南通市2011年高考数学预测 一校五题 (南通三中 顾拥军)
数学_2011年江苏高考数学模拟试卷1(含答案)
2011年江苏高考数学模拟试卷1一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. 已知命题p:x 2−2x −15≤0，命题q:x 2−2x −m 2+1≤0，且¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．2. 若正数a 、b 、c 、d 满足ab +bc +cd +ad =1，那么a +b +c +d 的最小值是________．3. 已知函数f(x)=x 3−(k 2−k +1)x 2+5x −2，g(x)=k 2x 2+kx +1，其中k ∈R ． （1）设函数p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在区间(0, 3)上不单调，求k 的取值范围； （2）设函数q(x)={g(x),x ≥0f(x),x <0.是否存在k ，对任意给定的非零实数x 1，存在惟一的非零实数x 2(x 2≠x 1)，使得q′(x 2)=q′(x 1)？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由． 4. 函数f(x)=2sin 2x−3sinx (2sinx+3)2的值域为________．5. 设x 0是方程8−x =lgx 的解，且x 0∈(k, k +1)(k ∈Z)，则k =________．6. 矩形ABCD 中，AB =6，AD =7．在矩形内任取一点P ，则∠APB >π2的概率为________． 7. 在△ABC 中，C =π2，AC =1，BC =2，则f(λ)=|2λCA →+(1−λ)CB →|的最小值是________．8. 已知1−cos2αsinαcosα=1，tan(β−α)=−13，则tan(β−2α)等于________．9. 如图是由所输入的x 值计算y 值的一个算法程序，若x 依次取数列{n 2+4n}(n ∈N ∗, n ≤2009)的项，则所得y 值中的最小值为________．10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，PF 1⋅PF 2=4ab ，则双曲线的离心率是________．11. 设函数f(x)=ax +b ，其中a ，b 为实数，f 1(x)=f(x)，f n+1(x)=f[f n (x)]，n =1，2，…．若f 5(x)=32x +93，则ab =________．12. 设A 、B 是椭圆x 225+y 216=1上不同的两点，点C(−3, 0)，若A 、B 、C 共线，则ACCB 的取值范围是________．13. 设函数f(x)=x(12)x +1x+1，A 0为坐标原点，A n 为函数y =f(x)图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量a n =∑A k−1A k →nk=1，向量i=(1, 0)，设θn 为向量a n 与向量i 的夹角，则满足∑tan n k=1θk <53的最大整数n 是________．14. 已知l 1和l 2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A ，动点B 、C 分别在l 1和l 2上，且BC =3√2，过A 、B 、C 三点的动圆所形成的区域的面积为________．二、解答题（共6小题，满分90分）15. 在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m →=(2,2cos 2B+C 2−1)，向量n →=(sin A2，−1)．（1）求m →⋅n →取得最大值时的角A 的大小；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值．16. 如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：（1）直线EF // 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．17. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m+a；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an+a．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为ℎ1和ℎ2，则他对这两种交易的综合满意度为√ℎ1ℎ2．现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为ℎ乙（1）求ℎ甲和ℎ乙关于m A 、m B 的表达式；当m A =35m B 时，求证：ℎ甲=ℎ乙；（2）设m A =35m B ，当m A 、m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为ℎ0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由． 18. 如图，已知椭圆C:x 25+y 23=m 22(m >0)，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k(k ≠0)的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点． （1）是否存在k ，使对任意m >0，总有OA →+OB →=ON →成立？若存在，求出所有k 的值； （2）若OA →⋅OB →=−12(m 3+4m)，求实数k 的取值范围．19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n(n, S n)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，且过点P n(n, S n)的切线的斜率为k n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2k n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n；（3）设A={x|x=k n, n∈N∗}，B={x|x=2a n, n∈N∗}等差数列{c n}的任一项c n∈A∩B，其中c1是A∩B中的最小数，110<c10<115，求{c n}的通项公式．20. 已知函数f1(x)=3|x−p1|，f2(x)=2⋅3|x−p2|（x∈R，p1，p2为常数）．函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，f(x)={f1(x)若f1(x)≤f2(x) f2(x)若f1(x)>f2(x)（1）求f(x)=f1(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；（2）设a，b是两个实数，满足a<b，且p1，p2∈(a, b)．若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为b−a2（闭区间[m, n]的长度定义为n−m）2011年江苏高考数学模拟试卷1答案1. m<−4或m>42. 23. 解析：（1）因P(x)=f(x)+g(x)=x3+(k−1)x2+(k+5)x−1，p′(x)=3x2+2(k−1)x+(k+5)，因p(x)在区间(0, 3)上不单调，所以p′(x)=0在(0, 3)上有实数解，且无重根，由p′(x)=0得k(2x+1)=−(3x2−2x+5)，∴ k=−(3x2−2x+5)2x+1=−34[(2x+1)+92x+1−103]，令t=2x+1，有t∈(1, 7)，记ℎ(t)=t+9t，则ℎ(t)在(1, 3]上单调递减，在[3, 7)上单调递增，所以有ℎ(t)∈[6, 10)，于是(2x+1)+92x+1∈[6,10)，得k∈(−5, −2]，而当k=−2时有p′(x)=0在(0, 3)上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈(−5, −2)；（2）当x<0时有q′(x)=f′(x)=3x2−2(k2−k+1)x+5；当x>0时有q′(x)=g′(x)=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A=(k, +∞)，B=(5, +∞)（1）当x 1>0时，q′(x)在(0, +∞)上单调递增， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2<0且A ⊆B ， 因此有k ≥5，（2）当x 1<0时，q′(x)在(−∞, 0)上单调递减， 所以要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，只能x 2>0且A ⊆B ， 因此k ≤5，综合(1)(II)k =5；当k =5时A =B ，则∀x 1<0，q′(x 1)∈B =A ，即∃x 2>0， 使得q′(x 2)=q′(x 1)成立，因为q′(x)在(0, +∞)上单调递增，所以x 2的值是唯一的； 同理，∀x 1<0，即存在唯一的非零实数x 2(x 2≠x 1)， 要使q′(x 2)=q′(x 1)成立，所以k =5满足题意． 4. [−116，5]5. 76. 3π287. √2 8. −1 9. 17 10. √3 11. 6 12. [14, 4]13. 3 14. 18π15. 解：(1)m →⋅n →=2sin A2−(2cos 2B+C 2−1)=2sin A2−cos(B +C)．因为A +B +C =π，所以B +C =π−A ，于是m →⋅n →=2sin A2+cosA =−2sin 2A2+2sin A2+1=−2(sin A2−12)2+32． 因为A2∈(0,π2)，所以当且仅当sin A2=12，即A =π3时，m →⋅n →取得最大值32． 故m →⋅n →取得最大值时的角A =π3；（2）设角、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理，得b 2+c 2−a 2=2bccosA 即bc +4=b 2+c 2≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b =c =2时取等号． 又S △ABC =12bcsinA =√34bc ≤√3．当且仅当a =b =c =2时，△ABC 的面积最大为√3．16. ∵ E ，F 分别是AB ，BD 的中点．∴ EF 是△ABD 的中位线，∴ EF // AD ，∵ EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴ 直线EF // 面ACD ； ∵ AD ⊥BD ，EF // AD ，∴ EF ⊥BD ， ∵ CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴ CF ⊥BD 又EF ∩CF ＝F ，∴ BD ⊥面EFC ，∵ BD ⊂面BCD ，∴ 面EFC ⊥面BCD 17. 解：（1）甲：买进A 的满意度为ℎA1=12m A +12，卖出B 的满意度为ℎB1=m Bm B +5；所以，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为ℎ甲=√ℎA1⋅ℎB1=√12m A +12×m B m B +5=√12m B(mA +12)(mB +5)；乙：卖出A 的满意度为：ℎA2=m Am A +3，买进B 的满意度为：ℎB2=20m B +20； 所以，乙卖出A 与买进B 的综合满意度ℎ乙=√ℎA2⋅ℎB2=√m Am A+3×20mB+20=√20m A(m A +3)(m B +20)；当m A =35m B 时，ℎ甲=√12m B(35mB +12)(m B +5)=√20m B(m B +20)(m B +5)，ℎ乙=√20×35m B(35m B +3)(m B +20)=√20m B(m B +5)(m B +20)，所以ℎ甲=ℎ乙（2）设m B =x （其中x >0），当m A =35m B 时， ℎ甲=ℎ乙=√20x(x+5)(x+20)=√20x+100x+25≤√2√x⋅x+25=√2045=23；当且仅当x =100x，即x =10时，上式“=”成立，即m B =10，m A =35×10=6时，甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为23（3）不能由（2）知ℎ0=23．因为ℎ甲ℎ乙≤49因此，不能取到m A ，m B 的值，使得ℎ甲≥ℎ0和ℎ乙≥ℎ0同时成立，但等号不同时成立． 18. 解：（1）椭圆C:x 25m 22+y 23m 22=1，c 2=5m 22−3m 22=m 2，c =m ，∴ F(m, 0)，直线AB:y =k(x −m)，{y =k(x −m)x 25+y 23=m 22(m >0)，(10k 2+6)x 2−20k 2mx +10k 2m 2−15m 2=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=20k 2m10k 2+6， x 1x 2=10k 2m 2−15m 210k 2+6；则x m =x 1+x 22=10k 2m10k 2+6，y m =k(x m −m)=−6km10k 2+6，若存在k ，使AB 为ON 的中点，∴ OA →+OB →=2OM →． ∴ OA →+OB →=(2x m ,2y m )=(20k 2m10k 2+6,−12km10k 2+6)， 即N 点坐标为(20k 2m10k 2+6，−12km10k 2+6)．由N 点在椭圆上，则15×(20k 2m10k 2+6)2+13×(−12km10k 2+6)2=m 22即5k 4−2k 2−3=0．∴ k 2=1或k 2=−35（舍）．故存在k =±1使OA →+OB →=ON →． （2）OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k 2(x 1−m)(x 2−m) =(1+k 2)x 1x 2−k 2m(x 1+x 2)+k 2m 2 =(1+k 2)⋅10k 2m 2−15m 210k 2+6−k 2m ⋅20k 2m 10k 2+6+k 2m 2=(k 2−15)10k 2+6m 2，由m 2⋅(k 2−15)10k +6=−12(m 3+4m)，得m 2⋅k 2−1510k +6=−m 22(m +4m)≤−2m 2，即k 2−15≤−20k 2−12，k 2≤17，∴ −√77≤k ≤√77，且k ≠0．19. 解：（1）∵ 点P n (n, S n )都在函数f(x)=x 2+2x 的图象上， ∴ S n =n 2+2n(n ∈N ∗)，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n +1．当n =1时，a 1=S 1=3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n =2n +1 （2）由f(x)=x 2+2x 求导可得f′(x)=2x +2 ∵ 过点P n (n, S n )的切线的斜率为k n ， ∴ k n =2n +2．∴ b n =2k n a n =4⋅(2n +1)⋅4n ．∴ T n =4×3×41+4×5×42+4×7×43++4×(2n +1)×4n ①由①×4，得4T n =4×3×42+4×5×43+4×7×44++4×(2n +1)×4n+1② ①-②得：−3T n =4[3×4+2×(42+43++4n )−(2n +1)×4n+1]=4[3×4+2×42(1−4n−1)1−4−(2n +1)×4n+1]∴ T n =6n+19⋅4n+2−169．（3）∵ Q ={x|x =2n +2, n ∈N ∗}，R ={x|x =4n +2, n ∈N ∗}，∴ Q ∩R =R ． 又∵ c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数， ∴ c 1=6．∵ {c n }是公差是4的倍数， ∴ c 10=4m +6(m ∈N ∗)． 又∵ 110<c 10<115，∴ {110<4m +6<115m ∈N ∗，解得m =27．所以c 10=114，设等差数列的公差为d ，则d =c 10−c 110−1=114−69=12，∴ c n =6+(n −1)×12=12n −6，所以{c n }的通项公式为c n =12n −6 20. 解：（1）由f(x)的定义可知，f(x)=f 1(x)（对所有实数x ）等价于f 1(x)≤f 2(x)（对所有实数x ）这又等价于3|x−p 1|≤2⋅3|x−p 2|，即3|x−p 1|−|x−p 2|≤3log 32=2对所有实数x 均成立．(∗)由于|x −p 1|−|x −p 2|≤|(x −p 1)−(x −p 2)|=|p 1−p 2|(x ∈R)的最大值为|p 1−p 2|， 故(∗)等价于3|p 1−p 2|≤2，即|p 1−p 2|≤log 32，这就是所求的充分必要条件 （2）分两种情形讨论(I)当|p1−p2|≤log32时，由（1）知f(x)=f1(x)（对所有实数x∈[a, b]）则由f(a)=f(b)及a<p1<b易知p1=a+b2，再由f1(x)={3p1−x，x<p13x−p1，x≥p1的单调性可知，函数f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度为b−a+b2=b−a2（参见示意图）(II)|p1−p2|>log32时，不妨设p1<p2，则p2−p1>log32，于是当x≤p1时，有f1(x)=3p1−x<3p2−x<f2(x)，从而f(x)=f1(x)；当x≥p2时，有f1(x)=3x−p1=3p2−p1+x−p2=3p2−p1⋅3x−p2>3log32⋅3x−p2=f2(x)从而f(x)=f2(x)；当p1<x<p2时，f1(x)=3x−p1，及f2(x)=2⋅3p2−x，由方程3x−p1= 2⋅3p2−x解得f1(x)与f2(x)图象交点的横坐标为x0=p1+p22+12log32(1)显然p1<x0=p2−12[(p2−p1)−log32]<p2，这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知f(x)={f1(x)，p1≤x≤x0f2(x)，x0<x≤p2综上可知，在区间[a, b]上，f(x)={f1(x)，a≤x≤x0f2(x)，x0<x≤b（参见示意图）故由函数f1(x)及f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度之和为(x0−p1)+(b−p2)，由于f(a)=f(b)，即3p1−a=2⋅3b−p2，得p1+p2=a+b+log32(2)故由（1）、（2）得(x0−p1)+(b−p2)=b−12[p1+p2−log32]=b−a2综合(I)(II)可知，f(x)在区间[a, b]上的单调增区间的长度和为b−a2．。
2011江苏高考权威预测卷(详解)
2011年江苏高考权威预测卷注意事项：1、本试卷共160分。
考试时间150分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置。
答案写在答题纸上对应题目的横线上。
考试结束后，请交回答题纸.一、题空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．． 上．. 1.双曲线1422=-y x 的离心率为__▲____2.已知a ，b ，c ，d ∈C ，定义运算＝(a ＋b )(c ＋d )－a cb d++，z ＝，则z ＝__▲____3．在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是__▲____4. 已知直线1l ：210x y --=，直线2l ：10ax by -+=，其中a ，{}1,2,3,4,5,6b ∈． 则直线12l l =∅ 的概率为为__▲____ ．5.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为__▲____6.函数224cos 2x y =-+在区间[0,]2π上的最大值是__▲____7.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为__▲____8.假设符号)()(x fn 表示对函数)(x f 进行n 次求导,即n 阶导数。
若x a x f =)(,则=)()2011(x f __▲____T ←1 I ←3While I<50 T ←T +I I ←I +2 End While Print T9.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知323=∆ABC S ，且3,2==c b ，O 为△ABC 的外心，则OB OC ⋅=__▲____10.已知数列{}n a 对任意的正整数n 都有120n n a a +-=，12a =，数列{}n b 满足对任意正整数n ，n b 是n a 和1n a +的等差中项，则数列{}n b 的前10项和为__▲____11.222，再将分式然后利用基本不等式求最值；借此，2对一切实数x 都成立的正实数c 的范围是__▲____12.函数12222)(22++++=x x x x f 的最小值为__▲____13．根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点O 沿正东偏北⎪⎭⎫⎝⎛≤≤20παα方向行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟,则机器人行走2分钟时的可能落点区域面积为__▲____14.实数z y x ,,满足0=++z y x 且1222=++z y x ,记m 为222,,z y x 中的最大者,则m 的最小值为__▲____二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内．．．．．．．．．作答，解答是时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设两个不共线的向量,OA OB 的夹角为θ，且||3OA = ，||2OB =.(1)若3πθ=，求⋅的值；(2)若θ为定值，点M 在直线OB 上移动，||OA OM + 的最小值为32，求θ的值.16.如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为菱形，8PD =，6AC =，8BD =，O BD AC = ，E 是棱PB 上的一点．(1)求证：DE AC ⊥；(2)若2:1:=EP BE ,求三棱锥BCE O -的体积；(3)是否存在点E ,使ACE ∆的面积最小？若存在，试求出ACE ∆面积最小值及对应线段BE 的长；若不存在，请说明理由．17.如图1，(1,0)A -、(1,0)B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴上两点，,C D 分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P 是CD 上的动点，若AP BP ⋅ 的最大值与最小值分别为3、57.(1)求椭圆的离心率；(2)如图2，点F （1，0），动点Q 、R 分别在抛物线24y x =及椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的实线部分上运动，且QR ∥x 轴，求△FQR 的周长l 的取值范围．(图1)18.为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图）．在直线2x =的右侧，考察范围为到点B的区域；在直线2x =的左侧，考察范围为到A ，B两点的距离之和不超过的区域． (1)求考察区域边界曲线的方程；(2)如图所示，设线段12PP ，23P P 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km ，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．19.设函数2()f x x =，()ln (0)g x m x m =>，已知()f x 与()g x 有且仅有一个公共点． (1)求m 的值；(2)对于函数()(,)h x ax b a b =+∈R ，若存在a ，b ，使得关于x 的不等式()()()1g x h x f x +≤≤对于()g x 定义域上的任意实数x 恒成立，求a 的最小值以及对应的()h x 的解析式．20.已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p r a a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；(3)证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ．化 区 域已参考答案1.26 2.z ＝4－3i ． 3.⎥⎦⎤⎝⎛4,0π 4. 121 5.6256.6π+7.238.2011)2011()(ln )(a a x f x =. 9. 76- 10.30691024．11.[)+∞,1 12.5 13．200100-π 14.2115.（1）因为-=，||3OA = ，||2OB = ，3πθ=.2分所以AB OA ⋅.693cos6)(2-=-=-⋅=-⋅=πOA OB OA OA OB OA …….4分（2）因点M 在直线OB 上，故可设()OM OB R λλ=∈， ……6分则||OA OM +=.8分=……….10分当3cos 2λθ=-时，||OA OM + 的最小值为|sin |3θ， ………..12分于是|sin |3θ=32，21sin ±=θ，又0θπ≤<，所以6πθ=或65πθ=. …………..14分16 解:⑴PD ABCD AC ABCD AC PD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面A B C D⇒⊥四边形为菱形AC BD 又PD 与DB 相交 ∴AC PDB ⊥平面DE PDB ⋃平面 ∴DE AC ⊥⑵即求三棱锥E OBC -的体积, 由2:1:=EP BE 及PD=8,得: E 到平面ABCD 的距离为83又四边形ABCD 为菱形,AC=6，BD=8,∴6OBC S =∴163O BCE V -=⑶当OE PB ⊥时, ACE ∆的面积最小,此时OE =ACE ∆面积最小值为BE的长为17..（1）设11(,)P x y ，则1111(1,),(1,),AP x y BP x y =+=-∴22111AP BP x y ⋅=+-， ………… 2分∵AP BP ⋅ 的最大值与最小值分别为3、57，∴ 2211x y +的最大值与最小值分别为4、127， ………… 3分而2211x y + 表示线段CD 上的点到原点的距离OP 的平方 ∴点OP 的最大值为OD ＝2，即2,a =………… 5分OP 的最小值即为O 到线段CD， 由平面几何知识得OCb =…………7分得1c ==，则椭圆的离心率c e a ==12. ………… 9分 （2）设00(,)R x y ，由抛物线的定义知QF 等于点Q 到抛物线准线1x =的距离， ∴QF QR +等于点R 到抛物线准线1x =的距离为01x +………… 11分由椭圆的第二定义知01(4)2QF x =-， ∴△NAB 的周长l ＝01x +01(4)2x +-＝0132x +.………… 13分由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩得：抛物线与椭圆交点的横坐标为23，即得0223x <<. 所以△FQR 的周长l 的取值范围为），（4310.………… 16分 18解（1）设边界曲线上点Ｐ的坐标为(,)x y ．当2x ≥时，由题意知2236(4)5x y -+=． 当2x <时，由||||PA PB +=,A B 为焦点，长轴长为2a =此时短半轴长2b ==．因而其方程为221204x y +=．故考察区域边界曲线（如图）的方程为22136:(4)(2)5C x y x -+=≥和222:1(2)204x y C x +=<．（2）设过点12,P P 的直线为1l ，过点23,P P 的直线为2l ，则直线1l ，2l 的方程分别为14, 6.y y =+=设直线l 平行于直线1l，其方程为,y m =+代入椭圆方程221204x y +=， 消去y，得22165(4)0x m ++-=．由2210034165(4)0m m ∆=⨯-⨯⨯-=，解得8m =，或8m =-．从图中可以看出，当8m =时，直线l 与2C 的公共点到1l 的距离最近，此时直线l的方程为8,y =+l 与1l之间的距离为3d ==． 又直线2l 到1C 和2C的最短距离6d '=-而3d '>，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为３．设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n 年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n -≥-，所以4n ≥．故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为４年.19（1）令()()f x g x =，即2ln (0)x m x x =>，可得21ln x m x =，设2ln ()(0)xp x x x=>， 则244112ln 2(ln )2()(0)x x x x x x p x x x x ⋅-⋅-'==>， 令()0p x '=，得x =当x ∈时，()0p x '>，()p x递增；当)x ∈+∞时，()0p x '<，()p x 递减． 考虑到(0,1]x ∈时，，(1x ∈时，2ln 1()(0,(0,]2e x p x p x =∈=；)x ∈+∞时，2ln 1()(0,(0,]2ex p x p x =∈=．考虑到0m >，故112em =，因此2e m =．………………………………4分 （2）由（1）知，()2eln g x x =．()()()1g x h x f x +≤≤，可知0a >． ………………………………6分 （ⅰ）由()()1h x f x +≤对(0,)x ∈+∞恒成立，即210x ax b --+≥对(0,)x ∈+∞恒成立，所以2()4(1)0a b ∆=---+≤，解得214a b -+≤①．……………………8分（ⅱ）由()()g x h x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立， 即2eln 0x ax b --≤对(0,)x ∈+∞恒成立， 设()2eln G x x ax b =--，(0,)x ∈+∞，则2e ()2e ()a x a G x a x x--'=-=，令()0G x '=，得2e x a =． 当2e (0,)x a ∈时，()0G x '>，()G x 递增；当2e(,)x a∈+∞时，()0G x '<，()G x 递减．故max 2e 2e 2()()2eln2e 2eln G x G b b a a a ==--=-， 则须22eln 0b a -≤，即得22eln b a≥②．由①②得222eln 14a b a -+≤≤③． ……………………10分 存在a ，b ，使得③成立的充要条件是：不等式222eln 14a a -+≤④有解． ……………………12分不等式④可化为222eln 104a a --+≥，即22eln 1042a a-++≥， 令2a t =，则有22eln 10t t -++≥，设2()2eln 1t t t ϕ=-++，则2e 2(()2t t t ttϕ-'=-+=， 可知()t ϕ在上递增，)+∞上递减．又(1)0ϕ=，10ϕ=>，22(e)e 2elne 1e 2e 10ϕ=-++=-++<， 所以2()2eln 1t t t ϕ=-++在区间内存在一个零点0t ，故不等式22eln 10t t -++≥的解为01t t ≤≤，即012a t ≤≤，得022a t ≤≤． 因此a 的最小值为2，代入③得00b ≤≤，故0b =，对应的()h x 的解析式为()2h x x =． ………………………………16分 20解（1）当1n =时，11a =；当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=- ， 所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在…5分 当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y +=，所以2xyz x y=-，………7分 令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形． 由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． …………14分 下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++，整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． …………………16分。
数学_2011年江苏省高考数学仿真押题试卷(11)(含答案)
2011年江苏省高考数学仿真押题试卷（11）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数(2+i)i 在复平面上对应的点在第________象限．2. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．3. 已知集合A ={x|x >5}，集合B ={x|x >a}，若命题“x ∈A”是命题“x ∈B”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．4.如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =1，BC =2，AC =√5，AA 1=3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM +MC 1最小时，△AMC 1的面积为________． 5. 集合A ={3, log 2a}，B ={a, b}，若A ∩B ={2}，则A ∪B =________．6. 阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是________．7. 向量a →=(cos10∘, sin10∘)，b →=(cos70∘, sin70∘)，|a →−2b →|=________．8. 方程xlg(x +2)=1有________个不同的实数根．9. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 5∈[1,4]，a 6∈[2,3]，则S 6的取值范围是________. 10. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12(OF →+OP →)，则双曲线的离心率是________．11. 已知函数f(x)=mx 2+lnx −2x 在定义域内是增函数，则实数m 范围为________．12. 如果圆(x −a)2+(y −a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．13. 已知实数x ，y 满足x −√x +1=√y +3−y ，则x +y 的最大值为________．14. 当n 为正整数时，函数N(n)表示n 的最大奇因数，如N(3)=3，N(10)=5，…，设S n =N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+...+N(2n −1)+N(2n )，则S n =________．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C=−34．(1)求sinC；(2)当c=2a，且b=3√7时，求a．16. 如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF // DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成角为60∘．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM // 平面BEF，并证明你的结论．17. 已知椭圆中心在坐标原点，短轴长为2，一条准线l的方程为x=2．（1）求椭圆方程；（2）设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值．18. 如图，直角三角形ABC中，∠B=90∘，AB=1，BC=√3．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A′MN，使顶点A′落在边BC上（A′点和B点不重合）．设∠AMN=θ．（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）在△AMN中，若ANsin∠AMN =MAsin∠ANM，求线段A′N长度的最小值．19. 已知k∈R，函数f(x)=m x+kn x(0<m≠1, n≠1)．（1）如果实数m，n满足m>1，mn=1，函数f(x)是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k值，如果没有，说明为什么？（2）如果m>1>n>0判断函数f(x)的单调性；（3）如果m=2，n=12，且k≠0，求函数y=f(x)的对称轴或对称中心．20. 已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=c ，2S n =a n a n+1+r ． （1）若r =−6，数列{a n }能否成为等差数列？若能，求c 满足的条件；若不能，请说明理由． （2）设P n =a 1a 1−a 2+a 1a 1−a 2+a 3a 3−a 4+⋯a 2n−1a 2n−1−a 2n，Q n =a 2a 2−a 3++a 4a 4−a 5+⋯a 2n a 2n −a 2n+1，若r >c >4，求证：对于一切n ∈N ∗，不等式−n <P n −Q n <n 2+n 恒成立．三、附加题部分（选做题）本大题包括A ，B ，C ，D 共4小题，请从这4题中选做2小题.每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 已知矩阵M =[2a21]，其中a ∈R ，若点P(1, −2)在矩阵M 的变换下得到点P′(−4, 0)．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 22. 选修4−4 参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2+y 2−8xcosθ−6ysinθ+7cos 2θ+8=0(θ∈R)的圆心为P(x 0, y 0)，求2x 0−y 0的取值范围．23. 必做题，本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，直线l 过点M(4, 0)．（1）若点F 到直线l 的距离为√3，求直线l 的斜率；（2）设A ，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值． 24. 已知f n (x)=(1+x)n ，（I ）若f 2011(x)=a 0+a 1x+...+a 2011x 2011，求a 1+a 3+...+a 2009+a 2011的值； （II ）若g(x)=f 6(x)+2f 7(x)+3f 8(x)，求g(x)中含x 6项的系数；（III ）证明：C m m+2C m+1m +3C m+2m +⋯+nC m+n−1m =[(m+1)n+1m+2]C m+n m+1．2011年江苏省高考数学仿真押题试卷（11）答案1. 二2. 63. a <54. √35. {2, 3, 4}6. 50497. √38. 29. [−12, 42] 10.√10211. m ≥1212. (−32√2, −√22)∪(√22, 32√2) 13. 4 14.4n +2315. 解：(I)由已知可得1−2sin 2C =−34．所以sin 2C =78． 因为在△ABC 中，sinC >0， 所以sinC =√144． (II)因为c =2a ，所以sinA =12sinC =√148． 因为△ABC 是锐角三角形，所以cosC =√24，cosA =5√28．所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =√148×√24+5√28×√144=3√78． 由正弦定理可得：3√7sinB =asinA ，所以a =√14．16. 证明：因为DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，因为DE ∩BD ＝D 从而AC ⊥平面BDE ．当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM // 平面BEF ．取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连接MN ，NF ，则DE // MN ，且DE ＝3MN ， 因为AF // DE ，且DE ＝3AF ，所以AF // MN ，且AF ＝MN ， 故四边形AMNF 是平行四边形． 所以AM // FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ， 所以AM // 平面BEF ．17. 解：（1）由题意知，b =1，a 2c =2，∴ a =√2，c =1，焦点在x 轴上， ∴ 椭圆的方程为x 22+y 2=1．（2）证明：∵ F(1, 0)，点M(2, m)，FN 的方程为：y −0=−2m(x −1)①，∵ 过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ， ∴ ON ⊥NM ，∴ K ON ⋅K NM =−1， 即yx ⋅y−m x−2=−1，∴ x 2+y 2=2x +my ②，把①代入②得：x 2+y 2=2x +my =2x +m ⋅−2m(x −1)=2，∴ |ON|=√x 2+y 2=√2，∴ 线段ON 的长为定值．18. 解：（1）设MA=MA′=x，则MB=1−x．在Rt△MBA′中，cos(180∘−2θ)=1−xx，∴ MA=x=11−cos2θ=12sin2θ．∵ 点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴ 45∘<θ<90∘．（2）∵ ∠B=90∘,AB=1,BC=√3，∴ ∠MAN=60∘，在△AMN中∠ANM=120∘−θ，ANsinθ=MAsin(120∘−θ)，AN=sinθ⋅12sin2θsin(120∘−θ)=12sinθsin(120∘−θ)．令t=2sinθsin(120∘−θ)=2sinθ(12sinθ+√32cosθ)=sin2θ+√3sinθcosθ=12+√32sin2θ−12cos2θ=12+sin(2θ−30∘)．∵ 45∘<θ<90∘，∴ 60∘<2θ−30∘<150∘．当且仅当2θ−30∘=90∘，θ=60∘时，t有最大值32，∴ θ=60∘时，A′N有最小值23．19. （本题满分16分）解：（1）如果f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)即m−x+kn−x=m x+kn x恒成立，即：n x+km x=m x+kn x，(n x−m x)+k(m x−n x)=0，则(n x−m x)(k−1)=0由n x−m x=0不恒成立，得k=1如果f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)即m−x+kn−x=−m x−kn x恒成立，即：n x+km x=−m x−kn x，(n x+m x)+k(m x+n x)=0，则(n x+m x)(k+1)=0由n x+m x=0不恒成立，得k=−1（2）m>1>n>0，则mn>1，∴ 当k≤0时，显然f(x)=m x+kn x在R上为增函数；当k>0时，f′(x)=m x lnm+kn x lnn=[(mn)x lnm+klnn]n x=0，由n x>0得(mn )x lnm+klnn=0得(mn)x=−k lnnlnm=−klog m n得x=log mn(−klog m n)．∴ 当x∈(−∞, log mn(−klog m n)]时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈[log mn(−klog m n)，+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．（3）当m =2，n =12时，f(x)=2x +k2−x如果k <0，f(x)=2x +k2−x =2x −(−k)2−x =2x −2log 2(−k)−x ， 则f(log 2(−k)−x)=−f(x)∴ 函数y =f(x)有对称中心(12log 2(−k)，0) 如果k >0，f(x)=2x +k2−x =2x +2log 2k−x ， 则f(log 2k −x)=f(x)∴ 函数y =f(x)有对称轴x =12log 2k ． 20. （1）解：n =1时，2a 1=a 1a 2+r ， ∵ a 1=c ≠0，∴ 2c =ca 2+r ，a 2=2−rc ．n ≥2时，2S n =a n a n+1+r ，① 2S n−1=a n−1a n +r ，②①-②，得2a n =a n (a n+1−a n−1)．∵ a n ≠0，∴ a n+1−a n−1=2． （ 3分）则a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1，…成公差为2的等差数列， a 2n−1=a 1+2(n −1)．a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…成公差为2的等差数列， a 2n =a 2+2(n −1)．要使{a n }为等差数列，当且仅当a 2−a 1=1． 即2−rc −c =1．r =c −c 2． （ 4分）∵ r =−6，∴ c 2−c −6=0，c =−2或3． ∵ 当c =−2，a 3=0，不合题意，舍去． ∴ 当且仅当c =3时，数列{a n }为等差数列．（2）证明：a 2n−1−a 2n =[a 1+2(n −1)]−[a 2+2(n −1)]=a 1−a 2=c +rc −2．a 2n −a 2n+1=[a 2+2(n −1)]−(a 1+2n)=a 2−a 1−2=−(c +rc)．∴ P n =1c+r c−2[na 1+n(n−1)2×2]=1c+r c−2⋅n ⋅(n +c −1)． Q n =−1c +r c [na 2+n(n −1)2×2] =−1c+r c⋅n ⋅(n +1−rc )．∴ P n −Q n =1c+r c−2⋅n ⋅(n +c −1)+1c+r c⋅n ⋅(n +1−rc )=(1c+r c−2+1c+r c)n 2+(c−1c+r c−2+1−r c c+r c)n ．∵ r >c >4， ∴ c +rc ≥2√r >4，∴ c +r c −2>2．∴ 0<1c+r c−2+1c+r c<12+14=34<1．且c−1c+r c−2+1−r c c+r c=c−1c+r c−2+c+1c+r c−1>−1．又∵ r >c >4， ∴ rc >1，则0<c −1<c +r c −2．0<c +1<c +rc ． ∴ c−1c+r c−2<1．∴ c+1c+r c <1． ∴c−1c+r c−2+c+1c+r c−1<1．∴ 对于一切n ∈N ∗，不等式−n <P n −Q n <n 2+n 恒成立． 21. 解：（1）由[2a 21][1−2]=[−40]，∴ 2−2a =−4⇒a =3．（2）由（1）知M =[2321]，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)=|λ−2−3−2λ−1|=(λ−2)(λ−1)−6=λ2−3λ−4令f(λ)=0，得矩阵M 的特征值为−1与4． 当λ=−1时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒x +y =0∴ 矩阵M 的属于特征值−1的一个特征向量为[1−1]；当λ=4时，{(λ−2)x −3y =0−2x +(λ−1)y =0⇒2x −3y =0∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为[32]．22. 解：将圆的方程整理得：(x −4cosθ)2+(y −3sinθ)2=1 由题设得{x 0=4cosθy 0=3sinθ(θ为参数，θ∈R)．所以2x 0−y 0=8cosθ−3sinθ=√73cos(θ+φ)， 所以 −√73≤2x 0−y 0≤√73． 23. 必做题，本小题． 解：（1）由已知得F(1, 0)，又直线l 过点M(4, 0)，当直线l 斜率不存在时，l 的方程为：x =4，点F 到直线l 的距离为3，与题意不符； ∴ 直线l 斜率存在，设为k ，则l 的方程为：y =k(x −4)，…∵ 点F 到直线l 的距离为√3， ∴√1+k 2=√3，∴ k =±√22… （2）设AB 中点的坐标为N(x 0, y 0)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 因为AB 不垂直于x 轴，则直线MN 的斜率为y 0x 0−4，直线AB 的斜率为k AB =4−x 0y 0，直线AB 的方程为y −y 0=4−x 0y 0(x −x 0)，…联立方程{y −y 0=4−x 0y 0(x −x 0)y 2=4x消去x 得(1−x 04)y 2−y 0y +y 02+x 0(x 0−4)=0，… 所以y 1+y 2=4y4−x 0，…因为N 为AB 中点，所以y 1+y 22=y 0，即2y4−x 0=y 0，…所以x 0=2．即线段AB 中点的横坐标为定值2．…24. 解：(I)因为f n (x)=(1+x)n ， 所以f 2011(x)=(1+x)2011，又f 2011(x)=a 0+a 1x+...+a 2011x 2011，所以f 2011(1)=a 0+a 1+...+a 2011=22011(1) f 2011(−1)=a 0−a 1+...+a 2010−a 2011=0(2)（1）−(2)得：2(a 1+a 3+...+a 2009+a 2011)=22011 所以：a 1+a 3+...+a 2009+a 2011=12f 2011(1)=22010（II ）因为g(x)=f 6(x)+2f 7(x)+3f 8(x)， 所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8g(x)中含x 6项的系数为1+2×C 76+3C 86=99（III ）设ℎ(x)=(1+x)m +2(1+x)m+1+...+n(1+x)m+n−1(1)则函数ℎ(x)中含x m 项的系数为C m m+2×C m+1m +...+nC m+n−1m (1+x)ℎ(x)=(1+x)m+1+2(1+x)m+2++n(1+x)m+n (2)（1）−(2)得−xℎ(x)=(1+x)m +(1+x)m+1+(1+x)m+2++(1+x)m+n−1−n(1+x)m+n −xℎ(x)=(1+x)m [1−(1+x)n ]1−(1+x)−n(1+x)m+nx 2ℎ(x)=(1+x)m −(1+x)m+n +nx(1+x)m+nℎ(x)中含x m 项的系数，即是等式左边含x m+2项的系数，等式右边含x m+2项的系数为−C m+n m+2+nC m+n m+1=−(m +n)!(m +2)!(n −2)!+n(m +n)!(m +1)!(n −1)!=−(n −1)+n(m +2)m +2×(m +n)!(m +1)!(n −1)!=(m +1)n +1m +2C m+n m+1所以C m m+2×C m+1m +...+nC m+n−1m =(m+1)n+1m+2C m+n m+1。
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题(数学)
江苏省南通市2011届高三第二次调研测试试题（数学）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）． 4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i nc o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段P A 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，PABCOEFG(第15题)因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边P A 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△P AB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ=，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABC ，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++． (3)分由()π2cos 16x ++=，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分因为△ABC 1πsin 26ab =，于是ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .PABCOE FGQ由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 于是2a b += ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1s i 2A B a b +=+=． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为1313=，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率e …………4分（2）由e =可设()40a k k =>，c，则b =， 于是11A B的方程为：40x k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B：20x -+=的对称点为()m n , ，则1,112022n m m n ⎧=-⎪-⎨+⎪-+=⎩． …………………………12分解得13m n =, ．所以，圆C 的方程为()(22113x y -+=．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ， S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分（第17题甲）（第17题乙）TQPNMSR甲乙RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BP A =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为（km 2）． …………………16分 19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分 令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下：MN =(h x 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--， 所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ，它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以1q <<因为三项均为整数，所以q为1⎛ ⎝内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为P A 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 4ρθ-=P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】()πcos 4ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离d =，即d =，其中cos sinϕϕ==…………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x d = ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DECD DE CD ⋅⋅＝. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分。
南通市2011届高三数学第二次调研测试
南通市2011届高三第二次调研测试参考答案及评分建议数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 曲线32y x x =-在点（1,－1）处的切线方程是 ▲ ． 2． 若15ii 3ia b +=+-（a b ∈，R ，i 为虚数单位），则ab = ▲ ． 3．命题“若实数a 满足2a ≤，则24a <”的否命题是 ▲ 命题（填“真”、“假”之一）．4． 把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．5． 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为 ▲ 分．6．设{}(20)(01)M m m ==+∈R ，，，a a 和{}(11)(11)N n n ==+-∈R ，，，b b 都是元素为向量的集合，则M ∩N = ▲ ．7． 在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的a = ▲ ．8．设等差数列{}n a 的公差为正数，若1231231580a a a a a a ++==，，则111213a a a ++= ▲ ．9．设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： ▲ （用代号表示）．10．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，当[]35x ∈，时，()24f x x =--．下列四个不等关系：()()s i n c o s 6π6πf f <；(sin1)(cos1)f f >；()()cos sin 332π2πf f <；(cos2)(sin 2)f f >．其中正确的个数是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin sin sin A BC-的值是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点()11P x y ，、()22Q x y ，，定义：1212()d P Q x x y y =-+-，． 已知点()10B ，，点M 为直线220x y -+=上的动点，则使()d B M ，取最小值时点M 的坐标是▲ ．13．若实数x ，y ，z ，t 满足110000x y z t ≤≤≤≤≤，则x z y t +的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 、B 、C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λμ，，使得OC =OA OB λμ+，则()223λμ+-的取值范围是 ▲ ．【填空题答案】1. x －y －2=02. 825-3. 真4. 26275. 26.(){}20， 7. 12 8. 1059. ①③④⇒②（或②③④⇒①） 10. 1 11. 21- 12. ()312， 13. 150 14. ()2+∞，二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO的中点，4AB BC AC ===，22PA PC ==．求证： （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． …………………2分PABCOEFG(第15题)（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分 （2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分于是2AQAO QF OG==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.16．（本小题满分14分）已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB =1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sin A +sin B 的值．【解】（1）2()23cos 2sin cos 222x x xf x =-=3(1cos )sin x x +-=()π2cos 36x ++． (3)分由()π2cos 3316x ++=+，得()π1co s 62x +=， ………………5分 于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或． ………………7分（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =． ………………9分PABCOE FGQO A 1A 2B 1B 2xy (第17题)因为△ABC 的面积为32，所以31πsin 226ab =，于是23ab =. ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ② 由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，或32.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 于是23a b +=+． ………………12分由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()31s i 22A B a b +=+=+． ………………14分 17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称． （1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程． 【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0），因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213b a b =+，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E 的离心率22147.84c e a=== …………4分 （2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =， 于是11A B 的方程为：2240x y k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =， 所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C 的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分解得42133m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()22421133x y -+=-．…………………14分18．（本小题满分16分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆P 上的一段优弧和圆Q 上的一段劣弧围成，圆P 和圆Q 的半径都是2km ，点P 在圆Q 上，现要在公园内建一块顶点都在圆P 上的多边形活动场地．（1）如图甲，要建的活动场地为△RST ，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD ，求场地的最大面积．【解】（1）如右图，过S 作SH ⊥RT 于H ，（第17题甲） DAC B QPNMR S MN PQ T（第17题乙）θTQPNMSRMN PQBCAD甲乙S △RST =RT SH ⋅21． ……………………2分 由题意，△RST 在月牙形公园里， RT与圆Q只能相切或相离； ……………………4分RT 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有RT ≤4，SH ≤2，当且仅当RT 切圆Q 于P 时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立．此时，场地面积的最大值为S △RST =1422⨯⨯=4（km 2）． (6)分（2）同(1)的分析，要使得场地面积最大，AD 左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，AD 必须切圆Q 于P ，再设∠BPA =θ，则有()11π22sin 222sin(π2)4(sin sin cos )0222ABCD S =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=+<<四边形θθθθθθ．……………………8分令θθθcos sin sin +=y ，则)sin (sin cos cos cos θθθθθ-++='y 1cos cos 22-+=θθ． ………………… 11分若0='y ，1πcos 23θθ==，，又()π03θ∈，时，0>'y ，()ππ32θ∈，时，0<'y ， …………………14分函数θθθcos sin sin +=y 在π3θ=处取到极大值也是最大值，故π3θ=时，场地面积取得最大值为33（km 2）． …………………16分19． （本小题满分16分）设定义在区间[x 1， x 2]上的函数y =f (x )的图象为C ，M 是C 上的任意一点，O 为坐标原点，设向量OA =()()11x f x ，，()()22OB x f x =，，OM =(x ，y )，当实数λ满足x =λ x 1+(1－λ) x 2时，记向量ON =λOA +(1－λ)OB ．定义“函数y =f (x )在区间[x 1，x 2]上可在标准k 下线性近似”是指“MN ≤k 恒成立”，其中k 是一个确定的正数．（1）设函数 f (x )=x 2在区间[0，1]上可在标准k 下线性近似，求k 的取值范围；（2）求证：函数()ln g x x =在区间1e e ()m m m +⎡⎤∈⎣⎦R ，上可在标准k=18下线性近似．（参考数据：e=2.718，ln(e －1)=0.541） 【解】（1）由ON =λOA +(1－λ)OB 得到BN =λBA ， 所以B，N，A三点共线， ……………………2分又由x =λ x 1+(1－λ) x 2与向量ON =λOA +(1－λ)OB ，得N 与M 的横坐标相同． ……………4分对于 [0，1]上的函数y=x 2，A (0，0)，B (1，1)， 则有()221124MN x x x =-=--+，故104MN ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，； 所以k 的取值范围是)14⎡+∞⎢⎣，． ……………………6分（2）对于1e e m m +⎡⎤⎣⎦，上的函数ln y x =，A (e m m ，)，B (1e 1m m ++，)， ……………………8分则直线AB 的方程11(e )eem m my m x +-=--， ……………………10分令11()ln (e )eem m mh x x m x +=----，其中()1e e m m x m +⎡⎤∈∈⎣⎦R ，， 于是111()e em m h x x +'=--， ……………………13分列表如下： x e m (e m ，e m +1－e m )e m +1－e m(e m +1－e m ，e m +1)e m +1 ()h'x + 0 － ()h x增1(e e )m m h +-减则MN =()h x ，且在1e e m m x +=-处取得最大值， 又()1e 2(e e )ln e 1e 1m m h +--=--≈-0.12318<，从而命题成立． ……………………16分 20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 满足2*12()n a a a n n +++=∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*p r ∈N ，（k p r <<）使111k p ra a a ，，成等差数列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组）；若不存在，请说明理由；（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为123,,n n n a a a ． 【解】（1）当1n =时，11a =； 当*2n n ∈N ≥，时，2121(1)n a a a n -+++=-，所以22(1)21n a n n n =--=-；综上所述，*21()n a n n =-∈N ． ……………………3分（2）当1k =时，若存在p ，r 使111k p r a a a ，，成等差数列，则1213221r p k pa a a p -=-=-，因为2p ≥，所以0r a <，与数列{}n a 为正数相矛盾，因此，当1k =时不存在； …………5分当2k ≥时，设k p r a x a y a z ===，，，则112x z y+=，所以2xyz x y=-， ……………………7分令21y x =-，得(21)z xy x x ==-，此时21k a x k ==-，212(21)1p a y x k ==-=--，所以21p k =-，2(21)(43)2(452)1r a z k k k k ==--=-+-， 所以2452r k k =-+；综上所述，当1k =时，不存在p ，r ；当2k ≥时，存在221,452p k r k k =-=-+满足题设.……………………10分（3）作如下构造：12322(23)(23)(25)(25)n n n a k a k k a k =+=++=+，，，其中*k ∈N ， 它们依次为数列{}n a 中的第2265k k ++项，第2288k k ++项，第221013k k ++项， ……12分显然它们成等比数列，且123n n n a a a <<，123n n n a a a +>，所以它们能组成三角形．由*k ∈N 的任意性，这样的三角形有无穷多个． ……………………14分下面用反证法证明其中任意两个三角形111A B C 和222A B C 不相似： 若三角形111A B C 和222A B C 相似，且12k k ≠，则11222212(23)(25)(23)(25)(23)(23)k k k k k k ++++=++， 整理得121225252323k k k k ++=++，所以12k k =，这与条件12k k ≠相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似．故命题成立． ……………………16分 【注】1．第（2）小题当a k 不是质数时，p ，r 的解不唯一；2. 第（3）小题构造的依据如下：不妨设123n n n <<，且123n n n a a a ，，符合题意，则公比q >1，因123n n n a a a <<，又123n n n a a a +>，则21q q +>，所以5112q +<<，因为三项均为整数，所以q 为5112⎛⎫+ ⎪⎝⎭，内的既约分数且1n a 含平方数因子，经验证，仅含21或23时不合，所以12*(23)()n a k p k p =+∈N ，；3．第（3）小题的构造形式不唯一．数学II （附加题）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，请选定其中．．．．．两题．．作答．．，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点， 过点M 引圆O 的割线交该圆于B 、C 两点，且∠BMP =100°， ∠BPC =40°，求∠MPB 的大小．【解】因为MA 为圆O 的切线，所以2MA MB MC =⋅． 又M 为PA 的中点，所以2MP MB MC =⋅． 因为B M ∠=∠，所以B M∆∆∽． ………………5分 于是MPB MCP ∠=∠． 在△MCP中，由180MPB MCP BPC BMP ∠+∠+∠+∠=︒，得∠MPB =20°． ………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵A ．【解】由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α， 即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，……………………5分 同理可得321328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得232， ，， a b c d ====．因此矩阵A 2321 ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21—A 题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πcos 224ρθ-=．点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 【解】()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，则直线l的直角坐标方程为4x y +=． …………………4分设点P 的坐标为()2cos sin ，αα，得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=，即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ==． …………………8分当()sin 1αϕ+=-时，m a x 10222d =+． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 【解】因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1， 所以，()()()()()2111323232111323232a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当323232a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 的中点，E 是线段D 1O 上一点，且D 1E ＝λEO .ABDO（第22题）EB 1A 1CC 1D 1（1）若λ=1，求异面直线DE 与CD 1所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面CD 1O ，求λ的值.【解】(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DA DC DD 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -． 则A (1，0，0)，()11022O ，，，()010C ，，，D 1(0，0，1)， E ()111442，，， 于是()111442DE =，，，()1011CD =-，，. 由cos 1DE CD 〈〉，＝11||||DE CD DE CD ⋅⋅＝36. 所以异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为36. ……………………5分 （2）设平面CD 1O 的向量为m =(x 1，y 1，z 1)，由m ·CO ＝0，m ·1CD ＝0得 1111110220x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 取x 1＝1，得y 1＝z 1＝1，即m =(1，1，1) . (7)分由D 1E ＝λEO ，则E 12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，，DE =12(1)2(1)1λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，，.又设平面CDE 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·CD ＝0，n ·DE ＝0. 得 2222002(1)2(1)1y x y z λλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩，， 取x 2=2，得z 2＝－λ，即n ＝(－2，0，λ) . 因为平面CDE ⊥平面CD 1F ，所以m ·n ＝0，得λ＝2． ……………………10分23．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ； （2）求恰好得到n *()n ∈N 分的概率．【解】（1）所抛5次得分ξ的概率为P (ξ＝i )= ()5551C2i - (i =5，6，7，8，9，10)，其分布列如下：E ξ=()5105551C2i i i -=⋅∑= 152(分) . ……………………5分 （2）令p n 表示恰好得到n 分的概率. 不出现n 分的唯一情况是得到n －1分以后再掷出一次反面. 因为“不出现n 分”的概率是1－p n ，“恰好得到n －1分”的概率是p n －1， 因为“掷一次出现反面”的概率是12，所以有1－p n =12p n －1， ……………………7分 即p n －23=－12()123n p --. 于是{}23n p -是以p 1－23=12－23=－16为首项，以－12为公比的等比数列.所以p n －23=－16()112n --，即p n ＝()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. 答：恰好得到n 分的概率是()11232n⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦. …………………10分ξ5 6 7 8 9 10 P132532516516532132。
2011年江苏高考数学试题预测卷(3)
2011年江苏高考数学试题预测卷3(必做题)一、填空题： 本大题共14小题，每小题5分，共70分。
需写出解答过程，请把答案填写在相应位置上 .1、 已知全集为 R ,若集合M x x 1 0 ，N x2x 10，则(e R M ) I N ______________ .2、 复数 丄 在复平面内对应的点位于第象限.1 i ----------------3、 已知等差数列｛%｝的公差为2，若81,83,84成等比数列，则d 等于4、 已知向量 a (3,1) , b (1,3), c (k,7)，若(a c) // b ，则 k = ____________________ .5、 y sin(x)在［0,］上的单调递增区间是 ______________ .46、 已知一个棱长为 6cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为 5cm 的钢球，则球心到盒底的距离 为 _____ cm.7、 已知点A( 3, 4), B(6,3)位于直线l : ax y 1 0异侧，且到直线|的距离相等，贝U 实数a 的值等于 _.28、 已知f x ln x 1的零点在区间 k,k 1 k N 上，贝U k 的值为 _____________________ .x9、 曲线C: f (x) sinx e x 2在x =0处的切线方程为 _______________________ .10、 在所有棱长都相等的三棱锥 P-ABC 中, D E 、F 分别是AB BC CA 的中点，下面四个命题:4小题，每题15分，共60分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ①BC//平面PDF ；②DF//平面PAE ③平面 其中正确命题的序号为 ______________ . 11、定义在(0,)的函数f (x)满足f (x)PDFL 平面ABC ;④平面PDFL 平面PAEf (y) f (xy)，且x 1时f (x) 0 ,若不等式f( ,x 2 y 2) f( xy) f (a)对任意 x, y (0,12、如图，在△ ABC BAC 120° AB 2, AC 1, D 是边BC 上一点，uu ir uuu uur uuuD 2BD 则AD Bn *pa i 2 nN ,其中p 为常数.若存在实数 p ,使得数列a 为等差数列或等比数列，则数列 a n 的通项公式a n、解答题：本大题共)恒成立，则实数a 的取值范围15.(本小题满分14分) VABC的外接圆的直径为1 ,三个内角A、B、C的对边为a b c , n cosA, b ,a b，已知m n.(1) 求sinA sinB的取值范围；(2) 若abx a b，试确定实数x的取值范围16. (本小题满分14分)如图，已知等腰梯形ABCQ, ABPCQ,CQ 2AB 2BC 4 ,D是CQ的中点,BCQ 60 ,将QDA沿AD折起，点Q变为点P,使平面PADL平面ABCD.(1)求证：BC//平面PAD；(2)求证：△ PBC是直角三角形；(3)求三棱锥P-BCD的体积。
江苏省2011年高考数学预测及最后一讲
2011年高三数学预测及最后一讲一、填空题：2010年填空题8-14题总体难度过大. 2011年会控制难度，减少3-4道难题，按6道容易题+6道中等题+2道难题的要求命制.填空题只填结果而不要过程，这个结果可以象做解答题那样，由逻辑推理，计算而得到（演绎推理）. 但由于不要过程，也可将一般情形特殊化后再求结果（类比推理)，还可从个别事实中归纳出一般性的结论（归纳推理），所以解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫巧；解题的要领是：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.常用的方法有：①直接法，②特例法，③合理猜想法，④图象法.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.【解法推介】（一）、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.例1．设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = .（二）、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）代替，即可以得到正确结果.例2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA C A cos cos 1cos cos .例3.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =___________.例4．坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ∙ =34- . （三）、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果.例5．如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 .例6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若410S ≥，515S ≤，则5a 的最大值为________.（四）、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果.例7．不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b=例8.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：1请将错误的一个改正为lg = ．（五）、归纳猜想法例9．已知()1(1)()1f nf nf n-+=+(n∈N*)，2)1(=f，则f（2011）= _______（六）、几种开放型填空题1：开放型填空题之多选型填空题例10．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基量”q（14）q（n2例11．若两个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最大为________cm。
2011江苏高考数学押题试卷
（第4题图）20011江苏押题试卷江苏省南通中学高级教师、教研组长杨建楠老师命制第Ⅰ卷部分（满分：160分 时间：120分钟）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+=______▲_______．答案：1i - 2．若0x ∆→时(22)(2)1f x f x+∆-→∆，则(2)f '= ．答案：因为(22)(2)122f x f x +∆-→∆，所以(2)f '=12．3．若集合0,1,2A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{|cos ,}B y y x x A ==∈，则A B = _______．答案：{1,cos1,0}B =，所以A B = {0,1} 4．如图所示的是一个算法的流程图，当输入的x 的值为2009时，输出y 的值为 ▲ ． 解析：当x>0时，循环体中将一直x 减去2，退出循环时，1x =-，所以13y =． 5．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是7的概率 为 ▲ ． 解析：抛掷2次，点数有36种基本情况，其中点数之和是7的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3)，共6种情形，所以概率为61366=． 6. 若不等式|2|6ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为_____________．答案：|2|6a -+=且|22|6a +=，所以a =—4．7．用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的高为10cm ，体积为31000πcm 3，则制作该容器需要铁皮面积为 2cm （衔接1.414，π取3.14，结果保留整数）．答案：211000ππ1033r ⋅=，所以10r =，所以2π10π10100(1π=444S =⋅+⋅⋅．8．双曲线221x y n-=的两个焦点为12F F 、，P 在双曲线上，且满足12PF PF +=C△12PF F 的面积为 ．答案：12||PFPF -=12PF PF +=22121244,2PF PF n PF PF +=+⋅=， 22212121212cos 02PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，所以12π2F PF ∠=，所以12112S PF PF =⋅=． 9. 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式．如图，在坡度为15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 米．答案：设旗杆高度为x 米，则x =所以151)2x =10．已知数列{}n a 共有6项，若其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有 个．答案：列举法（树形图）即可得到结论6011．已知()(1)(2)(3)f x x x x =---，则'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为 ． 答案：()(1)(2)(3)f x x x x =---的3个零点为1，2，3，所以，在(1,2),(2,3)之间各有一个极值点，所以'()0f x =在区间（1，3）内的解的个数为2个． 12．若()f n 为()2*1n n N +∈的各数位上的数字之和，如：2141197+=，1＋9＋7＝17，则()1417f =，记()()1f n f n =，()()()21f n f f n =， ，()()()()*1k k f n f f n k N +=∈，则()20108f ＝ ．答案：123(8)11,(8)4,(8)8f f f ===，所以3(8)(8)n n f f +=，所以20103(8)(8)8f f ==． 13．如图，△ABC 中，4AB =，AC =8，60BAC ∠= ，延长CB 到D ，使BA BD =，当E 点在线段AB 上移动时，若AE AC AD λμ=+，当λ取最大值时，λμ-的值是 ．答案：当λ取最大值时，AE AB =，,A B A C C B A B A D D B =+=+，所以(1AB AC =+ ，旗杆E所以λμ==2λμ-=．14．设函数()f x (0)a <的定义域为D ，值域为A ，若所有点(,)s t (,)s D t A ∈∈构成一个正方形区域，则a 的值为 ．答案：定义域的长度为12x x -=可得a =4-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题14分）已知向量()()()cos ,1,,cos a x x b f x x ωωω==，其中ω＞0，且，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为32π (1)求的值ω；(2) 求函数在区间上的最大值与最小值及相应的值．解：(1) //a b，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=1cos 22x ω+=1πsin(2)26x ω=++． …………………………………………… 4分由题意，函数()f x 的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=． …………6分 (2) 由(1)知12()sin(236f x x π=++， 5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦ ，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, …………………………… 12分当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ……………………14分16．（本小题满分14分）如图，空间四边形BEDF 在平面α的射影是一个边长为 2a 、∠A =60°的菱形ABCD ，其中A 、C 分别为E 、F 在平面α的射影，且 AE =3a ，CF =a ． （1）求证：EF BD ⊥；（2）求证：平面 EBD ⊥平面FBD ． 证明：（1）因为FC ⊥面ABCD ，CB CD = 所以FB FD =，……………………2分 又因为O 为BD 的中点，所以FO BD ⊥， 同理EO BD ⊥，……………………4分又EO FO O = ，所以BD ⊥面EFO ，………………………………………5分 所以EF BD ⊥；…………………………………………………………………6分 （2）因为FC ⊥面ABCD ，EA ⊥面ABCD ，所以//FC EA ，所以,,,E A C F 四点共面， ………………………………………………………8分在菱形ABCD 中，边长为 2a 、∠A =60°，所以AO CO =，则tan tan COF AOE ∠=∠=， 所以，在平面EACF 内，30,60COF AOE ∠=∠= ，则EO FO ⊥， …………………………………………………………………10分 由（1）可知，EO BD ⊥ 又BD FO O = ，所以EO ⊥面BDF ，……………………………………………………………12分 因为EO ⊂面BDE ，所以平面 EBD ⊥平面FBD ．……………………………14分 17（本小题15分）已知圆O 的方程为），，过点直线03(,1122A l y x =+且与圆O 相切． （1）求直线1l 的方程；（2）设圆O 与x 轴交与P,Q 两点，M 是圆O 上异于P,Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为2l ，直线PM 交直线2l 于点'P ，直线QM 交直线2l 于点'Q ．求证：以''Q P 为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解：（1）∵直线1l 过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线1l 的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=， 则圆心(0,0)O 到直线1l 的距离为1d ==，解得42±=k ， ……………4分∴直线1l 的方程为3)y x =-，即3)y x =-． …………………………7分 （2）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线2l 过点A 且与x 轴垂直，∴直线2l 方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty 解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩,得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q …………………9分 ∴以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ，又122=+t s ，∴整理得2262(61)0s x y x y t-+-++=， 13分若圆C '经过定点，只需令0y =，从而有2610x x -+=，解得3x =±，∴圆C '总经过定点坐标为(3±．……………………………………………15分18．（本小题满分15分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t +1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润=收入－生产成本－促销费用)(1)求出x 与t 所满足的关系式；(2)请把该工厂2010年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数； (3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ 解：(1) 设比例系数为k )0(≠k ．由题知，有13+=-t kx ．……………………………2分 又．时，10==x t21013=+=-∴k k，．……………………………………………………………4分 )0(123≥+-=∴t t x t x 的关系是与．…………………………………………5分 (2) 依据题意，可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为)323(x +万元，促销费用为t 万元，则每件纪念品的定价为：(xtx x 2%150323+⋅+)元/件．……………………8分 于是，t x xtx x x y -+-+⋅+⋅=)323()2%150323(，进一步化简，得 )0(2132299≥-+-=t t t y ．……………………………………………………………11分因此，工厂2010年的年利润)0(2132299≥-+-=t t t y 万元．(3) 由(2)知，)0(2132299≥-+-=t t t y )713221(4221132250)21132(50时，等号成立，即当=+=+=+⋅+-≤+++-=t t t t t t t …13分所以，当2010年的促销费用投入7万元时，工厂的年利润最大，最大利润为42万元．…………………………………………………………………………………………15分 19.（本题满分16分）已知等差数列{}n a 中，公差0d >，其前n 项和为n S ，且满足2345a a ⋅=，1414a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设由n n S b n c =+（0c ≠）构成的新数列为{}n b ，求证：当且仅当12c =-时，数列{}n b 是等差数列；（3）对于（2）中的等差数列{}n b ，设8(7)n n n c a b =+⋅（*n ∈N ），数列{}n c 的前n 项和为n T ，现有数列{}()f n ，()22nn n b f n T a =--（*n ∈N ）， 求证：存在整数M ，使()f n M ≤对一切*n ∈N 都成立，并求出M 的最小值． 解：（1）∵等差数列{}n a 中，公差0d >， ∴23232323144545544391414n a a a a a d a n a a a a a ⋅=⋅==⎧⎧⎧⇒⇒⇒=⇒=-⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎩………………………………4分 （2）()()143212n n n S n n +-==-，nn S b n c =+()21n n n c -=+，………………………………6分由2132b b b =+得12115213c c c =++++，化简得220,0c c c +=≠，∴12c =-………………8分 反之，令12c =-，即得2n b n =，显然数列{}n b 为等差数列，∴ 当且仅当12c =-时，数列{}n b 为等差数列. ………………………………………10分（3） ()()8111711n n n c a b n n n n ===-+⋅++∴11111122311n nT n n n =-+-++-=++ ()245151112451451451n n n b n n f n T a n n n n n n =-=-=+-+=+--+-+-+…………………12分9(1),2f =-而2n ≥时()()()()5151201(1)()0412451414521f n f n n n n n n n n n -+-=+--=-<-+-+--++ ∴(){}f n 在2n ≥时为单调递减数列，此时max ()(2)2f n f ==…………………………14分 ∴存在不小于2的整数，使()2f n ≤对一切*n ∈N 都成立， min 2M =．………………16分 20.（本题满分16分） 已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-．（1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（2） 对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3） 证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln xx e ex>-成立． 解：⑴ '()ln 1f x x =+，当1(0,)x e ∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． …………………………2分① 102t t e<<+<，t 无解； …………………………3分 ② 102t t e <<<+，即10t e <<时，min 11()()f x f e e ==-；…………………………4分 ③12t t e ≤<+，即1t e≥时，()f x 在[,2]t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==； …………………………5分所以min110()1ln t e ef x t t t e ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， ，． …………………………6分 ⑵ 22ln 3x x x ax ≥-+-，则32l n a x x x≤++，设3()2l n(0)h x x x x x=++>，则2(3)(1)'()x x h x x+-=，(0,1)x ∈，'()0h x <，()h x 单调递增，(1,)x ∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递减，所以min ()(1)4h x h ==，因为对一切(0,)x ∈+∞，2()()f x g x ≥恒成立，所以min ()4a h x ≤=； …………………………10分⑶ 问题等价于证明2ln ((0,))xx x x x e e>-∈+∞，由⑴可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x xm x e-=，易得max 1()(1)m x m e ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．…………………………16分第Ⅱ卷部分（满分：40分 时间：30分钟）一、选做题（从中任选两题作答，每小题10分）21．A （4-1几何证明） 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD ，BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅． （1）求证：∠P=∠EDF ； （2）求证：CE·EB=EF·EP ．证明：（1）∵2DE EF EC =⋅， ∴DE CE EF ED =::． ∴DEF ∽CED ．∴∠DEF=∠C ，又∵CD ∥AP ，∴∠C=∠P ．∴∠P=∠EDF ．………………………4分 （2）∵∠P=∠EDF ，∠DEF=∠PEA ，∴DEF ∽PEA ∆， ∴DE ︰PE=EF ︰EA ． ∴EF·EP=DE·EA ．又因为弦AD ，BC 相交于点E ， ∴DE·EA=CE·EB ． ∴CE·EB=EF·EP ．………………………10分 B （4-2矩阵变换）二阶矩阵M 对应的变换将点（1，-1）与（-2，1）分别变换成（-1，-1）与（0，-2）． （1）求二阶矩阵M ；（2）设直线L 在变换M 作用下得到了直线m ：x -y =4，求直线L 的方程．解：（1）设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1,1,a b c d -=-⎧⎨-=-⎩且20,2 2.a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩解之得1,2,3,4,a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩∴M =1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦．………………………5分 （2）∵1223434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且直线m ：4x y ''-=， ∴(2)(34)4x y x y +-+=，即20x y ++=为所求直线L 的方程．…………………10分 C （4-4极坐标与参数方程）已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=，圆M 的参数方程2cos ,22sin ,x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中θ为参数）．（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值．解：（1）极点为直角坐标原点O，sin()s )4πρθρθθ+=+=∴sin cos 1ρθρθ+=，可化为直角坐标方程：x+y-1=0. ………………………5分（2）将圆的参数方程化为普通方程：22(2)4x y ++=，圆心为C （0，-2）， ∴点C到直线的距离为d ==， ∴．……………………………………10分 21 D （4-5不等式选讲） （本小题为选做题．．．，满分10分） 已知(0,)2x π∈，求函数2sin y x =+的最小值以及取最小值时所对应的x 值解：由(0,)2x π∈知：2sin y x =+21111sin x =+54≥=1=2sin x 即1sin 2x =时取等号， ∴当6x π=时min 54y =。