二次规划与非线性规划
线性规划与二次规划的应用
投资组合优化
定义：在给定风险 水平下，最大化预 期收益或最小化风 险
应用场景：股票、 债券等金融资产 组合
目标：实现资产 保值增值，降低 风险
方法：利用二次 规划算法进行优 化求解
电力系统优化
二次规划用于解决电力系统中的无功优化问题，提高电力系统的稳定性和经济性。 通过二次规划，可以优化电力系统的运行方式，降低线损，提高输电效率。 二次规划在电力系统中的应用还包括负荷预测、机组组合、经济调度等方面。
实例：如某公司 需要将产品从多 个产地运往多个 销售地，如何安 排运输工具和运 输路线使得总成 本最低。
分配问题
定义：将有限的资源按照一定的约束条件分配给各个部门或个体，使得总效益最大
应用场景：资源分配、生产计划、物流调度等
线性规划模型：通过线性方程组表示约束条件和目标函数，求解最优解
实例：某公司有10台机器，需要生产3种产品，每种产品需要不同数量的机器，如何分配机器 使得总产量最大
算法原理：基于 K u h n - Tu c k e r 条 件和梯度下降法， 通过迭代更新可 行解，逐渐逼近 最优解。
算法步骤：初始 化可行解，计算 目标函数的梯度 和约束条件的雅 可比矩阵，迭代 更新可行解，直 到满足收敛条件。
算法优势：内点 法具有全局收敛 性和多项式时间 复杂性，适用于 大规模优化问题。
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灵活性
线性规划的灵活性：适用于多种问题，如生产计划、资源分配等 二次规划的灵活性：适用于凸优化问题，如最小二乘法、约束最小化等
线性规划的局限性：对于非线性问题，需要转化为线性问题，可能损失精度 二次规划的局限性：对于非凸问题，可能陷入局部最优解，而非全局最优解
单纯形法
定义：单纯形法是一种求解线 性规划问题的迭代算法
二次规划问题
二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
优化模型的三要素
④ 一行中“！”后面的文字将被认为是说明语句，不参与
模型的建立，主要目的是增加程序的可读性。
现在我们用Lindo软件来求解这个模型，单击工具栏中的
Lindo求解器运行状态窗口各项的含义
型
xij
0,1;
这是一个线性0-1 规划模型，它是一个特 殊的线性整数规划。
Lingo/Lindo软件介绍
➢ 这套软件包由美国芝加哥大学的Linus Scharge教
授于1980年前后开发，专门用于求解最优化问题，后 经不断完善和扩充，并成立LINDO公司进行商业化运 作，取得了巨大的成功。全球《财富》杂志500强的企 业中，一半以上使用该公司产品，其中前25强企业中 有23家使用该产品。
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
•松弛变量的值 【紧约束】
Lingo/Lindo软件介绍 ---Lindo
➢使用Lindo软件的一些注意事项：
① 变量以字母开头、不区分大小写，变量名可不超过8个字符；
二次规划基本介绍
BXB CXC b
XB B-1C bB-1
(2) 确定被替换基本变量 x r
bi br 0) min( aik 1i m aik ark
x1 b1 x b r r xm bm
4.3二次规划
Find x min f ( x ) s. t . g ( x ) ≤ 0 ( j 1, 2,, n ) j
非线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—非线性）
非线性优化问题
（目标函数—非线性）
线性约束优化问题
（目标函数—非线性） （约 束—线 性）
有约束优化问题
ai x( k1) bi ai ( x( k ) k d ) bi ai x( k ) bi
ai x ( k 1) bi
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：不等式约束问题的有效集法
二次规划：其它算法简介
这就是K-K-T条件，
P
f (x)
2
x
*
g1 (x)
g1 (x) 0
二次规划
一.二次规划的数学模型 二.二次规划的最优性条件 三.等式约束二次规划的解法 四.不等式约束二次规划的有效集解法 五.其它算法简介
二次规划：最优性条件
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
二次规划：等式约束问题
单纯形法的小结
（一）线性规划的标准形式： （二）基本概念
m i nz c T x Ax b s.t. x 0 j
T
（1）可行解：满足全部约束条件的决策向量称为可行解。 x ( x1 , x2 ,, xn , ) （2）可行域：全部可行解所构成的空间称为可行域。 （3）最优解：使目标函数达到最小的可行解称为最优解。 （4）无界解：若目标函数无下界称为无界解。
最优化理论与算法习题答案
最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。
在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。
本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。
其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。
最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。
常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。
3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。
具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。
4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。
线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。
5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。
常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。
6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。
7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。
quadprog函数的介绍和应用
二次规划问题1.二次规划及其基本思想二次规划问题是最简单的非线性规划问题，它是指约束为线性，目标函数为二次函数的优化问题，这类优化问题在非线性规划中研究得最早，也研究得最成熟。
二次规划迭代法的基本思想是把一般的非线性规划问题转化为一系列二次规划问题进行求解，并使得迭代点能逐渐向最优点逼近，最后得到最优解。
如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。
其数学模型为：2.二次规划问题的数学模型⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤+ubx lb beq x Aeq bAx t s x f Hx x TT x ·..21min ，式中，H ，A 和Aeq 为矩阵；f,b, beq, lb, ub, 和x 为向量。
3.QuadProg 函数quadprog 函数可以求解二次规划问题。
quadprog 函数的几种调用格式：•x=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型：x f Hx x T T +21Subject tobAx ≤•x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,)定义设计变量的下届Ib和上界ub,使得lb<=x<=ub。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)功能同上，并设置初值x0。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。
以上通用格式为x=quadprog(problem)√problem 结构字段说明字段说明字段说明H二次规划中的二次项矩阵lb自变量下界约束f二次规划中的一次项向量ub自变量上界约束Aineq线性不等约束的系数矩阵x0初始点bineq线性不等约束的右端向量solver求解器，为“quadprog”Aeq线性等式约束的系数矩阵options options结构beq线性等式约束的右端向量•[x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值，即二次规划的极值fval=•[x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b)返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。
二次规划资料
向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，
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解：写成标准形式：
2 x1 3x2 6 0 s.t. x1 4 x2 5 0 0 x1 0 x2
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2
10
1．先建立M-文件 fun3．m: 2 x 3x 6 0 function f=fun(x); x 4x 5 0 f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
3、运算结果为： x =0.6667 1.3333
z = -lab求解非线性规划问题
标准型为： min F(X) s.t． AX b
Aeq X beq G(X) 0
Ceq(X)=0 VLB X VUB
其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成 的向量。
1 2 1 2
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2
2．再建立主程序youh2．m： x0=[1;1]; A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4．运算结果为： x = 0．7647 1．0588 fval = -2．0294
11
0 x1 0 x2
例题：求表面积为常数150 m2的体积最大的 长方体体积及各边长。
注：取初值为（4,5,6）。
设长方形长宽高依次为X1.X2.X3
则有 ：
max z x1 x2 x3 s.t. 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 150 xi 0, i 1,2,3,
3
min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x2≤2 -x1+2x2≤2 x1≥0, x2≥0 1、写成标准形式：
例1
1 - 1 x1 2 min z ( x1 , x2 ) 1 2 6 x 2
输出极值点
M文件
初值
变量上下限
参数说明
(6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…)
9
例
1 2 1 2 min f x1 2 x2 x1 x2 2 2 2x1+3x2 6 s.t. x1+4x2 5 x1,x2 0
MATLAB求解 二次规划与非线性规划
1
二次规划
标准型为： Min Z= 1 XTHX+cTX
Aeq X beq s.t. AX<=b VLB≤X≤VUB
2
2
用MATLAB软件求解,其输入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. [x,fval]=quaprog(...); 7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...); 8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
12
1．先建立M文件 fun3(x).m,定义目标函数: function f=fun3(x); f=-x(1)*x(2)*x(3); 2．再建立M文件mycon1.m定义非线性约束： function [g,ceq]=mycon1(x) ceq=[2*x(1)*x(2)+2*x(1)*x(3)+2*x(2)*x(3)-150]; g=[]; 3．主程序z1.m为: x0=[4;5;6]; A=[]; b=[]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1') f=-fval
得到
x1 5.0000, x2 5.0000, x3 5.0000, x4 5.0000 fval= - 125.0000 f = 125.0000
13
8
3． 建立主程序. 求解非线性规划的函数是fmincon, 命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
T
x1 x 2
s.t.
1 1 x1 2 x 2 1 2 2 0 x1 0 x2
4
1 - 1 x1 2 min z ( x1 , x2 ) 1 2 6 x 2
7
MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步 1． 首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F（X）: function f=fun(X); f=F(X);
2. 若 约 束 条 件 中 有 非 线 性 约 束 :G(X) 0 或 Ceq(X)=0, 则 建 立 M 文 件 nonlcon.m 定 义 函 数 G(X)与Ceq(X): function [G,Ceq]=nonlcon(X) G=… Ceq=…
T
x1 x 2
s.t.
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
2、 输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)