -+=，特征根121,2r r == 对应齐次方程的通解为：212x x y c e c e =+又因为2λ=是特征根。

故其特解可设为：*2()x y x A x B e =+ 代入方程并整理得：1,12A B ==- 即 *21(2)2x y x x e =- 故所求函数为：22121()(2)2x x x x c e c e x x e ϕ=++-八、（8分）将正数a 分为正数,,x y z 之和,使得m n p u x y z =最大。

(其中,,m n p 为已知正数) 解法一 化为无条件极值求解,即求()m n p u x y a x y =--的极值。

令 1111()()0()()0m n p m n p x m n p m n p y u mx y a x y px y a x y u nx y a x y px y a x y ----'=-----=⎧⎪⎨'=-----=⎪⎩ 即 ()0()0m a x y px n a x y py ---=⎧⎪⎨---=⎪⎩解之得 ma x m n p =++，na y m n p =++ 再由 x y z a ++= 求得 paz m n p=++。

当0()x x a ==，或0()y y a ==或0()z z a ==时,u 均为0,不可能为最大,故将a 分成的三个正数为max m n p=++，na y m n p =++，pa z m n p=++。

解法二 利用拉格朗日乘数法求解.作函数(,,)()m n p F x y z x y z x y z a λ=+++- 令 111(,,)0(1)(,,)0(2)(,,)0(3)m n p x m n p y m n p zF x y z mx y z F x y z nx y z F x y z px y z λλλ---⎧'=+=⎪⎪'=+=⎨⎪'=+=⎪⎩ 及 0x y z a ++-= )4( 将(1)，(2)，(3)中之λ移至等式右端,记为),3(),2(),1('''然后由)2()1('+'得 m x y n =)2()3('+'得 py y n=并将其代入(4),从而得到所求三个正数为ma x m n p =++，na y m n p =++，paz m n p=++。

解法三 因为0m n p u x y z =>,故当u 最大时ln ln ln ln u m x n y p z =++也最大。

利用拉格朗日乘数法,作函数(,,)ln ln ln ()x y z m x n y p z x y z a λΦ=+++++-令 (,,)0(1)(,,)0(2)(,,)0(3)x yz mx y z x nx y z y px y z zλλλ⎧'Φ=+=⎪⎪⎪'Φ=+=⎨⎪⎪'Φ=+=⎪⎩ 及 0x y z a ++-= （4） 由(1),(2)得,y nmx=由（2），（3）得p z y n =并代入(4),从而得ma x m n p =++，na y m n p =++，pa z m n p=++。