3_7连续时间LTI系统响应求解举例
信号与系统 连续时间LTI系统状态方程的求解解析
c1
e2 t
e
t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统 二、用时域法求解状态方程
e 例： 给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解： 矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g
34连续时间LTI系统的冲激响应
=
3u(
)
2e
3(t
)u
(t
)d
详细求解见后
= 2(1 e3t )u(t)
卷积法求解yzs (t)的思路
(1) 将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合 (2) 求出单位冲激信号作用在系统上的响应
—— 单位冲激响应h(t) (3) 利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号x(t)激励
1. 冲激响应的定义
若描述连续时间LTI系统的常系数线性微分方程为
y(n) (t) an1 y(n1) (t) L a1 y '(t) a0 y(t)
bm x(m)
(t)
b x(m1) m1
(t)
L
b1x ' (t) b0x(t)
则连续时间LTI系统的冲激响应h(t)应满足
北京交通大学 信号处理课程组
连续时间LTI系统的冲激响应
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
系统的零状态响应 当系统的零状态响应是当系统的初始状态为零时，
由系统的外部激励 x(t) 而产生的响应，用表示yzs (t)。
连续时间LTI系统的冲激响应
假设单位冲激信号d (t)作用在系统上的冲激响应为h(t)
d (t)
系统
h(t)
零状态
而任意信号x(t) 都可以分解为单位冲激信号的线性组合，
即
x(t) x( ) d (t )d
零状态响应
yzs (t)
x( ) h(t )d
x(t) h(t)
即 yzs (t)为输入激励 x(t)与系统的冲激响应 h (t)的卷积积分。
山大信号与系统答案
第一章习题新闻来源：山东大学信息学院点击数：707 更新时间：2009-4-5 0:13 1—1 画出下列各函数的波形图。
（1）（2）（3）（4）1—2 写出图1各波形的数学表达式图1(1) (2)(3) 全波余弦整流(4) 函数1—3 求下列函数的值。
（1）（2）（3）（4）（5）1—4 已知，求，。
1—5 设，分别是连续信号的偶分量和奇分量，试证明1—6 若记，分别是因果信号的奇分量和偶分量，试证明，1—7 已知信号的波形如图2所示，试画出下列函数的波形。
（1）（2）图 21—8 以知的波形如图3所示,试画出的波形.图31—9 求下列各函数式的卷积积分。
（1），（2），1—10 已知试画出的波形并求。
1—11 给定某线性非时变连续系统，有非零初始状态。
已知当激励为时，系统的响应为时，系统的响应则为。
试求当初始状态保持不变，而激励为时的系统响1—12 设和分别为各系统的激励和响应，试根据下列的输入—输出关系，确定下列各⑴⑵（3）（4）第一章习题答案新闻来源：山东大学信息学院点击数：623 更新时间：2009-4-5 23:181-1 （1）（2）（3）（4）1-2（1）、（2）、或或（3）（4） =1-3（1）（2）（3）（4）（5）01-4 ，1-7 （1）（2）1-81-9（1）（2）1-101-111-12 （1）非线性、时不变系统。
（2）线性、时变系统。
（3）线性、时不变系统。
（4）线性、时变系统。
上一篇：没有上一篇资讯了下一篇：没有下一篇资讯了第二章习题新闻来源：山东大学信息学院点击数：412 更新时间：2009-4-9 22—1 已知给定系统的齐次方程是，分别对以下几种初始状态求解系1），2），3），2—2 已知系统的微分方程是当激励信号时，系统的全响应是，试确定系统的零输入2—3 已知系统的微分方程是该系统的初始状态为零。
1）若激励，求响应。
2）若在时再加入激励信号，使得时，，求系数。
2.1 LTI连续系统的响应
例1
例2
▲
■
第 14 页
0-和0+初始值举例1
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + f(t)
将上述关系代入式（1），并整理得
■ 第 16 页
aδ” (t)+bδ’(t)+Cδ(t)+r1(t) + 3aδ’(t)+3bδ(t)+3r2(t) + 2aδ(t)+2r3(t)= 2δ” (t) + δ’(t)
比较等式两边冲激项系数，有
a=2
b+3a=1
c+3b+2a=0
解得：a=2，b=-5，c=11，故
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
■
第7页
特解举例
例：给定微分方程式
d2 yt 2 d yt 3yt d f t f t
dt2
dt
dt
如果已知： 1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此
方程的特解。
故
y(0+) = y(0-) = 2
■ 第 20 页
对式(1)两端积分有
0
0
0
0
0
y''(t)dt 3 y'(t)dt 2 y(t)dt 2 (t)dt 6 (t)dt
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析
连续LTI系统零状态响应求解方法的分析张淑敏【摘要】【摘要】零状态响应是电子技术相关课程中的一个重要概念，本文将通过对时域分析法和（复）频域分析法求解连续LTI系统零状态响应的分析，着重讨论卷积法在（复）频域分析中的应用及优越性。
首先概述每种方法的基本求解原理，然后通过实例说明具体求解中的优点、不足，有助于我们加深对每种方法的理解与掌握。
【期刊名称】科技展望【年(卷),期】2014(000)020【总页数】2【关键词】【关键词】时域分析（复）频域分析卷积目前电子技术和集成电路正在迅速发展，在电子等专业领域，对信号和系统的学习十分必要，而在信号与系统分析中，线性时不变系统的零状态响应的分析尤为重要并更具现实意义，因此应该摆在学习的重要位置上。
1 连续时间信号与系统1.1 连续时间信号信号是信息的物理表现形式，是传输各种消息的工具。
连续时间信号是指在连续时间点上均有意义的信号，又称模拟信号。
1.2 连续时间系统系统是处理或变换信号的物理设备，是由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。
若系统中各个子系统的输入、输出均为连续时间信号，即系统处理的是连续时间信号，则称此系统为连续时间系统。
2 零状态响应系统的响应是指当给系统输入某信号时，系统将得到相应的输出信号。
将这一动作称为系统对输入的响应。
零状态响应是指在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的响应。
又称为受迫响应。
一般用yzs(t )来表示3 连续LTI系统零状态响应的分析方法连续线性时不变系统指具有线性性质和时不变性质的连续系统。
用LTI表示。
所谓线性性质是指系统的输入信号与输出信号之间呈线性关系。
例如:假设系统输入信号x1(t)得到输出y1(t)，输入信号x2(t)得到输出y2(t)，那么当输入信号为a x1(t)+b x2(t)时将得到输出为a y1(t)+by2(t)。
所谓时不变性是指系统的输出波形与输入的起始作用时刻无关。
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
解:
(3) )
Ae 2t
Be 4t
1 et 3
y(0) A B 1 1
y' (0)
2A
3 4B
1
2
解得 A=5/2，B= 11/6
连续时间LTI系统的响应
1. 经典时域分析方法: 求解微分方程 2. 卷积法:
系统完全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
y(t) yzi (t) yzs (t) yzi (t) f (t) * h(t)
✓ 求解齐次微分方程得到零输入响应 ✓ 利用卷积积分可求出零状态响应
二、卷积法
解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
s2 4s 4 0
s1 s2 2 （两相等实根）
y x (t) K1e 2t K 2te 2t
y(0)=yx(0)=K1=2; y'(0)= y'x(0)= 2K1+K2 =-1
解得 K1 = 2, K2= 3
yx (t) 2e2t 3te2t , t 0
t 0 t0 t 0 t0
解: (2) 求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = f(t)的特解yp(t)
由输入f (t)的形式，设方程的特解为
yp(t) = Cet
t>0
将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y"(t) 6y'(t) 8y(t) f (t), t 0
§3.7 连续时间LTI系统的频率响应
一、连续时间LTI系统频率响应的定义 连续时间 系统频率响应的定义
系统频率响应 H(ω)一般是 ω 的复函数，可以表示为 ω 一般是 的复函数，
H(ω) = H(ω) e jϕ(ω)
称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性 幅频特性， H(ω) 称为系统的幅频响应特性，简称幅频响应或幅频特性， 是 ω 的偶函数 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 称为系统的相频响应特性，简称相频响应或相频特性， 相频特性 是 ω 的奇函数 说明：系统频率响应只与系统本身的特性有关，而与激励无关， 说明 ： 系统频率响应只与系统本身的特性有关 ， 而与激励无关 ， 是表征系统特性的一个重要参数。 是表征系统特性的一个重要参数。
比。 因此由图根据分压原理得系统的频率响应为
V2 (ω) R jω = = H(ω) = 1 V1(ω) R + 1 jω + jωC RC
三、频率响应的计算
从而得幅频响应为
H (ω) =
ω 1 2 ω + RC
2
相频特性为 ϕ(ω) =
π − arctanCRω 2
H ( j ω)
∞
存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 亦即频率响应 H(ω) 存在的狄里赫利条件中的绝对可积条件。 结论：存在性依赖于稳定性。 结论：存在性依赖于稳定性。 (2) 频率响应具有共轭对称性，即 H(−ω) = H∗ (ω) 频率响应具有共轭对称性， 共轭对称性
−∞
∫ h(t)dt < ∞
二、频率响应的性质
∞
HI (η) 其中 dη HR (ω) = ∫ π −∞ ω −η 1
∞
HI (ω) = −
称为希尔伯特变换对。 称为希尔伯特变换对。 希尔伯特变换对 说明: 说明 具有因果性的系统的系统函数的实部 HR(ω) 被已知的虚部
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
h(t ) e -3t u(t ) - e -4t u(t )
-
h( ) d = (e-3t -e-4t )d 1 / 12
0
该连续时间LTI系统为稳定系统
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为 x1 ( t ) 0.5u ( t - 1)，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。 解： 由于系统的初始状态未变， 故系统的零输入响应不变，即
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 固有 3 4 y (t ) 1 , t0 强迫 12
17 -3t 19 -4 t y ( t ) e - e , t0 暂态 3 4 y (t ) 1 , t0 稳态 12
北京交通大学
信号处理课程组
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
Байду номын сангаас
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 试求: (1) 系统的零输入响应 yzi (t ) ； (2) 冲激响应 h(t) ； (3) 系统的零状态响应 yzs (t ) ；
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 若例题中激励信号改变为x1(t)=0.5u(t−1) ，重求系统的零 输入响应 yzi (t ) 、零状态响应 y zs (t )和完全响应y(t)。
解：系统的零输入响应
yzi (t ) 6e-3t - 5e-4t , t 0-
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 yzi(t) y1zs(t) y(t)
-3 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Time(sec) 3.5 4
yzi(t) yzs(t) y(t) 4.5 5
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(4) 系统的完全响应为
解：(3) 系统的零状态响应 零状态响应等于系统输入信号与冲激响应的卷积
yzs (t ) x(t ) * h(t ) u(t ) * (e -3t - e -4t )u(t )
1 1 1 ( - e -3t e -4t )u(t ) 12 3 4
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。 解：(5) 判断系统是否稳定 该连续时间LTI系统的冲激响应为
（4) 系统的完全响应 y(t) ； （5) 判断系统是否稳定。
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(1) 系统的零输入响应yzi(t) 特征方程 s 2 7s 12 0 -3 t -4 t y ( t ) K e K e 特征根为s1 -3 t 0 s2 -4 ， ， zi 1 2
系统的零状态响应
y1zs (t ) ( 1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
y(t ) yzi (t ) y1zs (t )
(
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 24 6 8
代入初始状态，y(0 - ) K1 K 2 1
y' (0- ) -3K1 - 4K2 2
K1=6, K2= －5
yzi (t ) 6e -3t - 5e -4 t , t 0 -
连续时间LTI系统响应求解举例
[例] 描述某连续时间LTI系统的微分方程为 y "(t ) 7 y '(t ) 12 y(t ) x(t ), t 0
t 0激励信号 x1 (t ) 0.5u ( t - 1) 0.5 x(t - 1) yzi (t ) 6e-3t - 5e-4t ,
利用系统的线性特性和非时变特性， 可得系统的零状态响应为
y1zs (t ) 0.5 yzs (t - 1) (
1 17 -3( t -1) 19 -4( t -1) e - e )u(t - 1) 24 6 8
1
1.5
2
2.5
3
3.5 4 Time(sec)
4.5
5
5.5
6
连续时间LTI系统响应求解举例
总结： 1. 连续时间LTI系统的时域分析给出了连续时间 LTI系统的时域描述。 2. 连续时间LTI系统的时域分析揭示了信号与系统 在时域相互作用的机理。 3. 连续时间LTI系统的时域分析是以连续时间信号 的时域分析为基础。
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1，y’(0-)=2。
5
解：(4) 系统的完全响应为
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
1 17 -3t 19 -4 t e - e , t0 12 3 4
4 3 2 1 0 -1 -2
yzi (t ), yzs (t )和y(t)的波形如右图所示。
激励信号x(t)=u(t)， 初始状态y(0-)=1 ，y’(0-)=2 。 解：(2)系统的冲激响应h(t) h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )
利用冲激平衡法，设h(t)的形式为 h (t ) ( Ae -3t Be -4 t )u (t ) 代入h" (t ) 7h' (t ) 12h(t ) (t )， 求得待定系数A =1，B =－1。可得冲激响应为