解析几何教学中平面向量的渗透

解析几何教学中平面向量的渗透
费玉美
平面向量它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体。

在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，如果运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

但实际情况是很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题，学生应用向量的意识不强。

所以作为教师，在平时的解析几何教学中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。

一、概念教学中的渗透 1、直线的方向向量
我们已经知道，两点确定一条直线，把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称
为直线的方向向量.如图1，由()111,y x P 、()
2,y x P 确定直线P P 的方向向量是
()121221,y y x x P P --=
当直线21P P 与x 轴不垂直时有12x x ≠,这时 直线的斜率为
1
21
2x x y y k --=
而向量
211
21
P P x x ⋅-也是直线21P P ()12121
2,1
y y x x x x --⋅- 即()k ,1就是直线21P P 的方向向量,其中k 是直线21P P 的斜率.
2、点到直线的距离公式。

已知点()00,y x P ，直线l 的方程为0=++C By Ax ，P 到直线l 的距离是d ，则
=d
证明：当0B ≠时，在直线l 上任取一点，不妨取1(0,)C
P B -，直线l 的法向量(,)n A B = ，
由向量的射影长知识得点p 到直线l 的距离等于向量1PP
在向量n 方向上的射影长度
d ，⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=B C y x P 001,，
100(,)n C d PP x y B n ∴=⋅=+= 当0=B 时，可直接由图形证明（略）。

比较传统证明方法，避免了复杂的构图过程，应用向量来证，简单易懂，充分体现了向量的工具性和优越性。

平面向量还可在直线间的位置关系，夹角范围，共线问题等内容的教学中渗透。

二、例题教学中的渗透 1、
夹角范围问题
任意两个不共线的非零向量()11,y x a =、()22,y x b =，由夹角公式
222221212121||||cos y x y x y y x x b a b
a +++=⋅⋅=θ知θcos 的正负直接由分子2121y y x x +来确定，于是得到
如下结论：
（1） 若θ为锐角⇔02121>+y y x x ,即0>∙ （2） 若θ为直角⇔02121=+y y x x ,即0=∙ （3） 若θ为钝角⇔02121<+y y x x ,即0<∙ 因此，两个向量夹角的范围由它们的数量积的正负所确定.
例1已知一个圆的直径的端点是),(11y x A 、),(22y x B ，求证：圆的方程是
0))(())((2121=--+--y y y y x x x x （高二新教材上册第82页习题3）
一般解法：因为直径的端点为()()2211,,y x B y x A 、，所以圆心和半径分别为
()()22122121212
1
,2,2y y x x y y x x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++，
从而圆的方程为()()4222
212
21
2
212
21y y x x y y y x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-， 化简再得圆方程。

向量方法：设()y x P ,是此圆上与点B A 、都不重合的一点，则⊥.
若()y x P ,是与点A 或点B 重合的点，则=或=.所以0=∙，从而
()()0,,2211=--∙--y y x x y y x x
即0))(())((2121=--+--y y y y x x x x
例2、椭圆14
92
2=+y x 的焦点为1F ，2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。

（2000年全国高考题）
解：()
0,51-F 、()0,52
F ,设()θθsin 2,cos 3P
21PF F ∠ 为钝角
∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=
-⋅- （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0
解得：55cos 55<<-
θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5
5
3,553-） 与角相关的一类问题，有时可以从数量积入手。

本题中把条件中的角为钝角转化为向量
的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

2、共线问题
三点共线是解析几何中常见问题之一，根据向量共线的充要条件，只要在三点中任意两点的向量间存在倍数关系，向量法解决共线问题更简单明了。

例3、过抛物线px y 22=焦点F 的一条直线与它交于两点),(11y x P 、),(22y x Q ，经过点Q 作抛物线准线的垂线，垂足为点M ，设抛物线的顶点为O ，求证：（1）221p y y -= （2）三点M 、O 、P 共线
解：（1）由题意得⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2p F ，
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴2211,2,,2y p x y p x
FP 与FQ 共线
0221221=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴y p x y p x ，而p y x 22
11=，p y x 22
22=代入上式得
221p y y -=
（2）由题意得⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2y p M ，()⎪⎭⎫
⎝⎛-==∴211,2,,y p y x
211212121111102222222y y y p p p p p x y y y y y y y y p p ⎛⎫
--=+=+=-+= ⎪⎝⎭
OP ∴与OM 是共线向量，即P O M 、、三点共线
此题通过向量共线来证明三点共线，显得相当简单。

可以在教学中运用向量证明三点共线的例题非常多，如2002年全国卷中的一题：
已知),(),0,1(),0,0(c b C B O 是OBC ∆的三个顶点，写出OBC ∆的重心G ，外心F ，垂心H 的坐标，并证明F 、G 、H 三点共线。

3、
轨迹问题
轨迹问题涉及到的题目非常多，其本质是求出点的方程，利用向量法求轨迹 方程有时可以简洁得多。

例4、如图，给出定点()0,a A ，()0>a 和直线l ：1-=x ，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ，求C 点的轨迹方程。

解：设()t B ,1-，
则(1,),AB a t =--
从而直线AB 的方程为： t
y a a x 0
1-=--- ① ()()t a ,1,0,-== ， 则直线OC 的方向向量为：
()
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
-
+
=
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
-
+
=
=
2
2
2
2
21
,
1
1
1
1
,
1
1
0,1
t
t
t
t
t
t
t
故直线OC
y
t
=②
由①、②消去t得：
22
(1)2(1)0(0)
a x ax a y x a
--++=≤<
上述运用向量的方法比另外方法更简洁，且容易理解。

运用向量求轨迹的问题非常多，又如下面的问题。

1、（江苏新课程卷）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知)3,1
(
),
1,3(-
B
A，若点C满足β
α+
=，其中R
∈
β
α,，且1
=
+β
α，则求点C的轨迹方程。

2、已知)5,2(
),
3,4
(B
A-，过A作AP交x轴于P，自B作BQ⊥AP交y轴于Q，
求PQ中点M的轨迹方程。

新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。

那么如何树立应用向量的意识，通过平时的教学我认为：
第一、在教学中应先从学生熟悉的平面几何问题入手，让学生体会向量的工具性。

第二、应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识。

第三、如何树立应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性。

第四、在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。