上海虹口区2012届高三一模数学试题及答案
2012年上海高考文科数学试卷真题及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @ ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：i i 13=（i 为虚数单位）.【答案】 1-2i【解析】ii 13=(3)(1)(1)(1)i i i i =1-2i【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分母实数化即可。
2．若集合}012|{x x A，}1|{x x B ，则B A= .【答案】1|12x x 【解析】由集合A 可得：x>12，由集合B 可得：-1<x<1，所以，B A =1|12x x 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。
3．函数xx x f cos 12sin )(的最小正周期是 .【答案】【解析】根据韪得：1()sin cos 2sin 222f x x x x 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小.4．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】设直线的倾斜角为，则21arctan,21tan.【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.5.一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.【答案】6【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r ，所以该圆柱的表面积为：624222rrl S 圆柱表.【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题.6.方程14230xx 的解是.【答案】3log 2【解析】根据方程03241x x，化简得0322)2(2xx ，令20xt t，则原方程可化为0322tt，解得3t或舍1t，即3log ,322xx.所以原方程的解为3log 2.【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n nV V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21n nV V V .【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.8.在61xx的二项式展开式中，常数项等于.【答案】20【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333461C ()20T x x.【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题.9.已知()y f x 是奇函数，若()()2g x f x 且(1)1g ，则(1)g .【答案】3【解析】因为函数)(x f y 为奇函数，所以有)()(x f x f ，即,1)1(,1)1(,2)1()1(f g f g 所以，又3212)1()1(,1)1()1(f g f f .【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y为奇函数，所以有)()(x f x f 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10.满足约束条件22x y 的目标函数z y x 的最小值是.【答案】2【解析】根据题意得到0,0,22;xy xy或0,0,22;x yx y或0,0,22;x y xy或0,0,2 2.x y x y其可行域为平行四边形ABCD 区域，（包括边界）目标函数可以化成z xy，z 的最小值就是该直线在y 轴上截距的最小值，当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2m i n z .105510642246y=x+z BDAC【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过点)0,2(A 时，z 有最小值，此时2minz ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是（结果用最简分数表示）.【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32.【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.12.在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD，则AM AN 的取值范围是【答案】4,1【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2AD AB ，所以(0,0),(2,0),(2,1)(0,1).A B C D 设)20(),1,(),,2(xx N b M ，根据题意，22xb ，所以2(,1),(2,).2xANx AM 所以123x ANAM20x ，所以41231x ，即41ANAM.105510642246C ADBM N【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13.已知函数()y f x 的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()yxf x （01x）的图像与x 轴围成的图形的面积为.【答案】41【解析】根据题意，得到12,02()122,12x x f x xx，从而得到121,22210,2)(22x x xx x x xf y 所以围成的面积为41)22(2121221dxx xxdxS，所以围成的图形的面积为41.【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大.14.已知1()1f x x，各项均为正数的数列n a 满足11a ，2()n n a f a ，若2010201a a，则2011a a 的值是.【答案】265133【解析】据题xx f 11)(，并且)(2n na f a ，得到nna a 112，11a ，213a ，20122010a a ，得到2010201011a a ，解得2152010a （负值舍去）.依次往前推得到2651331120a a .【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件)(2n na f a 是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15.若12i 是关于x 的实系数方程20xbx c 的一个复数根，则（）A ．2,3bcB.2,1b cC.2,1b cD.2,3bc 【答案】D【解析】根据实系数方程的根的特点知12i 也是该方程的另一个根，所以b i i 22121，即2b ，c i i 3)21)(21(，故答案选择 D.【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意.16.对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mxny的曲线是椭圆”的（）A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程122nymx的曲线表示椭圆，常数常数n m,的取值为0,0,,mn mn 所以，由0mn得不到程122nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn ，因而必要.所以答案选择 B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数n m,的取值情况.属于中档题.17.在△ABC 中，若222sin sin sin A BC ，则△ABC 的形状是（）A ．钝角三角形B 、.直角三角形 C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A Ra 代入得到222abc ，由余弦定理的推理得222cos 02abcCab，所以C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A.【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.18.若2sinsin (i)777n n S （n N ），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（）A ．16 B.72C.86D.100【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC =2，AB=2，AC=23，PA=2.求：（1）三棱锥P-ABC 的体积；（6分）（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.（6分）[解]（1）3232221ABCS ，2分三棱锥P-ABC 的体积为3343131232PAS VABC. 6分（2）取PB 的中点E ，连接DE 、AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE （或其补角）是异面直线BC 与AD 所成的角.8分在三角形ADE 中，DE=2，AE=2，AD=2，4322222222cos ADE，所以∠ADE =43arccos .因此，异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43arccos .12分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(x x f . （1）若1)()21(0x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10x时，有)()(x f x g ，求函数)(x g y ])2,1[(x 的反函数.（8分）[解]（1）由1022x x ，得11x .PABCDPABCDE由1lg )1lg()22lg(0122x xx x 得101122x x . ……3分因为01x ，所以1010221x xx ，3132x.由313211x x 得3132x.……6分（2）当x [1,2]时，2-x [0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y .……10分由单调性可得]2lg ,0[y .因为yx103，所以所求反函数是xy 103，]2lg ,0[x . ……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0t时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）[解]（1）5.0t时，P 的横坐标x P =277t，代入抛物线方程24912xy 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里/时.……4分由tan ∠OAP =30712327，得∠OAP=arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(tt vt ，整理得337)(1442122ttv.……10分因为2212tt，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144v ，即25v . 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:22yxC .xOyPA（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点. 若|MF|=22，求过M 点的坐标；（5分）（2）过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（5分）（3）设斜率为)2|(|k k 的直线l2交C 于P 、Q 两点，若l 与圆122yx相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）[解]（1）双曲线1:2212yC x ，左焦点)0,(26F .设),(y x M ，则22222262)3()(||xy x MF ，……2分由M 是右支上一点，知22x，所以223||22xMF ，得26x.所以)2,(26M . ……5分（2）左顶点)0,(22A ，渐近线方程：x y 2. 过A 与渐近线x y2平行的直线方程为：)(222xy，即12x y.解方程组122x yx y ，得2142yx .……8分所求平行四边形的面积为42||||y OA S .……10分（3）设直线PQ 的方程是b kx y.因直线与已知圆相切，故11||2kb ，即122kb (*).由1222yxb kx y ，得012)2(222bkbx xk .设P(x 1, y 1)、Q(x 2, y 2)，则22221212221kbkkb x x x x .))((2121b kx b kx y y ，所以2212122121)()1(bx x kb x x k y y x x OQOP 22222222221222)1)(1(kkbkb k kb k .由(*)知0OQ OP ，所以OP ⊥OQ.……16分【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．23．对于项数为m 的有穷数列数集}{n a ，记},,,m a x {21k ka a ab （k=1,2,…,m ），即kb 为k a a a ,,,21中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的}{n a ；（4分）（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C b a k mk 1（C 为常数，k=1,2,…,m ）.求证：k ka b （k=1,2,…,m ）；（6分）（3）设m=100，常数)1,(21a.若n ana n n n2)1()1(2，}{n b 是}{n a 的控制数列，求)()()(1001002211a b a b a b .[解]（1）数列}{n a 为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5.……4分（2）因为},,,max{21k k a a a b ，},,,,max{1211k k ka a a ab ，所以k k b b 1. ……6分因为C b a k mk 1，C b a kmk 1，所以011kmk mk kb b a a ，即k ka a 1.……8分因此，k k a b .……10分（3）对25,,2,1k ，)34()34(234k ka a k；)24()24(224kk a a k；)14()14(214kk a a k；)4()4(24k k a a k .比较大小，可得3424k k a a .……12分因为121a ，所以0)38)(1(2414k a a a kk，即1424k ka a ；0)14)(12(2244ka a a kk，即244k ka a .又k k a a 414，从而3434k k a b ，2424kk a b ，2414kka b ，k k a b 44. ……15分因此)()()(1001002211a b a b a b =)()()()()(9999141410107733a b a b a b a b a b k k =)()()()()(999814241097632a a a a a a a a a a k k=2511424)(k k ka a =251)38()1(k ka =)1(2525a .……18分【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。
2012年上海各区县高三一模数列题汇总
2012年上海各区县高三一模数列题汇总嘉定区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．定义1x ，2x ，…，n x 的“倒平均数”为nx x x n+++ 21〔*N n ∈〕．已知数列}{n a 前n项的“倒平均数”为421+n ，记1+=n a c n n 〔*N n ∈〕．〔1〕比较n c 与1+n c 的大小；〔2〕设函数x x x f 4)(2+-=，对〔1〕中的数列}{n c ，是否存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立？假设存在，求出最大的实数λ；假设不存在，说明理由．〔3〕设数列}{n b 满足11=b ，b b =2〔R b ∈且0≠b 〕，21---=n n n b b b 〔*N n ∈且3≥n 〕，且}{n b 是周期为3的周期数列，设n T 为}{n b 前n 项的“倒平均数”，求n n T ∞→lim ．答案：22．〔1〕设数列}{n a 的前n 项和为n S ，由题意得421+=n S n n ， 所以n n S n 422+=，……〔1分〕当1=n 时，611==S a ，当2≥n 时，241+=-=-n S S a n n n ，而1a 也满足此式． 所以24+=n a n 〔*N n ∈〕．……〔1分〕 所以124124+-=++=n n n c n ，……〔1分〕 0)2)(1(222121>++=+-+=-+n n n n c c n n ，因此1+<n n c c ．……〔1分〕 〔2〕假设存在实数λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立，即n c x x ≤+-42对任意*N n ∈恒成立，……〔2分〕由〔1〕知数列}{n c 是递增数列，所以只要124c x x ≤+-，即0342≥+-x x ，〔2分〕解得1≤x 或3≥x ．……〔1分〕所以存在最大的实数1=λ，使得当λ≤x 时，n c x f ≤)(对任意*N n ∈恒成立．…〔1分〕 〔3〕由11=b ，b b =2，得|1|3-=b b ，……〔1分〕① 假设1≥b ，则13-=b b ，1||234=-=b b b ，|2|5b b -=，因为}{n b 周期为3，故b b b ==25，所以b b =-|2|，所以b b =-2，b b -=-2〔舍〕，故1=b ．此时，}{n b 为1，1，0，1，1，0，…．符合题意．……〔1分〕② 假设1<b ，则b b -=13，|21|||234b b b b -=-=，因为}{n b 周期为3，故114==b b ， 所以1|21|=-b ，即121=-b 或121-=-b ，解得0=b 或1=b ，均不合题意．…〔1分〕设数列}{n b 的前n 项和为n S ，则对*N n ∈，有⎪⎩⎪⎨⎧-=--===.23,12,13,2,3,2k n k k n k k n k S n ……〔1分〕即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,312,13,322,3,32k n n k n n k n n S n 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+==.23,123,13,223,3,23k n n nk n n n k n T n 因此23lim =∞→n n T ．〔2分〕卢湾区22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值7分．已知数列{}n b ，假设存在正整数T ，对一切*n ∈N 都有n T n b b +=，则称数列{}n b 为周期数列，T 是它的一个周期．例如：数列a ，a ，a ，a ，… ① 可看作周期为1的数列； 数列a ，b ，a ，b ，… ② 可看作周期为2的数列； 数列a ，b ，c ，a ，b ，c ，… ③ 可看作周期为3的数列…〔1〕对于数列②，它的一个通项公式可以是n a n a b n ⎧=⎨⎩为正奇数，为正偶数.试再写出该数列的一个通项公式；〔2〕求数列③的前n 项和n S ；〔3〕在数列③中，假设12,,12a b c ===-，且它有一个形如sin()n b A n ωϕ=+B +的通项公式，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，0A >，0ω>，||2ϕπ<，求该数列的一个通项公式n b ．答案：22．〔1〕1[1(1)][1(1)]22n n n a b a +=+-++-或|sin||cos |22n n n a a b ππ=+等．〔3分〕 〔2〕当31n k =+时，1()3n n S a b c a -=+++；〔5分〕 当32n k =+时，2()3n n S a b c a b -=++++；〔7分〕 当33n k =+时，()3n nS a b c =++〔k ∈N 〕．〔9分〕〔3〕由题意，0ω>，应有23ωπ=，得23ωπ=，〔10分〕 于是2sin()3n b A n B ϕπ=++，把12b =，212b =，31b =-代入上式得2sin()2,(1)341sin(),(2)32sin(2)1,(3)A B A B A B ϕϕϕπ⎧++=⎪⎪π⎪++=⎨⎪π++=-⎪⎪⎩〔12分〕由(1)(2)可得cos A ϕ=，再代入(1)的展开式，可得5sin 24A B ϕ-+=，与(3)联立得12B =，〔13分〕3sin 2A ϕ=-，于是tan ϕ=，因为||2ϕπ<，所以3ϕπ=-，〔14分〕于是可求得A ．〔15分〕故213sin()332n n b ππ=-+〔*n ∈N 〕或写成213sin[(31)]332n n b k ππ=+-+〔k ∈Z ,*n ∈N 〕．〔16分〕闵行区22.〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第(1)小题总分值4分，第(2)小题总分值5分，第(3)小题总分值7分．将边长分别为1、2、3、…、n 、n +1、…〔*n ∈N 〕的正方形叠放在一起，形成如下图的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数〔1〕求()f n 的表达式；〔2〕写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；〔3〕记()n n b a s s =+∈R ，假设不等式21111000n n n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围.答案：22.解：〔1〕由题意，第1个阴影部分图形的面积为2221-，第2个阴影部分图形的面积为2243-，……，第n 个阴影部分图形的面积为()222(21)n n --.〔2分〕故()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n n n n+++++-+==+ 〔4分〕〔2〕11a =，2(1)3a f ==，32()2317a f a ==⨯+=，当n 为偶数时，(1)21n a f n n =-=-， 〔3分〕 当n 为大于1的奇数时，[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-，故1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数． 〔5分〕〔3〕由〔2〕知1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数．又21111000n n n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->． 〔ⅰ〕当n =1时，即213()(3)(6)0b b b s -=+->，于是303s s +<⇒<- 〔ⅱ〕当n 为偶数时，即[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦于是410n s -+<，()max 426s n <-+=-． 〔3分〕 〔ⅲ〕当n 为大于1的奇数时，即[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦于是210n s ++<，max (21)7s n <--=-． 〔5分〕 综上所述：3s <-． 〔7分〕徐汇区22、〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分,第3小题总分值6分.设,a R ∈把三阶行列式235140421x a x+中第一行第二列元素的余子式记为()f x ，且关于x 的不等式()0f x <的解集为(2,0)-。
上海市虹口区2012届高三教学质量监控测试卷数学(文)试题
虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（文科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}0)2)(5(<-+=x x x M ，{}51≤≤=x x N ，则=⋂N M ． 2、设i z -=1（i 为虚数单位），则=+22z z． 3、若非零向量、=0)2(=⋅+，则与的夹角大小为 ．4、已知椭圆15222=+t y tx 的焦点为)6,0(±，则实数=t ． 5、若等比数列{}n a 满足n n n a a 91=⋅+，则公比=q ．6、一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这平面的距离为3，则该球的体积是 ．7、如果nxx )1(+展开式中，第4项与第6项的系数相等，则该展开式中，常数项的值是 ． 8、在同一平面直角坐标系中，函数)(x g y =的图像与x y 3=的图像关于直线x y =对称，而函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像关于y 轴对称，若1)(-=a f ，则a 的值是9、在约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+00062062y x y x y x 下，目标函数y x z -=2的最大值为 ．10、执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值是 ．DCBA俯视图左视图俯视图左视图左视图俯视图左视图俯视图11、从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a，从｛1，2，3｝中随机选一个数b，则ba<的概率等于．12、在ABC∆中，边2=BC，3=AB，则角C的取值范围是．13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=44)(22xxxxxxxf，则不等式5)(->xf的解集是．14、Rba∈,，ba>且1=ab，则baba-+22的最小值等于．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、命题A：若函数)(xfy=是幂函数，则函数)(xfy=的图像不经过第四象限．那么命题A的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是（）.A0 .B 1 .C 2 .D 316、右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA垂直于底面，它的三视图正确的是（）C1AA17、P为双曲线11222=-yx上一点，1F、2F分别是左、右焦点，若2:3:21=PFPF，则21FPF∆的面积是（）.A36.B312.C12.D2418、等差数列{}n a中，如果存在正整数k和l（lk≠），使得前k项和lkSk=，前l项和klSl=，则（）.A4>+lkS.B4=+lkS.C4<+lkS.DlkS+与4的大小关系不确定三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）在长方体1111DCBAABCD-中，6==BCAB，用过1A，B，1C三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体111DCAABCD-的体积为120．（1）求棱1AA的长；（2）若O为11CA的中点，求异面直线BO与11DA所成角的大小．20、（本题满分12分）已知xf⋅=)(，其中)1,cos2(x=，)2sin3,cos(xx=)(Rx∈．（1）求)(xf的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC∆中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若2)(=Af，1=b，ABC∆面积为233，求：边a的长及ABC∆的外接圆半径R．x21、（本题满分14分）已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2 )1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数xx g x f )()(=． （1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围；22、（本题满分18分）已知：曲线C 上任意一点到点)0,1(F 的距离与到直线1-=x 的距离相等．（1）求曲线C 的方程； （2）过点)0,1(F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，若MN 长为316，求直线MN 的方程； （3）设O 为坐标原点，如果直线)1(-=x k y 交曲线C 于A 、B 两点，是否存在实数k ，使得0=⋅OB OA ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．23、（本题满分18分）如图，平面直角坐标系中，射线x y =（0≥x ）和0=y （0≥x ）上分别依次有点1A 、2A ，……，n A ，……，和点1B ，2B ，……，n B ……，其中)1,1(1A ，)0,1(1B ，)0,2(2B ．且21+=-n n OA OA ， n n n n B B B B 1121-+=4,3,2(=n ……）． （1）用n 表示n OA 及点n A 的坐标； （2）用n 表示1+n n B B 及点n B 的坐标；（3）写出四边形n n n n B B A A 11++的面积关于n 的表达式)(n S )(n S 的最大值．虹口区2011学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷答案（文科）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、{}21<≤x x ； 2、i -1； 3、︒120； 4、2，3；5、3；6、31040π； 7、70； 8、 31- ； 9、6；10、4； 11、61； 12、]3,0(π； 13、),1(∞+-； 14、22 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、C ； 16、B ； 17、C ； 18、A ； 三、解答题（满分74分）19、（12分）（1）设h AA =1，12062131622=⋅⋅⋅-⋅=h h V ∴41==h AA …………6分（2） 11//D A BC ，∴OBC ∠是所求异面直线所成的角…………8分 在OBC ∆中，34)23(422=+==OC OB ，6=BC ，∴34343arccos =∠OBC …………12分 20、（12分）（1）1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f …………2分π=T ………………3分单调递增区间]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈……………4分 （2）21)62sin(2)(=++=πA A f ，由21)62sin(=+πA ，得3π=A …………6分 2333sin 121=⨯⨯⨯πc ，∴6=c …………8分 31216126122=⨯⨯⨯-+=a …………10分3sin31sin 2π==AaR ，∴393=R …………12分 21、（14分）（1）b ax ax x g ++-=12)(2，由题意得：︒1 ⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=>413)3(11)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧==01b a ， 或 ︒2⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=<113)3(41)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧>=-=131b a （舍去） ∴1=a ，0=b …………6分12)(2+-=x x x g ，21)(-+=xx x f …………7分 （2）不等式02)2(≥⋅-x x k f ，即xx x k 22212⋅≥-+，∴1)21(2)21(2+⋅-≤x x k ……10分设]2,21[21∈=x t ，∴2)1(-≤t k ， 0)1(min 2=-t ，∴0≤k …………14分22、（18分）（1）x y 42=…………4分（2）当直线MN 的斜率不存在时，不合题意。
2012学年第一学期虹口区高三数学质量调研卷(文理)
虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷（时间120分钟，满分150分） 2013.1一、填空题：（每小题4分，满分56分）1.已知集合{}0322<-+=x x x A ，{}21<-=x x B ，则=⋂B A ． 2.已知向量)2,1(-=a ，)1,1(=b ，b a m -=，b a n λ+=，如果n m ⊥，则实数=λ ．3.从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者，则甲被选中的概率是 ．4.双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 ． 5.已知ααcos 3sin =，则=+αα2sin 12cos ．6.在下面的程序框图中，输出的y 是x 的函数，记为)(x f y =，则=-)21(1f ．输出结束开始7.关于z 的方程20132012101i zii izi+=--+（其中i 是虚数单位），则方程的解=z ． 8.若对于任意0>x ，不等式a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.在等比数列{}n a 中，已知3221=a a ，243=a a ，则=+++∞→)(lim 21n n a a a ． 10.在ABC ∆中，32=AB ，2=AC 且︒=∠30B ，则ABC ∆的面积等于 ． 11.已知正实数x 、y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于 ．12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ，则=m ．13.设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，当],0[π∈x 时，1)(0<<x f ，且在]2,0[π上单调递减，在],2[ππ上单调递增，则函数x x f y sin )(-=在]10,10[ππ-上的零点个数为 ．14.设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．二、选择题：（每小题5分，满分20分）15.若i -2是关于x 的实系数方程02=++b ax x 的一根，则该方程两根的模的和为（ ）A . 5；B ．52；C .5；D .10.16.已知1l 、2l 、3l 是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）A .如果21l l ⊥ ，32//l l ．则31l l ⊥；B ．如果21//l l ，32//l l ．则1l 、2l 、3l 共面．C .如果21l l ⊥ ，32l l ⊥．则31l l ⊥；D .如果1l 、2l 、3l 共点．则1l 、2l 、3l 共面．17.定义域为R 的函数c x b ax x f ++=2)()0(≠a 有四个单调区间，则实数c b a ,,满足（ ）A . 0042>>-a ac b 且；B ．042>-ac b ；C .02>-ab ； D .02<-ab .18.数列}{n a 满足⎩⎨⎧=-==k n a k n n a k n 2,12,当当，其中*∈N k ，设n n a a a a n f 21221)(++++=- ，则)2012()2013(f f -等于（ ）A . 20122；B ．20132；C .20124；D .20134.三、解答题：（满分74分） 19.（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，侧棱PA 的长为52，PA 与CD 所成的角的大小等于DCBA P510arccos． （1）求正四棱锥ABCD P -的体积；（2）若正四棱锥ABCD P -的五个顶点都在球O 的表面上，求此球O 的半径．20.（本题满分14分）已知函数x x x x x x f 2cos cos sin 3)3sin(sin 2)(+⋅+-⋅=π．（1）求函数)(x f 的最小正周期，最大值及取最大值时相应的x 值； （2）如果20π≤≤x ，求)(x f 的取值范围．21.（本题满分14分）已知圆:O 422=+y x ．（1）直线1l ：0323=-+y x 与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ； （2）如图，设),(11y x M 、),(22y x P 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM 、2PM 与y 轴分别交于),0(m 和),0(n ，问n m ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．22.（本题满分16分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和nn n n n n C S C S C S C S ⋅++⋅+⋅+⋅+1231201 ；（3）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ． 问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．23.（本题满分18分）如果函数)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”．（1）判断函数x y sin =是否具有“)(a P 性质”，若具有“)(a P 性质”求出所有a 的值；若不具有“)(a P 性质”，请说明理由．（2）已知)(x f y =具有“)0(P 性质”，且当0≤x 时2)()(m x x f +=，求)(x f y =在]1,0[上的最大值．（3）设函数)(x g y =具有“)1(±P 性质”，且当2121≤≤-x 时，x x g =)(．若)(x g y =与mx y =交点个数为2013个，求m 的值．虹口区2012学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试卷答案一、填空题（每小题4分，满分56分）1、)1,1(-；2、2；3、21； 4、3π； 5、21-； 6、1-； 7、i 21-； 8、51≥a ； 9、16±； 10、32或3；11、9； 12、10； 13、20； 14、427； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、B ； 16、A ； 17、C ； 18、C ； 三、解答题（满分74分） 19、(12分) 解：（1）取AB 的中点M ，记正方形ABCD 对角线的交点为O '，连PM ，O P '，AC ，则AC 过O '．PB PA =，AB PM ⊥∴，又510cos =∠PAM ，52=PA ，得22=AM .………………4分4='O A ，2='O P3642)24(31312=⋅⋅='⋅=-O P S V ABCD P 底 ∴正四棱锥ABCD P -的体积等于364（立方单位）．………………8分（2）连AO ，O O '，设球的半径为R ，则R OA =，2-='-='R O P R O O ，在A O O Rt '∆中有2224)2(+-=R R ，得5=R 。
虹口区2012学年高一上数学测试期末区统考
虹口区高一年级数学 本试卷共6页 第1页虹口区2012学年度第一学期高一年级数学学科 期终教学质量监控测试试卷（考试时间90分钟，满分100分） 2013.1【考生注意】 1、请在试卷首页相应位置正确填写学校、班级、姓名、学号等信息。
2、本试卷共20题，部分题目分为(A 卷题)和（B 卷题），请考生务必看清自己 应答的试题．一、填空题（本大题满分30分）本大题共10题，每题3分.1、已知集合{}{}21,0,1,,A B x x x =-==则________.A B ⋂= 2、不等式21x ->的解集是_______________.3、若函数231,3(),log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩则((9))f f = ．4、已知条件:24,p x ≤<条件:312,q k x k -≤≤- 且p q 是的充分条件，则实数k 的取值范 围是 ．5、命题“若实数15a a a =+、b 满足且b=3,则b<”的逆否命题是 _________________________.6、函数11()2,,25f x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域是 ． 7、（A 卷题）函数32()32f x x x x =-+的零点是 ．（B 卷题）已知函数()5x f x a =+的反函数为1()y f x -=，若函数1()y f x -=的图像过 点(4,1)，则实数a 的值为 ．8、（A 卷题）已知函数()2x a f x -= 在区间[)3∞，+上是增函数，则实数a 的取值范围 是 ．（B 卷题）已知函数()log (2)a f x ax =-在区间[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．9、已知函数)(x f y =是定义在实数集R 上的奇函数，若()f x 在区间(0,)+∞单调递增，且(3)0,f =则不等式()0f x x≤的解集是 ．虹口区高一年级数学 本试卷共6页 第2页10、22232()______.1x x f x x ++=+函数的最大值与最小值的差等于二、选择题（本大题满分20分）本大题共5题，每题4分.11、设全集{}1,2,3,4,5,6,U =集合{}{}1,2,3,4,3,4,5,A B ==则()U A B ⋂=ð（ ）(A) {}1,2,3,4,6; (B) {}1,2,3,4,5; ( C) {}1,2,5; (D){}1,2. 12、设,x y R ∈，则“23x y ≠≠或”是“5x y +≠”的 （ ） (A) 充分不必要条件; ( B) 必要不充分条件;(C) 充要条件; (D ) 既不充分也不必要条件.13、设,,a b c R +∈,则“1abc =”是“a b c ++≥ （ ） (A) 充分不必要条件； ( B) 必要不充分条件；(C) 充要条件； (D ) 既不充分也不必要条件.14、若22,0,0(),(),0,0x x x x f x g x x x x x ≥⎧⎧≥==⎨⎨<-<⎩⎩，则当[]0()()x f g x <=时，;A x -（） 2B x -（） ;C x （） 2.D x （） 15、若定义在()(),11,-∞+∞ 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞ 时，()231x f x x -=-，则下列结论中正确的是 （ ） (A ) 存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦恒成立； ( B) 对任意t R ∈，()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦恒成立； (C ）存在()(),11,t ∈-∞+∞ ，使函数()f x 取到最小值()f t ；(D ）若函数()f x 在(],t -∞单调递减，则实数t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.三、解答题（本大题共50分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
2024届上海市虹口区高三一模数学试题及答案
上海市虹口区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.12一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合 0,1,2,3,4,5A ，21B x x ，则A B ．2.函数lg 2y x的定义域为．3.4.5.在x6.已知7.双曲线8.9.已知y 且21(1)0f a f a ，则实数a 的10.天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为11.设a ．12.设312231,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a ，且对任意的,i j1,2,3，均有 j i a b ，则122331b b b b b b．二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.设i 为虚数单位，若2521iz i i，则z （）.A 12i ；.B 12i ；.C 2i ；.D 2i ．第8题图14.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表：为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI 的数据并绘成折线图如下：.A .B .C .D 15..A .C 316.已知曲线 的对称中心为O ，若对于 上的任意一点A ，都存在 上两点B 、C ，使得O 为ABC 的重心，则称曲线 为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．则（）.A ①是假命题，②是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①②都是假命题；.D ①②都是真命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 sin sin sin ,sin m A B C A，,n c b c a ，//m n ．（1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求sin sin y A C 的取值范围．18.1CC 的中点，满足11AM A B （1）（2）所成角的大小．19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水，计划以后每月月底排放一次，每月排放处理后的废水比上月增加2吨．（1）若按计划排放，该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用．该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力．试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？已知点 ,4M m 在抛物线2:2x py （0p ）上，点F 为 的焦点，且5MF ．过点F 的直线l 与及圆 2211x y 依次相交于点A 、B 、C 、D ，如图．（1）求抛物线 的方程及点M 的坐标；（2）求证：AC BD 为定值；（3）过A 、B 两点分别作 的切线1l 、2l ，且1l 与2l 相交于点P ，求ACP 与BDP 的面积之和的最小值．第20题图已知 y f x 与 y g x 都是定义在 0, 上的函数，若对任意 12,0,x x ，当12x x 时，都有121212f x f xg x g x x x，则称 y g x 是 y f x 的一个“控制函数”．（1）判断2y x 是否为函数2y x （0x ）的一个控制函数，并说明理由；（2）设 ln f x x 的导数为 'f x ，0a b ，求证：关于x 的方程'f b f a f x b a在区间,a b 上有实数解（3）设 ln f x x x ，函数 y f x 是否存在控制函数？若存在，请求出 y f x 的所有控制函数；若不存在，请说明理由．1M 1( 第18题图1 )B 虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试高三数学 参考答案和评分标准 2023年12月一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ） 1．{}1,2,3 2．(2,5) 3. 924． 12π 5．560 6.7. 35 8．cos(2)6x π− 9. (1, 10．1711．()9,+∞ 12.3二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. A 14. C 15. D 16. B 三、解答题（本大题共5题，满分78分）17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)解：(1) 因为m //n ，所以 ()()sin sin sin sin A B C b c a c A +−⋅+−=⋅， …… 2分由正弦定理，可得 ()()a b c b c a ac +−⋅+−=，即 222ac a c b =+−. …… 4分于是，由余弦定理得 2221cos 22a cb B ac +−==，又()0,B π∈，所以3B π=．…… 7分（2）由（1）可知2,3A C π+=所以23sin sin sin sin()sin )326y A C A A A A A ππ=+=+−==+ …… 11分 由△ABC 为锐角△,得20,0,232A A πππ<<<−<且所以,62A ππ<<从而362.3A πππ<+<所以sin sin )6y A C A π=+=+的取值范围为32,.⎛ ⎝ …… 14分 18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 证：(1) 取AC 中点D ，连接DN ，A 1D .因AA 1＝AC ，AD ＝CM ，∠A 1AD ＝∠ACM 90=︒， 故△A 1AD ≌△ACM . …… 2分从而∠AA 1D ＝∠CAM ，又因∠AA 1D ＋∠A 1DA 90=︒， 故∠CAM ＋∠A 1DA 90=︒.所以AM ⊥A 1D .由于AM ⊥A 1B 1及A 1B 111,A D A ⋂=因此( 第18题图2 )AM ⊥平面A 1B 1D. …… 4分因D , N 分别为AC , BC 的中点，故D N // AB ，从而D N // A 1B 1，于是A 1，P ，B 1，N ，D 在同一平面内，故AM ⊥面A1PN. …… 6分 解：(2) 因为AB ＝AC ＝4，BC ＝AB 2＋AC 2＝BC 故AB ⊥AC.因AM ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，故AM ⊥AB ； 又因AM ∩AC ＝A ，所以AB ⊥面ACC 1A 1 ， 从而AB ⊥AA 1；因此AB ，AC ，AA 1两两垂直.以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. ……8分则由条件，相关点的坐标为M (0，4，2)，N (2，2，0)，P ( 1，0，4)，B 1(4，0，4). 设平面MNP 的一个法向量为(,,),n x y z =则(,,)(2,2,2)2220,,2,(,,)(1,4,2)420,n MN x y z x y z y z x z n MP x y z x y z ⎧⋅=⋅−−=−−==⎧⎪⎨⎨=⋅=⋅−=−+=⎩⎪⎩即取1,(2,1,1).z n ==得 ……11分因1AB = (4，0，4)，设直线1AB 与平面PMN 所成的角为θ，则111(4,0,4)(2,1,1)123sin cos ,.(4,0,4)(2,1,1)2426AB n AB n AB nθ⋅⋅=<>====⋅⋅⋅故直线1AB 与平面PMN 所成角的大小为.3π ……14分 19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)解：（1）设从2023年1月起第n 个月处理后的废水排放量为n a 吨，则由已知条件知： 数列{}n a 是首项为10，公差为2的等差数列，故28n a n =+. ……2分当18002nni an =≥+∑时，即[]10(28)80022n n n ++≥+， ……4分化简得278000n n +−≥，解得25,32;n n ≥≤−或 由n 是正整数，则25n ≥.故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. ……6分 （2）设从2023年1月起第n 个月深度净化的废水量为n b 吨. 由已知条件，1260b b b ====，当7n ≥时， 数列{}n b 是首项为5，公比为1.2的等比数列，故70,16,5 1.2,7,n n n b n −≤≤⎧=⎨⨯≥⎩ （n 为正整数）. ……8分 显然，当16n ≤≤时，n n a b >. 当7n n n a b ≥≤时,由得 7285 1.2n n −+≤⨯. （*） ……10分设7285 1.2n n c n −=+−⨯，则812 1.2n n n c c −−−=−，所以当711n ≤≤时，数列{}n c 是严格增数列，且0;n c > 当12n ≥时，数列{}n c 是严格减数列. ……12分由于19 1.420c ≈>，20 5.500c ≈−<.所以不等式（*）的解为20n ≥（n 为正整数）. 故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. ……14分20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 解：（1）易知抛物线Γ的焦点F 的坐标为(0,),2p 准线为2py =−，由抛物线的定义，得 452pMF +==，故2p =.所以，抛物线Γ的方程为24.x y = ………2分将 (,4)M m 代入Γ的方程，得4x =±，所以点M 的坐标为：(4,4),或(4,4).− ………4分 （2）由（1）知F (0,1),又由条件知直线l 的斜率 存在，设直线l 的方程为1y k x =+，并设A 11(,),x yB 22(,),x y 则由21,4,y k x x y =+⎧⎨=⎩得2440,x kx −−=故216(1)0,k ∆=+>且12124, 4.x x k x x +==−………7分由抛物线的定义，可知11,AF y =+2 1.BF y =+又因圆22(1)1x y +−=的圆心为F （0,1），半径为1，于是 11,AC AF y =−= 21.BD FB y =−=所以 AC BD ⋅222121212()14416x x x x y y ==⋅==. ………10分（3）由24x y =得24x y =，而12y x '=.故过点A 211(,)4x x 的抛物线 Γ的切线1l 的方程为2111(),42x x y x x −=−即 21120.2x x x y −−= ①………12分同理，过点B 222(,)4x x 的抛物线Γ的切线2l 的方程为 22220.2x x x y −−= ②由①，②可得：2212121212112,() 1.2424P P P x x x x x k y x x x x x ⎡⎤++===+−==−⎢⎥⎣⎦即(2,1).P k − ……15分 所以点P 到直线l : 10k x y −+=的距离为d ==于是 111()222ACP BDP S S AC d BD d AC BD d ∆∆+=⋅+⋅=+⋅ ()()()()22212121212221112224811682218x x y y d d x x x x d k k ⎛⎫+⎡⎤=+⋅=⋅=+−⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭=+⋅+ 故当k =0，即直线l 为y =1 时，ACP BDP S S ∆∆+有最小值2. ……18分 21. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)解：（1）由于对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都有112222x x x x ≤+≤； ……2分 即有2212121222,x x x x x x −≤≤−故由控制函数的定义，22y x y x ==是函数的控制函数. ……4分证：（2）关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln ln 10ln ln ln 10b a b b b a a a a a b a a a b b b b−⎧⎧−<−+<⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨−⎪⎪−<−+<⎪⎪⎩⎩. ……7分 记()ln 1F x x x =−+，则()11'1x F x x x−=−=，当()0,1x ∈时()'0F x >，()F x 在()0,1上严格增；当()1,x ∈+∞时()'0F x <，()F x 在()1,+∞上严格减. 而01a b b a <<<，故()()10,10a b F F F F b a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是所要证的结论成立.……10分 另证：关于x 的方程ln ln 1b a b a x −=−在区间(),a b 上有实数解1ln ln 1b a b b a a −⇔<<− ()()ln ln ln ln a b a b a b b a ⇔−<−<−ln ln 0ln ln 0a b b a a a b a a b b b −+−<⎧⇔⎨−+−<⎩. ……7分 记()ln ln F x a x x a a a =−+−，则()'1a F x x =−，当[],x a b ∈时()'0F x ≤，故()F x 在[],a b 上严格减，()()0F b F a <=.记()ln ln G x b x x b b b =−+−，则()G'1b x x=−，当[],x a b ∈时()'0G x ≥，故()G x 在[],a b 上严格增，()()0G a G b <=. 于是所要证的结论成立. ……10分解：（3）①先证引理：对任意0a b <<，关于x 的方程()()()'f b f a f x b a −=−在区间(),a b 上恒有实数解. 这等价于()()()()ln ln ln 1ln 1ln 1ln ln ln 1b b a a a b a b a b b a a b b a b a −+<<+⇔+−<−<+−− 1ln ln 1b a b b a a−⇔<<−，由（2）知结论成立. ……12分 ②（证控制函数的唯一性）假设()y f x =存在“控制函数”()y g x =，由上述引理知，对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()12()'()g x f c g x ≤≤.……（*） 下证：()()()',0,g x f x x =∈+∞.若存在()10,t ∈+∞使得()()11'g t f t >，考虑到()'ln 1f x x =+是值域为R 的严格增函数，故存在21t t >使得()()21'f t g t =.由（*）知存在()012,c t t ∈使得()102()'()g t f c g t ≤≤，于是有()()()012''f c g t f t ≥=，由()'f x 的单调性知02c t ≥，矛盾.故对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≤.同理可证，对任意()0,x ∈+∞都有()()'g x f x ≥，从而()()'g x f x =. ……15分 ③（证控制函数的存在性）最后验证，()()'g x f x =是()y f x =的一个“控制函数”. 对任意()12,0x x ∈+∞，，当12x x <时，都存在()12,c x x ∈使得()1212()()'f x f x f c x x −=−，而由()'f x 的单调性知()12'()''()f x f c f x ≤≤，即121212()()()()f x f x g x g x x x −≤≤−. 综上，函数()y f x =存在唯一的控制函数ln 1y x =+. ……18分。
2012年高三一模数学试题答案(文)
数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π； 12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得s i n ()s i n (π)s i n A CB B +=-=． ………………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………6分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ………………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得 27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ， ),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ………………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，则c = ………………1分由3c e a ==， 得 a =， 从而2224b a c =-=． ………………4分所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ………………5分（Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ………………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513kx x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． (10)分由点A ，B 都在以点(0,3为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即22532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ………4分由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即11k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．……………7分当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．B经过502次“T变换”一定得到各项为2,0,2(不考虑因此，数列:1004,2,1006顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．………………13分。
2012年一模三角函数
2012年一模三角函数一、选择题1．(普陀区·16)“2k αβ=π+()k ∈Z ”是“tan tan αβ=”成立的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件答案：D2．(青浦区2011学年第一学期高三年级期末质量抽查考试·17)函数)0,0)(cos(3πϕωϕω<<>+=x y 为奇函数，B A 、分别为函数图像上相邻的最高点与最低点，且4=AB ，则该函数的一条对称轴为…………………………………（）．A .1=x .B 2=xC .2π=x D .π2=x答案：A3．(上海市崇明高三数学·15)已知函数()cos(2)2f x x π=+()x R ∈，下面结论错误．．的是……………………………（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 是奇函数 C ．函数()f x 在4x π=时，取得最小值D ．函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数答案：D4．(2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷（文科）·17)已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是…………………（）A ．4sin(4)6y x π=+B ．2sin(4)26y x π=++C ．2sin(2)23y x π=++D ．2sin(4)23y x π=++答案：B 二、填空题5．(上海市奉贤区2012届高三期末调研试卷数学试题文理科·2)函数xx y 2sin 2cos 22-=的最小正周期是______________x图1答案：2π6．(虹口区2011学年度高三一模数学试卷（文理合卷(含答案)·4)若三角方程12cos 7sin 2-=-m x x 有解，则实数m 的取值范围是；答案：]2,1[-；7．(虹口区2011学年度高三一模数学试卷（文理合卷(含答案)·6)已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则ϕ=；答案：8π；8．(上海市崇明高三数学·3)如果[)0,2απ∈，方程tan()x α+=的一个解为4x π=，则α等于 ．答案：112π或1312π9．(2011学年普陀区·1)函数()22sincos22x x f x =-的最小正周期是．答案：10．(上海市奉贤区2012届高三期末调研试卷数学试题文理科·10)（理）函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,0,cos 3sin πx x x y 的单调递增区间__________(文)函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,0,cos 3sin πx x x y 的最小值是__________答案：理⎦⎤⎢⎣⎡6,0π10．文111．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·9)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图１所示，则5()24f π-＝．x图1x图1答案：1-12．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·9)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图１所示，则5()24f π-＝．答案：1-；13．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·9)已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图像如图１所示，则5()24f π-＝．答案：1-；14．(上海市静安区2011学年第一学期期末教学质量检测理new ·2) 函数1cos sin 1)(--=x x x f 的定义域为. 答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠+≠∈Z k k x k x R x x ,2,22,ππππ； 三、解答题15．(上海市崇明高三数学·20)（本题14分，第（1）小题4分，第（2）小题10分）． 已知：函数1()2sin(),36f x x x Rπ=-∈ ．(1）求5()2f π的值；(2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，106(3),(32)2135f f παβπ+=+= ，求sin()αβ+的值．答案：[解]（1）52()2sin23f ππ=(2）因为10(3)213f πα+=，所以5sin 13α=由于,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以12cos 13α=；又因为6(32)5f βπ+=，所以3cos 5β=由于,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4sin 5β=所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ 6365=16．(2011学年闸北第一学期高三文科数学期末练习卷及答案·17)（14分）已知A B C △的面积为1，且满足2≥⋅AC AB ，设AB和A C 的夹角为θ． (1）求θ的取值范围；(2）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4cos 22cos 3)(2πθθθf 的最小值．答案：解：（1）设A B C △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 21=θbc ，2cos ≥θbc ，……………………………………………………4分可得1cot ≥θ，⎥⎦⎤⎝⎛∈∴4,0πθ．…………………………………………………………2分(2）132sin 24cos 22cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πθπθθθf ………………………5分⎥⎦⎤ ⎝⎛∈4,0πθ ，⎥⎦⎤⎝⎛∈+∴65,332πππθ， 所以，当6532ππθ=+，即4πθ=时，.0)(min =θf ……………………………3分17．(2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）·20)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，设是圆和轴正半轴的交点，、是圆上的两点，是坐标原点，，，．(1）若点的坐标是，求的值； (2）设函数，求的值域．答案：（1）由题意，点的坐标是，点的坐 标是，……（1分）所以，，……（2分）所以．……（3分） (2）由题意， ，……（3分）因为，所以，…………（2分） A 122=+y x x P Q O 6π=∠AOP α=∠AOQ ),0[πα∈Q ⎪⎭⎫⎝⎛54,53⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos παOQ OP f ⋅=)(α)(αf P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23Q )sin ,(cos αα53cos =α54sin =α⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα6sin sin 6coscos παπα+=1033421542353+=⨯+⨯=αααααsin 21cos 23)sin ,(cos 21,23)(+=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin πα),0[πα∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+34,33πππα所以．即函数的值域是．…………（3分）18．(虹口区2011学年度高三一模数学试卷（文理合卷(含答案)·20)（15分）已知向量.)()(),21,cos 3(),1,(sin m n m x f x n x m ⋅+===函数(1）求函数)(x f 的最小正周期；(2）若c b a ,,是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，22,32==c a ，且]20()()(π，在是函数x f A f 上的最大值，求：角A ，角C 及b 边的大小.答案：（15分）(1）23cos sin 3sin)1,sin ()23,cos 3sin ()(2+⋅+=⋅+=x x x x x x x f 2)62sin(+-=πx ，π=T ………………………………………………………………………………5分(2） 20π≤<x ，∴65626πππ≤-<-x ，∴)(x f 的最大值为3．∴32)62sin()(=+-=πA A f ， A 为三角形内角，∴3π=A ………………9分又Csin 223sin32=π，得22sin =C ， π<+C A ，∴4π=C ………………12分由212228122⋅⋅-+=b b ，得04222=--b b ，∴62+=b ………15分19．(2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）·20)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫⎝⎛+1,233sin πα)(αf ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,23已知函数．(1）求方程的解集；(2）如果△的三边，，满足，且边所对的角为，求角的取值范围及此时函数的值域．答案：（1）解法一：由，得，……（1分） 由，得，（）．……（2分）由，得，，（）．…………（2分）所以方程的解集为．……（1分） 解法二：，……（2分） 由，得，…………（1分） ，，…………（2分）所以方程的解集为．…………（1分） (2）由余弦定理，，，…………（2分） 所以，…………（1分）由题意，，所以．……（1分），，……（2分） 2cos32cos2sin)(2x x x x f +=0)(=x f ABC a b c ac b =2b x x )(x f 0)(=x f 02cos32sin2cos =⎪⎭⎫⎝⎛+x xx 02cos =x 22ππ+=k x ππ+=k x 2Z k ∈02cos32sin=+x x 32tan-=x 32ππ-=k x 322ππ-=k x Z k ∈0)(=x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+=Z k k x k x x ,3222ππππ或233sin )1(cos 23sin 21)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x x f 0)(=x f 233sin -=⎪⎭⎫⎝⎛+πx 3)1(3πππk k x --=+Z k ∈0)(=x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈---=Z k k x x k,33)1(πππB ac c a b cos 2222-+=acacc a ac b c a B 22cos 22222-+=-+=21≥30π≤<B B x =⎥⎦⎤ ⎝⎛∈3,0πx 233sin )1(cos 23sin 21)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=πx x x x f ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+32,33πππx所以此时函数的值域为．…………（2分） 20．(黄埔区2011学年度高三一模数学试卷（含答案）文理卷·22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+-∈．(1) 试说明函数()f x 的图像是由函数sin y x =的图像经过怎样的变换得到的； (2) (理科)若函数()11|()||()|()21223g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，并用反证法证明函数()g x 的最小正周期是4π；(文科)若函数()117|()||()|()212212g x f x f x x R ππ=+++∈，试判断函数()g x 的奇偶性，写出函数()g x 的最小正周期并说明理由； (3) 求函数()g x 的单调区间和值域．答案：(本题满分16分)解(1)∵2()2sin cos 1f x x x x =+-s i n 2c o s 2x x =-， ∴()2sin(2)()6f x x x R π=-∈．∴函数()f x 的图像可由sin y x =的图像按如下方式变换得到： ①将函数sin y x =的图像向右平移6π个单位，得到函数sin()6y x π=-的图像；②将函数sin()6y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数sin(2)6y x π=-的图像；)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+123,3③将函数sin(2)6y x π=-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数()2sin(2)()6f x x x R π=-∈的图像．(说明：横坐标先放缩，再平移也可．即将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数sin 2y x =，再将函数sin 2y x =的图像向右平移12π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图像，最后将函数sin(2)6y x π=-的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数()2sin(2)()6f x x x R π=-∈的图像．)(2)(理科)由(1)知，()2sin(2)()6f x x x R π=-∈，∴11()|()||()||sin 2||cos 2|()21223g x f x f x x x x R ππ=+++=+∈．又对任意x R ∈，有()|sin(2)||cos(2)||sin 2||cos 2|()g x x x x x g x -=-+-=+=， ∴函数()g x 是偶函数． ∵()|sin 2()||cos 2()||cos 2||sin 2|()444g x x x x x g x πππ+=+++=+=，∴()g x 是周期函数，4T π=是它的一个周期．现用反证法证明4T π=是函数()g x 的最小正周期。
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上海市虹口区2012届高三上学期期终教学质量监控测试数学试卷（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、已知集合{}4,3,2,1=M ，{}7,5,3,1=N ，集合N M P ⋂=，则集合P 的子集共有 个． 2、若函数xax x f +=4)(在区间]2,0(上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 3、已知ααcos 31sin -=，则ααπ2cos )4sin(-的值等于 ．4、若三角方程12cos 7sin 2-=-m αα有解，则实数m 的取值范围是 ．5、从1，2，3，4，5，6这六个数中一次随机取出两数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率等于 ．6、已知函数)4sin()(πω+=x x f （R x ∈，0>ω）的最小正周期为π，将)(x f y =图像向左平移ϕ个单位长度)20(πϕ<<所得图像关于y 轴对称，则=ϕ ．7、a ，b 是两个不共线的单位向量，若向量b a -与向量b a k +2垂直，则实数=k ． 8、数列{}n a 满足01=a ，且211111=---+nn a a )(*∈N n ，则通项公式=n a ．9、过抛物线x y 82=的焦点作弦AB ，点),(11y x A ，),(22y x B ，且1021=+x x ，则=AB ．10、已知双曲线112422=-y x 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 在双曲线上， 且︒=∠9021PF F ，则点P 到x 轴的距离等于 ．11、过圆25)3()1(22=-+-y x 内的点），01(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积等于 ．12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若189=S ，304=-k a )9(>k ，336=k S ，则=k ．13、已知函数a x x f +=2)(，16)(2+-=x x x g ，对于任意的]1,1[1-∈x 都能找到]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g =，则实数a 的取值范围是 ．14、已知a bc ，b ac ，c ab 成等差数列，则①2b ac ≥；②ac b ≥2；③b c a ≥+2中，正确的是 ．（填入序号）二、选择题（每小题5分，满分20分）15、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为线段11D B 上的一个动点，则下列结论中错误的是（ ）.A BE AC ⊥ .B //1E B 平面ABCD .C 三棱锥ABC E -的体积为定值 .D 直线E B 1⊥直线1BC16、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对于任意的*∈N n m ,，都满足n m m n S S S +=+，且21=a ，则2011a 等于（ ）.A 2 .B 2011 .C 2012 .D 402217、定义在R 上的函数)(x f ，当]1,1(-∈x 时，x x x f -=2)(，且对任意的x 满足)()2(x af x f =-（常数0>a ），则函数)(x f 在区间]7,5(上的最小值是（ ）.A 341a -.B 341a .C 341a.D 341a - 18、已知集合{}R x x x x A ∈<+-=,0342，{}R x x a x a x B x∈≤++-≤+=-,05)7(20221且，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） .A ]0,4[- .B ]1,4[-- .C ]0,1[- .D]1,314[--三、解答题（满分74分）19、（13分）已知椭圆P 的焦点坐标为)1,0(±，长轴等于焦距的2倍．（1）求椭圆P 的方程；（2）矩形ABCD 的边AB 在y 轴上，点C 、D 落在椭圆P 上，求矩形绕y 轴旋转一周后所得圆柱体侧面积的最大值．20、（15分）已知向量)1,sin (x m =，)21,cos 3(x n =，函数m n m x f ⋅+=)()(． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，32=a ，22=c ，且)(A f 是函数)(x f 在]2,0(π上的最大值，求：角A ，角C 及b 边的大小．21、（15分）（1）求以02=±y x 为渐近线，且过点)2,72(-的双曲线A 的方程；（2）求以双曲线A 的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆B 的方程；（3）椭圆B 上有两点P ，Q ，O 为坐标原点，若直线OP ，OQ 斜率之积为51，求证：22OQ OP + 为定值．22、（15分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2)21(211+-=--n n n S S （2≥n ，*∈N n ），且211=a ． （1）求2a 的值，并写出n a 和1+n a 的关系式； （2）求数列{}n a 的通项公式及n S 的表达式；（3）我们可以证明：若数列{}n b 有上界（即存在常数A ，使得A b n <对一切*∈N n 恒成立）且单调递增；或数列{}n b 有下界（即存在常数B ，使得B b n >对一切*∈N n 恒成立）且单调递减，则n n b ∞→lim 存在．利用上述结论，证明：n n S ∞→lim 存在．23、（16分）已知函数2)1(1log )(---=x x m x f a（0>a ，1≠a ）．（1）若1-=m 时，判断函数)(x f 在),2(∞+上的单调性，并说明理由；（2）若对于定义域内一切x ，0)1()1(=-++x f x f 恒成立，求实数m 的值； （3）在（2）的条件下，当),(a b x ∈时，)(x f 的取值恰为),1(∞+，求实数a ，b 的值．参考答案一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、4； 2、16≥a ； 3、223； 4、]2,1[-； 5、51；6、8π； 7、21； 8、 1222--n n ； 9、14； 10、3；11、40； 12、21； 13、62≤≤-a ； 14、③ ； 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、D ； 16、A ； 17、D ； 18、B ； 三、解答题（满分74分） 19、(13分)（1）椭圆的方程为14322=+y x …………………………………………………………4分 （2）记),(y x D ，∴xy S ππ4AB BC 2=⋅⋅=侧…………………………………7分由34324312222xy y x y x =⋅≥+=，得3≤xy ，∴π34≤侧S ．…………12分 当214322==y x ，即26=x ，2=y 时取到．………………………………13分 20、（15分） （1）23cos sin 3sin )1,sin ()23,cos 3sin ()(2+⋅+=⋅+=x x x x x x x f 2)62sin(+-=πx ， π=T ………………………………………………………………………………5分（2） 20π≤<x ，∴65626πππ≤-<-x ，∴)(x f 的最大值为3． ∴32)62sin()(=+-=πA A f ， A 为三角形内角，∴3π=A ………………9分又Csin 223sin32=π，得22sin =C ， π<+C A ，∴4π=C ………………12分由212228122⋅⋅-+=b b ，得04222=--b b ，∴62+=b ………15分 21、（15分）（1）设双曲线方程为λ=-224y x )0(≠λ将)2,72(-代入，得20=λ，得双曲线A ：152022=-y x ……………………………………………………………3分（2）椭圆的顶点为)0,5(±，焦点为)0,20(±，∴52=b ，椭圆B ：152522=+y x ……6分（3）设k k OP =，k k OQ51=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=152522y x kx y ，得152522+=k x ，∴15)1(25222++=k k OP ……10分同理可得15)125(5222++=k k OQ ，3015301502222=++=+k k OQ OP ………………15分22、（15分） （1）212=a ．当2≥n 时，2)21(211+-=--n n n S S ①；2)21(21+-=+n n n S S ② ②—①得n n n a a )21(21+=+．又112)21(12+==a a ，即1=n 时也成立．∴n n n a a )21(21+=+)(*∈N n (5)分（2）由（1）得12211+=++n n n n a a ，121=a ，∴{}n n a 2是首项为1，公差为1的等差数列，∴n n a n n =⨯-+=1)1(12，∴nn n a 2=， 2≥n 时，2)21(211+-=---n n n S S ，2)21(1+-=+-n n n a S ，n n n S 222+-=，又2111==a S ，也满足上式，∴nn n S 222+-=)(*∈N n ……………………10分（3） 021)222()232(111>+=+--+-=-+++n n n n n n n n S S ，∴{}n S 单调递增， 又2222<+-=n n n S ，∴n n S ∞→lim 存在……………………………………………15分23、（16分） （1）2log )(-=x x x f a，任取212>>x x ，记2)(-=x x x ϕ， ∴0)2)(2()(2)()(212121>----=-x x x x x x ϕϕ，∴)(x ϕ单调递减．当1>a 时，)(x f 在),2(∞+单调递减；当10<<a 时，)(x f 在),2(∞+单调递增． (4)分（2）由011log 11log =--++--xmxx mx a a ，得222x x m -=-，1±=m ……………………8分当1=m 时，22log )(--=x xx f a无意义． ∴1-=m ，2log )(-=x xx f a………………………………………………………10分（3）)(x f 的定义域为),2()0,(∞+⋃∞-o 1．若)0,(),(∞-⊆a b ，与0>a 矛盾，不合； (12)分o 2．若),2(),(∞+⊆a b ，∴a b <≤2．取a x x b <<<21，∴0)2)(2()(22221212211>----=---x x x x x x x x ． 又2>a ，2log 2log 2211->-x x x x a a，此时)(x f 为减函数 （或由（1）得)(x f 为减函数）…………………………………………………14分∴值域 ))(),((b f a f 为),1(∞+，∴2=b ………………………………15分又12log =-a aa，得3=a ……………………………………………………16分。