广西省北海市某中学2019-2020学年高二第一次月考数学试卷

0 0 ⎨ ⎩
数学
注意：本试卷为文理合卷，标有文．科．的．题．目．仅．文．科．考．生．做．，标有理．科．的．题．目．仅．理．科．考．生．做．，其余的题目所有考生都做。

请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卷相应的位置。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（每小题只有一个选项符合要求，每小题5分，共60分） 1．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x (3-x )>0}，则A ∩B ＝ A ．{xx <0
}
B ．{x 0<x ≤2
}
C.
{xx ≤2或x >3}
D.
{xx <0或x ≥2}
2.
在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x
2
- y 2
8 =1的渐近线方程为
A. y =±2x
B. y =±1
x
2
C. y =±
2x
2 D. y =±2x
3. 等差数列{a n }中，a 2+a 3=9，a 4+a 5=21，那么它的公差是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．64．命题“对任意的x ∈R ，都有
e x +ln(x 2+1)≥0”的否定为
A. 对任意的x ∈R ，都有e x
+ln(x 2
+1)<0
C ．存在x ∈R ，使得e x +ln(x 2
+1)≥0
B. 不存在x ∈R ，使得e x +ln(x 2
+1)<0
D ．存在x ∈R ，使得e x +ln(x 2
+1)<0
5. 已知抛物线x 2
＝4y 上的一点P 到此抛物线的焦点的距离为2，则点P 的纵坐标是
A ．0
B ．1
2
⎧y ≤x C ．1 D ．2
6.
若变量x ，y 满足约束条件⎪
x +y ≤1，则z =2x +y 的最大值为
⎪y ≥-1 A ．1 B ．2 C ．3
D ．47．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是 A. a >b -1
B. a >b +1
C. a 2
>b
2
D. a 3>b
3
8. 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且
sin A
=2sin C ，则△ABC 的 cos B
形状为 A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
9. 【理科】正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与
CD 1所成角的余弦值为
2
10 3 1 3 A.
B ．
5
5
C ．
D ．
10
10
【文科】如图，是函数y =f (x )的导函数f '(x )的图象，则下面判断正确的是 A ．在区间（－2，1）上f (x )是增函数
B ．在区间（1，3）上f (x )是减函数
C. 在区间（4，5）上f (x )是增函数
y
D. 当x=4时，f (x )取极大值．
－3-2
23
O 1
45
x
10. 【理科】如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是
边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为 π
π
π
π
A.
B ．
C ．
D ．
6
4 3
2 x 2 1
【文科】已知曲线y = 坐标为 - 3ln x 的一条切线的斜率为
4
2
,则切点的横
A ．
1 B ．
1 C ．
2 D ．3
2
11. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且
(b +c )2-a 2=4
S ，
则角A ＝ π
π
A.
B ．
6
4
π
2π C ．
D ．
3
3
3 10
6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
12. ．点(4，2)在不等式3x -2y +a <0表示的平面区域内，则实数a 的取值范围 是 ． 13. △ABC 中，若
a =3,A =60︒,
b =
，则B ＝ ． 15．已知等比数列{a n }中，a 1=27,a 4=a 3a 5,则a 7＝
． 1+4a +3b
1
6. 【理科】已知正实数a ,b 满足a +2b =2，则
ab
的最小值为
．
【文科】设m >0,n >0,且4是2m 与8n
的等比中项，则3+4的最小值
.
m n
三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)
已知m ∈R ，命题p ：方程x 2-mx +1=0无实数根，命题q ：实数m 满足方程：
(m -1)(m -3)<0．
（1） 若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；
（2） 若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．
18. (本小题满分12分)
已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足
（1） 求角A 的大小；
（2） 若a =2,b +c =4，求△ABC 的面积.
19．(本小题满分12分)
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n
，a 4=8，S 3=12．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b=
1
，求数列{b}的前n项和T．a
n
a
n+1
n n
n
3 20. (本小题满分12分)
某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离x 成反比，而每月的库存货物的运费y 2与车库到车站的距离x 成正比．如果在距离车站10公里处建立仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．
（1） 分别求出y 1和y 2关于距离x 的关系式；
（2） 求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用
为多少万元？
21．(本小题满分12分)
【理科】如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为P A 的中点．
（1） 求证：DE ∥平面BPC ；
（2） 线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在， 试求出二面角F ﹣PC ﹣D 的余弦值；若不存在，请说明理由．
理21题图
【文科】已知函数f (x )=x 3
+ax 2
+bx +c 在x =-2
与x =1时都取得极值.
3
（1） 求a ,b 的值；
（2） 若对x ∈[-1,2]，不等式f (x )<c 2
恒成立，求c 的取值范围.
22．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：x
a
2
+ y 2
b 2 =1(a >b >0)的短轴长等于2，离心率为 ． 2
（1） 求椭圆C 的标准方程；
（2） 【理科】若过点（-3,0）的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，
求OMON 的取值范围．
1
【文科】若过点A （1，0），斜率为-
直线的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，
2
N ，O 为坐标原点，求△OMN 的面积.
2。