平面向量与解析几何交汇的综合问题

平面向量与解析几何交汇的综合问题

设计立意及思路

向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是新课程高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。而学生普遍感到不适应，因此，我们在解析几何复习时应适时融合平面向量的基础，渗透平面向量的基本方法。本专题就以下两方面对平面向量与圆锥曲线交汇综合的问题进行复习；1、以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。2、以向量作为工具考查圆锥曲线的标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线位置关系，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解

题能力。

我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：

（1）题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三（或二）个选择题，一个填空题，一个解答题上，

分值约为30分左右，占总分值的20%左右。

（2）整体平衡，重点突出：《考试说明》中解析几何部分原有33个知识点，现缩为19个知识点，一般考查的知识点超过50％，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既注意全面，更注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：

①求曲线方程（类型确定、类型未定）；

②直线与圆锥曲线的交点问题（含切线问题）；

③与曲线有关的最（极）值问题；

④与曲线有关的几何证明（对称性或求对称曲线、平行、垂直）；

⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；

（3）能力立意，渗透数学思想：如2000年第（22）题，以梯形为背景，将双曲线的概念、性质与坐标法、定比分点的坐标公式、离心率等知识融为一体，有很强的综合性。一些虽是常见的基本题型，但如果借助

于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案。

（4）题型新颖，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系（如向量、函数、方程、不等式等），凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。

在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分：

（1）以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下

几类：

①与本章概念（倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等）有关的问题；

②对称问题（包括关于点对称，关于直线对称）要熟记解法；

③与圆的位置有关的问题，其常规方法是研究圆心到直线的距离。

以及其他“标准件”类型的基础题。

（2）以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。

预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方

面不会有太大的变化。

相比较而言，圆锥曲线内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等，从近十年高考试题看大致有以下三类：

（1）考查圆锥曲线的概念与性质；

（2）求曲线方程和求轨迹；

（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题。

选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图

高考考点回顾

近三年来平面向量与圆锥曲线交汇命题可以说经历了三个阶段：2002年天津卷21道只是数学符号上的混合；2003年江苏卷20道用平面向量的语言描述解析几何元素的关系，可谓是知识点层面上整合；2004年有6份卷（分别是全国卷理科（必修+选修I）21道；全国卷理科（选修Ⅱ）21道；辽宁19道；湖南文21道；江苏卷21道；天津卷22道）涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，可以说是应用层面上综合。就应用层面上又有两个层次。第一层次：考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标表示、数量积等基本概念、运算的掌握情况. 第二层次：考查学生对平面向量知识的简单运用，如平面向量共线定理、定比分点、加减运算几何意义（这三点已有所涉及）、数量积几何意义、射影定理（这两点挖掘不够，本专题着重讲述见例1变式）。考查学生把向量作为工具的运用能力.这一层次的问题有一定的难度，而且是未来几年平面向量高考题的一个走向.

基础知识梳理

1．向量的概念、向量的几何表示、向量的加法和减法；

2．实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算；

3．平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段定比分点人坐标公式和向量的平衡移公式；

4．椭圆、双曲线、抛物线的定义及简单几何性质的灵活运用；

5．曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；

6．直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题）确定参数的取值范围；7．平面向量作为工具综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的典型问题。

例题讲解

一、“减少运算量，提高思维量” 是未来几年高考的一个方向，高考中对求轨迹的方程倾向于利用适当的转化再用定义法，以利于减少运算量，提高思维量。而圆锥曲线的两种定义均可用向量的模及数量积几何意义、射影定理来表示，无疑为平面向量与圆锥曲线交汇命题开拓了广阔的空间。在以向量为载体，求轨迹方程为命题切入点，可以综合考查学生平面向量的加法与减法及其几何意义，平面向量的数量积及其几何意义，圆锥曲线的定义。

例1．已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足| |+| |=4.

(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.

(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。

解：(1) = , | |= ,且| |+| |=4.

点P(x,y)到点( ,0)，(- ,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为

(2)设A( ),B( )依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+ =- m, =

因此，

当时，即m= 时，

[题设变式I.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足|| |-| ||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)

[题设变式I.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足=| |.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(- ,0)，F ( ,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= - 的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= - 的距离比为1，故点P的轨迹是以( ,0)为焦点以x= - 为准线抛物线]

[题设变式I.3] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足= | |.求点P(x,y)的轨迹C的方程.

[提示：设K(- ,0)，F ( ,0)，则表示在x轴上射影，即点P到x= - 的距离，所以点P到定点F的距离与到定直线x= - 的距离比为，当时，点P的轨迹是以( ,0)为焦点，以x= - 为相应准线的椭圆；当时，点P 的轨迹是以( ,0)为焦点，以x= - 为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支应满足什么条件？] [题设变式I.4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)

[题设变式I.5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。)

[考题] 已知点A( ，0)，B( ，0)动点P满足

(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.

(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线

C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.（解答见附页）

[题设变式II.1] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足| + |=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. ( ,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－，0）)

[题设变式II.2] 已知是x,y轴正方向的单位向量，设= , = ,且满足＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)

例2、已知两点M(-2，0)，N(2，0)，动点P在y轴上的射影是H，如果分别是公比q=2的等比数列的第三、第四项.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点，A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q(0，-2)的直线交x轴于点D(x0，0)，求x0的取值范围.

导析（1）设P(x，y)，则H(0，y)，

又因为所以有

所以点P的轨迹方程为y2-x2=4(x≠0).