2019_2020学年新教材高中数学课时分层作业10等式的性质与方程的解集含解析新人教B版必修第一册
高中数学第二章等式与不等式.1等式.1.1等式的性质与方程的解集学案含解析B版第一册
第二章等式与不等式2．1等式2。
1。
1等式的性质与方程的解集素养目标·定方向课程标准学法解读掌握等式的性质及常用的恒等式，会用因式分解法解一元二次方程.1．从具体实例中探索等式的性质,培养逻辑推理素养．2．理解恒等式的应用，熟练掌握用“十字相乘法”分解因式．3．会求方程的解集。
必备知识·探新知基础知识1．等式的性质文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立。
如果a＝b，则对任意c，都有__a＋c＝b＋c__.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。
如果a＝b,则对任意不为零的c，都有__ac＝bc__.思考1：下列各式是否正确？①若错误!＝错误!，则x＝y；②若x＝y，则错误!＝错误!；③若x＋a＝y－a，则x＝y;④若x＝y，则ax＝by.提示：①正确，②③④错误．2．方程的解集(1)方程的解（根）:能使方程左右两边相等的未知数的值．（2）方程的解集:一个方程所有的解组成的集合．思考2：把方程通过适当变换后,求出的未知数的值都是这个方程的解（根)吗？提示：把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．基础自测1．判断正误(对的打“√"，错的打“×"）(1)计算(2a＋5)(2a－5）＝2a2－25(×）（2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝（x＋y）（x－4)．（×)（3）用因式分解法解方程时部分过程为：(x＋2)（x－3）＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2（×）解析：（1）(2a＋5）（2a－5)＝(2a)2－25＝4a2－25。
（2）x2－3xy－4y2＝（x＋y)(x－4y）．（3）若(x＋2）(x－3)＝0，可化为x＋2＝0或x－3＝0。
2．方程2(x－2）＋x2＝（x＋1)（x－1）＋3x的解集为__{－3｝__.3．若m（3x－y2)＝9x2－y4，则m＝__3x＋y2__。
2.1.1等式的性质与方程的解集(课件)高一数学(人教B版2019必修第一册)
(2 + 1)2 −( − 1)2 = [(2 + 1) + ( − 1)][(2 + 1) − ( − 1)]
= 3( + 2) = 3 2 + 6.
新知探索
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的，，，都有
2 + 5 + 6 =________________.
( + 2)( + 3)
新知探索
尝试与发现：证明恒等式( + )( + ) = 2 + ( + ) + .
并由此探讨 2 + + 的因式分解方法.
上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类
不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.
新知探索
从小学开始我们就知道，
任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：
如果 = 0，则 = 0或 = 0.
利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集.例如，由方程
(4 + 1)( − 1) = 0可知4 + 1 = 0或 − 1 = 0，从而
2.1.1等式的性质与方程的解集
复习引入
我们已经学习过等式的性质：
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立.
尝试与发现：请用符号语言和量词表示上述等式的性质：
+ =+
(1)如果 = ，则对任意，都有___________________；
项即可.据此也可进行因式分解.例如，对于3 2 + 11 + 10
高中数学新教材人教B版必修第一册课时分层作业等式的性质与方程的解集 Word版含解析
课时分层作业(十)等式的性质与方程的解集(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知等式ax＝ay，下列变形不正确的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay＋1C．2ax＝2ay D．3－ax＝3－ayA[A.∵ax＝ay，∴当a≠0时，x＝y，故此选项错误，符合题意；B.∵ax＝ay，∴ax＋1＝ay＋1，故此选项正确，不合题意；C.∵ax＝ay，∴2ax＝2ay，故此选项正确，不合题意；D.∵ax＝ay，∴3－ax＝3－ay，故此选项正确，不合题意．故选A.]2．在式子：2x－3y＝6中，把它改写成用含x的代数式表示y，正确的是()A．y＝2x＋6 B．y＝23x－2C．x＝32y＋3 D．x＝3y＋2B[方程2x－3y＝6，解得：y＝23x－2.故选B.]3．下列计算正确的是()A．8a＋2b＋(5a－b)＝13a＋3bB．(5a－3b)－3(a－2b)＝2a＋3bC．(2x－3y)＋(5x＋4y)＝7x－yD．(3m－2n)－(4m－5n)＝m＋3nB[A项，去括号合并同类项得：8a＋2b＋5a－b＝8a＋5a＋2b－b＝13a＋b≠13a＋3b，故本选项错误；B项，去括号合并同类项得：5a－3b－3a＋6b＝5a－3a－3b＋6b＝2a＋3b，故本选项正确；C项，去括号合并同类项得：2x－3y＋5x＋4y＝2x＋5x－3y＋4y＝7x＋y≠7x－y ，故本选项错误；D 项，去括号合并同类项得：3m －2n －4m ＋5n ＝3m －4m －2n ＋5n ＝－m ＋3n ≠m ＋3n ，故本选项错误．故选B.]4．若关于x 的方程ax ＋3x ＝2的解是x ＝14，则a 的值是( ) A ．－1 B ．5 C ．1 D ．－5 B [把x ＝14代入方程ax ＋3x ＝2得：14a ＋34＝2， ∴a ＋3＝8，∴a ＝5，故选B.]5．设a ，b ∈R ，则“a ＝b ”是“a 3－a 2b ＝0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [因为a 3－a 2b ＝0等价于a 2(a －b )＝0，即a ＝0或a ＝b ，所以“a ＝b ”是“a 3－a 2b ＝0”的充分不必要条件．]二、填空题6．已知4m ＋2n －5＝m ＋5n ，利用等式的性质比较m 与n 的大小关系：m ________n (填“＞”“＜”或“＝”).＞ [等式的两边都减去(m ＋5n －5)，得3m －3n ＝5， 等式的两边都除以3，得m －n ＝53，∴m ＞n .]7．已知x ＝2是关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是________． 5 [∵x ＝2是关于x 的方程32x 2－2a ＝0的一个解，∴32×22－2a ＝0，即6－2a ＝0，则2a ＝6，∴2a －1＝6－1＝5.] 8．若A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1，则2A －3B ＝________． －x 2－5 [∵A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1， ∴2A －3B ＝2x 2－6x －2－3x 2＋6x －3＝－x 2－5.] 三、解答题9．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c bd ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 22x －1 2x ＋1＝3，求x 的值． [解] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 22x －1 2x ＋1＝3， ∴3(2x ＋1)－2(2x －1)＝3， 去括号，得6x ＋3－4x ＋2＝3， 移项，得6x －4x ＝3－3－2， 合并同类项，得2x ＝－2， 系数化为1，得x ＝－1.10．已知关于x 的方程6－x ＝x ＋32与a －2(x －4)＝5a 有相同的解集，求a 的值．[解] 6－x ＝x ＋32，去分母得12－2x ＝x ＋3，移项、合并得－3x ＝－9，解得x ＝3，把x ＝3代入a －2(x －4)＝5a 中，得a ＋2＝5a ，解得 a ＝12.11．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y －1＝y －●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y ＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [设所缺的部分为x ，则2y －1＝y －x ，把y ＝－3代入，求得x ＝4.故选D.] 12．(多选题)已知集合M ＝{x |12x 2＋11x ＋2＝0}，N ＝{x |mx ＝2}，且N M ，则实数m 的值可以是( )A ．0B ．－3C ．－8D ．3ABC [M ＝{x |12x2＋11x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23，－14. ∵N M ，∴当m ＝0时，N ＝，符合题意；当m ≠0时，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m .当2m ＝－23或2m ＝－14时，m ＝－3或m ＝－8.]13．已知a 2＋b 2＝6，ab ＝－2，则代数式(4a 2＋3ab －b 2)－(7a 2－5ab ＋2b 2)＝________．－34 [∵a 2＋b 2＝6，ab ＝－2，∴原式＝4a 2＋3ab －b 2－7a 2＋5ab －2b 2＝－3(a 2＋b 2)＋8ab ＝－18－16＝－34.]14．已知x 2－5xy －6y 2＝0(y ≠0且x ≠0)，则xy 的值为________．6或－1 [x 2－5xy －6y 2＝0，(x －6y )(x ＋y )＝0，所以x －6y ＝0或x ＋y ＝0， 所以x ＝6y 或x ＝－y ，所以xy 的值为6或－1. ]15．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B .(1)若A ＝，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解．①当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，与A ＝矛盾．②当a ≠0时，由A ＝可知，方程ax 2＋2x ＋1＝0无解， 故Δ＝4－4a ＜0，解得a ＞1. (2)若A ≠，由A ⊆B ， 可得A ＝{－1}或A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12或A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12. ①当A 中只有一个元素时，由(1)可知，当a ＝0时，集合A 中只含有一个元素－12，满足条件；当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1，此时方程的解为x ＝－1，即A ＝{－1}，符合题意． ②当A中有两个元素时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，。
高中数学(人教B版)等式的性质与方程的解集
(5) m(m 1) 0.
(5) m 0 或 1 时成立.
(6) t 3 1 (t 1)(t 2 t 1).
(6) 立方和公式.
恒等式
定义 含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成
立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等.
恒等式是进行代数变形的依据之一，如
( x y) x ( y) x 2 x( y) ( y) x 2 xy y .
等式的性质与方程的解集
高一年级 数学
知识概要
一、等式的性质
二、恒等式
三、方程的解集
等式的性质
1. 对称性：
若 a b, 则 b a.
2. 传递性（等量代换）：
若 a b, b c, 则 a c.
等式的性质
3. 四则运算性质
• 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或代数式，等式仍
3 x 2 6 x.
总结 法二较为简便，利用了整体的思想.
启发 常见恒等式，准确记忆、灵活运用.
十字相乘法
考察恒等式
( x a )( x b) x (a b) x ab.
2
问题 二次三项式 2 + + 的因式分解.
C a b, D ab x Cx D ( x a )( x b).
(1) a 2 b 2 (a b)(a b).
(1) 平方差公式.
(2) ( x y ) 2 x 2 2 xy y 2 .
(2) 两数和的平方公式.
(3) 3 x 6 0.
(3) x 2 时成立.
(4) (a b)c ac bc.
《 2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案-高中数学人教B版19必修第一册
《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：通过本次作业，学生应理解等式的性质，掌握解集的概念和分类，并能应用所学知识解决简单的实际问题。
二、作业内容：1. 课堂笔记复习：学生需完成一份课堂笔记复习，其中包括等式的定义、性质以及解集的概念。
2. 基础练习：学生需完成以下基础练习题：(1) 判断下列等式是否成立：x=5是一元一次方程；x=0是一元二次方程；x=0是一元一次方程；x=x+5是一元一次方程。
(2) 请用集合表示下列方程的解集：x+3=0；x^2-3x+2=0；x^2-4=0。
(3) 请解释方程的解集在数学上的意义。
3. 实际问题解决：学生需尝试解决一个与方程解集相关的实际问题，例如：已知某方程的解集为{1,2,3,4}，请根据该解集，判断该方程是否成立，并解释原因。
三、作业要求：1. 学生需独立完成上述作业，并按时提交。
2. 提交作业时，学生需附上解题过程和思考过程，以便教师检查和评价。
3. 鼓励学生合作讨论，共同解决问题，但要避免抄袭和弄虚作假。
四、作业评价：1. 教师根据学生提交的作业和反馈，给予相应的评分和反馈。
2. 评分将根据学生的完成情况、正确程度、思考深度和解题过程中的亮点进行评估。
3. 对于作业中的共性问题，教师将在课堂上进行讲解和解答。
五、作业反馈：1. 学生应根据教师的反馈和建议，对作业进行反思和总结，找出自己的不足之处，及时改进。
2. 学生可以向教师提问或寻求同伴的帮助，以便更好地理解和掌握知识。
3. 教师也应积极关注学生的反馈，对教学方法和内容进行反思和改进，以更好地满足学生的学习需求。
总之，通过本次作业设计，学生能够进一步巩固等式的性质和方程的解集概念，并将其应用于实际问题解决中。
同时，教师也应该在评价和反馈中积极关注学生的学习需求和反馈，以便更好地指导学生的学习过程。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标1. 复习等式的性质，加深对等式解集的理解；2. 通过作业实践，提高学生的数学应用能力；3. 培养学生对数学问题的分析与解决能力。
《 2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案-高中数学人教B版2019必修第一册
《2.1.1 等式的性质与方程的解集》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应能够：1. 熟练掌握等式的性质，能够运用性质解决相关问题；2. 理解方程的解集概念，能够根据解集判断方程解的情况；3. 培养数学思维和解决问题的能力。
二、作业内容1. 基础题：（1）判断下列等式是否成立：* x=3是否成立？为什么？* ax=b的形式是什么？其成立的条件是什么？（2）完成教材中的相关练习题。
（3）总结等式的性质。
2. 提高题：设计一些具有挑战性的题目，考察学生对于解集的理解和应用能力：（1）若方程2x-1=3的解集为{x|x>2}，求a和b的值；（2）对于方程x^2-3x+2=0，求方程的解集。
（3）根据方程的解集，判断方程的解的情况。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭；2. 作业完成后，需总结解题思路和方法；3. 针对提高题，学生可根据自己的理解尝试多种解法。
四、作业评价1. 批改学生的作业，对于正确率和解题方法进行评分；2. 对具有代表性的问题进行集中讲解，对于普遍存在的问题进行统一指导；3. 对于完成作业优秀的学生给予肯定和表扬，鼓励其继续努力；4. 对于完成作业不佳的学生，给予指导和鼓励，帮助其提高学习积极性。
五、作业反馈1. 鼓励学生提出作业中遇到的问题和困惑，及时解答；2. 收集学生对作业的评价和建议，作为改进教学的重要参考。
通过本次作业，期望学生能够加深对等式的性质和方程的解集的理解，培养数学思维和解决问题的能力。
同时，通过作业反馈和评价，教师可以及时了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标通过本次作业，学生应达到以下目标：1. 进一步理解等式的性质，能够运用性质解决相关问题；2. 巩固方程的解集概念，能够正确理解并描述解集；3. 提高问题解决能力，培养数学思维方法。
二、作业内容1. 基础练习：a. 给出一些等式，让学生判断哪些等式的性质成立，并在括号中填写正确的答案；b. 完成一些关于解集的习题，例如描述解集、求方程的解集等。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第2章 2.1.1 等式的性质与方程的解集
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－a2＝－b3
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－a2＝－b3，正确，不合题意．故选C.]
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A．(x－2)2
B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2
D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选 B.]
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12
合作探究 提素养
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等式性质的应用
【例1】 已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；
③－2x＝－2y；④
x y
＝1；⑤
x－2 3
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2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等 式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代 数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x ＋b)＝x2＋_(_a_＋__b_)_x_＋_a_b_.
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1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是( ) A．如果 a＝b，那么 a＋c＝b－c B．如果 a2＝3a，那么 a＝3 C．如果 a＝b，那么ac＝bc D．如果ac＝bc，那么 a＝b
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D [A.当 a＝b 时，a＋c＝b＋c，故 A 错误；B.当 a＝0 时，此时 a≠3，故 B 错误；C.当 c＝0 时，此时ac与bc无意义，故 C 错误；故选 D.]
新教材高中数学课时练十第二单元等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集含解析新人教B版必修第一册
十 等式的性质与方程的解集【根底全面练】 (15分钟·35分)1.以下由等式的性质进行的变形，错误的选项是( )A ．如果a ＝3，那么1a ＝13B ．如果a ＝3，那么a 2＝9C ．如果a ＝3，那么a 2＝3aD ．如果a 2＝3a ，那么a ＝3【解析】选D.如果a ＝3，那么1a ＝13，A 正确； 如果a ＝3，那么a 2＝9，B 正确；如果a ＝3，那么a 2＝3a ，C 正确；如果a ＝0，两边都除以a ，无意义，故D 符合题意；如果a≠0，那么a ＝3.【补偿训练】(2021·大连高一检测)根据等式的根本性质，以下结论正确的选项是( )A ．假设x a ＝y a，那么x ＝y B ．假设x ＝y ，那么x a ＝y bC ．假设x ＋a ＝y －a ，那么x ＝yD ．假设x ＝y ，那么ax ＝by【解析】选A.x a ＝y a，根据等式的根本性质，那么x ＝y ，故该项正确， B ．假设x ＝y ，a ＝b≠0，那么x a ＝y b，故该项错误， C ．假设x ＋a ＝y －a ，那么x ＝y －2a ，故该项错误，D ．假设x ＝y ，a ＝b ，那么ax ＝by ，故该项错误．2．(2021·潍坊高一检测)以下分解因式错误的选项是( )A ．a 2－5a ＋6＝(a －2)(a －3)B ．1－4m 2＋4m ＝(1－2m)2C ．－4x 2＋y 2＝－(2x ＋y)(2x －y)D ．3ab ＋14 a 2b 2＋9＝(3＋12ab)2 【解析】选B.A 选项根据十字相乘分解因式可知正确；B 选项中的1＋4m 2－4m ＝(1－2m)2，左右两边不相等，所以B 是错的；C 选项根据平方差公式可知正确；D 选项根据完全平方公式可知正确．3．方程x 2＋2x －3＝0的解集为( )A ．{－1，3}B ．{1，－3}C ．{－1，－3}D ．{1，3}【解析】选B.因为x 2＋2x －3＝0，所以(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3.4．当x ＝－7时，代数式(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)的值为________.【解析】因为(2x ＋5)(x ＋1)－(x －3)(x ＋1)＝2x 2＋7x ＋5－(x 2－2x －3)＝x 2＋9x ＋8，又因为x ＝－7，所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6.答案：－65．关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋x ＋m 2－4＝0有一个根为0，那么m 的值应为________．【解析】因为关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋x ＋m 2－4＝0有一个根为0，所以m 2－4＝0且m －2≠0，解得m ＝－2.答案：－26．(2021·济宁高一检测)把以下各式分解因式：(1)x 2－4mx －8mn －4n 2；【解析】原式＝()x 2－4n 2 －4m(x ＋2n)＝(x ＋2n)(x －2n)－4m(x ＋2n)＝(x ＋2n)(x －2n －4m).(2)x 2－y 2＋4x ＋6y －5；【解析】原式＝()x 2＋4x ＋4 －()y 2－6y ＋9 ＝(x ＋2)2－(y －3)2＝(x ＋y －1)(x －y ＋5).(3)x 3－11x 2＋31x －21；【解析】原式＝x 3－7x 2－4x 2＋28x ＋3x －21＝x 2(x －7)－4x(x －7)＋3(x －7)＝(x －7)()x 2－4x ＋3 ＝(x －7)(x －1)(x －3).(4)x 3－4xy 2－2x 2y ＋8y 3.【解析】方法一：原式＝x 3＋8y 3－2xy(x ＋2y)＝(x ＋2y)()x 2－2xy ＋4y 2 －2xy(x ＋2y)＝(x ＋2y)()x 2－4xy ＋4y 2 ＝(x ＋2y)(x －2y)2.方法二：原式＝()x 3－2x 2y ＋()－4xy 2＋8y 3 ＝x 2(x －2y)－4y 2(x －2y)＝(x －2y)()x 2－4y 2 ＝(x ＋2y)(x －2y)2.【综合突破练】 (20分钟·40分)一、选择题(每题5分，共20分，多项选择题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．(多项选择题)(2021·西安高一检测)以下式子中变形正确的选项是( )A ．假设3x －1＝2x ＋1，那么x ＝0B ．假设ac ＝bc ，那么a ＝bC ．假设c ab ＝d af ，那么c b ＝d fD ．假设y 5 ＝x 5，那么y ＝x 【解析】选CD.对于A 选项，两边同时减()2x －1 ，得到x ＝2，故A 不正确；对于B 选项，没有说明c≠0，故B 不正确；对于C 选项，在等式两边同时乘以a ()a≠0 ，得到c b ＝d f.故C 正确；对于D 选项，在等式两边同时乘以5得到y ＝x ，故D 正确．【补偿训练】(多项选择题)以下方程的解集包含{2}的是( )A ．x 2＋2x －8＝0B ．x 2－4x ＋4＝0C ．x(x －2)＋(x －2)＝0D ．2x 2－3x －5＝0【解析】选ABC.A 中x 2＋2x －8＝(x －2)(x ＋4)＝0，故解集包含{2}；B 中x 2－4x ＋4＝(x －2)2＝0，故解集包含{2}；C 中x(x －2)＋(x －2)＝(x －2)(x ＋1)＝0，故解集包含{2}；D 中2x 2－3x －5＝(2x －5)(x ＋1)＝0，故解集不包含{2}．【光速解题】选ABC.将x ＝2代入方程中逐一检验，易得D 项错误．2．如果x ＝y ，a 为有理数，那么以下等式不一定成立的是( )A ．1－y ＝1－xB ．x 2＝y 2C ．x a ＝y aD ．ax ＝ay 【解析】选C.A.因为x ＝y ，所以－x ＝－y.所以－x ＋1＝－y ＋1，即1－y ＝1－x ，故A 一定成立，与要求不符；B ．如果x ＝y ，那么x 2＝y 2，故B 一定成立，与要求不符；C ．当a ＝0时，x a ＝y a无意义，故C 不一定成立，与要求相符； D ．由等式的性质可知：ax ＝ay ，故D 一定成立，与要求不符．3．整式－(a n ＋1)(a n －1)＋(a n )2(n ∈N )化简的结果是( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1【解析】选A.－(a n ＋1)(a n －1)＋(a n )2＝－(a 2n －1)＋a 2n ＝－a 2n ＋1＋a 2n ＝1.【补偿训练】如果x 2＋mx ＋n ＝(x －10)(x ＋3)恒成立，那么m ，n 的值为( )A ．7，－30B ．－7，－30C ．1，－30D ．－1，－30【解析】选B.因为(x －10)(x ＋3)＝x 2－10x ＋3x －30＝x 2－7x －30＝x 2＋mx ＋n ，所以m ＝－7，n ＝－30.4．如果x 2＋Ax ＋B ＝(x －3)(x ＋5)，那么3A －B 的值为( )A ．2B ．－15C ．17D ．21【解析】选D.x 2＋Ax ＋B ＝(x －3)(x ＋5)＝x 2＋2x －15，得A ＝2，B ＝－15.3A －B ＝3×2＋15＝21.【补偿训练】分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．2(x ＋y)2－13(x ＋y)＋20B ．(2x ＋2y)2－13(x ＋y)＋20C ．2(x ＋y)2＋13(x ＋y)＋20D ．2(x ＋y)2－9(x ＋y)＋20【解析】选A.(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)＝[(x ＋y)－4][2(x ＋y)－5]＝2(x ＋y)2－8(x ＋y)－5(x ＋y)＋20＝2(x ＋y)2－13(x ＋y)＋20.二、填空题(每题5分，共10分)5．(2021·东莞高一检测)实数a ，b 满足()a ＋2 2＋()b 2－2b －3 2＝0，那么a ＋b 的值为________.【解析】由()a ＋2 2＋()b 2－2b －3 2＝0所以a ＋2＝0且b 2－2b －3＝0，解得a ＝－2，b ＝3或－1，所以，a ＋b ＝－2－1＝－3或a ＋b ＝1.答案：1或－3【补偿训练】x 2－4x －1＝0，那么代数式(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2的值为________．【解析】因为x 2－4x －1＝0，所以x 2－4x ＝1，所以(2x －3)2－(x ＋y)(x －y)－y 2＝4x 2－12x ＋9－(x 2－y 2)－y 2＝3x 2－12x ＋9＋y 2－y 2＝3(x 2－4x)＋9＝3×1＋9＝12.答案：126．假设m ＋n ＝5，m －n ＝2，那么m 2－n 2的值为______，m 3－n 3＝________．【解析】m 2－n 2＝(m ＋n)(m －n)＝5×2＝10，由m ＋n ＝5平方得m 2＋n 2＋2mn ＝25①，由m －n ＝2平方得m 2＋n 2－2mn ＝4②，①－②得mn ＝214， 故m 3－n 3＝(m －n)(m 2＋mn ＋n 2)＝(m －n)[(m ＋n)2－mn]＝2×⎝⎛⎭⎫25－214 ＝2×794 ＝792. 答案：10 792三、解答题7．(10分)解方程：(1)x 2－3x ＝0.【解析】x(x －3)＝0，x ＝0或x －3＝0，所以x 1＝0，x 2＝3.(2)x ()x －1 ＝0.【解析】x ＝0或x －1＝0，所以x 1＝0，x 2＝1.(3)(x －1)2＝3x －3.【解析】由(x －1)2－3(x －1)＝0，得(x －1)(x －1－3)＝0，即x －1＝0或x －4＝0，所以x 1＝1，x 2＝4.【补偿训练】：a，b，c为△ABC的三边长，(1)当a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【解析】(1)△ABC为等边三角形证明：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，所以a＝b，b＝c，a＝c，△ABC为等边三角形．(2)判断代数式a2－b2＋c2－2ac值的符号．【解析】a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＝[(a＋b)－c][a－(b＋c)]，又因为a＋b>c，a<b＋c，所以[(a＋b)－c][a－(b＋c)]<0，所以a2－b2＋c2－2ac值的符号为负．。
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课时分层作业(十) 等式的性质与方程的解集
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．已知等式ax ＝ay ，下列变形不正确的是( )
A ．x ＝y
B ．ax ＋1＝ay ＋1
C ．2ax ＝2ay
D ．3－ax ＝3－ay
A [A.∵ax ＝ay ，∴当a ≠0时，x ＝y ，故此选项错误，符合题意；
B ．∵ax ＝ay ，∴ax ＋1＝ay ＋1，故此选项正确，不合题意；
C ．∵ax ＝ay ，∴2ax ＝2ay ，故此选项正确，不合题意；
D ．∵ax ＝ay ，∴3－ax ＝3－ay ，故此选项正确，不合题意．故选A.]
2.在式子：2x －3y ＝6中，把它改写成用含x 的代数式表示y ，正确的是( )
A ．y ＝2x ＋6
B ．y ＝23x －2
C ．x ＝32y ＋3
D ．x ＝3y ＋2
B [方程2x －3y ＝6，解得：y ＝23
x －2.故选B.] 3．下列计算正确的是( )
A ．8a ＋2b ＋(5a －b )＝13a ＋3b
B ．(5a －3b )－3(a －2b )＝2a ＋3b
C ．(2x －3y )＋(5x ＋4y )＝7x －y
D ．(3m －2n )－(4m －5n )＝m ＋3n
B [A 项，去括号合并同类项得：8a ＋2b ＋5a －b ＝8a ＋5a ＋2b －b ＝13a ＋b ≠13a ＋3b ，故本选项错误；
B 项，去括号合并同类项得：5a －3b －3a ＋6b ＝5a －3a －3b ＋6b ＝2a ＋3b ，故本选项正确；
C 项，去括号合并同类项得：2x －3y ＋5x ＋4y ＝2x ＋5x －3y ＋4y ＝7x ＋y ≠7x －y ，故本选项错误；
D 项，去括号合并同类项得：3m －2n －4m ＋5n ＝3m －4m －2n ＋5n ＝－m ＋3n ≠m ＋3n ，故本选项错误．故选B.]
4．若关于x 的方程ax ＋3x ＝2的解是x ＝14
，则a 的值是( ) A ．－1 B ．5 C ．1 D ．－5
B [把x ＝14代入方程ax ＋3x ＝2得：14a ＋34＝2，
∴a ＋3＝8，∴a ＝5，故选B.]
5．下列解方程过程中，变形正确的是( )
A ．由5x －1＝3得5x ＝3－1
B ．由－75x ＝76得x ＝－7676
C ．由x －3(x ＋4)＝5得x －3x －4＝5
D ．由2x －(x －1)＝1得2x －x ＝0
D [选项A ，移项没有变号，故变形不正确；
选项B 等号的左边除以了－75，而等号的右边除以了－76，故变形错误；
选项C 去括号时，4没有乘－3，故变形错误；
选项D 的变形正确．故选D.]
二、填空题
6．已知4m ＋2n －5＝m ＋5n ，利用等式的性质比较m 与n 的大小关系：m ________n (填“＞”“＜”或“＝”)．
＞ [等式的两边都减去(m ＋5n －5)，得3m －3n ＝5，
等式的两边都除以3，得m －n ＝53
，∴m ＞n .] 7．已知x ＝2是关于x 的方程32
x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是________． 5 [∵x ＝2是关于x 的方程32
x 2－2a ＝0的一个解， ∴32
×22－2a ＝0，即6－2a ＝0，则2a ＝6，∴2a －1＝6－1＝5.] 8．若A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1，则2A －3B ＝________.
－x 2－5 [∵A ＝x 2－3x －1，B ＝x 2－2x ＋1，
∴2A －3B ＝2x 2－6x －2－3x 2＋6x －3＝－x 2－5.]
三、解答题 9．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，我们规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b
d ＝ad －bc ，如⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 23 4＝1×4－2×3.若⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3 22x －1 2x ＋1＝3，求x 的值． [解] ∵⎪⎪⎪⎪
⎪⎪3 22x －1 2x ＋1＝3， ∴3(2x ＋1)－2(2x －1)＝3，
去括号，得6x ＋3－4x ＋2＝3，
移项，得6x －4x ＝3－3－2，
合并同类项，得2x ＝－2，
系数化为1，得x ＝－1.
10．已知关于x 的方程6－x ＝
x ＋32与a －2(x －4)＝5a 有相同的解集，求a 的值． [解] 6－x ＝x ＋32，去分母得12－2x ＝x ＋3，移项、合并得－3x ＝－9，解得x ＝3，把x
＝3代入a －2(x －4)＝5a 中，得a ＋2＝5a ，解得 a ＝12
. [等级过关练]
1．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是2y －1＝y －●，怎么办呢？小明想了一想便翻看了书后的答案，此方程的解是y ＝－3，很快补好了这个常数，这个常数应是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
D [设所缺的部分为x ，则2y －1＝y －x ，把y ＝－3代入，求得x ＝4.故选D.]
2．下列各式从左到右的变形，是因式分解的为( )
A ．6ab ＝2a ·3b
B ．(x ＋5)(x －2)＝x 2＋3x －10
C ．x 2－8x ＋16＝(x －4)2
D ．x 2－9＋6x ＝(x ＋3)(x －3)＋6x
C [A 项，不是因式分解，故本选项错误；B 项，不是因式分解，故本选项错误；C 项，是因式分解，故本选项正确；
D 项，不是因式分解，故本选项错误．故选C.]
3．已知a 2＋b 2＝6，ab ＝－2，则代数式(4a 2＋3ab －b 2)－(7a 2－5ab ＋2b 2)＝________. －34 [∵a 2＋b 2＝6，ab ＝－2，
∴原式＝4a 2＋3ab －b 2－7a 2＋5ab －2b 2＝－3(a 2＋b 2)＋8ab ＝－18－16＝－34.]
4．已知x 2－5xy －6y 2＝0(y ≠0且x ≠0)，则x y 的值为________．
6或－1 [x 2－5xy －6y 2＝0，(x －6y )(x ＋y )＝0，所以x －6y ＝0或x ＋y ＝0，
所以x ＝6y 或x ＝－y ，所以x y
的值为6或－1. ]。