圆的基本性质
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的基本图形之一，它具有许多独特的性质和定理。
在本文中，我们将探讨圆的性质以及与之相关的一些定理。
一、圆的定义与基本性质圆可以被定义为平面上所有到一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆的基本性质包括以下几点：1. 圆的直径是通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。
直径的长度是半径长度的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意两点之间的弧长，它等于圆的直径乘以π（pi）。
周长也可以被称为圆的周长。
3. 圆的面积是圆内部所有点的集合。
圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理被广泛应用。
下面我们将介绍其中几个。
1. 弧长定理弧长定理指出，在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等时，它们的弧长也相等。
这个定理可以用来求解弧长，也可以用来证明一些与圆有关的性质。
2. 弧度制与角度制弧度制是一种用弧长来度量角度大小的方法。
在弧度制中，一个圆的周长被定义为2π弧度。
而角度制是我们常用的度量角度大小的方法。
两者之间可以通过一定的换算关系进行转换。
3. 切线定理切线定理是指与圆相切的直线与半径所构成的角是直角。
这个定理在解决与圆相关的几何问题时非常有用，可以帮助我们确定切线的位置和方向。
4. 正切定理正切定理指出，与圆相切的半径与切线所构成的角的正切值等于切线上相应弧所对应的角的正切值。
这个定理可以用来求解与切线相关的角度问题。
5. 弦切角定理弦切角定理是指，当一个弦与切线相交时，切线与弦所夹的角等于弦上所对应的弧所对应的角的一半。
这个定理可以用来求解与弦和切线相关的角度问题。
三、圆的应用圆的性质和定理在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1. 圆的运动轨迹当一个点以固定的速度绕着另一个点旋转时，它的轨迹是一个圆。
这个性质被广泛应用在天文学中，用来描述行星、卫星等天体的运动。
2. 圆形建筑与设计圆形建筑具有独特的美学效果和结构稳定性。
第24课 圆的基本性质
【解析】 (1)∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ABD＝∠ACD＝90° ． 在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中， ∵AB＝AC，AD＝AD， ∴Rt△ ABD≌Rt△ ACD(HL)．∴∠BAD＝∠CAD． ∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE． (2)四边形 BFCD 是菱形．理由如下： ∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE． 又∵∠BED＝∠CEF，BE＝CE， ∴△BED≌△CEF(ASA)．∴CF＝BD． ∴四边形 BFCD 是平行四边形． ∵AD⊥BC，∴四边形 BFCD 是菱形． (3)∵AB⊥BD，AD⊥BC，∴BE2＝DE· AE． ∵BC＝8，∴BE＝CE＝4，∴42＝DE(10－DE)， 解得 DE＝2 或 DE＝8(舍去)． ∴CD＝ CE2＋DE2＝ 42＋22＝2 5．
(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的 外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．
(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同 一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形， 这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对 角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角． 2．圆的有关性质： (1)点和圆的位置关系：如果用 d 表示同一平面内点 P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则有 ①点 P 在圆内⇔d＜r． ②点 P 在圆上⇔d＝r． ③点 P 在圆外⇔d＞r． (2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直 线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着 它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．
【类题演练 1】 (2014· 天津)已知⊙O 的直径为 10， 点 A， B，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D． (1)如图 24-8①， 若 BC 为⊙O 的直径， AB＝6， 求 AC， BD，CD 的长．
九年级数学圆的基本性质
九年级数学圆的基本性质九年级数学：圆的基本性质及其应用圆的性质是九年级数学中的一个重要内容，它在实际生活和后续数学知识中都具有重要的地位。
本文将详细介绍圆的基本性质，并通过实例阐述其应用。
一、圆的基本定义圆是一种几何图形，由一条固定长度的线段（称为半径）围绕一个定点（称为圆心）旋转一周所形成的封闭曲线。
圆具有如下基本元素：1、圆心：定义圆的中心点，用符号“O”表示。
2、半径：连接圆心与圆上任意一点的线段，用符号“r”表示。
3、直径：通过圆心的线段，其长度为半径的两倍，用符号“d”表示。
4、周长：圆的所有边界点组成的封闭曲线长度，用符号“C”表示。
5、面积：圆所占平面的大小，用符号“S”表示。
二、圆的基本性质1、圆的确定：到一个定点距离等于定长的所有点组成的图形是一个圆。
2、圆心与半径的关系：在同圆或等圆中，半径等于直径的一半。
3、圆的基本性质：圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，任何一条直径所在的直线都是其对称轴。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
5、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
6、圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
7、弦切角定理：在圆中，与圆相交的直线被圆截得的线段相等。
三、圆的性质的应用1、日食和月食：当月球绕地球运动时，太阳、地球和月球在同一直线上，太阳照射在月球的背面，地球上的观察者会看到月偏食或月全食。
这是由于太阳照射在月球的背面，使得月球背面的影子投射在地球上，形成了月食。
2、汽车轮胎：汽车轮胎的设计考虑了圆的性质。
因为车轮是由一个圆柱体和两个半圆形组成的，所以当车轮转动时，可以平稳地行驶。
3、计算圆的周长和面积：圆的周长和面积是圆的两个基本量，可以用于计算圆的周长和面积，也可以用于计算球体、圆柱、圆锥等几何形体的体积和表面积。
4、工程设计：在工程设计中，经常需要用到圆的性质。
例如，在设计桥梁时，需要考虑桥墩之间的距离以及桥墩的形状；在设计房屋时，需要考虑窗户和门的形状和大小。
圆的基本性质
圆的基本性质圆是平面几何的重要内容之一，圆的基本性质具有非常广泛的应用，因此，它也是数学竞赛命题的热点．一、基础知识圆的基本性质有：1.圆是轴对称图形，也是中心对称图形．对称轴是任何一条直径所在的直线，对称中心是它的圆心，并且具有绕其圆心旋转的不变性．2.直径所对的圆周角是直角．3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4.在同圆或等圆中，两个圆心角和它所对的两条弧、两条弦以及两个弦心距这四组量中，如果其中一组量相等，则其它三组量也都分别相等．5.如果弦长为２ａ，圆的半径为Ｒ，那么弦心距ｄ为．例1 已知⊙O的半径OA＝１，弦AB、AC的长分别是、．求∠ＢＡＣ的度数．图1导析：如图1，作ＯＤ⊥ＡＢ，ＯＥ⊥ＡＣ，则ＡＤ＝/２，ＡＥ＝/２．在Ｒｔ△ＯＤＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＤ＝/２，则∠ＯＡＤ＝４５°；在Ｒｔ△ＯＥＡ中，ｃｏｓ∠ＯＡＥ＝/２，则∠ＯＡＥ＝３０°．当AC、AB位于OA两侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ＋∠ＯＡＥ＝７５°；当AC、AB位于OA同侧时，有∠ＢＡＣ＝∠ＯＡＢ－∠ＯＡＥ＝１５°．说明：本题入手不难，能否完整作答，关键在于对弦AB、AC与直线OA的位置关系进行讨论．例2 如图2，⊙Ｏ是锐角△ＡＢＣ的外接圆，H是两条高线的交点，ＯＧ是外心Ｏ到BC边的垂线段．求证：ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．图2导析：作直径ＣＥ，连结ＥＢ、ＡＥ，则ＡＥ⊥ＡＣ．又ＢＨ⊥ＡＣ，∴ＥＡ∥ＢＨ．同理可证ＥＢ∥ＡＨ．∴四边形ＡＥＢＨ是平行四边形．∴ＡＨ＝ＥＢ．在Ｒｔ△ＣＥＢ中，ＯＧ∥ＥＢ，ＯＣ＝ＯＥ，∴ＯＧ是△ＣＥＢ的中位线，ＯＧ＝（１/２）ＥＢ．故ＯＧ＝（１/２）ＡＨ．二、综合应用由于圆的问题知识容量大，综合性强，方法涉及面广，因而在处理有关圆的问题时，常常要构造直角三角形和寻找相似三角形，利用勾股定理和相似三角形的性质来解决．例3 已知半径为2的⊙Ｏ有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求ＡＢ２＋ＣＤ２的值．导析：按照AB和CD都不是直径，AB和CD中有一条是直径分别计算．图3如果AB和CD都不是直径，如图3，作AB和CD的弦心距OF和OG，连结OB、OD，则∠ＦＥＧ＝∠ＥＧＯ＝９０°．∴四边形ＯＦＥＧ是矩形，则ＯＦ＝ＥＧ，又ＯＦ２＋ＯＧ２＝ＯＥ２，∴ＡＢ２＋ＣＤ２＝４（ＡＦ２＋ＤＧ２）＝４（Ｒ２－ＯＦ２＋Ｒ２－ＯＧ２）＝４（２Ｒ２－ＯＥ２）＝２８，其中R为⊙Ｏ的半径，下同．如果AB和CD中有一条是直径，不妨设AB是直径，则E为CD的中点．由垂径定理，得（１/２ＣＤ）２＝ＡＥ·ＥＢ＝（Ｒ＋ＯＥ）（Ｒ－ＯＥ）＝Ｒ２－１．∴ＣＤ２＝４（Ｒ２－１）＝１２．又ＡＢ２＝４Ｒ２＝１６．于是，ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．综上可得ＡＢ２＋ＣＤ２＝２８．例4 已知点A、B、C、D顺次在圆O上，，BM⊥AC，垂足为M．求证：ＡＭ＝ＤＣ＋ＣＭ．图4导析：由于DC和CM不在一条直线上，要证明其和等于AM，可延长ＤＣ，使延长部分等于CM．延长DC到N，使ＣＮ＝ＣＭ（如图4），则∠ＢＣＮ＝∠ＢＡＤ．又∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ，而，则∠ＡＣＢ＝∠ＢＡＤ，ＡＢ＝ＡＤ，于是∠ＢＣＮ＝∠ＢＣＭ．从而推知△ＢＣＮ≌△ＢＣＭ，得ＢＭ＝ＢＮ．因∠ＢＡＭ＝∠ＢＤＭ，所以△ＢＡＭ≌△ＢＤＮ．得ＡＭ＝ＤＮ＝ＤＣ＋ＣＭ．说明：此题即为著名的阿基米德折弦定理．例5 △ＡＢＣ为锐角三角形，过顶点A、B、C分别作此三角形外接圆的三条直径ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１，求证△ＡＢＣ的面积等于△Ａ１ＢＣ、△ＡＢ１Ｃ、△ＡＢＣ１的面积之和．图5导析：注意到ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１为三角形外接圆的直径，而直径所对的圆周角为直角，联想到三角形垂心的性质，即垂心与各顶点的连线垂直于对边，从而可通过三角形的垂心将△ABC分割为与所求的三个三角形面积分别相等的三个三角形．如图5，设H是△ＡＢＣ的垂心，连结ＡＨ、ＢＨ、ＣＨ，则ＡＨ⊥ＢＣ，ＢＣ１⊥ＢＣ，∴ＡＨ∥ＢＣ１．同理可证ＢＨ∥ＡＣ１．∴ＡＨＢＣ１为平行四边形．∴Ｓ△ＡＨＢ＝Ｓ△ＡＢＣ１．同理可证Ｓ△ＡＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ，Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△Ａ１ＢＣ．因此Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＡＨＣ＋Ｓ△ＡＨＢ＋Ｓ△ＢＨＣ＝Ｓ△ＡＢ１Ｃ＋Ｓ△ＡＢＣ１＋Ｓ△Ａ１ＢＣ．三、强化训练1.如图6，AB为半圆的直径，C为半圆上一点，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为D，若ＣＤ＝６，ＡＤ∶ＤＢ＝３∶２，则ＡＣ·ＢＣ等于（）．图6Ａ．１５Ｂ．３０Ｃ．６０Ｄ．９０2.自圆外一点P，引圆的割线ＰＡＢ、PCD，并连结AC、BD、AD、BC，则图中相似三角形的对数有（）．Ａ．2对Ｂ．3对Ｃ．4对Ｄ．5对3.以AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆上一点，且ＯＣ２＝ＡＣ·ＢＣ，则∠ＣＡＢ＝______．4.在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝３∠Ａ，ａ＝２７，ｃ＝４８，则ｂ的值是______．5.已知⊙Ｏ中，半径ｒ＝５ｃｍ，ＡＢ、ＣＤ是两条平行弦，且ＡＢ＝８ｃｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，求AC的长．6.一个内接于圆的六边形的五条边的长都为81，只有第六边AB 的长为31，求从B出发的三条对角线长的和．参考答案与提示１．Ｂ．先分别求出ＡＤ、ＤＢ，再用三角形面积公式得ＡＣ·ＢＣ＝ＡＢ·ＣＤ．２．Ｃ．３．１５°或７５°，由三角形的面积公式及题设条件可得ＣＤ＝（１/２）ＯＣ，从而∠ＡＯＣ＝３０°，由圆的对称性可得有两种情况．４．３５．先三等分弧，两次使用折弦定理即可算得．５．或５或７．分ＡＢ、ＣＤ在圆心同侧和异侧两种情况完成．先求出ＡＢ、ＣＤ间的距离．６．３８４．重复使用折弦定理即可．摘自《中学数学参考》。
圆的基本性质汇总
圆的基本性质汇总圆是平面上的一种特殊几何图形，具有许多基本性质。
以下是圆的一些基本性质的汇总。
1.定义性质：圆是由平面上每个点到一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点被称为圆心，而相等的距离被称为半径。
2.弧：圆上的两个点之间的连线称为圆弧。
圆弧的长度等于圆心角的度数与圆的半径之积，也可以通过欧几里得的原理求解。
3.圆心角：圆心角是圆上的两条射线所夹的角，其中包括圆心的角。
圆心角的度数可以通过弧度公式求解，也可以用度数来表示。
一个圆的完整圆心角为360度或2π弧度。
4.圆上的点：圆上的任何点与圆心的距离等于圆的半径。
5.弦：两点在圆上的连线称为弦，可以是圆的直径（通过圆心的直径是对称的），也可以是其他长度小于直径的弦。
6.切线：切线是从圆上的一个点到圆的切点的直线。
7.弦弧定理：如果两条弦在圆的内部相交，那么它们所对应的弧是相等的。
8.切线定理：从一个点到圆的切点的切线是与半径垂直的。
如果两条切线相交，那么相交的角是外角，并且等于它们所对应的弧的一半。
9.弧长：弧长是圆上的一段弧的长度，可以通过圆心角的度数和圆的半径计算得到。
10.反弧：如果圆上的一段弧的两个端点相交，那么这段弧与它们所对应的圆心角称为反弧。
11.弓形：弓形是由一段弧和连接弧两个端点的线段组成的图形。
12.圆与直线的关系：一个圆与一条直线可以有三种关系。
如果圆和直线没有交点，那么它们是相离的；如果圆和直线有一个交点，那么它们是相切的；如果直线穿过圆，那么它们是相交的。
13.圆的面积：圆的面积公式为πr²，其中r是圆的半径。
这个公式可以通过将圆划分为无数个小扇形来计算。
14.圆周长：圆的周长等于直径乘以π，或者等于2πr，其中r是圆的半径。
15.圆的切线长度：如果从外部一点到圆的切点的切线与半径相交，那么切线长度是切点到圆心的距离的平方根乘以2以上是圆的一些基本性质的汇总。
理解这些性质对于解决与圆相关的数学问题非常重要，也有助于我们更好地理解三角学、几何学和数学中的其他概念和原理。
圆的基本性质
圆的切线性质
定义
与圆只有一个公共点的直线叫圆的 切线
定理1
圆的切线垂直于经过切点的半径
定理2
圆的切线平分切点和圆心之间的线 段
定理3
圆的切线是曲线上圆在几何中的应用
确定弧长和角度
圆是一个基本的几何图形，在研究弧长、角度和面积等方面 有着广泛应用。
定义
圆的直径是圆内任意两点的最长距离
定理1
圆的直径平分圆周角
定理2
圆的直径是圆内接正多边形的边长
定理3
圆内任意一条直径所在的直线垂直于圆周
圆的中垂线性质
定义
垂直平分圆周的直线叫圆的中垂线
定理2
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆内接 正多边形的边心距
定理1
圆心到圆周上任意一点的距离等于圆的半 径
定理3
圆在生活中的应用
工程设计
在工程设计中，经常需要使用圆形零件，如轴承、齿轮等，利用圆的性质可以更 好地设计出这些零件。
测量
圆的周长和面积的计算在生活中也有很多应用，例如测量圆形物体的周长和面积 等。
THANKS
感谢观看
证明定理
圆中的定理如帕斯卡定理、蝴蝶定理等，在证明其他几何结 论时有着重要作用。
圆在代数中的应用
求解方程
圆的一般方程为$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过求解方程可以得出圆心坐 标和半径长度。
研究函数
圆在函数中也常出现，例如圆心在原点的圆的一般方程是 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，通过研究函数的性质可以得出更多的结论。
圆的直径是圆周上任意两点间的距离。 圆具有封闭性，即圆的边界是封闭曲线。
解读圆的基本性质与计算问题(知识点总结)
解读圆的基本性质与计算问题（知识点总结）圆的基本性质与计算问题圆是数学中一种重要的几何形状，它具有独特的性质与计算问题。
本文将对圆的基本性质及与之相关的计算问题进行解读与总结。
一、圆的基本性质1. 圆的定义圆是由平面上与一个固定点距离相等于定长的所有点组成的集合。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
2. 圆的要素一个圆有三个要素，即圆心、半径和圆周。
圆心是圆上任意一点到圆周的距离都相等的点；半径是圆心到圆周上任意一点的距离；圆周是圆心到圆上各点的连线。
3. 圆的直径直径是通过圆心的一条线段，其两个端点同时位于圆周上。
直径的长度恰好是圆的半径长度的两倍。
4. 圆的周长圆的周长又称为圆周长，用符号C表示。
根据圆的定义可知，圆周上的任意一点到圆心的距离都等于半径长度，因此圆的周长可以计算为C = 2πr，其中r为圆的半径。
5. 圆的面积圆的面积用符号S表示，计算公式为S = πr²，其中r为圆的半径。
二、圆的计算问题1. 已知圆的周长求半径根据圆的周长计算公式C = 2πr，给定圆的周长C，可通过求解方程来计算半径r的值。
2. 已知圆的面积求半径根据圆的面积计算公式S = πr²，给定圆的面积S，可通过求解方程来计算半径r的值。
3. 已知圆的半径求周长已知圆的半径r，可以直接使用圆的周长计算公式C = 2πr，计算得到圆的周长。
4. 已知圆的半径求面积已知圆的半径r，可以直接使用圆的面积计算公式S = πr²，计算得到圆的面积。
5. 圆的扇形与弧长扇形是由圆心和两个半径所夹的区域组成，而弧是扇形上的一段弯曲部分。
扇形的面积可以通过扇形夹角的大小来计算，而弧长可以通过弧所对的圆心角的大小来计算。
6. 圆与其他几何图形的关系圆与其他几何图形有着丰富的关系，如圆与直线的交点、圆与三角形的内切与外切等。
这些关系可以通过几何定理与推导来解决相应的计算问题。
综上所述，圆作为数学中的一种重要几何形状，具有独特的性质与计算问题。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
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圆的基本性质
一、选择题
1．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO ＝30°，则∠BOC 的度数是( )
A ．30°
B ．45°
C ．55°
D ．60°
第1题图 第2题图
2．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C ＝25°，则∠BOD 的度数是( )
A ．25°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
3．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝110°，则∠D ＝( )
A ．25°
B ．35°
C ．55°
D ．70°
4．如图，AB 为⊙O 直径，已知∠DCB ＝20°，则∠DBA 为( )
A ．50°
B ．20°
C ．60°
D ．70°
第4题图 第5题图
5．如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是( )
A ．AC ＝A
B B ．∠
C ＝12
∠BOD C ．∠C ＝∠B D ．∠A ＝∠BOD
二、填空题
1．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC ＝25°，则∠AOC 的度数是__________．
第1题图 第2题图
2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，∠BAC ＝70°，则∠OCB ＝__________．
3．如图，点O 为BC ︵所在圆的
圆心，∠BOC＝112°，点
D在BA的延长线上，AD
＝AC，则∠D＝
__________．
4．如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC 等于__________度．
第4题图第5题图
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为13，则点P的坐标为__________．
三、解答题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，求AC的长．
2．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC.若∠BAC与∠BOC互补，求弦BC 的长．
3.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF 延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
四、能力提升
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝__________．
第1题图第2题图
2．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为() A．45cm B．35cm C．55cm D．4cm
3．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
答案：
一、1.D 2.D 3.B 4.D 5.B
二、1.50° 2.20° 3.28° 4.60 5.(3，2)
三、1.解：连接OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，
∵∠AOC ＝2∠B ，且∠AOD ＝∠COD ＝12
∠AOC ，∴∠COD ＝∠B ＝60°； 在Rt △COD 中，OC ＝4，∠COD ＝60°，
∴CD ＝32
OC ＝23，∴AC ＝2CD ＝4 3. 2．解：过点O 作OD ⊥BC 于D ，则BC ＝2BD ，
∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补，
∴∠BOC ＝2∠A ，∠BOC ＋∠A ＝180°，∴∠BOC ＝120°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝12
(180°－∠BOC)＝30°，∵⊙O 的半径为4，∴BD ＝OB·cos ∠OBC ＝4×32
＝23，∴BC ＝4 3. 3．解：∵OE ⊥AB ，∴∠OEF ＝90°，
∵OC 为小圆的直径，∴∠OFC ＝90°，
而∠EOF ＝∠FOC ，∴Rt △OEF ∽Rt △OFC ，
∴OE ∶OF ＝OF ∶OC ，即4∶6＝6∶OC ，
∴⊙O 的半径OC ＝9；
在Rt △OCF 中，OF ＝6，OC ＝9，
∴CF ＝OC 2－OF 2＝35，
∵OF ⊥CD ，∴CF ＝DF ，∴CD ＝2CF ＝6 5.
四、1.4－7 解：如图，连接OC.
∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝6，
∴CE ＝ED ＝12
CD ＝3. ∵在Rt △OEC 中，∠OEC ＝90°，
CE ＝3，OC ＝4，
∴OE ＝42－32＝7，
∴BE ＝OB －OE ＝4－7.
故答案为4－7. 2．解：连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，
∵∠CAD ＝∠BAD(角平分线的性质)，∴CD ︵＝BD ︵，
∴∠DOB ＝∠OAC ＝2∠BAD ，又OA ＝OD
∴△AOF ≌△OED ，∴OE ＝AF ＝12AC ＝3cm ，
在Rt △DOE 中，DE ＝OD 2－OE 2＝4cm ，
在Rt △ADE 中，AD ＝DE 2＋AE 2＝45cm.
故选A.
3．(1)证明：∵AD 是直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°，
在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，⎩
⎪⎨⎪⎧AD ＝AD AB ＝AC ， ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ，
∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ；
(2)四边形BFCD 是菱形．
证明：∵AD 是直径，BE ＝CE ，∴AD ⊥BC ，
∵CF ∥BD ，∴∠FCE ＝∠DBE ，
在△BED 和△CEF 中⎩⎪⎨⎪⎧∠FCE ＝∠DBE BE ＝CE ∠BED ＝∠CEF ＝90°
，
∴△BED ≌△CEF ，∴CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵∠BAD ＝∠CAD ，∴BD ＝CD ， ∴四边形BFCD 是菱形；
(3)解：∵AD ⊥BC ，∴∠AEC ＝∠CED.
又∵∠CAD ＝∠CBD ＝∠BCD ，
∴△ACE ∽△CDE ，∴CE DE ＝AE CE
. ∴CE 2＝DE·AE ，设DE ＝x ，∵BC ＝8，AD ＝10，
∴42＝x(10－x)，解得：x ＝2或x ＝8(舍去)
在Rt △CED 中，CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.。