信息学竞赛中问题求解常见题分析(四)

A33 种排法，而其余 7 名队员选出 2 名安排在第
二、四位置，有 A72 种排法，所以不同的出场安排共有
A33 . A72 =252 种。
5．多元问题——分类讨论法
对于元素多，选取情况多的问题，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例 6．某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目
?
分析： 此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏 或者重复的情况．而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常地简便。
解：43 人中任抽 5 人的方法 C453 种， 正副班长， 团支部书记都不在内的抽法有
C
5 40
乙种，
所以正副班长，
团支部书记至少有
1 人在内的抽法有
C
5 43
-
C
5 40
种。
4.特殊元素——优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。 例 4． 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照相留念， 若老师不排在两端， 则共有不同的排法
种。
解：
先考虑特殊元素 (老师 )的排法，因老师不排在两端，故可在中问三个位置上任选一个位置，有
A55 A62 =3600 种。
插入法 ：对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插入法．即先排好没有限制条件的元
素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。若个人站成一排，其中
m 个人不相邻，
可用插空法解决，共有
An m nm
Anm m 1 种排法。
练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票
信息学竞赛中问题求解常见题分析（四）
（排列组合问题）
一、知识点：
1． 分类计数原理 ：做一件事情， 完成它可以有 n 类办法， 在第一类办法中有 m1 种不同的方法， 在第二类办
法中有 m2 种不同的方法， ,, ，在第
n 类办法中有 mn。种不同的方法，那么完成这件事共有
N=m 1+m2 +,
+m n。种不同的方法。
2． 分类与分步： 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并 集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理。
3． 对称思想 ：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数。
4． 插空： 某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然 后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间。
子中的方法数应为 C131 ．，这也就是方程 a+b+c+d=12 的正整数解的个数。
解排列组合问题 ：首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑是 “有序的”还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，
对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法。
(或叫环状排列 )。
(2) 圆排列有三个特点： (i) 无头无尾； (ii) 按照同一方向转换后仍是同一排列； (iii) 两个圆排列只有在元素不
同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的圆排列．
(3) 定理：在 A={a 1， a2， a3．． an} 的 n 个元素中，每次取出 r 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为
例 10. 高二年级 8 个班，组织一个 12 个人的年级学生分会， 每班要求至少 1 人，名额分配方案有多少种 ?
分析：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转化为等价的其他问题，就会显得比较
清楚，方法简单，结果容易理解。
解：此题可以转化为：将 12 个相同的白球分成 8 份，有多少种不同的分法问题。因此须把这
如果 n 个元素中，有 p1 个元素相同，又有 p2 个元素相同， , ，又有 ps 个元素相同 (p1+p2+, +p s≤ n)，这 n 个
元素全部取的排列叫做不尽相异的
n 个元素的全排列，它的排列数是
1
n!
。
P1! P2!...Ps!
二、解题思路： 排列组合题的求解策略
1． 排除 ：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常 用策略。
例 3．正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有
个。
解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 C73 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成
三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 C73 -3=32 个。
例 4.从 43 人中任抽 5 人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种
m 个元素的组合数．用符号
C
m n
表示．
10． 组合数公式
：
C
m n
Anm Amm
Байду номын сангаас
n( n
1)( n
2)...(n m!
m
1)
，或
C
m n
n!
(n， m∈ N，且 m≤ n)
m! (n m)!
11． 组合数的性质
1：
C
m n
C
n n
m ，规定：
C
0 n
：
=1
；
2
：
C
m n
1
C
m n
C
m n
1。
12．圆排列 (1) 由 A{a 1，a2，a3．．an} 的 n 个元素中，每次取出 r 个元素排在一个圆环上，叫一个圆排列
一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列．一般地：
n 个人站成一排，
其中某 m 个人相邻，可用捆绑法解决，共有
Ann
m m
11. Amm 种排法。
练习： 5 个男生 3 个女生排成一排， 3 个女生要排在一起，有多少种不同的排法 ? 分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相 邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。
5． 捆绑 ：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” 绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列。
，然后与其他“普通元素”全排列，然后再“松
6． 隔板模型 ：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型。如将
12 个完全相同的
球排成一列，在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板，把球分成 4 堆，分别装入 4 个不同的盒
例 8．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 瓜必须种植，不同的种植方法共有 ()
A ．24 种 B． 1 8 种 c． 1 2 种 D ． 6 种
3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄
解：先选后排，分步实施。由题意，不同的选法有
C
2 3
种，不同的排法有
A13 A22 故不同的种植方法共有
插入原节目单中，那么不同插法的种数为
()
A． 42 B ． 30 C． 20 D． 12
解：增加的两个新节目， 可分为相邻与不相邻两种情况： 1．不相邻： 共有 A62 ：种；2．相邻：共有 A22 A61 ：
种。故不同插法的种数为： A62 + A22 A16 =42 ，故选 A 。
6．混合问题——先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例 7. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口
6． 阶乘 ： n!表示正整数 l 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定 0!=l 。
7． 排列数的另一个计算公式
： Anm
n! (n m)!
8． 组合的概念 ：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合．
9． 组合数的概念 ：从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
4． 排列数的定义 ：从 n 个不同元素中，任取 m(m≤ n)个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 个
元素的排列数，用符号 Anm 表示。
5． 排列数公式 ： Anm =n(n-1)(n-2) , (n-m+1)(m ， n∈ N， m≤ n)
A
r n
。
r
13． 可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列。
在 m 个不同的元素中，每次取出 n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二 ,, 第 是的选取元素的方法都是 m 种，所以从 m 个不同的元素中，每次取出 n 个元素的可重复的排列数为时
n位 mn。
14． 不尽相异元素的全排列
4 人，则不同的分配方案共有 ( )
3
A．
C142
C84
C
4 4
B
。
3
C142
C
84C
4 4
C. C142 C84 P33
D.
C142
C
4 8
C
4 4
A33
解：本试题属于均分组问题。则
12 名同学均分成
3 组共有
C142
C
4 8
C
4 4
种方法，分配到三个不同的路口的
A33
不同的分配方案共有 C142 C84C84 种，故选 A.
C32 ． A31 A22 =18，故应选 B。