第六讲 有限元

二. 弹性力学研究问题的基本方法
1. 微分原理——取微小体积元dxdydz进行分析。需用到( 偏)微分方程， 2. 三大类方程 1)力的平衡方程 2)几何变形方程 3)材料的物理方程 3. 边界条件的考虑 1)位移方面 2)外力方面 三. 2维的情况 1.力的平衡方程 1).在物体内(x,y)点处取一微元dxdy, 厚 度为单位长度 注意: 四个侧面上力的表示
v v y (v dy v ) / dy y y
x
u
u u u dy u u y y y ad边转角: tan v v y v dy dy v 1 y 1 y y u
x
y
u x v y Biblioteka y v u x y
3.物理方程 ——广义Hooke定律
1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E xy 2(1 ) xy xy G E
x
E ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1 E xy G xy xy 2(1 )
② y方向——合力为0
( y y y dy)dx ( y )dx ( xy xy x dx)dy xy dy Ydxdy 0
y
y y
Y——y方向单位体积所受的体积力 上式化简为：
y y

xy x
yx yx
x
1 [ x ( y z )] E 1 y [ y ( z x )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy
xy
yz
zx
2(1 ) yz G E 2(1 ) zx zx
0 u x v x
1 x E y 2 xy 1 0
物理 方程
1 ( x y ) E 1 y ( y x ) E 2(1 ) xy xy xy
1
1 0
x 0 y xy 1 2 2(1 ) 0
平面应变问题弹性矩阵D
§4.2 平面问题的有限元模型
平面问题有限元分析的特点
1. 连续体的离散化——划分单元与节点 ● 在杆件、刚架结构结构中，一根杆、梁可作为上个单元，单元之 间的端点就是节点。这属于——自然分割(自然划分）。 ●对于连续体，则需要人为将其分割成单元，单元之间以有限个节 点连接。
y y
1.平面应力问题 — z 0, z 0 1). 研究对象——等厚薄板。 2).外载 ——沿xoy平面，在z方向无变化。 3).应力 ——在板上下面
t
t 2
x
z
z |
z
t 2
0,
zx |
z
0,
zy |
z
t 2
0
由于板很薄,故认为在整个板内，有：
平衡 方程
xy yx
x
几何 方程
y
u x v y
v u x y
xy
x
x x y 0 xy y
E ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 1 2 E xy G xy xy 2(1 )
b-c上的 正应力
a-d上的 正应力
经过dx后正 应力增量
2).平衡关系 ① x方向——合力为0
yx x ( x dx)dy ( x )dy ( yx dy)dx yxdx Xdxdy 0 x y
注:X——x方向单位体积所受的体积力
上式化简为：
x yx X 0 x y
G E
yz
G

2(1 ) xy E
给定一定的边界条,由上述方程, 从理论上讲, 就能求出各应力, 应变, 位移分量. 由于方程中存在偏微分,故求解较为因难,只有少数一些非 常简单的受力和边界下能得到解析解,工程中一般采用近似或数值计 算方法——有限差分法或有限元法。
五. 弹性力学平面问题 工程中有许多构件与受力状态可以简化为二维情况处理, 这就是弹性力学 的平面问题. 平面问题有两种情况:
x ( x , y ) 2 x ( x , y ) 2 x ( x dx, y ) x ( x , y ) dx dx 2 x 2! x
略去高阶项
( x , y ) x ( x dx , y ) x ( x , y ) x dx x
G E
平面应力问题与平面应变问题的平衡方程和几何方程均相同，物理方 程形式相同，系数要作变换。 平面应 力问题
E E 1 2


1

平面应 变问题
平面应变问题物理方程也可表示为:
1 x E (1 ) y xy (1 )(1 2 ) 1 0
x
四. 3维的情况
位移: 应力:
应变:
u, v , w
x , y , z , xy , yz , zx
x , y , z , xy , yz , zx
x yx zx X 0 x y z y xy zy Y 0 y x z z yz xz Z 0 z y x xy yx , yz zy , xz zx
x
u u dx x方向位移—— x v v dx y方向位移—— x
x方向应变=ab在X方向变形量/ab长度=ba在X方向位移差/ ab长度
故：
x (u
u u dx u) / dx x x
v
ab边转角:
v v v dx v v x tan x x u u u dx dx u 1 x 1 x x x
§4.1 弹性力学的基础知识
一. 弹性力学的研究内容及基本假设 1. 材料力学的研究内容——规则形体(杆,轴,梁等)应力与变形规律。 2. 弹性力学的研究——不规则形体应力与变形规律。 3. 弹性力学对研究对象的基本假设——5点 1). 连续性——物质内部无空穴,可用连续函数描述。 2).均匀性——物体内各位置的物质具有相同的性质。 3).各向同性——在同一位置的各方向具有相同的性质。 4).线弹性——变形与外力呈线性关系,外力去除后,物体恢复原状。 5).小变形——物体变形量远小于其尺寸,分析时可略去高阶小量(二 阶以上)
xy dxdy
得：
xy 2x
dx dy yxdxdy
2
yx 2y
dxdy2 0
xy yx
剪应力互等定理
平衡方程
xy yx
2.几何变形方程
x yx X 0 x y y yx Y 0 y x
d
1.力的平衡方程
剪应力下标的含义:
xy
剪应力与y轴平行
剪应力所在平面垂直于x轴
2.几何变形方程
x
y
z
v y w z
u x
xy

yz
xz
v u x y w v y z u w z x
3.物理方程 ——广义Hooke定律
1 1 1 2 x [ x ( y z )] { x [ y ( x y )]} ( x y) E E E 1 2 1 1 1 y [ y ( x z )] { y [ x ( x y )]} ( y x) E E E 1 2(1 ) xy xy xy
y
y y
yx yx
x
d
c
xy xy
x x
①. 面上的应力表示成两个分量:正应 力和剪应力
②同一则面上应力均匀公布 ③侧面位置变化dx(dy)后,应力有增量
xy
a ( x, y )
b
y yx
x
●关于应力增量的计算
由Talyor公式展开:
2). a-d边 d点移至d’: y方向位移—— x方向位移——
v dy y u u dy y v v v dy y
y
u u dy y
c
d
a d
( x, y )
dx
b
y方向应变=ad在y方向变形量/ad长度 v dy
c
b
=da 在Y方向位移差位移差/ ad长度
a
故：
Y 0
x
d
c xy xy
x x
③ 力矩平衡——对中点的合力矩为0
xy
xy a
( x, y )
b
y yx
x
yx dx dx dy dy ( xy dx)dy xy dy ( yx dy)dx yxdx 0 x 2 2 y 2 2
1). 研究对象——Z方向尺寸较大，故Z向的位移受限。认为Z向无应 变，但有应力。
2).外载 ——沿xoy平面，在z方向无变化。 3).应力 在垂直于Z方向，取一载面，
w 0,
y
zx 0, zy 0
但 z 0,
zx 0, zy 0,
4).基本量 位移：u, v 应力： x , y , xy
z 0,
4).基本量 位移：
zx 0,
zy 0
zx 0,
zy 0, 但 z 0
应变： x , y , xy