第11讲：2章-4节

解
X 的分布函数为
1 1 e 2000x , F ( x) 0,
x 0, x 0.
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e

1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}
例8 证明 ( x ) 1 ( 2x ). x x 1 证明 ( x ) e 2 dx 2π 2 x2 x x2 x 1 1 2 1 2 e dx e 2 d x e dx 2π x 2π 2π 1 ( x ).
说明 如果Ｘ是某一元件的寿命,元件对它已使用过 ｓ小时没有记忆. 具有这一性质是指数分布有非常 广泛的应用: 可靠性理论 排队论
3. 正态分布(或高斯分布)
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
定义 设连续型随机变量X 的概率密度为 1 f ( x) e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布记为 X ~ N ( μ, σ 2 ). ,
P {c X d }
c
d
1 e 2πσ
( x μ )2 2σ 2
dx
x μ 令 u, σ


dμ σ c μ σ
1 e 2 πσ 1 e 2π
u2 2
σdu

dμ σ c μ σ
u2 2
du


dμ σ
1 e 2π
u2 2
du

a
o

b
x
均匀分布的意义
在区间(a, b) 上服从均匀分布的随机 变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间 内的可能
性是相同的.
l p ba

f ( x)
l 1 l
ba
a
o

b
x
分布函数
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
指数分布的重要性质 :“无记忆性”.
对于任意的s, t >0, 有: P{X>s+t |X>s}=P{X>t}.
P{ X s t} e ( s t )/ 事实上 P{ X s t | X s} s / P{ X s} e e t / P{ X t}.
第二章： §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布律
1. 随机变量:定义在样本空间上的实值单值的函数． 离 两点分布 两点分布 散 2. 型 均匀分布 n1 随 二项分布 机 变 二项分布 n很大, p很小 量 （np ） 泊松分布 的 泊松分布 分 布 几何分布
二、常见连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 设连续型随机变量 X 具有概率密度 1 , a x b, f ( x) b a 0, 其它, 则称 X 在区间 (a , b ) 区间上服从均匀分布 , 记为 X ~ U (a , b).
f ( x)
概率密度 函数图形
"３ "
法则
设X～N(,2)，由(x)的函数表得到： P{-<X<+}= (1)-(-1) =2(1)-1 =68.26﹪
P{-2<X<+2} = (2)-(-2)=2(2)-1 =95.44﹪ P{-3<X<+3}= (3)-(-3)=2(3)-1 = 99.74﹪ 我们可以看到，服从正态分布的随机变量虽然取值在 （-∞，+∞），但其值落在（ -3，+3）内几乎是 可以肯定的。 P{-6<X<+6}=(6)-(-6)=
反之，对于定义在（-∞, ∞)上的可积函数f(x),若 它满足性质1和性质2，则由它定义的F(x)是一个分布函数， 即它满足分布函数所必须具备的三个性质。
概率分布：
• 分布函数 F • 概率密度函数 f ：连续型随机变量 • 分布律 pk：离散型随机变量
2. 常见连续型随机变量的分布
均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布
由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质： (1)f(x)≥0，函数曲线位于x轴上方；
( 2)


f ( x )dx 1
x2 x1
( 3) P { x1 X x 2 } f ( x )dx; (4)若f ( x )在 点x处 连 续 ， 则 ( x ) f ( x ). F
80 - d 即 2.327 d 81.1635. 0.5
三：上分位点定义 定义： 设 X ~ N (0 , 1), 若 z 满足条件
§3 随机变量的分布函数
1. 随机变量的分布函数:
F ( x) P{ X x}
2.分布函数的基本性质
(1) 0 F ( x) 1, x (, ); (2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 ); (3) F () lim F ( x) 0, F () lim F ( x) 1;
dt
正态分布的应用与背景
正态分布是最常见最重要的一种分布,例如
测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;
正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
正态分布是概率论中最重要的分布:
(1) 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之 一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布 的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的 影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则 该随机指标一定服从或近似服从正态分布． (2) 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的． (3) 正态分布可以作为许多分布的近似分布． 如二项分布、泊松分布在n很大时，也以正态分布为 极限分布。
F ( x)
1

a o

b
x
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 1 x θ e , x 0, f ( x ) θ 0, x 0. 其中 θ 0 为常数, 则称 X 服从参数为 的指数 分布.
分布函数
1 e x θ , x 0, F ( x) x 0. 0,
应用与背景 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如 无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的 寿命等都服从指数分布.
例5 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 θ=2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以
上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率.
c μ σ
1 e 2π
u2 2
du
d μ c μ . σ σ
因而 P{c X d } F (d ) F (c )
d μ c μ . σ σ
d μ c μ 即 P {c X d } . σ σ
正态概率密度函数的几何特征
(1) 曲线关于 x μ 对称; 1 ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值 ; 2 πσ ( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点 ;
(5) 曲线以 x 轴为渐近线 ;
(6) 当固定 σ , 改变 μ 的大小时, f ( x ) 图形的形状不变 只是沿 , 着 x 轴作平移变换 ;
x x
(4) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0

3.离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
x pk x
k
F ( xk ) F ( xk 0) P{X =xk } pk .
(7 ) 当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x ) 图形的对称轴 不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ越大, 图形越矮越胖.
σ 越小,曲线变得越尖，因而X落在附近的概率越大.
正态分布的分布函数
1 F ( x) e 2πσ
( t μ )2 x 2σ 2
注：离散型随机变量的分布函数是阶梯函数.
§4 连续型随机变量及其概率密度
1. 连续型随机变量 F ( x ) f (t ) d t
x
分布函数 概率密度 注１改变概率密度函数在个别点的函数值不影响 分布函数的值. 注２连续型随机变量的分布函数是连续函数, 密度函数则不一定.
概率密度函数的性质
贮存着某种液体的 例9 将一温度调节器放置在 容器内. 调节器整定在 d oC , 液体的温度 X (以o C 计) 是一个随机变量, 且X ~ N (d , 0.52 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80o C 的概率不 低于 0.99 , 问d 至少为多少? 解 (1) 所求概率为 89 90 P { X 89} ( 2) 1 ( 2) 0.5
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000} P{ X 2000} P{ X 1000}
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F ( 2000) 1 F (1000)
e
1 2
0.607.