1.第一节 圆的基本性质
六年级数学课件圆的基本性质
建筑结构：桥梁、高架路等建筑结构中，也常常采用圆形作为受力结构，因为圆形的受力分布均匀，能够承受更大的重量。
数学中的圆的应用
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圆在几何学中的应用：圆是几何学中一个基本图形，可以用来研究图形的性质和特点，例如圆周长、圆面积、圆心角等。
圆的定义可以用来描述圆的特征和性质
圆的形成
圆的概念：圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合
圆的形成：通过绕一个固定点旋转直线来形成圆
圆的基本性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的应用：圆在生活和生产中有着广泛的应用，如车轮、钟表等
圆的基本属性
圆的概念：平面上所有与给定点（中心）距离相等的点的集合
周长的定义：图形边界的总长度
圆的面积公式推导
圆的面积公式：S=πr²
注意事项：在推导过程中，需要注意扇形的数量和大小，以确保推导结果的准确性。
拓展知识：除了圆的面积公式外，还可以推导出其他与圆相关的公式，如圆的周长公式、圆的半径公式等。
推导过程：通过将圆分割成若干个扇形，再将这些扇形重新组合成一个近似长方形，从而推导出圆的面积公式。
圆的性质：圆是中心对称图形，具有旋转不变性
圆的基本元素：圆心、半径、直径
圆的面积和周长计算公式
03
圆的基本性质
圆心与半径
圆心的定义：圆心是圆的中心点，通过圆心的任意直线都可以将圆等分。
半径的定义：半径是连接圆心到圆上任意一点的线段，是圆的特征之一。
半径的长度：半径的长度等于圆的直径的一半，可以通过测量或计算得出。
圆与对称轴的关系
第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件
圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
第一节 圆的基本性质
情况
圆心在圆周 角一条边上
圆心在圆 周角内部
理
圆心在圆 周角外部
图形
结论
∠APB = 15
1 AOB 2
推论1
推论2
半圆（或直径）所对
圆 内容 同弧或等弧所对的 的圆周角是⑯ 90°，
周
圆周角相等
90°的圆周角所对的
角
弦是⑰直径
推 论
表现 如∴∠图1，=(⑱1)∵∠2BD； BD
如图，(1)∵AB是直 径,∴∠C=⑲ 90°
及其
h表示弓形高，半径OC与弦AB垂直，则有：
推论 垂径
定理 （1）r=d+h；
简单 （2）r2=( 应用
1 2
1
a)
2
+d
2=( a
2
a)2+(r-h)2；
（3 h）
r
r
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心
圆
内容 角的⑭
1 2
周
角 定
形式 (2)∵DE BD , ∴∠2=∠3
(2)∵∠C=90°,∴AB 是直径
推论1
推论2
圆
周 角
图形
推
论 (1)连直径,得直角;
作用 证明圆周角相等 (2)确定圆的直径
1.如果一个多边形的所有顶点都在同一个 圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形 圆的内接 多边形
2.圆内接四边形的对角⑳ 互补
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
考点精讲
与圆有关的概念及性质
圆 弧、弦、圆心角之间的关系
的 基
垂径定理及其推论
定理
本 性 质
圆周角定理及其推论 推论
圆的内接多边形 圆与多边形
2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节 圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这 样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节 圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节 圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节 圆的基本性质
【作法提示】 分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在
圆的性质介绍中学生圆的基本性质
企业跨国并购存在的风险有哪些企业并购对于大家而言也行并不是个陌生的词，当一家企业有了足够的实力是，会通过并购其他企业来增强自己的实力，企业并购带来的不仅仅好处，同样也存在着风险，那么这次要带大家讨论的是有关于企业跨国并购存在的风险的知识了。
▲一、企业跨国并购存在的风险▲(一)▲信息不对称风险由于“信息不对称”现象的存在，在有效市场条件下，投资者依据这些信息进行并购决策，择优避劣。
然而，公司财务报表和股价等信息又有着明显的局限性。
公司财务报表和股价不可能与企业基本情况及变化完全一致，公司仍可在制度、原则允许的范围内隐藏不必公开的商业秘密。
可见，“信息不对称”的现象影响着并购行为，成为并购经营者必须严加关注和防范的一种风险。
▲(二)▲财务风险对价值的预测风险在确定要并购的企业后，并购双方最关心的问题莫过于以持续经营的观点合理地估算目标企业的价值并作为成交的底价，这是并购成功的基础。
目标企业的估价取决于并购企业对其未来自由现金流量和时间的预测。
对目标企业的价值评估可能因预测不当而不够准确，这就产生了并购公司的估价风险.并购的融资风险并购的融资风险主要是指能否按时足额地筹集到资金，保证并购的顺利进行，如何利用企业内部和外部的资金渠道在短期内筹集到所需的资金是关系到并购活动能否成功的关键。
并购对资金的需要决定了企业必须综合考虑各种融资渠道。
并购企业应针对目标企业负债偿还期限的长短，维持正常的营运资金，使投资回收期与借款种类相配合，合理安排资本结构。
▲(三)▲经营风险经验的外在风险。
一方面是在市场经济环境中，企业都面临着巨大的竞争压力，许多企业都在抢夺同一片市场，为自己争取更多的顾客群。
为了获得更多的顾客和销售收入，竞争对手经常调整自己的竞争策略。
使外部环境发生预期变化。
另一方面，政府政策变化对企业经营的影响。
经验的内部风险。
作为买方，企业所购买的应当是一个能够运营的目标公司的整体业务，而不仅仅是简单的资产总和，要做到这一点，企业集团必须做到拥有强大的经营管理能力作为支持，否则，将可能跌入经营不善的陷阱。
圆的基本性质
圆的基本性质圆是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我将介绍圆的基本性质，包括圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等。
通过了解这些基本性质，我们可以更好地理解和运用圆形。
1. 圆的定义圆是由一条与一个固定点距离相等的点构成的集合。
这个固定点被称为圆心，圆心到圆上的任意一点的距离被称为半径。
圆内部的点到圆心的距离都小于半径，而圆外部的点到圆心的距离都大于半径。
2. 圆的半径和直径圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
圆的直径是通过圆心，并且两个端点都在圆上的线段。
圆的直径是半径的两倍，也是圆的最长线段。
3. 圆心和弧圆心是圆的中心点。
圆上的弧是由圆上的两个点以及它们之间的弧长所确定的。
圆的弧可以被度量为角度，弧度或弧长。
4. 圆的面积圆的面积是圆内部所包围的空间。
圆的面积公式为：面积= π * r²，其中π（pi）是一个无理数，约等于3.14159，r是圆的半径。
这个公式表明，圆的面积正比于半径的平方。
5. 圆的周长圆的周长是圆上所有点之间的距离总和。
圆的周长也被称为圆周长或圆的周长。
圆的周长公式为：周长= 2 * π * r，其中2πr是一个圆的直径。
6. 圆的切线在圆上的每个点上都有一个与切线相切的方向。
切线是与圆只有一个交点的直线，且与圆的切点处于圆上的切线角度为90度。
7. 圆的弦圆上的任意两个点之间的线段被称为弦。
最长的弦是圆的直径。
8. 圆的弧度弧度是一种用于度量圆上弧长的单位。
一个圆的弧长等于半径的弧度数乘以圆心角的弧度。
总结：在几何学中，圆拥有许多独特的性质和特征。
通过了解圆的定义、圆的半径和直径、圆心和弧、圆的面积和周长等基本性质，我们可以更好地理解和应用圆形。
圆在许多领域中都有广泛的应用，如工程、建筑、数学等。
掌握圆的基本性质对于解决与圆相关的问题非常重要。
通过学习和应用这些性质，我们可以更好地理解圆，并在实际生活和学习中运用它们。
考点跟踪突破-第六章圆
第六章圆第一节圆的基本性质基础过关1．(2019·柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(D)A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D第1题图第2题图2．(2019·黄冈)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40 m，点C是AB的中点，且CD＝10 m，则这段弯路所在圆的半径为(A) A．25 m B．24 m C．30 m D．60 m3．(2019·滨州)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为(B)A．60°B．50°C．40°D．20°第3题图第4题图4．(2019·镇江)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC＝CB .若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于(A)A．55°B．60°C．65°D．70°5．(2019·宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是(A)A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°第5题图第6题图6．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(D)A ．13B ．2 2C ．223D ．247．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上，且AB 为50°，则∠E ＋∠C ＝__155__°.第7题图第8题图8．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC 的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__．9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，则cos ∠OCB 的值是2__．第9题图第11题图10．(2019·陕西)若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为__6__．11．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE∶DE＝3∶5，则AC∶BD＝__3∶5__．12．(2018·烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为__(－1，－2)__．13．(2018·玉林)小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是__10__cm.14．(2018·呼和浩特)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．15．(2019·南京)如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.证明：连接AC，∵AB＝CD，∴AB＝CD，∴AB＋BD＝BD＋CD，即AD＝CB，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC.满分冲刺16．(2019·梧州)如图，在半径为13 的⊙O 中，弦AB 与CD 交于点E ，∠DEB ＝75°，AB ＝6，AE ＝1，则CD 的长是(C)A ．2 6B ．210C ．211D ．4 3第16题图第17题图17．(2019·安徽)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，CD ⊥AB于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为．18．(2019·嘉兴)如图，在⊙O 中，弦AB ＝1，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 作CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则CD 的最大值为__12__．19．(2019·苏州)如图，AB 为⊙O 的直径，D 是BC 的中点，BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F.(1)求证：DO ∥AC ； (2)求证：DE·DA ＝DC 2；(3)若tan ∠CAD ＝12，求sin ∠CDA 的值．(1)证明：∵D 是BC 的中点，∴CD ＝DB ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CAB ＝2∠BAD.在⊙O 中，∠DOB ＝2∠BAD.∴∠CAB ＝∠DOB.∴DO ∥AC.(2)证明：∵点D 是BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴∠CAD ＝∠DCB ，∴△DCE ∽△DAC ，∴CD 2＝DE·DA ；(3)解：连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∴∠ACB ＝90°，∵DO ∥AC ，∴∠OFB ＝∠ACB ＝90°，∴∠BFD ＝90°.∵∠CAD ＝∠CBD(同弧所对的圆周角相等).∴tan ∠CBD ＝tan ∠CAD ＝12 ，∴DF BF ＝12 .设DF ＝k(k ＞0)，则BF ＝2k ，设OB ＝OD＝r ，则OF ＝OD －DF ＝r －k.在Rt △BOF 中，有OF 2＋BF 2＝OB 2.即(r －k)2＋(2k)2＝r 2，化简得r ＝52 k.∴OF ＝OD －DF ＝r －k ＝32 k ，∴sin ∠CBA ＝OF OB ＝32k 52k ＝35.∵∠CDA ＝∠CBA(同弧所对的圆周角相等)，∴sin ∠CDA ＝sin ∠CBA ＝35.第二节与圆有关的位置关系基础过关1．(2019·广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到⊙O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为(C)A．0条B．1条C．2条D．无数条2．(金昌模拟)如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，边AB切⊙O于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝34°，则∠BAC的度数为(B) A．20°B．22°C．34°D．68°第2题图第3题图3．(2019·杭州)如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝(B)A．2 B．3 C．4 D．54．(2019·福建)如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于(B)A．55°B．70°C．110°D．125°第4题图第5题图5．(2019·嘉兴)如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线PA 交OC 的延长线于点P ，则PA 的长为(B)A ．2B ． 3C ． 2D ．126．(2019·台州)如图，等边三角形ABC 的边长为8，以BC 上一点O 为圆心的圆分别与边AB ，AC 相切，则⊙O 的半径为(A)A ．2 3B ．3C ．4D ．4－ 3第6题图第7题图7．(2019·河池)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝38°，则∠P ＝__76__°.8．(2019·宿迁)直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为__2__．9．(2018·连云港)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，已知∠OAB ＝22°，则∠OCB ＝__44__°.10．(2019·眉山)如图，在Rt △AOB 中，OA ＝OB ＝4 2 .⊙O 的半径为2，点P 是AB边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ(点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为．第10题图第11题图11．(2018·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 是AB 的中点，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 分别与AC ，BC 交于点E ，F ，过点F 作⊙O 的切线FG ，交AB 于点G ，则FG 的长为__125__．12．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 延长线相交于点P.若∠COB ＝2∠PCB ，求证：PC 是⊙O 的切线．证明：连接AC ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠COB ＝2∠ACO ，又∵∠COB ＝2∠PCB ，∴∠ACO ＝∠PCB.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°.∴∠PCB ＋∠OCB ＝90°，即OC ⊥CP.∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线．13．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切于点D ，与AB 交于点E ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F.(1)求证：AE ＝AF ；(2)若DE ＝3，sin ∠BDE ＝13 ，求AC 的长．(1)证明：连接OD.∵OD ＝OE ，∴∠ODE ＝∠OED.∵直线BC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥BC.∴∠ODB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴OD ∥AC.∴∠ODE ＝∠F.∴∠OED ＝∠F.∴AE ＝AF ；(2)解：连接AD.∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE ＝90°.∵AE ＝AF ，∴DF ＝DE ＝3.∵∠ACB ＝90°.∴∠DAF ＋∠F ＝90°，∠CDF ＋∠F ＝90°，∴∠DAF ＝∠CDF ＝∠BDE.在Rt △ADF 中，DF AF ＝sin ∠DAF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴AF ＝3DF ＝9.在Rt △CDF 中，CF DF ＝sin ∠CDF ＝sin ∠BDE ＝13 ，∴CF ＝13DF ＝1.∴AC ＝AF －CF ＝8.14．(2019·十堰改编)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，点E 为AC 延长线上一点，且∠CDE ＝12∠BAC.(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AB ＝3BD ，CE ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)DE 是⊙O 的切线．理由：如解图，连接OD ，AD ，∵AC 是直径，∴∠ADC ＝90°，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝12 ∠BAC ，∵∠CDE＝12 ∠BAC ，∴∠CDE ＝∠CAD.∵OA ＝OD ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∵∠ADO ＋∠ODC ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(2)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵AB ＝3BD ，∴AC ＝3DC ，设DC ＝x ，则AC ＝3x ，∴AD ＝AC 2－DC 2 ＝2 2 x.∵∠CDE ＝∠CAD ，∠DEC ＝∠AED ，∴△CDE ∽△DAE ，∴CE DE ＝DC AD ＝DE AE ，即2DE ＝x 22x ＝DE 3x ＋2，∴DE ＝4 2 ，x ＝143 ，∴AC ＝3x ＝14，∴⊙O 的半径为7.满分冲刺15．(2019·菏泽)如图，直线y ＝－34 x －3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是__(－73 ，0)或(－173，0)__．16．(2019·德州)如图，∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 .(1)用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A 、C 两点分别与射线PB 和PD 相切；(要求：写出作法，并保留作图痕迹)(2)根据(1)的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明； (3)求所得的劣弧与线段PA 、PC 围成的封闭图形的面积．解：(1)如解图；(2)已知：∠BPD ＝120°，点A 、C 分别在射线PB 、PD 上，∠PAC ＝30°，AC ＝2 3 ，过A 、C 分别作PB 、PD 的垂线，它们相交于点O ，以OA 为半径作⊙O ，OA ⊥PB ，OC ⊥PD，求证：PB、PC为⊙O的切线．证明：∵∠BPD＝120°，∠PAC＝30°，∴∠PCA＝30°，∴PA＝PC，连接OP，∵OA⊥PA，PC⊥OC，∴∠PAO＝∠PCO＝90°，∵OP＝OP，∴Rt△PAO≌Rt△PCO(HL)，∴OA＝OC，∴PB、PC为⊙O的切线；(3)∵∠OAC＝∠OCA＝90°－30°＝60°，∴△OAC为等边三角形，∴OA＝AC＝2 3 ，∠AOC＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠APO＝60°，∴AP＝33×2 3 ＝2，∴劣弧AC与线段PA、PC围成的封闭图形的面积＝S四边形APCO －S扇形AOC＝2×12×2 3 ×2－60π·（23）2360＝4 3 －2π.第三节与圆有关的计算基础过关1．(2019·长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是(C)A．2πB．4πC．12πD．24π2．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则BD的长为(D)A. 23πB.43πC. 2πD.83π第2题图第4题图3．(2019·湖州)已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是(B)A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm24．(2019·绍兴)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2 2 ，则BC的长为(A)A．πB． 2 πC．2πD．2 2 π5．(2019·南充)如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为(A)A．6πB．3 3 πC．2 3 πD．2π第5题图第6题图6．(2019·山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2 3 ，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为(A)A ．534 －π2B ．534 ＋π2C ．2 3 －πD ．4 3 －π27．(2019·天门)75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm ，则此弧所在圆的半径是__6__cm . 8．(2019·十堰)如图，AB 为半圆的直径，且AB ＝6，将半圆绕点A 顺时针旋转60°，点B 旋转到点C 的位置，则图中阴影部分的面积为__6π__．第8题图第9题图9．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2 3 ，∠BAO ＝60°，弦BC ∥OA ，则BC 的长为__2π__．(结果保留π)10．(2019·哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是__110__度．11．(2019·贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是．第11题图第13题图12．(2019·无锡)已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15π cm 2，则这个圆锥的底面圆半径为__3__cm .13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交BC 边于点E ，若E 恰为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为2 －23π__．14．(2019·福建)如图，边长为2的正方形ABCD 的中心与半径为2的⊙O 的圆心重合，E ，F 分别是AD ，BA 的延长线与⊙O 的交点，则图中阴影部分的面积为__π－1__．(结果保留π)15．(2019·安顺)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为__6__．第15题图第16题图16．(2019·重庆)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为3．(结果保留π)17．(2019·邵阳)如图，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD ＝6，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F.(1)求图中阴影部分的面积；(2)将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h.解：(1)∵在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝30°，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝ 3 AD ＝6 3 ，∴BC ＝2BD ＝12 3 ，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAF ＝12 ×6×123 －120π·62360＝36 3 －12π；(2)设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝120π·6180 ，解得r ＝2，h ＝62－22＝4 2 .18．(2018·湖州)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC.(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC 的长．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°，即OC ⊥AD ，∴AE ＝ED ；(2)解：∵OC ⊥AD ，∴AC ＝CD ，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°，∴AC 的长＝72π×5180＝2π.满分冲刺19．(2018·云南)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点D 在AB 的延长线上，∠BCD ＝∠BAC.(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若∠D ＝30°，BD ＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋∠OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB ＝60°，∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3 ，易求S△AOC ＝12×2 3 ×1＝ 3 .S扇形OAC＝120π×4360＝4π3，∴阴影部分面积为43π－3 .。