如何理解函数概念

如何理解函数概念
曹阳
函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。

回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。

现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。

即：
在某变化过程中，有两个变量x ，y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就把y 称为x 的函数，x 称为自变量，y 称为因变量。

它明确指出，自变量x 在某一给定范围可以取任一个值，因变量y 按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。

但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。

函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x ，y ，如果看成y 随x 的变化而变化，那么x 称为自变量，y 称为因变量；如果看成x 随y 的变化而变化，那么y 称为自变量，x 称为因变量。

第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x 的值就有唯一确定的因变量y 的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x 是自变量，y 是因变量）：
“一对一”
“多对一” “一对多” 是函数 是函数
不是函数 图1
下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：
例1 一根弹簧的长度为10cm ，当弹簧受到拉力F （F 在一定的范围内）时，弹簧的长度用y 表示，测得有关的数据如表1：
拉力F （kg ） 1 2 3 4 …
弹簧的长度y （c ） 5.010+ 0.110+ 5.110+ 0.210+
… 弹簧的长度y 是拉力F 的函数吗？
分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg 、2kg 、3kg 、4kg 时，都唯一对应了一个弹簧的长度y ，满足函数的定义，所以弹簧的长度y 是拉力F 的函数。

一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。

例2 图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。

图2
图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。

我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。

一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

例3 下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。

（1）圆的面积S 与半径r 之间的关系；
（2）汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s （千米）和所用时间t （时）之间的关系；
（3）等腰三角形的面积是2cm 20，它的底边长y （厘米）和底边上的高x （厘米）之间的关系。

分析：（1）圆的面积S 与半径r 之间的关系式是2r s π=，当半径确定时，圆的面积S 也唯一确定，所以圆的面积S 与半径r 之间的关系是函数关系。

（2）路程s （千米）和所用时间t （时）的关系式是t 70s =，当时间t 确定时，路程s 也唯一确定，所以路程s （千米）和所用时间t （时）之间的关系是函数关系。

（3）底边长ycm 和底边上的高xcm 的关系式是x
40y =
，当底边上的高x 确定时，底边长y 也唯一确定，所以底边长ycm 和底边上的高xcm 之间的关系是函数关系。

一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。

例4 下列图象中，不能表示函数关系的是（）
分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。

［问题2.9］设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。