《电磁场与电磁波》(第四版)课后习题解答(全)

第一章习题解答【习题1.1解】222222222222222222222222222222222222cos cos cos cos cos cos 1xx x y z yx y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z 矢径r 与轴正向的夹角为，则同理，矢径r 与y 轴正向的夹角为，则矢径r 与z 轴正向的夹角为，则可得从而得证a a b b g g a b g =++=++=++++=++++++++++==++ 【习题1.2解】924331329(243)54(9)(243)236335x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z A B e e e e e e e e e A B e e e e e e e e e A B e e e e e e A B +=--+-+=-+=----+=---∙=--∙-+=+-=⨯（）（）－（）(9)(243)19124331514x y z x y z x y z x y ze e e e e e e e e e e e =--⨯-+=---=--+【习题1.3解】已知,38,x y z x y z A e be ce B e e e =++=-++ （1）要使A B ⊥，则须散度 0A B =所以从 1380A B b c =-++=可得：381b c +=即只要满足3b+8c=1就可以使向量错误！未找到引用源。

和向量错误！未找到引用源。

垂直。

（2）要使A B ，则须旋度 0A B ⨯= 所以从1(83)(8)(3)0138xy zx y z e e e A B b c b c e c e b e ⨯==--+++=-可得 b=-3，c=-8 【习题1.4解】已知129x y z A e e e =++，x y B ae be =+，因为B A ⊥，所以应有0A B ∙= 即()()1291290xy z x y ee e ae be a b ++∙+=+= ⑴又因为 1B =; 所以221=； ⑵由⑴，⑵ 解得 34,55a b =±=【习题1.5解】由矢量积运算规则123233112()()()x y zx y z x x y y z ze e e A Ca a a a z a y e a x a z e a y a x e xyzB e B e B e B =?=-+-+-=++取一线元：x y z dl e dx e dy e dz =++则有xy z xyz e e e dlB B B dx dy dzB ?=则矢量线所满足的微分方程为 x y zd x d y d z B B B == 或写成233112()dx dy dzk a z a y a x a z a y a x==---＝常数 求解上面三个微分方程：可以直接求解方程，也可以采用下列方法k xa a y a a z a d z a a x a a y a d y a a z a a x a d =-=-=-323132132231211)()()( （1）k x a y a z zdzz a x a y ydy y a z a x xdx =-=-=-)()()(211332 （2）由（1）（2）式可得)()(31211y a a x a a k x a d -=)()(21322z a a x a a k y a d -= （3）)()(32313x a a y a a k z a d -= )(32xy a xz a k xdx -=)(13yz a xy a k ydy -= （4）)(21xz a yz a k zdz -=对（3）（4）分别求和0)()()(321=++z a d y a d x a d 0)(321=++z a y a x a d0=++zdz ydy xdx 0)(222=++z y x d所以矢量线方程为1321k z a y a x a =++ 2222k z y x =++【习题1.6解】已知矢量场222()()(2)x y z A axz x e by xy e z z cxz xyz e =++++-+- 若 A 是一个无源场 ，则应有 div A =0即： div A =0y x zA A A A x y z∂∂∂∇⋅=++=∂∂∂ 因为 2x A axz x =+ 2y A by xy =+ 22z A z z cxz xyz =-+- 所以有div A =az+2x+b+2xy+1-2z+cx-2xy =x(2+c)+z(a-2)+b+1=0 得 a=2, b= -1, c= - 2 【习题1.7解】设矢径 r的方向与柱面垂直，并且矢径 r到柱面的距离相等（r ＝a ） 所以，2sssr ds rds a ds a ah πΦ===⎰⎰⎰＝22a h π=【习题1.8解】已知23x y φ=,223y z A x yze xy e =+而 A A A A rot⨯∇+⨯∇=⨯∇=φφφφ)()(2222(6)3203xy zx y ze e e A xy x y e y e xyze x y z x yz xy ∂∂∂∇⨯==--+∂∂∂ 2223[(6)32]x y z A x y xy x y e y e xyze φ∴∇⨯=--+又y x z y x e x e xy ze y e x e 236+=∂∂+∂∂+∂∂=∇φφφφ 232233222630918603xy z x y z e e e A xyx x y e x y e x y ze x yz xy φ∇⨯==-+所以222()3[(6)32]x y z rot A A A x y xy x y e y e xyze φφφ=∇⨯+∇⨯=--+ +z y x e z y x e y x e y x 2332236189+-=]49)9[(3222z y x e xz e y e x x y x+--【习题1.9解】已知 222(2)(2)(22)x y zA y x z e x y z e x z y z e =++-+-+ 所以()()1144(22)0xyzyy x x z z x y z x yzx y z A A A A A A rot A A x y z y z z x x y A A A xz xz y y e e ee e e e e e ∂∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=∇⨯==-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭-++-+-=由于场A 的旋度处处等于0，所以矢量场A 为无旋场。

【习题1.10解】令ln(222x y z ++)=C,222x y z ++=c e ，c e =1+4+9=14 因此C ＝ln14222x y z ++＝14为等值面方程【习题1.11解】求函数∅=233x y -在点M(2,3)处沿曲线y=21x -朝x 增大一方的方向导数 解: (2,3)|6|36M xy x∂∅==∂22(2,3)|33|15M x y y∂∅=-=-∂ 在L 取一点(x,y) y=2x -1(2x >) 沿L 的方向的方向余弦为: 2x >c os xl α∆==∆=cos y l β∆==∆=因为0l ∆→则(x,y) →(2,3) 所以cos α=cos β=又因为cosl x α∂∅∂∅=∂∂cos y β∂∅+∂= 【习题1.11解2】求函数∅=223x y -在点M(2,3)处沿曲线y=21x -朝x 增大一方的方向导数 曲线y 在M 点沿所取方向的切线斜率为：42'==M Mx y所以 4=γtg 因此，方向余弦为17111cos 2=+=γαtg174cos =β236==∂∂xy xφ6232=-=∂∂y x yφ所以所求的方向导数为1760174617136cos cos =⨯+⨯=∂∂+∂∂=∂∂Myx l βφαφφ【习题1.12解】标量场r1=φ ∴该标量为一个以直角坐标系的O 点为球心的球面求切平面的方程∴该平面的法线向量为x y z n e e =++根据平面的点法式方程，得平面方程为x y z+-+-=整理，得：x y z++=【习题1.13解】22cos cos cos()cos(2)cos(2)cos11 (112)(21112)(2211)222130122x y zy yz xy xz z xyφφφφαβγιαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂=-+-+-=-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯=-++=【习题1.14解】矢量A的方向余旋为2cos/3yzα==1cos3xzβ==-2cos3xyγ==-满足题意方向导数：2223cos cos cos6cos(33)cos(2)cos173M ul A x y zxy x y z y zϕϕϕϕαβγαβγ∂∂∂∂∂==++∂∂∂∂∂=+-+-=【习题1.15解】0cos cos cos 95cos 41cos 192cos 125x y z M l x y zl l l l l lxy l l φφφφαβγαβγφφ∂∂∂∂=++∂∂∂∂-===∆-====∆-===∆∂∴=+∂∂∴=⨯+∂又2515,1,25,1,294,19xyz φ⨯+⨯==即函数在点（）处沿着点（）到点（，【习题1.16解】(23)(42)(66)x y zx y zgrad e e e x y zx y e y x e z e φφφφφ∂∂∂=∇=++∂∂∂=++++-+-所以(0,0,0)326x y z grad e e e φ=--(1,1,1)63x y grad e e φ=+【习题1.17解】(1)()()()()()()()(2):()()x y z x y zx y zx y zu u ugradu e e e x y zv v vgradv e e e x y zu v u v u v gradu gradv e e e x y zgrad u v v v v grad v e e e x y z v v x x μμμμμμ∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂+∂+∂++=++∂∂∂=+∂∂∂=++∂∂∂∂∂=+∂∂证：证2()()(3)()2222.x y zx y zv v e v e v e y y z z vgrad gradvu u ugrad u u e u e u e x y zu gradu μμμμμμ∂∂∂∂++++∂∂∂∂=+∂∂∂=++∂∂∂=证：【习题1.18解】（1） 证明∙∇（A +B）=（x e X∂∂ +y e y ∂∂ +)ze z ∂∂ )(e B e B e B e A e A e A z z y y x x z z y y Xx +++++∙ =)()()(B A B A B A Z z y y x x zy x +∂∂++∂∂++∂∂ =（)zyxA A A z y X ∂∂+∂∂+∂∂+（)zyxB B B z y x ∂∂+∂∂+∂∂=B A ∙∇+∙∇得证(2))()()(A zy x A e e e z y X φφ∙∂∂+∂∂+∂∂=∙∇ =()()()Xy z A A A x y ze e e φφφ∂∂∂++∂∂∂=+∂∂+∂∂)(x A x A e x φφ)(y A y A e y ∂∂+∂∂φφ +)(z Az A e z ∂∂+∂∂φφ=()()Xy x z x y z y z A A A e e e A x y z x y ze e e φφφφ∂∂∂∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂ =φφ∇∙+∙∇A A得证【习题1.19解】nn n nnnn r n z y x z y x z y x n z y x z y x z z z y x y y z y x x x r r z y x z y x z y x z y x r x x r z z r y y r x x z y x z y x z z y x z y x zzr z z z y x z y x y z y x z y x yyr y y z y x z y x x z y x z y x x xr x x r zz r y y r x x r r )3()()()()(3)()()()()2(0))((3)(3)(1)()(3)()()()(3)()()()(3)()(1222222222222222222222222222122222223222322233333222212222232222322233222212222232222322233222212222232222322233333+=+++++++++=++∂∂+++∂∂+++∂∂=⋅∇=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-++++=∂∂=∂∂+∂∂+∂∂∴++++-++=++∂∂=∂∂++++-++=++∂∂=∂∂++++-++=++∂∂=∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∇同理可得：）（）证明：（【习题1.20解】 已知12222()x y z r x y z r xe ye ze =++=++所以z (1)()()y z xyzz y x z y x ()()()y z z x x z 0000x y z x y z xy x y z r e e e xe ye ze x y z e e e x e e e ∂∂∂∇⨯=++⨯++∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂=--=y 12222x y333322222222222222222z 111222222222222(2)()r ()zy -zyxz-xz()e ()e ()()()()xy((y z x yz()()()x y zx z xy xe ye ze re e e x y zx y z x y z x y z x y z x y z x y e e e x x y z x y z x y z ++∂∂∂∇⨯=++⨯∂∂∂++==-----+++++++++-+∂∂∂∂∂∂++++++z332222222-xy)e )()0000z x y z -+++=--=y 12222z 1112222222222223322222222222(3)[f (r)]()[f(r)]r ()y z xf(r)yf(r)zf(r)()()()zyf(r)zyf (r)-zy yzf (r (()()x y z x z x y xe ye ze r e e e x y zx y z e e e x x y z x y z x y z x y z x y z x y z ++∂∂∂∇⨯=++⨯∂∂∂++∂∂∂=∂∂∂++++++''=-+--++++++x222y3322222222222222z3322222222222222))e xzxzf (r)-xz xzf (r)()e ()()xyxyf (r)-xyxyf (r)()()()0-0+00x y z x y z x y z x y z x y z e x y zx y zx y z x y z ++''--+--++++++++''+-+--++++++++==证明：令则左边==又由题得= A = B ∂=同理有A⋅B⋅A⋅=故等式右边= —=—=故左边=右边，得证【习题1.23解】2232222V2Va 224032505XZ X Y Z 2XY+Y Z []VZ =X Y Z V3Z V=(3Z 3)3Z )5|ad x y d d a Z dV a Z aπππ∂∂-∂++∂∂∂++=--⎰⎰⎰⎰V 由散度定理得：（）（）（）I=（） =(2 =5【习题1.24解】222222221111111111()()()()()()()()()()Hc t E Ec t c t c t c t E c t c tH H c t c t c t E E E H H H H E ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∇=∇∇-∇⨯∇⨯=-∇⨯-=∇⨯==∇=∇∇-∇⨯∇⨯=-∇⨯=∇⨯-=证毕。