第一讲 线性规划与非线性规划解析
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
——线性规划与非线性规划
参考书目：薛嘉庆.线性规划.北京：高等教育出版社,1989 刁在筠 郑汉鼑等. 运筹学.北京：高等教育出版社,2001
4. 特殊的线性规划
当所有决策变量都取整数时，称为整数规划(IP). 当所有决策变量只取 0 或 1 时，称为 0-1 规划. 当只有部分决策变量取整数时，称为混合整数规划(混合 IP).
数学建模会涉及数学的众多学科：微分方程，运筹学，概率统计，图论，层次分析，变 分法……，要求建模者有较高的数学素养，有综合应用已学到的数学方法和思维对问题进行 分析、抽象及简化的能力.
数学建模既是建立实际问题的数学模型.
一、最优化模型
数学建模的目的是使决策人的“利益”最大化，因此而建立的数学模型即所谓的最优化 模型.
一般形式与其标准形式问题的求解等价，因为这两个问题的可行解一一对应，目标函数 值对应相等.所以如果这两个问题之一有最优解，那么另一个也必有最优解，且最优值相等.
2. 线性规划的特点 (1)线性规划的可行域是凸集：凸多边形、凸多面体或空集.
凸集
非凸集
凸多边形
凸多面体
(2)目标函数的等值面(或等值线)是平行的(超)平面(或直线).
运筹学
——线性规划与非线性规划
线性规划与非线性规划是运筹学的一个分支.
运筹学研究什么呢?运筹学是研究“如何做出正确决策或选择，以达到最好结果”的一 门数学学科.
有一句成语形象地说明了运筹学的特点：运筹帷幄，决胜千里.
数学因实际的需要而产生，数学的很多重大发现也因实际的需要而出现. 数学建模竞赛既因实际的重要需要而在世界范围内(在我国近十几年)各大学蓬勃开展. 没有受到条条框框制约、富有聪明才智的大学生们，在每次竞赛中都能对实际中的一些重要 问题与难题给出富有新鲜创意的解决办法，往往因此产生重大的社会效益和经济效益.建模 竞赛就是知识的“强行军”.竞赛会极大地激发学生们的创造性思维，是对学生们思考能力 和动手能力的考验.竞赛能让学生们切身感受到学习各科知识的必要性、重要性，成为学生 们认真学习的推动力.
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
第一章1、线性规划问题的基本概念讲解
•通常称 x1, x2 ,, xn 为决策变量，c1,c2 ,,cn 为价值系数， a11, a12, , amn 为消耗系数,b1 , b2 ,, bm 为资源限制系数。
3
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这 些研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
例１:某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消 耗某种维生素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的 设备时间，以及该厂每周可提供的资源总量如下表所示：
维生素（公斤） 设备（台）
每吨产品的消耗
甲
乙
30
20
5
1
每周资源总量
160 15
已知该厂生产每吨甲、乙药品的利润分别为5万元和2万 元。但根据市场需求调查的结果，甲药品每周的产量不应超 过4吨。问该厂应如何安排两种药品的产量才能使每周获得 的利润最大？
8
4. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解现代优化方法及其数学原理. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
9
5. 参考书目
主要参考书目： 理论方面： (1) 解可新、韩健，《最优化方法》，天津大学出版社,2004 (2) 何坚勇， 《最优化方法》, 清华大学出版社， 2007 计算方面： (3) 马昌凤，《最优化方法及其MATLAB程序设计》，科学出版社， 2010 (4) 朱德通，《最优化模型与实验》, 同济大学出版社， 2003
线性规划与非线性规划
求解例一
max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
min z f T x
s.t. A x b
单位。若一吨甲和一吨乙的经济价值分别为7 万元和5万元，三中资源分别为90吨、200 m3 和210个单位，试决定应生产这两种产品各多 少吨才能创造总经济价值最高？
3
（1）假定自变量（决策变量）
x1 ：生产产品甲的数量（吨）
x2 ：生产产品乙的数量（吨）
（2）分析并表达限制条件（约束条件）
资源A 限制： 3x1 2x2 90 资源B 限制： 4x1 6x2 200 资源C 限制： 7x2 210
三个问题
1. 什么是线性规划问题？ 2. 如何求解线性规划问题？ 3. 求解线性规划问题的注意事项。
1
一、什么是线性规划问题？
线性规划是研究在一组线性约束条件下，某 一个线性函数的最大值或最小值问题。一般 线性规划问题数学模型为：
min(或 max)z f1x1 f2 x2 L fn xn s.t. a11x1 a12 x2 L a1n xn (或 ，或 )b1
非负条件： x1 0, x2 0
4
（3）分析目标
以Z表示生产甲和乙两种产品各为x1 和 （x2吨）
时产生的经济价值，则有：
z 7x1 5x2
综上可得： max z 7x1 5x2
3x1 2x2 90 4x1 6x2 200
7x2 210
x1 0, x2 0
5
第一讲 线性规划与非线性规划
案例5 （合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100 套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组 成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？ 解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、 2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根 2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出 来，如下表所示：
季度 买进价（万元/万米3） 卖出价（万元/万米3） 预计销售量（万米3）
冬
春 夏 秋
410
430 460 450
425
440 465 455
1000
1400 2000 1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代 表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施；
线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量
（2）目标函数
（3）约束条件
线性规划的一般形式为： max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
（1.1)
s.t
a11x 2 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a x a x a x (, )b 22 2 2n n 2 21 2 a m1x 2 a m 2 x 2 a mn x n (, )b m x1 , x 2 , , x n 0
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冬 410
425
1000
春 430
440
1400
夏 460
465
2000
秋 450
455
1600
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为 使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代 表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
第一部分：优化模型
1、线性规划模型（算法：单纯形法）
2、整数规划模型（算法：分枝定界法）
3、非线性规划模型（化为线性规划求解）
4、动态规划模型（算法：递归算法）
5、多目标规划模型（化为线性规划求解）
一、线性规划模型
线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以 最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理 安排，使完成的任务最多？
y2
x 22
x 23
x 24
0
x12 x22 1400
解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示：
（1）确定决策变量：设xij表示第i年对第j个方案的投资额 ,i=1,2,3; j=1,2,3,4
年份 一 x11 x12
二 1.15x11
x21 x23
三
1.45x12 1.15x21
x31 x34
四
1.65x23 1.15x31 1.35x34
（2）确定目标函数：第三年年未的本利和为
年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回；第Ⅱ种是在 第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%，并将本金收 回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种是在第二年的年初 投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项投 资不得超过1.5万元；第Ⅳ种是在第三年的年初投资，年底 收回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现 在本公司准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年 年未本利和最大？
非负限制
xj≥0，且为整数， j=1,2,…,8
建立线性规划模型的一般步骤：
（1）确定决策变量；
（2）确定目标函数；
（3）确定约束条件。
案例6．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木 材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木 材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。 已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为 （70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知 每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。
下料 方案
根数
一二三四五六七 八
长度米
2.9
111200 00
2.1
201012 30
1.5
03113.5 7.3 6.6 7.2 6.3 6
料头（米） 0.3 0 0.9 0.1 0.8 0.2 1.1 1.4
（1） 确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的 数量
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施； 线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量 （2）目标函数 （3）约束条件
线性规划的一般形式为：
max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
(i
1,2,...,m)
xj 0
（1.1) （1.2)
（1.3)
或矩阵形式
max(或 min)z cx
或向量形式：
AX (, )b s.tX 0
max(或min)z=cx
s.t
n
pjxj (, )b
j1
Xj 0 (j 1,2,...,n)
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；
a11x2 a12x2 a1nxn (, )b1
a 21x 2
a22x2
a2nxn
(, )b2
s.t
am1x2 am2x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
或紧缩形式
n
max(或min)z= c j x j
j 1
s.t
n j1
ajxj
(, )bi
案例5 （合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100 套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组 成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？
解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、 2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根 2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出 来，如下表所示：
max (425 x11 423x12 438 x13 410 y1) (440 x22 448 x23 428 x24 430 y2) (465x33 438 x34 460 y3) (455 x44 450 y4)
y1 2000
y1
x11
x12
x13
x14
0
x11 1000 x12 x13 x14 y2 2000
maxz=1.65x23+1.15x31+1.35x34 （3）确定约束条件：
每一年的投资额应等于当年公司拥有的资金数：
x11+x12=3 x21+x23=1.15x11
x31+x34=1.45x12+1.15x21 每个方案投资额的限制：
x12≤2 x23≤1.5 x34≤1
非负约束：xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3,4
（2） 为：
（3）
确定目标函数：问题要求所用原料最省，所用原料 minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8
确定约束条件：
2.9米园钢的数量限制
x1+x2+x3+2x4≥100
2.1米园钢的数量限制
2x1+x3+x5+2x6+3x7≥100
1.5米园钢的数量限制
3x2+x3+x4+3x5+2x6+4x3≥100
a11 a12 a1n
A
a
21
a 22
a
2n
称为技术系数矩阵(也称 消耗系数矩阵)
a m1
am2
a m n
b1
b
b2
称为资源限制向量,
bm
X=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量向量
下面我们来看几个实际例子。
案例1课本P60 例25（投资计划问题）某公司经调研分析知， 在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种方案是在三年内每年