固体物理 5_1简谐近似和简震坐标
《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
简谐近似和简正坐标
N个原子的位移矢量 N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
取
平衡位置
—— 不计高阶项
系统的势能函数
V
1 2
i
3N , j1
(
2V
i
j
)0
i
j
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
系统的势能函数
系统的动能函数
系统的哈密顿量
H
1 2
3N i1
mi i 2
1 3N 2V (
只考察某一个振动模
系统能量本征值计算
i
aij mi
Qj
aij mi
Asin( jt )
正则动量算符
系统薛定谔方程
(1
2
3N i1
pi2
1 2
3N
i2Qi2 ) (Q1, Q3N )
i1
E (Q1,
Q3N )
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
任意一个简正坐标
(
)
—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正 坐标为宗量的谐振子波函数
声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子
一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为
当这种振动模处于
时，说明有 个声子
03_01_简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
晶格振动 —— 声子体系 —— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用 —— 声子具有能量_动量，看作是准粒子 —— 晶格振动的问题 声子系统问题的研究 —— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的 —— 声子系宗是无相互作用的声子气组成的系统
2 i, j1 i j
4-3 简谐近似和
2）化简系统的动能和势能
动能
1 T m 2
n
2 n
1 1 m 2 Nm
1 2
n q
Q ( q )e inaq
q'
Q ( q ' )e inaq'
qq '
1 Q ( q ) Q ( q ' ) N
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Solid State Physics
由（5）式知，当只考察某一个 Qi 的振动时，（5）式可以化为
i
aij mi
A sin( it )
（12）
这表明，一般地说，一个简正振动并不是表示某一个原子的振动，而是表示 整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们的振动频率都相同。由简正坐标所代 表的，体系中所有原子一起参与的共同振动，常称为一个振动模或简正模 （normal mode）。 由量子力学我们知道,用(9)式可以直接写出哈密顿算符和薛定谔方程
1 2 2 2 [ i Qi ] (Qi ) i (Qi ) 2 2 Qi
（14）
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Solid State Physics
谐振子方程的解为
i (ni )i
ni (Qi )
i 2l N
0
说明声子不是动量的携带者。
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1 e
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固体物理Ch5.1 准经典运动
21
E (k ) s J 0 2 J1{cos k x a cos k y a cos k z a}
s
以简单立方晶体, 紧束缚近似下的 s 能带为 例, 讨论有效质量的特点
可以验证, kx, ky, kz 为主轴方向, 有效质量为
2 2 2 * * 1 1 m 2 (cos k x a ) , my 2 (cos k y a ) , mz 2 (cos k z a )1 , 2 a J1 2 a J1 2 a J1
能带底和能带顶 , =0
—— 速度最大
Ch5.1 准经典运动
14
在一维紧束缚模型下 电子的速度 , —— 速度为零
—— 速度最大 与自由粒子速度总是随能量增加而 单调增加是不同的
2. 在外力作用下状态的变化和准动量 如果有外力 F 作用在电子上, 在 dt 时间内外力对电子作功为
F v k dt
Ch5.1 准经典运动
11
|
⇀,
|
|
⇀
⇀ | |
⁄ ⁄
| |
⁄ ⁄
| |
⁄ ⁄
|
波函数主要集中在线度为 1/Δ 范围内, 中心 u=v=w=0 | ⇀, | |
⇀
⇀ | 粒子中心位置
1 E )k 0 t x 0 ( k x 1 E )k 0 t y 0 ( k y 1 E )k 0 t z 0 ( k z
16
Ch5.1 准经典运动
从而得出结论在平行于 vk 的方向上 ћdk/dt 与 F 的分量是相等的。 可证明在垂直速度的方向也相等, 因此
d k F dt
高等固体物理第五章晶格振动与晶体热学性质
一维单原子链模型的振动既简单可解，又能较全面说明晶格振
动的特点。二维、三维振动的特点由一维结论推广得到。 一个
一维单原子链可以看作一个一维简单晶格。并满足三个假设，
（1）假定原子质量为m；
（2）原子限定在原子链方向运动, 偏离格点的位移用μn, μn+1…
表示；
（3）假定只考虑最近邻原子的相互作用。
。分别把上述两微分方程相加和相减，得:
d2(xdat2
xb)
k m(xa
xb
)
d2(xa dt2
xb
)
( k m
2K m )(xa
xb
)
Beihang University
2021/3/9
* 简正坐标和简正频率
d 2 q1 dt 2
k m
q1
d
2
q
2
dt 2
( k m
2K m
)q2
qq12
在理想情况下，不能脱离晶体格点平衡位置，晶格振动是在平衡位 置附近的微小振动。
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2021/3/9
§5。2 一维单原子链
前面给出的简正坐标和简谐近似仅仅是解决问题的总的思 路，但真正求解晶格的振动模是很复杂的事。比如：要了解晶 格振动的物理模型、特征等。真正从微观结构导出力常数是固 体理论的内容，现在我们给出一种最简单的情况来讨论：一维 单原子链模型。
2021/3/9
原子的运动方程
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
简谐震动简正坐标(0301)
在声学领域，声音的传播和辐射都 可以看作是简谐震动的叠加，因此 简谐震动理论也是声学研究的重要 基础。
02
简正坐标的概念
什么是简正坐标
• 简正坐标是一种描述系统振动的坐标方式，它将复 杂的振动问题简化为简单的数学模型，以便于分析 和求解。在简正坐标下，系统的振动形式被分解为 一系列正弦和余弦函数，每个函数代表一种独立的 振动模式。
简谐震动
简谐震动是物理学中一个基本而重要的概念，它描述的是一个振动系统在平衡 位置附近做周期性的往复运动。简谐震动可以用数学公式表示，其运动规律具 有特定的周期性和振幅。
简正坐标
简正坐标是用来描述简谐震动的坐标系，它能够将复杂的振动问题简化，方便 分析和计算。简正坐标系的选择取决于系统的具体形式和物理特性。
实例二：单摆的简谐震动
总结词
单摆在摆角较小的情况下，做近似于简谐振动的往复运动。
详细描述
单摆由一根长度为摆长的细线悬挂着一个质量块组成，在重 力作用下产生往复运动。当摆角较小（小于5度）时，单摆的 运动可以近似看作是简谐振动。在简正坐标系下，单摆的振 动形式可以表示为正弦或余弦函数。
实例三：电磁振荡器的简谐震动
教育教学
在高等教育中，简谐震动和简正坐标是物理学、工程学等专业的重要教学内容。通过深入 学习和理解简谐震动和简正坐标的理论基础，可以培养学生的逻辑思维和分析能力，提高 他们的科学素养。
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简正坐标的应用
1. 振动分析
简正坐标广泛应用于振动分析 领域，用于研究系统的振动特
性和响应。
2. 结构优化
在结构优化设计中，简正坐标 可以帮助分析结构的振动模态 和频率，从而优化结构的设计 。
3. 声学研究
晶格振动的量子化-声子
显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： 1 2 2 2 2 Q 2 i Qi (Qi ) i (Qi ) 2 i
1 i ( ni )i 独立谐振子能量量子化 谐振子的解是大家熟知的： 2
是量子力学的结论。
给出原子集体运动 的方式，确定色散 关系和态密度。
揭示了原子热运 动的本质表现： 能量量子化。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的三维晶体，有 3N 种格波，即有 3N种声子。当一种 振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj 个声子。
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 i 为单 元交换能量，若电子交给晶格 i 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 i 的能量，则称为吸收一 个声子。
q 又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。
声子气体不受 Pauli 原理的限制，粒子数目不守恒，故 属于波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系统处于热 平衡状态时，频率为ω i 的格波的平均声子数由波色统计给 出：
◆
ni
1
e 1 i i 公式第一项是T=0K 其平均能量： i i 时的零点能。 2 k BT e 1 k BT i , i k BT
4.2 晶格振动的量子化－声子
一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82）
N个原子组成的晶体，平衡位置为 的位移矢量为：un (t )
固体物理教学大纲课程名称固体物理课程性质专业必修课
固体物理教学⼤纲课程名称固体物理课程性质专业必修课《固体物理》教学⼤纲⼀、课程名称：固体物理⼆、课程性质：专业必修课三、课程教学⽬的：（⼀）课程⽬标：通过固体物理学课程的学习，使学⽣树⽴起晶体内原⼦、电⼦等微观粒⼦运动的物理图像及其有关模型，掌握晶体内微观粒⼦的运动规律及其与晶体宏观性能的物理联系，深刻理解晶体宏观性能的微观物理本质，为进⼀步学习和研究固体物理学各种专门问题及相关领域的内容建⽴初步的理论基础。
（⼆）教学⽬标：第⼀章晶体结构【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶格结构的实例、⾮晶态和准晶态的特征；理解和掌握晶体结构的周期性特征及其描述⽅法；理解和掌握晶体结构的对称性特征及其描述⽅法；理解和掌握倒格⼦的定义及其与正格⼦的关系；熟悉有关晶体结构的基本分析与计算。
借助于多媒体展⽰，使学⽣建⽴起晶体结构特征的直观图像。
第⼆章晶体的结合【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣了解晶体结合⼒的⼀般性质；掌握晶体的结合类型与特征；理解元素和化合物晶体结合的规律性；掌握离⼦晶体的结合能、体积弹性模量的计算；掌握范德⽡⽿斯晶体的结合能、体积弹性模量的计算。
在教学中，能够使学⽣认识到吸引与排斥的⽭盾的差别和对⽴统⼀是认识与理解固体的结合规律与性质的关键，培养学⽣的辩证思维能⼒。
第三章晶格振动与晶体的热学性质【教学⽬标】通过本章的教学，能够使学⽣理解简谐近似、格波概念、声⼦概念；理解玻恩-卡曼边界条件；了解三维格波的⼀般规律、晶格振动的⾮简谐效应；了解确定晶格振动谱的实验⽅法；掌握⼀维单原⼦、双原⼦晶格振动的格波解与⾊散关系；掌握晶格振动模式密度的计算⽅法；理解晶格热容量的量⼦理论、掌握爱因斯坦模型与德拜模型；理解格林爱森近似、掌握晶格状态⽅程。
结合例题分析和习题训练，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。
第四章能带理论【教学⽬标】通过本章的教学，使学⽣能够了解晶体能带理论的基本假设和处理问题的基本思路；理解布洛赫定理及其推论的证明，掌握晶体能带的基本特征；熟悉克龙尼克—潘纳模型的求解与结论；熟悉布⾥渊区、费⽶⾯等基本概念；了解平⾯波⽅法、赝势⽅法；掌握近⾃由电⼦近似⽅法及其结论；掌握紧束缚近似⽅法的运⽤；掌握能态密度的计算⽅法。
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Qi A sin(i t )
i 晶格振动频率
Q j A sin( j t )
mi Qj aij mi A sin( j t ) aij
只考察某一个简振坐标 Q j 的振动
代入 m i i
a Q
j 1 ij
3N
j
i
i 1,23N
所有原子共同参与的一个振动称一个振动模
3N
1 即晶格振动能量即3N个谐振子能量和 En (ns ) s 2 s 1
n 0,1,2
晶格振动能量以 s为单位变化.
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3,3N Qi i i
标准谐振动方程
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2Q 0, i 1, 2, 3, 3N Qi i i
结论:
标准谐振动方程
—— 3N个独立无关的方程
晶体内原子(绕平衡位置)振动可看成3N个独立谐振子的振动 方程解
假设存在线性变换 mi ui
a Q
j 1 ij
3N
1 3N 2 T Qi 2 i 1
j
1 3N 2 2 V i Qi 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量H T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的拉格朗日函数 L T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1
对第n个原子 偏离平衡位置的位移矢量 u (t ) n
uni (i 1,2,3)
N个原子的位移矢量 ui (t )
ui (i 1, 2, 3 4,, 3N )
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N个原子体系的势能函数在平衡位置按泰勒级数展开
V 1 3 N 2V V V0 ( )0 ui ( )0 uiu j High items 2 i , j 1 ui u j i 1 ui V 取 V0 0 平衡位置 ( )0 0 —— 不计高阶项 ui 2 3N 系统的势能函数V 1 ( V ) u u 简谐近似 0 i j 2 i , j 1 ui u j 1 3N 系统的动能函数T mi ui2 2 i 1
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量 H T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 1 3N 2 1 3N 2 2 系统的拉格朗日函数 L T V Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 L pi Qi 正则动量 Qi 1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量 H pi i Qi 2 i 1 2 i 1 H L pi pi Qi 正则方程 Qi Qi
3N
1 3N 1 3 N 2V )0 ui u j 系统的哈密顿量 H T V mi ui2 ( 2 i 1 2 i , j 1 ui u j
困难(存在交叉项) 如此求解系统的问题,
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2、引入简正坐标 Q1, Q2 , Q3 , Q3N
3N
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
(N个原子组成的晶体)系统能量本征值计算
3N 1 [ (2 2 i2Qi2 )] (Q1,Q3N ) E (Q1, Q3N ) Qi i 1 i 1 2 3N 2
1 系统能量本征值 E i ( ni ) i 2 i 1 i 1
第五章
晶格振动与晶体绕平衡位置)
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
问题1:简谐近似下,利用正则坐标(振动)描述晶格振动, 原因? 方法？
研究对象 —— 由N个质量为m的原子组成的晶体 1、简谐近似
平衡位置 Rn
原子的位置 R R u (t ) n n n
1 3N 2 1 3N 2 2 ( pi i Qi ) (Q1 , Q3 N ) E (Q1 , Q3 N ) 2 i 1 2 i 1
1 2 3N 2 2 2 [ ( i Qi )] (Q1,Q3N ) E (Q1, Q3N ) 2 Qi i 1 i 1 2
系统本征态函数
3N
3N
(Q1 , Q2 , Q3 ,Q3 N ) n (Qi )
i 1
i
3N
n (Qi )
i
i
exp(
2
2
) H ni ( )
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
小结：
在简正坐标系中： N个原子构成的晶体 3N个独立谐振子体系
简正振动 —— 晶体中所有原子参与的振动，振动频率相同。
5-1简谐近似和简正坐标 —— 晶格振动与晶体的热学性质
(N个原子组成的晶体)系统能量本征值计算
1 3N 2 1 3N 2 2 系统的哈密顿量 H pi i Qi 2 i 1 2 i 1
系统薛定谔方程
正则动量算符 pi i ˆ Qi