改进的线性规划算法求解分片线性方程组

Finding all solutions of piecewise linear equations using linear programming
LI Ying , HUANG Xiaolin, WANG Shuning ( Department of Automation , Tsinghua University, Beij ing 100084, Chi na) Abstract : A linear programming ( LP) algorit hm was developed t o more ef ficien tl y fin d all solut ions of piecewi sel inear equat ions th an t he t radit ional LP al gorit hm. T his algorit hm fir st f inds t he hypercub e consis t ing of t he various linear regions wi th t he equ at ions being ot her convex or concave in t his h ypercube. T hen , s pecific L P problems are solved in t he hypercub e to det ermine w heth er t he sol uti on exis ts . For t h e ex ampl e given in t his paper, th e algorit hm uses onl y 25% as many lin ear programs as t he convent ional L P al gorit hm. T hus t his al gorit hm is more ef f icient t han t he convent ional LP algorit hm since it redu ces t he num ber of linear programs t hat need t o b e solved. Th e improved perf or man ce compared t o th e convent ional LP algorit hm depends on t he equation properties. Key words: circuit s olving; programmin g piecew ise-linear equat ions; linear
i
= u ).
i
为了简单起见 , 令
i j
=
i 2, k
= …=
i n, k
(
1≤k ≤ m i +
1) 。 这样 f ( x i ) ( j = 1, 2, …, n ) 在 x i 方向就被划分为 m i 段分片线性函数并且可以得到 f j ( x i ) 在各段上的 线性逼近函数
i i i j,k i i
ISSN 1000-0054 清华大学学报 ( 自然科学版 ) 2009 年 第 49 卷 第 10 期 CN 11-2223/ N J T singh ua U n iv ( Sci & Tech ) , 2009, V o l. 49, N o . 10
w5 http: / / qhx bw . chinajo urnal. net. cn
n T T n
求解非线性方程组的一个有效的思路是将非线 性方程组近似为分片线性方程组来求出原非线性方 程组的近似解 ; 此外在电路仿真中, 有一部分非线 性元器件可以用特定模型近似为分片线性元器件。
18
T n n
清 华 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版)
2009, 49( 10)
g n ( x n) ] : R →R 为连续分片线性方程组 , g i ( x i ) : R →R ( i = 1, 2, … , n) 。对于函数 f j ( x ) ( x ∈R , j =
T
图 1 凹、 凸变形 点图示
找到变形点并根据变形点将 [ l , u ] 划分为 I j , t a i ≤ x i ≤ bi ,
i j i i
i
i
^ i
= [
i i j , ! ( t)
j
,
i j
i i j , ! ( t + 1)
j
] , 1≤t ≤q 之后, 若 j ( x i ) 在 I j , t 上
n
i j, k
, 其中
( x i) ,
x i ∈ I j, t ,
^ i
] , k = 1, 2, …, m i ) , 根据可分性, f j ( x) 在定义
j
域内的分片线性逼近函数为
i j
( x) =
∑
i= 1 i j, k
i j
( xi) ( i = 同理 若 m in i
k∈S
j
Sj = { k ! j ( t) ≤ k < !j ( t + 1) } ;
i i i= 1
记其下标为 ! ( 1) , ! j ( 2) , …, ! j ( q ) 并令
i j , !i ( q )
j
<
i
i i ( 2) j,!
j
, ! ( q + 1) = m i + 1。对于区间 [ l , u ] ,
i j i ^ i
R →R 的函数, 则称 f j ( x ) 具有可分性。容易发现, 式 ( 1) 中 f j ( x ) ( j = 1, 2, … , n) 具有可分性, f j ( x ) =
( x i ) ( k = 1, …, m i ) , 使其满足
i j,k
i j, k i j
( x i ) = A j , k x i + B j , k ( k = 1, 2, …, m i ) 且
(
i j, k
)= f
( j , k ) ( k = 1, 2, …, m i + 1) 。采用这样的方式划分得 到的每一个线性区域都是一个超立方体, 可以表示 为: O = { x = ( x 1 , x 2, …, x n )
n 1 1 n
称
i j,k
为凸变形点。
i j, k i j
假设在 < …< [
i i j , ! (t)
j
( k = 1, 2, … , m i + 1) 中有q 个变形点 ,
i i i i ( 1) j,!
j
1, 2, …, Байду номын сангаас ) , 如果 f j ( x ) =
1 1
∑f j ( x i) , 其中 f j ( x i ) 为
分片线性方程组在特定区域内表现为线性方程组的 性质通常 可以简化大 规模非线 性方程组的 求 解
[ 1- 12]
。 一种求解分片线性方程组的思路是尽可能多地
在较短时间内排除不含方程组解的线性区域, 然后 在不能排除的区域上求解线性方程组从而得到方程 组的全部解。 文 [ 6- 12] 提出了若干种基于上述思想 的算法。文[ 7- 8] 介绍了符号判断算法: 通过判断 各分片线性区域顶点的函数值的正负来找出不含方 程组解的分片线性区域。 文[ 9- 12] 介绍了一种基于 线性规划的算法: 通过在各分片线性区域上求解指 定的线性规划问题来找出不含方程组的解的线性区 域。线性规划算法能够更有效地判断出不含方程组 解的线性区域, 从而减少需要求解的线性方程组的 数目 , 提高了计算效率, 但是需要在所有线性区域上 求解线性规划问题。为了避免在所有线性区域上求 解线性规划问题, 本文指出当方程组函数在若干线 性区域组成的超立方体上表现为凸函数 或凹函数 时, 只需求解一次特定的线性规划问题就可能判断 出此超立方体不含方程组的解 , 减少需要求解的线 性规划数目, 从而提高算法的计算效率。
若在方程组定义域 D 内某一区域上分片线性方 程组 f ( x ) 为线性方程 组, 则称这一区 域为线性区 域。设方程组定义域为 D = [ l , u ] ×[ l , u ] ×…× n n [ l , u ] , 首先将方程组的定义域划分成若干线性区 域。f j ( x i ) 在 x i 方向上取 m i + 1 个分隔点 :
运用改进的线性规划算法求解分片线性方程组
李 颖 , 黄晓霖 , 王书宁
( 清华大学 自动化系, 北京 100084)
摘 要 : 为 了提高 求解分 片线性方 程组的 线性规 划算法 的 计算效率 , 提出基于线性规划算法的改进算法。首先找 出若 干线性区域组成的超立方体 , 使得方程组函数在此超立 方体 上表现为凸函数或凹函数 , 然后在超立方体上求解一次 特定 的线性规划问题并判断此超立方体是否 含有方程组的解。 该 文给 出的数例中 改进线性 规划算法需 要求解的线 性规划 问 题数目仅为线性规划算法的 1/ 4 。改进线性规 划算法无需在 全部线性区域上求解线性规划 , 因此相对线性规划算法 提高 了计算效率 , 提高程度取决于方程组函数的性质。 关键词 : 电路求解 ; 分片线性方程组 ; 线性规划 中图分类号 : T M 133 文章编号 : 10000054( 2009) 10-001704 文献标识码 : A
i i
i
1
1
i i j , ! ( t)
j
为凹变形 点, 则
i
( x i ) 在 I j , t 上 为凹函 数; 若
^ i
^ i
定义在 [ l , u ] 上的一维函数。
i i j , ! ( t)
j
为凸变形点, 则 j ( x i ) 在 I j , t 上为凸函数。 例如在