线性规划的整数解和非线性规划问题
实验利用Lingo求解整数规划和非线性规划问题
三、Lingo 循环编程举例
例5 用Lingo循环编程语句求解线性规划模型
max z 72x1 64x2
x1 x2 50, 132xx1 1180x0,2 480, x1 0, x2 0.
三、划 模型
max z 72x1 64x2
MODEL: SETS: person/A,B,C,D/; task/1..4/; assign(person,task):a,x; ENDSETS DATA: a=1100,800,1000,700,
600,500,300,800, 400,800,1000,900, 1100,1000,500,700; ENDDATA min=@sum(assign:a*x); @for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1); @for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1); @for(assign(i,j):@bin(x(i,j))); END
12,8 3,0; enddata
!数据赋值;
max=@sum(bliang(i):a(i)*x(i)); !目的函数;
@for(yshu(j):@sum(bliang(i):x(i)*c(j,i))<=b(j));
!约束条件;
例6、指派问题
企业在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。因为 业务能力、经验和其他情况不同，4业务员去处理4项业 务旳费用（单位：元）各不相同，见下表：
(3) 集合旳循环函数 集合旳循环函数能够使全部旳元素反复完毕某些操作.
函数
函数功能
• 形成集合全部元素需满足旳约
@for
束条件
• 计算集合中元素所在体现式旳
@sum
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
第六讲线性规划与非线性规划
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床 类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用 工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台 时数
800
数模常用算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数非线性规划（蒙特卡洛法）
数模常⽤算法系列--整数线性规划（分枝定界法）、整数⾮线性规划（蒙特卡洛法）整数线性规划求解----分枝定界法什么是整数规划?线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。
⽬前所流⾏的求解整数规划的⽅法，往往只适⽤于整数线性规划。
⽬前还没有⼀种⽅法能有效地求解⼀切整数规划。
整数规划的分类- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划什么是分枝定界法原理如下：设有最⼤化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优⽬标函数必是A的最优⽬标函数z^*的上界\overline{z}；⽽A的任意可⾏解的⽬标函数值将是z^*的⼀个下界\underline z ,分枝定界法就是将B的可⾏域分成⼦区域的⽅法。
逐步减⼩\overline z和增⼤\underline z最终求到z^*本质就是个分治回溯,逼近最⼤值的算法。
Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于⽐较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了⼀下没问题就码上来了，如果有错，请⼀定联系~~）% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，% now是⽬前已经知道的整数解的最⼤值function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)ret = 0;[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值if fval < nowy = fval;return;end % 如果得到的当前最优解fval⼩于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表⽰是⼩数。
第二讲 整数规划与非线性规划
Slack or Surplus 100.0000 -4.000000 -5.000000
20
0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它 的变量xj仅取值0或1。这时xj称为0-1变量，或 称二进制变量。 xj仅取值0或1这个条件可由下 0 述约束条件： ≤ x j ≤ 1 整数 所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一 致的。
23
例4 指派问题
指派问题的标准形式（以人和事为例）是： 有 n 个人和 n 件事，已知第 i 人做第 j 事的 费用为 Cij（i，j = 1，2，…，n），要求确定 人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这 件事的总费用最少。
24
指派问题的标准形式及其数学模型
xij = 1 当指派第 i 人完成第 j 项任务 0 当不指派第 i 人完成第 j 项任务
27
非线性规划
形如：
max f ( x) ⎧ hi ( x) = 0, i = 1, L , m s.t. ⎨ g j ( x) ≥ 0, j = 1, L , l ⎩
称为非线性规划。
28
例一
某公司经营两种物品，第一种物品每吨售价30 元，第二种物品每吨售价450元，售出每吨第 一种物品时所需的营业时间平均是0.5小时， 第二种物品的时间是（2+0.25x2）小时，其中 x2是第二种物品售出的数量。已知该公司在这 段时间内的总营业时间为800小时，试决定使 其营业额最大的营业计划。
31
Local optimal solution found at iteration: 101 Objective value: 49815.00 Variable X1 X2 Row 1 2 Value 1495.500 11.00000 Slack or Surplus 49815.00 0.000000 Reduced Cost 0.000000 0.5508468E-08 Dual Price 1.000000 60.00000
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
整数规划
z z* z
转下一步
步骤
步骤3：分支与定界
①分支 在线性规划问题的最优解中任选一个不 满足整数约束的变量 x j b（j 非整数），附加两个 整数不等式约束条件：x j [bj ]和 x j [bj ] 1 到线 性问题中构成两个新的子问题，仍不考虑整数 约束条件，求解两个子问题的解
基本步骤
步骤1：对效益矩阵C进行变换，使每行每列都 出现0元素。
①在效益矩阵中每一行减去该行的最小元素； ②在①基础上得到的矩阵中每一列减去该列最小
的元素。所得矩阵为D
基本步骤
步骤2：将D矩阵中的0元素置为1，非零元素置为 0，记此矩阵为E.
步骤3：确定独立1元素组 ①在矩阵E中，选择1元素最少的行，比较改行中
（j 1,2,...,m).
求解方法
➢ 过滤隐枚举法 从可能的组合取值中利用过 滤条件排除一些不是最优解的情况，考察一 部分的组合就可以得到最优解。
➢ 指派问题的匈牙利方法 ➢ 蒙特卡洛法
匈牙利方法
基本思想：通过初等变换修改效益矩阵的 行或列，使得在每一行或列中至少有一个 零元素，直到在不同行不同列中至少有一 个零元素为止，从而得到与这些零元素相 对应的一个方案，这个方案就是最优方案。
求解方法（二）
➢ 割平面法
基本思想：同样地去掉整数约束条件变为线 性规划问题，引入线性约束条件使可行域缩 小，切割的是问题的非整数解的一部分，不 切掉任何整数解。直到目标函数达到最优解 的整数解成为可行域的顶点。
例子1
求解下述整数规划
Max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56 7x1 20x2 70
步骤
步骤1：将整数规划问题去掉所有整数约束变为 线性规划问题，求解出此问题，则有
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反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解
(比如人数、车辆数等 )，而直
接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用列举法验证求最优整数解，或者运用平移
直线求最优整数解 .最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析
.
跟踪训练 1 预算用 2 000 元购买单价为 50 元的桌子和 20 元的椅子，希望使桌子和椅子的总
大？ (每天制造的家电件数为整数 )
考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设该工厂每天制造甲、乙两种家电分别为 x 件， y 件，获取的利润为 z 百元，
6x＋ 2y≤ 24，
则 z＝ 2x＋ y(百元 )，
x＋ y≤5， 5y≤ 15，
x，y∈N，
3x＋ y≤ 12，
x＋y≤5， 即
由于 z＝ ＝
，
x＋ 1 x－ － 1
故 z 的几何意义是点 (x， y)与点 M (－ 1，－ 1)连线的斜率，
y＋1 因此 的最值是点 (x， y)与点 M (－ 1，－ 1)连线的斜率的最值，
x＋1
由图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，
1 又 ∵B(0,2)， C(1,0)， ∴zmax＝ kMB＝ 3， zmin ＝ kMC＝ 2.
例 2 已知实数 x， y 满足约束条件
2x＋ y－ 2≥0， x－ 2y＋ 4≥ 0， 3x－y－ 3≤ 0.
试求 z＝y＋ 1的最大值和最小值 . x＋1
考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值
解 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分 (包含边界 )所示，
y＋ 1 y－ － 1
y≤3，
x，y∈N ，
作出可行域，如图阴影部分中的整点， 73
由图可得 O(0,0)， A(0,3)， B(2,3)，C 2，2 ， D (4,0). 平移直线 y＝－ 2x＋ z，又 x， y∈ N，所以当直线过点 (3,2) 或(4,0)时， z
有最大值 .
所以工厂每天制造甲种家电 3 件，乙种家电 2 件或仅制造甲种家电 4 件，可获利最大 .
50x＋ 20y＝ 2 000， 由
y＝x，
解得
200 x＝ 7 ，
200 y＝ 7 ，
200 200 所以 A 点的坐标为 7 ， 7 .
50x＋ 20y＝ 2 000，
由
3
y＝2x，
x＝ 25， 解得 y＝ 725，
75 所以 B 点坐标为 25， 2 .
所以满足条件的可行域是以
A
2700，
200 7
数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的
1.5 倍，问桌子、椅子各买多少
才是最好的选择？
考点 线性规划中的整点问题
题点 线性规划中的整点问题
解 设桌子、椅子分别买 x 张， y 把，目标函数 z＝ x＋ y，把所给的条件表示成不等式组，
即约束条件为
50x＋ 20y≤2 000， y≥ x， y≤ 32x， x∈N， y∈N.
y－b x－a
－b)2，则目标函数 离的平方 为( m) 2
－b)2 ＝ r2 的半径， 寻求可行域最先 (或
最后 )与圆的交点
绕定点 (a，b)旋转直
点 (x，y)与定点 (a，b) 线，寻求与可行域
连线的斜率
最先 (或最后 )相交
时的直线的斜率
1.可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点
.(√ )
，B
75 25， 2
，
( ) O 0，0 为顶点的三角形区域 (含边界 )(如图 )，
75 由图形可知，目标函数 z＝x＋ y 在可行域内经过点 B 25， 2 时取得最大值，
x＝ 25， 但注意到 x∈ N， y∈N ，故取
y＝ 37.
故买桌子 25 张，椅子 37 把是最好的选择 . 类型二 非线性目标函数的最值问题 命题角度 1 斜率型目标函数
6 小时，装
配加工 1 小时，每件甲种家电的利润为 200 元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工
5小
时，在电器方面加工 2 小时，装配加工 1 小时，每件乙种家电的利润为 100 元 .已知该工厂可
用于外壳配件方面加工的能力为每天 15 小时，可用于电器方面加工的能力为每天
24 小时，
可用于装配加工的能力为每天 5 小时 .问该工厂每天制造两种家电各几件， 可使获取的利润最
2.目标函数 z＝ x2＋ y2 的几何意义为点 (x， y)到点 (0,0)的距离 .(× )
3.目标函数 z＝ ax＋ by(b≠ 0)中， z 的几何意义是直线 ax＋by－ z＝ 0 在 y 轴上的
例 1 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工
∴ z 的最大值为
3，最小值为
1 2.
引申探究
3y＋ 1
1.把目标函数改为 z＝
，求 z 的取值范围 .
2x＋ 1
1
1
解
z＝32·y＋
3 1，其中
y＋3 k＝ 1的几何意义为点
11 (x， y)与点 N － 2，－ 3 连线的斜率 .
x＋ 2
x＋2
由图易知， kNC≤ k≤kNB，即 29≤ k≤134，
梳理 下表是一些常见的非线性目标函数 .
目标函数 z＝ ax＋ by (ab≠0) (x－ a) 2＋ (y－ b)2
目标函数变形
几何意义
最优解求法
az y＝－ bx＋ b
z 在 y 轴上的截距是 b
a 平移直线 y＝－ bx， 使在 y 轴上的截距
最大 (或最小 )
令 m＝ (x－ a)2＋ (y 点 (x，y)与点 (a，b)距 改变圆 (x－ a)2＋ (y
约束条件 .
知识点二 非线性目标函数
x＋ y≥ 6，
思考 在问题“若 x， y 满足 x≤ 4，
求 z＝ y－ 1的最大值”中，你能仿照目标函数 z＝ x－1
y≤ 4，
y－ 1
ax＋ by 的几何意义来解释
z＝x－
的几何意义吗？ 1
答案
z＝
y－ x－
11的几何意义是点
(x， y)与点 (1,1)连线的斜率 .
第 2 课时 线性规划的整数解和非线性规划问题
学习目标 1.了解实际线性规划中的整数解求法 .2.会求一些简单的非线性规划的最优解 .
知识点一 非线性约束条件 思考 类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件 可行域 .
( x－ a) 2＋ (y－ b)2≤ r2 的
答案 梳理 非线性约束条件的概念：约束条件不是二元一次不等式，这样的约束条件称为非线性