【精品】中考数学试题分类解析汇编专题18实际应用问题
全国各地中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题18 图形的展开与叠折
图形的展开与叠折一、选择题1．(2015•江苏无锡,第9题2分)如图的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 几何体的展开图．分析： 根据正方体的表面展开图进行分析解答即可．解答： 解：根据正方体的表面展开图，两条黑线在一列，故A 错误，且两条相邻成直角，故B 错误，间相隔一个正方形，故C 错误，只有D 选项符合条件， 故选D点评： 本题主要考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2.（2015湖北荆州第8题3分）如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 剪纸问题．分析： 根据题意直接动手操作得出即可．解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：故选A．点评：本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便．3.（2015湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF =（）A．B．C．D．【答案】D.考点：翻折问题.4.（2015•四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3 cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A ．13cmB．CD．考点：平面展开－最短路径问题．.分析：将容器侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求． 解答：解：如图：∵高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm 与饭粒相对的点A 处，∴A ′D =5cm ，BD =12﹣3+AE =12cm ，∴将容器侧面展开，作A 关于EF 的对称点A ′， 连接A ′B ，则A ′B 即为最短距离，A ′B ===13（Cm ）．故选：A ．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5、（2015•四川自贡,第10题4分） 如图，在矩形ABCD 中，AB 4AD 6==，,E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△'EB F ,连接'B D ‘,则'B D ‘的最小值是 （ ）A. 2 B .6 C.2 D .4图5EB考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.分析：连接EA 后抓住△DEB 中两边一定，要使'DB 的长度最小即要使'DEB ∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B 落在DE 上, 此时''D B D E EB =-略解：∵E 是AB 边的中点，AB 4= ∴1AE EB AB 22===∵四边形ABCD 矩形 ∴A 90∠=o∴在Rt △DAE 根据勾股定理可知：222DE AE AD =+又∵AD 6= ∴ED =根据翻折对称的性质可知'EB EB 2==∵△DEB 中两边一定，要使'DB 的长度最小即要使'DEB ∠最小(也就是使其角度为0°)，此时点'B 落在DE 上（如图所示）. ∴''DB DE EB 2=-= ∴'DB 的长度最小值为2. 故选A6. （2015•绵阳第12题，3分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB =1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF =（ ）A ．B ．C ．D ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．.分析： 借助翻折变换的性质得到DE =CE ；设AB =3k ，CE =x ，则AE =3k ﹣x ；根据余弦定理分别求出CE 、CF 的长即可解决问题． 解答： 解：设AD =k ，则DB =2k ； ∵△ABC 为等边三角形，EB∴AB=AC=3k，∠A=60°；设CE=x，则AE=3k﹣x；由题意知：EF⊥CD，且EF平分CD，∴CE=DE=x；由余弦定理得：DE2=AE2+AD2﹣2AE•AD•cos60°即x2=（3k﹣x）2+k2﹣2k（3k﹣x）cos60°，整理得：x=，同理可求：CF=，∴CE：CF=4：5．故选：B．点评：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助余弦定理分别求出CE、CF的长度（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．7. （2015•浙江省台州市，第8题）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.8cmB.C.5.5cmD.1cm8．(2015·贵州六盘水，第4题3分)如图2是正方体的一个平面展开图，原正方体上两个“我”字所在面的位置关系是（）A．相对 B．相邻 C．相隔 D．重合考点：专题：正方体相对两个面上的文字．.分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“国”是相对面， “我”与“祖”是相对面， “爱”与“的”是相对面．故原正方体上两个“我”字所在面的位置关系是相邻． 故选B ． 点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．9. （2015•浙江宁波，第10题4分）如图，将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的A 1处，称为第1次操作，折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后，再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠，使点A 落在DE 边上的A 2处，称为第2次操作，折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h ，若1h =1，则2015h 的值为【 】A . 201521B . 201421C .2015211-D .2014212-【答案】D . 【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质，DE 是△ABC 的中位线，D 1E 1是△A D 1E 1的中位线，D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线，…∴21111122h =+=-，32211111222h =++=-，42331111112222h =+++=-，…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-.故选D .10.（2015•江苏泰州,第4题3分）一个几何体的表面展开图如图所示， 则这个几何体是A .四棱锥B .四棱柱C .三棱锥D .三棱柱【答案】A . 【解析】试题分析：根据四棱锥的侧面展开图得出答案. 试题解析：如图所示：这个几何体是四棱锥. 故选A .考点：几何体的展开图.11. （2015•四川广安，第4题3分）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）A ． 全B ． 明C ． 城D ． 国考点： 专题：正方体相对两个面上的文字．.分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解答：解：由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．故选：C．点评：此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键．12. （2015•浙江金华，第9题3分）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是【】A. 如图1，展开后，测得∠1=∠2B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4C. 如图3，测得∠1=∠2D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD【答案】C.【考点】折叠问题；平行的判定；对顶角的性质；全等三角形的判定和性质.【分析】根据平行的判定逐一分析作出判断：A. 如图1，由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；B. 如图2，由∠1=∠2和∠3=∠4，根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；C. 如图3，由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，故不一定能判定纸带两条边线，互相平行；D. 如图4，由OA=OB，OC=OD，得到，从而得到，进而根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行.故选C.13. （2015•山东潍坊第11 题3分）如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=A C．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD= x，∴DE=6﹣2 x，∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x2+18x，=﹣6 （x﹣）2+ ，∴当x= 时，纸盒侧面积最大为．故选C．点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．二、填空题1. （2015•浙江嘉兴，第14题5分）如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为____▲____.考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：如图，D为BC的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，所以折痕EF垂直平分AD，根据平行线等分线段定理，易知E是AC的中点，故AE=2.5．解答：解：如图所示，∵D为BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，∵折叠该纸片使点A落在BC的中点D上，∴折痕EF垂直平分AD，∴E是AC的中点，∵AC=5∴AE=2.5．故答案为：2.5．点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕EF垂直平分AD，是解决问题的关键．2. （2015•四川省内江市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：先根据折叠的性质得DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，则DC=2EF，AB=5，再作AH⊥BC于H，由于AD∥BC，∠B=90°，则可判断四边形ADCH为矩形，所以AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，所以EF=．解答：解∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB 边的点F处，∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3，∴DC=2EF，AB=5，作AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ADCH为矩形，∴AH=DC=2EF，HB=BC﹣CH=BC﹣AD=1，在Rt△ABH中，AH==2，∴EF=．故答案为：．点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．3. （2015•浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE 折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为 .【答案】（10,3）考点：折叠的性质，勾股定理4. （2015•浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________【答案】24+【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，第16题A易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°.设BN =DN =x ，则NH =12x.根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BN =DN =2， NH =1.易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ∆中，CN∴CD=2+如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°.设BC =CE =x ，则BH =12x.根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BC =CE =2， BH =1.在Rt BCH ∆中，CHEH=2.易证BCD EHB ∆∆∽，∴CD BC HB EH =，即1CD =∴224CD +==+.综上所述，CD =2+4+5. （2015•四川省宜宾市，第15题，3分）如图， 一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB .若C (32，32)，则该一次幽数的解析式为 .y =+yxCBAO三、解答题1. （2015•浙江金华，第23题10分）图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图.（1）蜘蛛在顶点A'处①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB'C'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？（2）在图3中，半径为10dm 的⊙M 与D 'C '相切，圆心M 到边CC'的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在⊙M 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线。
中考数学复习《实际应用与方案设计型问题》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《实际应用与方案设计型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读实际应用与方案设计型总结以下常考类型：1.购买分配类问题；2.工程、生产、行程问题；3.增长率(面积)问题；4.一次函数的实际应用；5.二次函数的实际应用．购买问题常考模型有：①A 、B 总数量已知，单价和总花费已知，求A 、B 数量(列方程组求解，如第4题)；②已知A 、B 的单价与总花费及A 、B 价格变化后的总花费或已知A 、B 的进价、售价、总进价与总获利，求A 、B 数量(列方程组求解，如第2题)；③已知A 、B 单价和，A 与B 单价之间的关系，求A 、B 单价(如第3题)．工程、生产、行程问题常考模型有设单位1，求解和通过公式求解(常列分式方程，所用公式有v ＝st ，数量＝总价单价，工作效率＝工作总量工作时间)．增长率(面积)问题，常列一元二次方程求解，这里一般是由矩形面积求边长．一次函数的实际应用常考形式有图象型、表格型、阶梯费用(分段函数)、最值问题．二次函数的实际应用常考形式有抛物线型、涉及几何图形面积(矩形)、最值问题．类型一 购买、分配类问题1.解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48.问甲、乙两人各带了多少钱？2.某商场销售A 、B 两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．(毛利润＝(售价－进价)×销售量)(1)该商场计划购进A ，B 两种品牌的教学设备各多少套？(2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A 种设备的购进数量，增加B 种设备的购进数量，已知B 种设备增加的数量是A 种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A 种设备购进数量至多减少多少套？3.为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛．为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．(1)求足球和篮球的单价各是多少元？(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？4.为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．(1)求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元(注：毛利润＝售价－进价)．类型二 工程、生产、行程问题5.“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工30天完成该工程的13，这时乙队加入，两队还需同时施工15天，才能完成该项工程．(1)若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？6.甲车从A 地驶往B 地，同时乙车从B 地驶往A 地，两车相向而行，匀速行驶．甲车距B 地的距离y(km )与行驶时间x(h )之间的函数关系如图所示，乙车的速度是60 km /h . (1)求甲车的速度；(2)当甲乙两车相遇后，乙车速度变为a(km /h )，并保持匀速行驶，甲车速度保持不变，结果乙车比甲车晚38分钟到达终点，求a 的值．7.某种型号油电混合动力汽车，从A 地到B 地燃油行驶纯燃油费用76元，从A 地到B 地用电行驶纯电费用26元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.5元． (1)求每行驶1千米纯用电的费用；(2)若要使从A 地到B 地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过39元，则至少用电行驶多少千米？8.某工厂通过科技创新，生产效率不断提高，已知去年月平均生产量为120台机器，今年一月份的生产量比去年月平均生产量增长了m%，二月份的生产量又比一月份生产量多50台机器，而且二月份生产60台机器所需时间与一月份生产45台机器所需时间相同，三月份的生产量恰好是去年月平均生产量的2倍．问：今年第一季度生产总量是多少台机器？m的值是多少？类型三增长率(面积)问题9.青海新闻网讯：2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.10.在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA、OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.(1)求这个地面矩形的长；(2)有规格为0.80×0.80和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？类型四一次函数的实际应用11.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发．甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y(千米)，甲车行驶的时间为x(时)，y与x 之间的函数图象如图所示．(1)求甲车从A地到达B地的行驶时间；(2)求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)求乙车到达A地时甲车距A地的路程．12.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少．已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示．针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量 y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．13. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份A型车销售总额增加25%.(1)求今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：14.某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨(含14吨)，则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费．小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？(2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；(3)小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？15. A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台．从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．(1)设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来；(3)现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元(a≤200)作为优惠，其他费用不变．如何调运，使总费用最少？类型五二次函数的实际应用16.课本中有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m．利用图③，解答下列问题：(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17.为备战2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场的长度OD 为18米，位于球场中线处球网的高度AB 为2.43米，一队员站在点O 处发球，排球从点O 的正上方1.8米的C 点向正前方飞出，当排球运行至离点O 的水平距离OE 为7米时，到达最高点G ，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)的函数关系式；(不要求写自变量x 的取值范围)(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5米的点F 处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明；(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h 的取值范围是多少？(排球压线属于没出界)18.襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋140 （40≤x＜60）－x ＋80 （60≤x≤70）.(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元)，请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式；(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？ (3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围类型一 购买、分配类问题1. 解：设甲带的钱为x ，乙带的钱为y ，由题意得：⎩⎨⎧x ＋y2＝4823x ＋y ＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36y ＝24.答：甲、乙两人各带钱为36、24.2. 解：(1)设该商场计划购进A 种设备x 套，B 种设备y 套，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋1.2y ＝660.15x ＋0.2y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20y ＝30.答：该商场计划购进A 种设备20套，B 种设备30套．(2)设A 种设备购进数量减少a 套，则B 种设备购进数量增加1.5a 套，由已知得 1．5(20－a)＋1.2(30＋1.5a)≤69，解得a ≤10.答：A 种设备购进数量至多减少10套．3. 解：(1)设购买足球与篮球的单价分别为x 元、y 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝159x ＝2y －9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103y ＝56. 答：足球的单价是103元，篮球的单价是56元．(2)设学校购买足球z 个，则购买篮球(20－z)个，于是有： 103z ＋56(20－z)≤1550，解得z ≤9747.答：学校最多可以购买9个足球．4. 解：(1)设A 型号家用净水器购进了x 台，B 型号家用净水器购进了y 台，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝160150x ＋350y ＝36000，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100y ＝60.所以A 型号家用净水器购进了100台，B 型号家用净水器购进了60台．(2)设每台A 型号家用净水器的毛利润为z 元，则每台B 型号家用净水器的毛利润为2z 元． 由题意得：100z ＋60×2z ≥11000. 解得z ≥50，又∵售价＝毛利润＋进价，∴A 型号家用净水器的售价≥150＋50＝200元，类型二 工程、生产、行程问题5. 解：(1)由题意知，甲队单独施工完成该项工程所需时间为30÷13＝90(天)． 设乙队单独施工需要x 天完成该项工程，则30＋1590＋15x＝1. 去分母，得x ＋30＝2x ，解得x ＝30.经检验x ＝30是原方程的解．答：乙队单独施工需要30天才能完成该项工程．(2)设乙队施工y 天完成该项工程，则1－y 30≤3690. 解得y ≥18.答：乙队至少施工18天才能完成该项工程．6. 解：(1)v 甲＝280－1202＝80(km /h )． ∴甲车的速度为80 km /h .(2)相遇时间为28080＋60＝2(h )． 依题意得60×280＋3860＝80×2a. 解得a ＝75.经检验，a ＝75是原分式方程的解．∴a 的值为75.7. 解：(1)设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，则每行驶1千米纯燃油的费用为(x ＋0.5)元．根据题意得：76x ＋0.5＝26x， 解得x ＝0.26(元)，经检验x ＝0.26是原方程的根．答：纯用电每行驶1千米所需要的费用为0.26元．(2)由(1)得纯燃油每行驶1千米所需的费用为0.5＋0.26＝0.76(元)，从A 到B 的距离为26÷0.26＝100(千米)．设用电行驶y 千米，则用燃油行驶(100－y)千米．根据题意得0.26y ＋0.76(100－y)≤39，解得y ≥74.答：至少用电行驶74千米．8. 解：设去年月平均生产效率为1，则今年一月份的生产效率为(1＋m%)，二月份的生产效率为(1＋m%＋512)， 根据题意得：601＋m%＋512＝451＋m%， 解得m%＝14， 经检验可知m%＝14是原方程的解，∴m ＝25.∴第一季度生产总量为120×1.25＋120×1.25＋50＋120×2＝590(台)．答：今年第一季度生产总量是590台机器，m 的值是25.类型三 增长率(面积)问题9. 解：(1)设每个站点的造价为x 万元，公共自行车的单价为y 万元．根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋720y ＝112120x ＋2205y ＝340.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0.1. 答：每个站点的造价为1万元，公共自行车的单价为0.1万元．(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.根据题意可得：720()1＋a 2＝2205，解得a 1＝34＝75%，a 2＝－114(不符合题意，舍去)． 答：2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.10. 解：(1)设矩形的长为x m ，则宽为(20－x) m .根据题意得：x(20－x)＝96，即x 2－20x ＋96＝0.解得x 1＝8，x 2＝12，当x ＝8时，20－8＝12，∵8＜12，不合题意，舍去，∴这个地面矩形的长为12 m ．(2)用第一种规格的地板砖所需费用为：96÷(0.80×0.80)×55＝8250(元)；用第二种规格的地板砖所需费用为：96÷(1×1)×80＝7680(元)．∵8250＞7680，∴用第二种规格(即1.00×1.00)的地板砖费用较少．(类型四 一次函数的实际应用11. 解：(1)如解图，设直线OA 的解析式为y ＝k 1x(k 1≠0)．第11题解图把点(1.5，180)代入，得：1．5k 1＝180，∴k 1＝120，∴直线OA 的解析式为y ＝120x.当y ＝300时，则120x ＝300，解得x ＝2.5.∴甲车从A 地到达B 地的行驶时间为2.5小时．(2)设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b 1(k 2≠0)．把点(2.5，300)，(5.5，0)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧2.5k 2＋b 1＝3005.5k 2＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－100b 1＝550， ∴甲车返回时y 与x 之间的函数关系式为y ＝－100x ＋550(2.5≤x ≤5.5)．(3)设直线CD 的解析式为y ＝k 3x ＋b 2(k 3≠0)．把点(0，300)，(1.5，180)分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝3001.5k 3＋b 2＝180，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝－80b 2＝300， ∴直线CD 的解析式为y ＝－80x ＋300.令y ＝0，则－80x ＋300＝0，x ＝3.75.把x ＝3.75代入y ＝－100x ＋550得y ＝－375＋550＝175(千米)，∴乙车到达A 地时甲车距A 地的路程为175 千米．12. 解：(1)设y 1与x 的函数关系式为y 1＝kx ＋b(k ≠0)，∵函数y 1＝kx ＋b 的图象经过点(0，1200)和(60，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝120060k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－20b ＝1200， ∴y 1与x 的函数关系式为：y 1＝－20x ＋1200，当x ＝20时，y 1＝－400＋1200＝800(万m 3)．(2)设y 2与x 的函数关系式为y 2＝mx ＋n(m ≠0)．∵函数y 2＝mx ＋n 的图象经过点(20，0)，(60，1000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝060m ＋n ＝1000，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25n ＝－500， ∴y 2与x 的函数关系式为y 2＝25x －500，∴总蓄水量y 与x 的函数关系为：①当0≤x ≤20时，y ＝y 1＝－20x ＋1200;②当20<x ≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1200＋25x －500＝5x ＋700.综上，y 与x 的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1200（0≤x ≤20）5x ＋700（20＜x ≤60）. 发生严重干旱时x 的取值范围是15≤x ≤40.【解法提示】当y ≤900时，由y ＝－20x ＋1200≤900(0≤x ≤20)，得15≤x ≤20；由y ＝5x ＋700≤900(20<x ≤60)，得20<x ≤40.故发生严重干旱时，x 的取值范围是：15≤x ≤40.13. 解：(1)设去年A 型车每辆x 元，则今年A 型车每辆(x ＋400)元，根据题意得，32000x ＝32000×（1＋25%）x ＋400， 解得x ＝1600，经检验，x ＝1600是方程的根，且符合题意．1600＋400＝2000(元)．答：今年A 型车每辆售价为2000元．(2)设今年7月份进A 型车m 辆，那么进B 型车(50－m)辆，获得的总利润为y 元，根据题意，得50－m ≤2m ，解得m ≥1623， y ＝(2000－1100)m ＋(2400－1400)(50－m)，即y ＝－100m ＋50000，∵k ＝－100<0，∴y 随m 的增大而减少，但m 只能取正整数，∴当m 取17时，可以获得最大利润．答：进A 型车17辆，B 型车33辆时能使这批车获利最多．14. 解：(1)由每吨水的政府补贴优惠价为m 元，市场价为n 元．根据题意列方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧14m ＋（20－14）n ＝4914m ＋（18－14）n ＝42， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝3.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝2x ；当x ＞14时，y ＝14×2＋(x －14)×3.5＝3.5x －21.故所求函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ≤14）3.5x －21（x ＞14）. (3)∵26＞14，∴小明家5月份水费为3.5×26－21＝70(元)．答：小明家5月份应交水费70元．15. 解：(1)依题意知，从A 城至D 乡运(30－x)台，从B 城至C 乡运(34－x)台，从B 城至D 乡运(x ＋6)台，∴W ＝250x ＋200(30－x)＋150(34－x)＋240(x ＋6)＝140x ＋12540(0≤x ≤30)．(2)∵W ≥16460，∴140x ＋12540≥16460，解得x ≥28，∴28≤x ≤30，∴x 可取28，29，30，∴有三种不同的调运方案：当x ＝28时，从A 城至C 乡运28台，从A 城至D 乡运2台，从B 城至C 乡运6台，从B 城至D 乡运34台；当x ＝29时，从A 城至C 乡运29台，从A 城至D 乡运1台，从B 城至C 乡运5台，从B 城至D 乡运35台；当x ＝30时，从A 城至C 乡运30台，从A 城至D 乡运0台，从B 城至C 乡运4台，从B 城至D 乡运36台．(3)依题意得W ＝140x ＋12540－ax ＝(140－a)x ＋12540，当0<a<140时，140－a>0，x 取0时，W 最小，此时，从A 城至C 乡运0台，从A 城至D 乡运30台，从B 城至C 乡运34台，从B 城至D 乡运6台；当a ＝140时，W ＝12540.各种方案费用一样多；当140<a ≤200时，140－a<0，x 取30时，W 最小．此时，从A 城至C 乡运30台，从A 城至D 乡运0台，从B 城至C 乡运4台，从B 城至D 乡运36台．类型五 二次函数的实际应用16. 解：(1)由已知条件得，AD ＝6－3－122＝54(m )， 此时窗户的透光面积S ＝AB·AD ＝1×54＝54(m 2)． (2)设AB ＝x m ，则AD ＝(3－74x)m ， ∵x ＞0，3－74x ＞0，∴0＜x ＜127. 设窗户透光面积为S ，由已知得，S ＝AB·AD＝x(3－74x) ＝－74x 2＋3x ＝－74(x －67)2＋97， 当x ＝67时，且x ＝67在0＜x ＜127的范围内，S 最大值＝97. ∵97m 2＞1.05 m 2， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．17. 解：(1)依题可知，顶点坐标为(7，3.2)且过点(0，1.8)，设y ＝a(x －7)2＋3.2，将点(0，1.8)代入得1．8＝49a ＋3.2，∴a ＝－135， ∴y ＝－135(x －7)2＋3.2＝－135x 2＋25x ＋95. (2)把x ＝9.5代入y ＝－135x 2＋25x ＋95得， y ≈3.0＜3.1，故她可以拦网成功．(3)由题知，设抛物线解析式为y ＝a(x －7)2＋h.①当排球恰好过球网时，将点(0，1.8)和(9，2.43)分别代入得：⎩⎪⎨⎪⎧2.43＝a （9－7）2＋h 1.8＝49a ＋h ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.014h ＝2.486， 此时抛物线解析式为y ＝－0.014(x －7)2＋2.486，此时排球飞行的最大高度为h ＝2.486；②当排球恰好处于边界时，将点(0，1.8)和(18，0)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧0＝a （18－7）2＋h 1.8＝49a ＋h ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.025h ＝3.025， 此时抛物线解析式为y ＝－0.025(x －7)2＋3.025，排球飞行的最大高度h ＝3.025.综上，排球飞行的最大高度h 的取值范围是2.486≤h ≤3.025.18. 解：(1)W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋200x －4200 （40≤x ＜60）－x 2＋110x －2400 （60≤x ≤70）. 【解法提示】根据题意知当年销量为y ＝－2x ＋140时，年利润为W ＝(－2x ＋140)x －(－2x ＋140)×30，化简得，W ＝－2x 2＋200x －4200(40≤x ＜60)，当年销量为y ＝－x ＋80时，年利润W ＝(－x ＋80)x －(－x ＋80)×30化简得W ＝－x 2＋110x －2400(60≤x ≤70)，∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋200x －4200（40≤x ＜60）－x 2＋110x －2400（60≤x ≤70）. (2)由(1)知，当40≤x ＜60时，W ＝－2(x －50)2＋800，∵－2＜0，∴当x ＝50时，W 有最大值为800；当60≤x ≤70时，W ＝－(x －55)2＋625，∵－1＜0，∴当60≤x ≤70时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 有最大值为600.∵800＞600，∴当该产品的售价定为50元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．(3)当40≤x ＜60时，令W ＝750，得：－2(x －50)2＋800＝750，解得x 1＝45，x 2＝55，由函数W ＝－2(x －50)2＋800的性质可知，当45≤x ≤55时，W ≥750；当60≤x ≤70时，W 最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x(元/件)的取值范围为45≤x ≤55.。
2020重庆中考数学18题专题及答案二
2020重庆中考数学18题专题及答案二中考数学18题专题及答案二1. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 240 吨．解：设货物总吨数为x吨．甲每次运a吨，乙每次运3a吨，丙每次运b吨．，=，解得x=240．故答案为：240．2.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了4380 朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．3.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开 40 分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．4. 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份毛利润总额的比是11∶10 。
2018年中考数学真题分类汇编第一期专题18图形的展开与叠折试题含解
图形的展开与叠折一、选择题1．（2018•四川凉州•3分）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建”字对面是（）A．和B．谐C．凉D．山【分析】本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．【解答】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“建”字相对的字是“山”．故选：D．【点评】注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．（2018·天津·3分）如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：由折叠的性质知，BC=BE．易得.详解：由折叠的性质知，BC=BE．∴.．故选：D．点睛：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3 （2018·新疆生产建设兵团·5分）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【分析】根据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，然后求出四边形ABEB1是正方形，再根据正方形的性质可得BE=AB，然后根据CE=BC﹣BE，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形ABEB1是正方形是解题的关键．4 （2018·台湾·分）如图为一直棱柱，其底面是三边长为5、12、13的直角三角形．若下列选项中的图形均由三个矩形与两个直角三角形组合而成，且其中一个为如图的直棱柱的展开图，则根据图形中标示的边长与直角记号判断，此展开图为何？（）A． B．C． D．【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．【解答】解：A选项中，展开图下方的直角三角形的斜边长为12，不合题意；B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．5. （2018•河南•3分）某正方体的每个面上那有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是（）A.厉B.害C.了D.我6．（2018·浙江衢州·3分）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB 边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A．112°B．110° C．108° D．106°【考点】平行线的性质【分析】由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°，再根据AD∥BC，即可得到∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．【解答】解：∵∠AGE=32°，∴∠DGE=148°，由折叠可得：∠DGH=∠DGE=74°．∵AD∥BC，∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°．故选D．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．7. （2018·浙江舟山·3分）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A. B.C. D.【考点】剪纸问题【解析】【解答】解：沿虚线剪开以后，剩下的图形先向右上方展开，缺失的部分是一个等腰直角三角形，用直角边与正方形的边是分别平行的，再沿着对角线展开，得到图形A。
人教版数学八年级下册第18章 平行四边形 解答题—2019年中考真题汇编(解析版)
第18章平行四边形解答题—2019年中考真题汇编1．（2019•大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD、BC的中点．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长．2．（2019•百色）如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD、CF⊥AB，分别交AD、AB的延长线于点E、F．（1）求证：AE＝BF；（2）若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．3．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连结AE、AF、EF．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝5，请求出EF的长．4．（2019•吉林）如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE、DF．求证：△ABE≌△CDF．5．（2019•云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．6．（2019•柳州）平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：7．（2019•湘西州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．8．（2019•哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD面积的．9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．10．（2019•淮安）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．求证：BE ＝DF．11．（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥BC．12．（2019•黄冈）如图，ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG ⊥AE，垂足分别为F，G．求证：BF﹣DG＝FG．13．（2019•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．14．（2019•新疆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE．过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形OCFD是矩形．15．（2019•郴州）如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF．求证：四边形ACDF是平行四边形．16．（2019•福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．17．（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O 的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．18．（2019•杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．19．（2019•岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．20．（2019•怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．21．（2019•株洲）如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点，连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，AM＝，求正方形OEFG的边长．22．（2019•宿迁）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE ＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．23．（2019•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．（1）求证：BG＝DE；（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．24．（2019•广安）如图，点E是▱ABCD的CD边的中点，AE、BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．25．（2019•湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．26．（2019•聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．27．（2019•遂宁）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE 交CD于点F，点F是CD的中点．求证：（1）△ADF≌△ECF．（2）四边形ABCD是平行四边形．28．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．29．（2019•安徽）如图，点E在▱ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE．（1）求证：△BCE≌△ADF；（2）设▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值．30．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．31．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB＝，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．32．（2019•衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连结AE，AF．求证：AE＝AF．第18章平行四边形解答题—2019年中考真题汇编参考答案与试题解析1．【分析】（1）根据四边形的性质得到AB∥CD，求得∠MAB＝∠NCD．根据全等三角形的判定定理得到结论；（2）连接EF，交AC于点O．根据全等三角形的性质得到EO＝FO，AO＝CO，于是得到结论．【解答】（1）证明∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠MAB＝∠NCD．在△ABM和△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）解：如图，连接EF，交AC于点O．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是矩形，∴EF＝AB＝3，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO，AO＝CO，∴O为EF、AC中点．∵∠EGF＝90°，OG＝EF＝，∴AG＝OA﹣OG＝1或AG＝OA+OG＝4，∴AG的长为1或4．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．2．【分析】（1）由“AAS”可证△AEB≌△BFC，可得AE＝BF；（2）由线段垂直平分线的性质可得BD＝AB＝2．【解答】（1）证明：四边形ABCD是菱形∴AB＝BC，AD∥BC∴∠A＝∠CBF∵BE⊥AD、CF⊥AB∴∠AEB＝∠BFC＝90°∴△AEB≌△BFC（AAS）∴AE＝BF（2）∵E是AD中点，且BE⊥AD∴直线BE为AD的垂直平分线∴BD＝AB＝2【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．3．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，利用SAS 定理证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠EAD＝90°，∴∠DAF+∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝AE＝5．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质整式解题的关键．4．【分析】直接利用已知作图方法结合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】证明：由题意可得：AE＝FC，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C在△ABE和△CDF中，，所以，△ABE≌△CDF（SAS）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定，正确掌握基本作图方法是解题关键．5．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据三角形的外角的性质得到∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，求得∠DAO＝∠ADO，推出AC＝BD，于是得到四边形ABCD是矩形；（2）根据矩形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠CDO，根据三角形的内角得到∠ABO＝54°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝4：3，∴∠AOB：∠ABO＝4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，∴∠ABO＝54°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．【点评】本题考查了矩形的判定和性质，三角形的内角和，正确的理解题意是解题的关键．6．【分析】连接AC，由SSS证明△ABC≌△CDA得出∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，证出AB∥CD，BC∥AD，即可得出结论．【解答】证明：连接AC，如图所示：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．7．【分析】（1）利用SAS即可证明；（2）用正方形面积减去两个全等三角形的面积即可．【解答】解：（1）在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形ABCD面积为16，△ABF面积＝△CBE面积＝×4×1＝2．所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．8．【分析】（1）由AAS证明△ABE≌△CDF，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出∠CBD＝∠ADB＝30°，由直角三角形的性质得出BE＝AB，AE＝AD，得出△ABE的面积＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得出△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，由直角三角形的性质得出EG ＝BE＝×AB＝AB，得出△BCE的面积＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF；（2）解：△ABE的面积＝△CDF的面积＝△BCE的面积＝△ADF的面积＝矩形ABCD面积的．理由如下：∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝60°，∵AE⊥BD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝AD，∴△ABE的面积＝BE×AE＝×AB×AD＝AB×AD＝矩形ABCD的面积，∵△ABE≌△CDF，∴△CDF的面积═矩形ABCD的面积；作EG⊥BC于G，如图所示：∵∠CBD＝30°，∴EG＝BE＝×AB＝AB，∴△BCE的面积＝BC×EG＝BC×AB＝BC×AB＝矩形ABCD的面积，同理：△ADF的面积＝矩形ABCD的面积．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，由HL证明Rt△ABE≌Rt△CDF即可；（2）由全等三角形的性质得出BE＝DF，得出CE＝AF，由CE∥AF，证出四边形AECF是平行四边形，再由AC⊥EF，即可得出四边形AECF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；（2）解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∵BC＝AD，∴CE＝AF，∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．10．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD＝BC，又由点E、F分别是▱ABCD 边AD、BC的中点，可得DE＝BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E、F分别是▱ABCD边AD、BC的中点，∴DE＝AD，BF＝BC，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE＝DF．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．11．【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：设BE＝x，CE＝h在Rt△CEB中：x2+h2＝9①在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②联立①②解得：x＝，h＝∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；（2）作DF⊥AB，垂足为F∴∠DFA＝∠CEB＝90°∵平行四边形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAF＝∠CBE又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC∴△ADF≌△BCE（AAS）∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16∴BD＝4∵BC＝3，DC＝5∴CD2＝DB2+BC2∴BD⊥BC．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．12．【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝AG，根据线段的和与差可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°，∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，∵∠DAG+∠BAF＝90°，∴∠ADG＝∠BAF，在△BAF和△ADG中，∵，∴△BAF≌△ADG（AAS），∴BF＝AG，AF＝DG，∵AG＝AF+FG，∴BF＝AG＝DG+FG，∴BF﹣DG＝FG．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG是解题的关键．13．【分析】（1）由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，由平行线的性质得出∠CBF＝∠CEG，证出AE⊥EG，即可得出结论；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，则AP＝CE，∠EBP＝90°，证明△APE≌△ECG得出AE＝EG，证出EG＝BF，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CEG+∠BEA＝90°，∴AE⊥EG，∴AE⊥BF；（2）延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示：则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°，∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG，由（1）得∠BAE＝∠CEG，在△APE和△ECG中，，∴△APE≌△ECG（ASA），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE＝∠FCE，根据线段中点的定义可得CE＝DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD＝FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出∠COD＝90°，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，∵E是CD中点，∴CE＝DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴四边形OCFD是矩形．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．15．【分析】利用平行四边形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE（ASA），∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．16．【分析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．17．【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO＝∠BEO，根据全等三角形的性质得到DF＝BE，于是得到四边形BEDF是平行四边形；（2）推出四边形BEDF是菱形，得到DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE（ASA），∴DF＝BE，又因为DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形∴四边形BEDF是菱形，∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2∴x2+62＝（8﹣x）2，解之得：x＝，∴DE＝8﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2∴BD＝，∴OD＝BD＝5，在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，∴OE＝，∴EF＝2OE＝．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．18．【分析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．【解答】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE＝1﹣a，∵S1＝S2，∴a2＝1×（1﹣a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，∴CH＝0.5，∴DH＝＝，∵CH＝0.5，CG＝，∴HG＝，∴HD＝HG．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠1＝∠2．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB ＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．21．【分析】（1）由正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD，可得∠DOA＝∠DOC＝90°，∠GOE＝90°，即可证得∠GOD＝∠COE，因DO＝OC，GO＝EO，则可利用“边角边”即可证两三角形全等（2）过点M作MH⊥DO交DO于点H，由于∠MDB＝45°，由可得DH，MH长，从而求得HO，即可求得MO，再通过MH∥DG，易证得△OHM∽△ODG，则有＝，求得GO即为正方形OEFG的边长．【解答】解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线AC、BD∴DO＝OC∵DB⊥AC，∴∠DOA＝∠DOC＝90°∵∠GOE＝90°∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°∴∠GOD＝∠COE∵GO＝OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（SAS）（2）如图，过点M作MH⊥DO交DO于点H∵AM＝，DA＝2∴DM＝∵∠MDB＝45°∴MH＝DH＝sin45°•DM＝，DO＝cos45°•DA＝∴HO＝DO﹣DH＝﹣＝∴在Rt△MHO中，由勾股定理得MO＝＝＝∵DG⊥BD，MH⊥DO∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴＝＝＝，得GO＝2则正方形OEFG的边长为2【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．22．【分析】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4﹣＝，根据勾股定理得到AF＝CE＝＝，于是得到结论；（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝，∴CF＝AE＝4﹣＝，∴AF＝CE＝＝，∴AF＝CF＝CE＝AE＝，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形，∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，∴EH＝﹣＝1，∴EF＝＝＝．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．23．【分析】（1）根据矩形的性质得到EH＝FG，EH∥FG，得到∠GFH＝∠EHF，求得∠BFG ＝∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF＝∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得AE＝BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB＝EG，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG，∴∠GFH＝∠EHF，∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH，∴△BGF≌△DEH（AAS），∴BG＝DE；（2）连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AD中点，∴AE＝ED，∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB＝EG，∵EG＝FH＝2，∴AB＝2，∴菱形ABCD的周长＝8．【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．24．【分析】先证明△ADE≌△FCE，得到AD＝CF＝3，DE＝CE＝2，从而可求平行四边形的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF．又ED＝EC，∴△ADE≌△FCE（AAS）．∴AD＝CF＝3，DE＝CE＝2．∴DC＝4．∴平行四边形ABCD的周长为2（AD+DC）＝14．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助全等转化线段．25．【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到DF＝DB＝DA＝AB＝3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝3，∴四边形BEFD的周长为12．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．26．【分析】（1）根据菱形的性质得到AB＝AD，AD∥BC，由平行线的性质得到∠BOA＝∠DAE，等量代换得到∠BAF＝∠ADE，求得∠ABF＝∠DAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AE＝BF，DE＝AF，根据线段的和差即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DAF＝∠E，根据线段中点的定义得到DF＝CF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD＝EC，等量代换得到AD＝BC，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，在△ADF与△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD＝EC，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．28．【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB＝OA，根据AM⊥BE，即可得出∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．29．【分析】（1）根据ASA证明：△BCE≌△ADF；（2）根据点E在▱ABCD内部，可知：S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AF∥BE，∴∠EBA+∠BAF＝180°，∴∠CBE＝∠DAF，同理得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵，∴△BCE≌△ADF（ASA）；（2）∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，由（1）知：△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF，∴S四边形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S▱ABCD，∵▱ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，∴＝＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键．30．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，证出EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∵EG＝AE，∴EG＝CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．【分析】（1）作BO⊥AD于O，由平行四边形的性质得出∠BAO＝∠D＝30°，由直角三角形的性质得出BO＝AB＝，证出∠ABE＝∠AEB，得出AE＝AB＝，由三角形面积公式即可得出结果；（2）作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，证明△ABG≌△AFP得出AG＝FP，再证明△BPC≌△PED得出PC＝ED，即可得出结论．【解答】（1）解：作BO⊥AD于O，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AEB＝∠CBE，∠BAO＝∠D＝30°，∴BO＝AB＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝，∴△ABE的面积＝AE×BO＝××＝；（2）证明：作AQ⊥BE交DF的延长线于P，垂足为Q，连接PB、PE，如图2所示：∵AB＝AE，AQ⊥BE，∴∠ABE＝∠AEB，BQ＝EQ，∴PB＝PE，∴∠PBE＝∠PEB，∴∠ABP＝∠AEP，∵AB∥CD，AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵AQ⊥BE，∴∠ABG＝∠FAP，在△ABG和△FAP中，，∴△ABG≌△AFP（ASA），∴AG＝FP，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABP+∠BPC＝180°，∠BCP＝∠D，∵∠AEP+∠PED＝180°，∴∠BPC＝∠PED，在△BPC和△PED中，，∴△BPC≌△PED（AAS），∴PC＝ED，∴ED﹣AG＝PC﹣AG＝PC﹣FP＝FC．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．32．【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝CF．【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．。
[推荐学习]全国2018年中考数学真题分类汇编-滚动小专题(八)解直角三角形的实际应用(答案不全)
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[推荐学习]全国2018年中考数学真题分类汇编-滚动小专题(八)解直角三角形的实际应用(答案不全)解直角三角形的实际应用类型1 仰角、俯角问题类型2 方向角问题类型3 坡角、坡度（比）问题类型4 与实际生活相关的问题类型1 仰角、俯角问题（2018·娄底）（2018·铜仁）解：过点D 作AB DE ⊥于E BC DF ⊥于点F由题意知 ………1分在 中.70014002121=⨯==AD AE ……………………2分ADDEADE COS =∠ ……………………3分3700231400=⨯=DE …………………4分3007001000=-=-=AE AB EB ……………5分300==BE DFDFFC CDF =∠tan ……………………6分 310033300=⨯=FC ……………………7分380031003700=+=+=+=∴FC DE FC BF BC （米） ……………8分（2018·新疆建设兵团）30=∠ADE30=∠CDF DAE Rt ∆（2018·兰州）（2018·巴中）（2018·黄冈）（2018·通辽）（2018·德州）（2018·达州）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C`的仰角为030，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为045.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值.）（2018·菏泽）18.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30，B处的俯角为45，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）（2018·海南）（2018·乌鲁木齐）（2018·安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米? (结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)解：∵∠DEF=∠BEA=45°∴∠FEA=45°在Rt△FEA中，EF=2FD，AE=2ABAB∴tan∠AFE=EF AE=FD∴AB=FD×tan∠AFE=1.8×10.02≈18答：旗杆AB高约18米。
2021中考数学真题分类专题18 多边形与平行四边形(共33题含解析)
专题17多边形与平行四边形（共33题）一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）A ．1：3B ．1：2C ．2：1D ．3：13．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD =8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在∶ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若∶ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 29．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,110．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∶BAD 且交BC 于点E ，∶D =58°，则∶AEC 的大小是（ ）A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠ D ．CFE DEF ∠=∠12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD = D ．EH GH =二、填空题13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______． 17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是,BC AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ，若6BF =，则BE 的长是______．21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是∶ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若∶ABC 的周长为10，则∶DEF 的周长为_______________．23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,AB AC ⊥，AH BD ⊥于点H ，若AB =2，23BC =，则AH 的长为__________________．24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∶的边BC 及四边形∶的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．三、解答题27．（2021·四川广安市·中考真题）下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上.要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．28．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC ，且2AC AB =．请用尺规完成基本作图：作出BAC ∠的角平分线与BC 交于点E ．连接BD 交AE 于点F ，交AC 于点O ，猜想线段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在55⨯的方格纸中，线段AB 的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC ，使,AC AB C =在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF ，使,EF AB 互相平分，,E F 均在格点上；（3）如图3，以,A B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．30．（2021·重庆中考真题）如图，在ABCD 中，AB >AD ．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB 上截取AE ，使得AE =AD ；作∶BCD 的平分线交AB 于点F ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE 交CF 于点P ，猜想∶CDP 按角分类的类型，并证明你的结论． 31．（2021·四川成都市·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．32．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．∶当点E 与点F 重合时，求AB 的长；∶当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】专题17多边形与平行四边形（共33题）一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【答案】D【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，∶每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】B【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒∶选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∶每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形∶选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形∶选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】 根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∶ABCDE 是正五边形，∶108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∶36BCA BAC ∠=∠=︒,∶1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】 连接BD ，根据三角形内角和求出∶CBD +∶CDB ，再利用四边形内角和减去∶CBD 和∶CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∶∶BCD =100°，∶∶CBD +∶CDB =180°-100°=80°，∶∶A +∶ABC +∶E +∶CDE =360°-∶CBD -∶CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A .每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A 的说法错误，不符合题意；B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B 符合题意；C . 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C 的说法错误，不符合题意；D . 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D 的说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD =【答案】A【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∶AD 是BAC ∠的平分线，HFAB ⊥，HC AC ⊥，∶HC =HF ，∶AF =AC ． ∶在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∶()CAE FAE SAS ≅，∶CE FE =，∶AEC =∶AEF =90°，∶C 、E 、F 三点共线，∶点E 为CF 中点．∶M 为BC 中点，∶ME 为CBF 中位线，∶//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∶在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∶()AGD ABD ASA ≅， ∶12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∶在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∶12CD BG =， ∶CD BD =，故C 正确，不符合题意；∶90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∶HDM HCE ∠=∠．∶HF AB ⊥，//ME AB ，∶HF ME ⊥，∶90HEM EHF ∠+∠=︒．∶AD 是BAC ∠的平分线，∶EHC EHF ∠=∠．∶90EHC HCE ∠+∠=︒，∶HCE HEM ∠=∠，∶HDM HEM ∠=∠，∶MD ME =，故D 正确，不符合题意；∶假设2CD ME =，∶2CD MD =，∶在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∶无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在∶ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若∶ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B【分析】 由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∶BC ，可证∶ADE ∶∶ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∶点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∶DE =12BC ，DE ∶BC ， ∶∶ADE ∶∶ABC ， ∶21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∶S ∶ADE =3，∶S ∶ABC =12，∶四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,1【答案】C【分析】 根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∶四边形ABCD 是平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，∶点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，∶A 到D 也应向右移动4个单位长度，∶点A 的坐标为(0，1)，则点D 的坐标为(4，1)，故选:C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∶BAD 且交BC 于点E ，∶D =58°，则∶AEC 的大小是（ ）A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°【答案】C【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出180122BAD D ∠=︒-∠=︒，根据角平分线的性质得：AE 平分∶BAD 求DAE ∠，再根据平行线的性质得AEC ∠，即可得到答案．【详解】解：∶四边形ABCD 是平行四边形∶//AB CD ，//AD BC∶180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒∶AE 平分∶BAD ∶111226122DAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ ∶//AD BC∶180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠D ．CFE DEF ∠=∠【答案】A【分析】 首先可根据平行四边形的性质推出∶AEO ∶∶CFO ，从而进行分析即可．【详解】∶点O 是ABCD 对角线的交点，∶OA =OC ，∶EAO =∶CFO ，∶∶AOE =∶COF ，∶∶AEO ∶∶CFO （ASA ），∶OE =OF ，A 选项成立；∶AE =CF ，但不一定得出BF =CF ，则AE 不一定等于BF ，B 选项不一定成立；若DOC OCD ∠=∠，则DO =DC ，由题意无法明确推出此结论，C 选项不一定成立；由∶AEO ∶∶CFO 得∶CFE =∶AEF ，但不一定得出∶AEF =∶DEF ，则∶CFE 不一定等于∶DEF ，D 选项不一定成立；故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD = D ．EH GH =【答案】A【分析】根据∶AED 和∶BCG 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，四边形HEFG 是矩形可得出AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF ，GH =EF ，点O 是矩形HEFG 的中心，设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c ，过点O 作OP ∶EF 于点P ，OQ ∶GF 于点Q ，可得出OP ，OQ 分别是∶FHE 和∶EGF 的中位线，从而可表示OP ，OQ 的长，再分别计算出1S ，2S ，3S 进行判断即可【详解】解：由题意得，∶AED 和∶BCG 是等腰直角三角形，∶45ADE DAE BCG GBC ∠=∠=∠=∠=︒∶四边形ABCD 是平行四边形，∶AD =BC ，CD =AB ，∶ADC =∶ABC ，∶BAD =∶DCB∶∶HDC =∶FBA ，∶DCH =∶BAF ，∶∶AED ∶∶CGB ，∶CDH ∶ABF∶AE =DE =BG =CG∶四边形HEFG 是矩形∶GH =EF ，HE =GF设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c过点O 作OP ∶EF 于点P ，OQ ∶GF 于点Q ，∶OP //HE ，OQ //EF∶点O 是矩形HEFG 的对角线交点，即HF 和E G 的中点，∶OP ，OQ 分别是∶FHE 和∶EGF 的中位线， ∶1122OP HE b ==，1122OQ EF c == ∶1111()()2224BOF S BF OQ a b c a b c ∆==-⨯=- 11112224AOE S AE OP a b ab ∆==⨯= ∶BOF AOE S S ∆∆=∶11()44a b c ab -=，即ac bc ab -= 而211122AED S S AE DE a ∆===，222211111()()()()22222AFB S S AF BF a c a b a ab ac bc a ab ab a ∆===+-=-+-=-+= 所以，12S S ，故选项A 符合题意，2223=()()S HE EF a b a c a bc ab ac a ab ab a =-+=--+=+-=∶13S S ≠，故选项B 不符合题意，而AB AD =于EH GH =都不一定成立，故,C D 都不符合题意，故选：A【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S 1，S 2，S 3之间的关系．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n -2）×180°=720°，∶n =6，∶新的多边形为6边形，∶过顶点剪去一个角，∶原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键． 14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．【详解】解：∶任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∶n=360°÷60°=6，∶此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n -2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n 边形内角和等于(n -2) ×180°”是解题的关键．17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【详解】解：设边数为n ，由题意得，180（n -2）=360⨯3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =；根据多边形内角和性质，得正五边形FGHJK 内角和，从而得4∠；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∶正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点）∶五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =∶正五边形FGHJK 内角和为：()52180540-⨯︒=︒ ∶54041085︒∠==︒ ∶3180472∠=︒-∠=︒∶AF AK =∶2372∠=∠=︒∶11802336∠=︒-∠-∠=︒故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．【答案】50【分析】过点E 作EF ∶BC ，垂足为F ，利用直角三角形的性质求出EF ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∶BCE=∶BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E作EF∶BC，垂足为F，∶∶EBC=30°，BE=10，∶EF=12BE=5，∶四边形ABCD是平行四边形，∶AD∶BC，∶∶DEC=∶BCE，又EC平分∶BED，即∶BEC=∶DEC，∶∶BCE=∶BEC，∶BE=BC=10，∶四边形ABCD的面积=BC EF⨯=105⨯=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别是,BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∶AB ，从而证明∶DEF ∶∶ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．【详解】解：∶点D ，E 分别为BC 和AC 中点，∶DE =12AB ，DE ∶AB ， ∶∶DEF ∶∶ABF ，∶12DE EF AB BF ==， ∶BF =6，∶EF =3，∶BE =6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明∶DEF ∶∶ABF ．21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．【答案】3【分析】利用翻折的性质可得,OC OC '=推出OD 是CC B '的中位线，得出1OD =，再利用OD BC '//得出AO 的长度，即可求出AD 的长度．【详解】由翻折可知,OC OC '=∶O 是CC '的中点，∶点D 为边BC 的中点，O 是CC '的中点，∶OD 是CC B '的中位线， ∶11,2OD BC OD BC ''==// ， ∶AO AE BC BE ='， ∶AE BE =，∶1AE BE=， ∶1AO BC ='， ∶2AO BC '==，∶213AD AO OD =+=+=．故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是∶ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若∶ABC 的周长为10，则∶DEF 的周长为_______________．【答案】5【详解】解：根据三角形的中位线定理可得DE=12AC ，EF=12AB ，DF=12BC 所以∶DEF 的周长为∶ABC 的周长的一半，即∶DEF 的周长为5故答案为：5．【点睛】本题考查三角形的中位线定理．23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,AB AC ⊥，AH BD⊥于点H ，若AB =2，23BC =，则AH 的长为__________________．23 【分析】根据勾股定理求得AC 的长，结合平行四边形的性质求得AO 的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．【详解】 解：∶AB AC ⊥，23BC =AB =2∶在Rt ∶ABC 中，AC 2222BC AB -=∶在ABCD 中，AO =122AC = 在Rt ∶ABO 中，BO 226AO AB +=∶AB AC ⊥，AH BD ⊥∶90AHB OAB ∠=∠=︒又∶ABO HBA ∠=∠∶ABO HBA △∽△∶AH AB AO BO=26= 解得：AH 23． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．【答案】（4，-1）【分析】根据平行四边形的性质得到点C 坐标，再根据平移的性质得到C 1坐标．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，∶对称中心是坐标原点，A （-1，1），B （2，1），∶C （1，-1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，∶C 1（4，-1），故答案为：（4，-1）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．【答案】133【分析】先根据图1求EQ 与CD 之间的距离，再求出BQ ，即可得到,AB CD之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ ．【详解】解：过点E 作EQ ∶BM ，则//EQ CD根据图1图形EQ 与CD 之间的距离=1114+4=3222⨯⨯⨯ 由勾股定理得：2224EF =，解得：22EF =221242AM ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：22AM =∶2FM EM =∶11==33EM FM AM∶EQ ∶BM ，90B ∠=︒∶//EQ AB∶2242=333BQ BM ==⨯ ∶,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ 413=3+=33故答案为133． 【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∶的边BC 及四边形∶的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．【答案】1222,44⎛+- ⎝⎭【分析】设大正方形的边长为2a 2a ，中等腰直角三角形的腰长为a ，小等腰直角三角形的腰长为2a 2，小正方形的边长为2a 2，平行四边形的长边为a ，短边为2a 2，用含有a 的代数式表示点A 的横坐标，表示点F 的坐标，确定a 值即可.【详解】设大正方形的边长为2a 2a ，中等腰直角三角形的腰长为a ，小等腰直角三角形的腰长为2a 2，小正方形的边长为2a 2，平行四边形的长边为a ，短边为2a 2，如图，过点F 作FG ∶x 轴，垂足为G , 点F 作FH ∶y 轴，垂足为H , 过点A 作AQ ∶x 轴，垂足为Q ,延长大等腰直角三角形的。
2019-2021年上海各区数学中考一模压轴题分类汇编18题-图形的旋转含详解
专题图形的旋转【知识梳理】【历年真题】1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，AD是边BC上的高，将△ABC绕点C旋转，点B落在线段AD上的点E处，点A落在点F处，那么cos∠FAD ＝．2．（2021秋•静安区期末）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为．3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么AMAN的值为．4．（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=25D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．6、（2021秋•黄浦区期末17）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转,使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于．7．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，sin A ＝55（如图），把△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A 、B 的对应点分别记为点A ′，B ′，如果△AA ′C 为直角三角形，那么点A 与点B '的距离为．8．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝3，tan B ＝．将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝．9．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为．10．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为．11．（2020秋•宝山区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 、F 分别是边CA 、CB 的中点，已知点P 在线段EF 上，联结AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转90°得到线段DP ，如果点P 、D 、C 在同一直线上，那么tan ∠CAP ＝．12．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是△ABC 的角平分线，将Rt △ABC 绕点A 旋转，如果点C 落在射线CD 上，点B 落在点E 处，联结DE ，那么∠AED 的正切值为．13．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD （AB ＞BC ），将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90°，点A 、D 分别落在点E 、F 处，连接DF ，如果点G 是DF 的中点，那么∠BEG 的正切值是．14．（2019秋•浦东新区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D '、E '，当直线D 'E '经过点A 时，线段CD '的长为．15．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于．16．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝1，AB＝k，将矩形ABCD绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A′BC′D′，联结AD′，分别交边CD，A′B于E、F，如果AE D′F，那么k＝．17．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为．18．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．19.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P为边BC上一点，PC=3,将△ABC绕点P旋转得到△A'B'C'(点A，B、C分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB，边A'C'与边AB交于点G，那么A'G 的长等于．专题图形的旋转【历年真题】1．（2021秋•普陀区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝4，AD 是边BC 上的高，将△ABC 绕点C 旋转，点B 落在线段AD 上的点E 处，点A 落在点F 处，那么cos ∠FAD ＝21332-．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】如图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，由旋转可知：CE ＝BC ＝4，CF ＝EF ＝AB ＝AC ＝5，利用三角函数可得∠ECD ＝60°，进而可得：DE ＝AF ＝EF ＝5，运用勾股定理可得AD ，AE ﹣，由等腰三角形性质可得AG ＝EG ＝21332-，再运用三角函数可得cos ∠FAD ＝AG AF ＝．【解答】解：如图，过点F 作FG ⊥AD 于点G ，∵将△ABC 绕点C 旋转，点B 落在线段AD 上的点E 处，点A 落在点F 处，∴CE ＝BC ＝4，CF ＝EF ＝AB ＝AC ＝5，∵AB ＝AC ，AD 是边BC 上的高，∴BD ＝CD ＝2，∴cos ∠ECD ＝2142CD CE ==，∴∠ECD ＝60°，∴DE ＝CE •sin ∠ECD ＝4×sin60°＝，∵∠ACF ＝∠ECD ＝60°，∴△ACF 是等边三角形，∴AF ＝EF ＝5，在Rt △ACD 中，AD ＝＝＝，∴AE ＝AD ﹣DE ﹣∵AF ＝EF ，FG ⊥AD ，∴AG ＝EG ＝21332-，∴cos ∠FAD ＝AG AF ＝＝2-，故答案为：2．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．2．（2021秋•静安区期末）如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为45°或135°．．【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和线段垂直平分线的性质可得△BEC是等边三角形，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：如图，当点E在BC的上方时，连接BE∵MN是AD的垂直平分线，四边形ABCD是正方形，∴MN垂直平分BC，∴BE＝EC，∵将边BC绕着点C旋转，∴BC＝CE，∴△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝∠BEC＝60°，∴∠ABE＝30°，∵AB＝BC＝BE，∴∠AEB＝75°，∴∠AEC＝75°+60°＝135°；当点E'在BC的下方时，同理可得△BE'C是等边三角形，∴BC＝BE'，∠BE'C＝60°＝∠CBE'，∴∠ABE'＝150°，∵AB＝BC＝BE'，∴∠AE'B＝15°，∴∠AE'C＝45°，故答案为：45°或135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．3．（2021秋•杨浦区期末）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝512，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么AMAN的值为23．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；旋转的性质．【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据题目条件作出图象，由∠C＝90°和tan A＝512，设BC＝5k，AC＝12k，然后由旋转的性质得到AE ＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，以点C为原点、BC和AC所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，NH ⊥AD于点H，得到NF＝NH，得到AMCAMDAC12k==AD13kSS△△，然后由高相等的两个三角形的面积之比为底边长之比得到CNDN的值，进而用含有k的式子表示点N的坐标，再求得直线BE的解析式，然后求得点P的坐标得到NP的长，最后通过△MAE∽△MNP得到AMNM的值，即可得到AMAN的值．【解答】方法一：解：由∠C＝90°和tan A＝512可设BC＝5k，AC＝12k，∴AB＝13k，由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），∵旋转角为90°，∴E（12k，12k），D（12k，7k），过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，作NH⊥AD于点H，∵AN平分∠CAD，∴NF＝NH，∴AMCAMDAC12k==AD13kSS△△，又∵△ANC 在边CN 上的高和△AND 在边DN 上的高相等，∴AMC AMD CN 12==DN 13S S △△，∴点N 的坐标为（144k 25，84k 25），设直线BE 的解析式为y ＝mx +n ，则-5mk+01212n km n k =⎧⎨+=⎩，解得：12m 176017k n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝1217x +6017k ，当y ＝8425k 时，1217x +6017k ＝8425k ，解得：x ＝﹣625k ，∴P （﹣625k ，8425k ），∴NP ＝144k 25﹣（﹣625k ）＝6k ，∵NF ⊥AC ，∠EAC ＝90°，∴AE ∥NP ，∴△MAE ∽△MNP ，∴126AM AE k MN NP k ==＝2，∴23AM AN =，方法二：解：由题可知，∠BAC ＝∠DAE ，∠CAM ＝∠MAD ，∴∠BAC +∠CAM ＝∠DAE +∠MAD ，∴∠BAN ＝∠NAE ，如图，延长AN ，交BC 的延长线于点F ，∵AE ∥BC ，∴∠EAN ＝∠AFC ，∴∠BAN ＝∠AFC ，∴BF ＝BA ，设BC ＝5，AC ＝12，AB ＝13，∴1213AE BF =，∴△AME ∽△FMB ，∴1213AM AE MF BF ==，∴1225AM AF =，延长AD 与BC 的延长线交于点H ，延长ED 与BH 交于点I ，∵DE ＝5，∴四边形ACIE 为正方形，∴DI ＝7，延长CD 与AE 延长线交于点G ，易证△EDG ∽△IDC ，∴EG DE CI DI =，即5127EG =，∴EG ＝607，∴AG ＝12+607＝1447，易知，△ANG ∽△FNC ，∴AN AG NF FC =，∵BF ＝13，BC ＝5，∴CF ＝8，∴14418787AN NF ==，∴1825AN NF =，∵1225AM NF =，∴122183AM AN ==，故答案为：23．【点评】本题考查了旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、三角形的面积，解题的关键是通过旋转的性质建立平面直角坐标系．4.（2021秋•嘉定区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，D 在边AC 上，CD ：AD ＝1：3，联结BD ，点E 在线段BD 上，如果∠BCE ＝∠A ，那么CE ＝52．【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】图形的相似；运算能力．【分析】根据已知∠BCE ＝∠A ，想到构造这两个角所在的三角形相似，所以过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，可得△ABC ∽△CEF ，进而可得CF ＝2EF ，然后设EF 为a ，则CF 为2a ，BF 为2﹣2a ，最后再证明A 字模型相似△BFE ∽△BCD ，从而解答即可．【解答】解：过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝2，25AB =2222(25)24AC AB BC =-=-，∵CD ：AD ＝1：3，∴CD ＝1，∵∠BCE ＝∠A ，∠ACB ＝∠CFE ＝90°，∴△ABC ∽△CEF ，∴42AC CF BC EF ==＝2，∴设EF 为a ，则CF 为2a ，BF 为2﹣2a ，∵∠ACB ＝∠BFE ＝90°，∠CBD ＝∠FBE ，∴△BFE ∽△BCD ，∴BF EF BC CD =，∴2221a a -=，∴a ＝12，∴EF ＝12，CF ＝1，∴CE 22215()122EF CF +=+=，故答案为：52．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握A 字模型相似是解题的关键．5．（2021秋•松江区期末）如图，已知矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，E 是边DC 上一点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△AD ′E ′，使得点D 的对应点D '落在AE 上，如果D ′E ′的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于94．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图，连接BE 、BE ′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD ′＝AD ＝3，∠AD ′E ＝∠D ＝90°，利用勾股定理可得BD ′＝4，再运用面积法可得：AB •AD ＝AE •BD ′，求出AE ＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接BE 、BE ′，∵矩形ABCD 中，AD ＝3，AB ＝5，∴∠D ＝90°，由旋转知，△AD ′E ′≌△ADE ，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD4==，∵AB•AD＝AE•BD′，∴AE＝'5315 44AB AD BD⨯==，在Rt△ADE中，DE94 =，方法二：∵△ADE∽△BDA，∴'' DE AD AD BD=∴334DE=∴DE＝94故答案为：9 4．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE．6、（2021秋•黄浦区期末17）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，将△ABC绕点A旋转,使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC【考点】旋转的性质；相似三角形的判定．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，则CD=AC-AD=1，然后证明△BDC∽△ADE，得到BC DCAE DE=，即15BCBC=，则BC2=5，由此即可得到答案．【解答】解：如图所示，连接CE，由旋转的性质可得：AD=AB=4，BC=DE，∠BCD=∠DEA，AE=AC=5，∴CD=AC-AD=1又∵∠BDC=∠ADE∴△BDC∽△ADE，∴BC DCAE DE=，即15BCBC=，∴BC2=5，∴BC （负值已经舍去），【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．7．（2020秋•嘉定区期末）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝55（如图），把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转α°（0＜α＜360），将点A、B的对应点分别记为点A′，B′，如果△AA′C为直角三角形，那么点A与点B'的距离为【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】分类讨论；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据△AA′C为直角三角形，分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形；②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，依据线段的和差关系进行计算即可得到点A与点B'的距离．【解答】解：分两种情况：①当点B'在线段AC上时，△AA′C为直角三角形，∵∠ACB＝90°，AB＝10，sin A＝5 5，∴BC＝AB×5＝10×5＝∴B'C＝AC=，∴AB'＝AC﹣B'C＝②当点B'在线段AC的延长线上时，△AA′C为直角三角形，同理可得，B'C＝AC＝，∴AB'＝AC+B'C＝综上所述，点A与点B'的距离为故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，运用分类思想是本题的关键．8．（2020秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝3【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由旋转的性质得出∠B＝∠D，得出tan∠B＝tan∠D＝12FGGD=，由平行线的性质得出∠B＝∠AFG，设AG＝x，则FG＝2x，则2132xx=+，求出AG＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，∴∠B ＝∠D ，∴tan ∠B ＝tan ∠D ＝12FG GD =，∵∠ACB ＝∠FGA ＝90°，∴BC ∥FG ，∴∠B ＝∠AFG ，∴tan ∠B ＝tan ∠AFG ＝12AG FG =，设AG ＝x ，则FG ＝2x ，∴2132x x =+，解得x ＝1，∴AG ＝1，FG ＝2，∴AF 225FG AG +=∴BF ＝AB ﹣AF ＝35．故答案为：35【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．9．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，tan B ＝23（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，A 'B '与边BC 相交于点D ，那么'CD A D 的值为3135．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，根据勾股定理和正切的定义得到AC ＝213，BC ＝313，根据三角形面积得到CE ＝6，再根据旋转的性质和相似三角形的判定与性质即可求解．【解答】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，∵tan B ＝23，∴23AC BC =，设AC ＝2x ，则BC ＝3x ，在Rt △ABC 中，AB＝13，解得x＝AC ＝，BC ＝，S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ，即12××312×13×CE ，解得CE ＝6，∵tan B ＝CE EB ＝23，∴EB ＝9，∵将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A '，点B 落在点B '，∴∠B ＝∠B ′，AC ＝AC ′，∵CE ⊥AB ，∴AE ′＝AE ＝AB ﹣BE ＝13﹣9＝4，∴A ′B ＝AB ﹣A ′E ＝9﹣4＝5，∵∠A ′DB ＝∠CDB ′，∴△A ′DB ∽△B ′DC ，∴'CD A D ＝''CB A B ＝'CB A B．．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10．（2020秋•杨浦区期末）如图，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1∥AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么1BD B D 的值为622．【考点】旋转的性质；平行线的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B1AB＝30°，由直角三角形的性质可求DB1＝DE，DB＝﹣DE，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB1于E，∵∠B＝45°，∠C＝60°，∴∠CAB＝75°，∵BB1∥AC，∴∠CAB＝∠ABB1＝75°，∵将△ABC绕点A旋转，∴AB＝AB1，∠AB1C1＝∠ABC＝45°，∴∠AB1B＝∠ABB1＝75°，∴∠B1AB＝30°，又∵DE⊥AB1，∠AB1C1＝45°，∴AD＝2DE，AE＝DE，DE＝B1E，∴AB1DE+DE＝AB，DB1DE，∴DB＝AB﹣ADDE﹣DE，∴1BDB D622=，故答案为：622．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．11．（2020秋•宝山区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E、F分别是边CA、CB的中点，已知点P在线段EF上，联结AP，将线段AP绕点P逆时针旋转90°得到线段DP，如果点P、D、C在同一直线上，那么tan∠CAP﹣1．【考点】旋转的性质；解直角三角形；等腰直角三角形；三角形中位线定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】分两种情形：①当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：如图1，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，AP=PD ＝22a，∴PC＝a +22a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==；如图2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝2 2 a，∴PC＝a ﹣22 a，∴tan∠CAP＝22122a aCPAP+==，∵点P在线段EF上，∴情形1，不满足条件，情形2满足条件，﹣1．【点评】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12．（2020秋•奉贤区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果点C落在射线CD上，点B落在点E处，联结DE，那么∠AED的正切值为3 7．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设点C落在射线CD上的点C'处，由勾股定理可求AB＝5，由旋转的性质可得∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，由平行线分线段成比例可求AD的长，即可求解．【解答】解：如图，设点C落在射线CD上的点C'处，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∵将Rt△ABC绕点A旋转，∴∠ACD＝∠AC'C＝45°＝∠DCB，∠EAB＝∠CAC'，∴∠CAC'＝90°＝∠EAB，∴AC'∥BC，∴'34AD ACDB BC==，∴AD＝157，∴tan∠AED＝37 ADAE=，故答案为：3 7．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．13．（2019秋•奉贤区期末）如图，已知矩形ABCD（AB＞BC），将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°，点A、D分别落在点E、F处，连接DF，如果点G是DF的中点，那么∠BEG的正切值是1．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；应用意识．【分析】连接BD，BF，EG．利用四点共圆证明∠BEG＝∠BFD＝45°即可．【解答】解：连接BD，BF，EG．由题意：BD＝BF，∠DBF＝90°，∵DG＝GF，∴BG⊥DF，∴∠BGF＝∠BEF＝90°，∴B，G，E，F四点共圆，∠BEG＝∠BFD＝45°，∴∠BEG的正切值是1．故答案为1．【点评】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，四点共圆，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．14．（2019秋•浦东新区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点D'、E'，当直线D'E'经过点A时，线段CD'的长为【考点】三角形综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】分两种情况：①点A在E'D'的延长线上时；②点A在线段D'E'的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：如图1，当点A 在E 'D '的延长线上时，∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，∴AB ＝＝2，∵点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝1，BD ＝12BC ＝2，∴∠EDB ＝∠ACB ＝90°，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠BD 'E '＝∠BDE ＝90°，D 'E '＝DE ＝1，BD ＝BD '＝2，∵在Rt △ABC 和Rt △BAD '中，D 'B ＝AC ＝2，AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD '（HL ），∴AD '＝BC ，且AC ＝D 'B ，∴四边形ACBD '是平行四边形，且∠ACB ＝90°，∴四边形ACBD '是矩形，∴CD '＝AB ＝如图2，当点A 在线段D 'E '的延长线上时，∵∠AD 'B ＝90°，∴AD '=＝4，∴AE '＝AD '﹣D 'E '＝3，∵将△BDE 绕着点B 旋转，∴∠ABC ＝∠E 'BD '，∵'12BE AB =＝BD BC ，∴△ABE '∽△CBD '，∴''AE AB CD BC=，∴'3254CD =，∴CD '故答案为：．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2019秋•长宁、金山区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4点P在边BC上，联结AP，将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，点B的对应点是点B′，则BB′的长等于5．【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，由勾股定理可求AC的长，由旋转的性质可求AP＝AM，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，通过证明△ABP∽△CBA，可得∠PAB＝∠C，可得CE＝AE，由勾股定理可求CE，BE的长，由相似三角形的性质可求B'D，BD的长，即可求解．【解答】解：如图，延长AB'交BC于E，过点B'作B'D⊥AB于点D，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，∴AC=＝∵点M是AC中点，∴AM∵将△ABP绕着点A旋转，使得点P与边AC的中点M重合，∴AP＝AM，∠PAB＝∠CAE，AB＝AB'＝2，∵AP2＝AB2+PB2，∴PB＝1，∵BAPB＝2＝BCAB，且∠ABP＝∠ABC＝90°，∴△ABP∽△CBA，∴∠PAB＝∠C，∴∠C＝∠CAE，∴CE＝AE，∵AE2＝AB2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝AE＝52，∴BE＝32，∵B'D∥BC，∴△AB'D∽△AEB，∴''AB AD B DAE AB BE==，∴'253222AD B D==，∴AD＝85，B'D＝65，∴BD＝25，∴BB'=2105，故答案为：2105．【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出CE 的长是本题的关键．16．（2019秋•松江区期末）如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k ，将矩形ABCD 绕着点B顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，联结AD ′，分别交边CD ，A ′B 于E 、F ，如果AED ′F ，那么k【考点】旋转的性质；相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】由矩形的性质和旋转的性质可求AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，通过证明△ADE ∽△FA 'D '，可得''''AD DE AE A F A D D F ==，可求DE ，A 'F 的长，通过证明△A 'D 'F ∽△CEF ，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′，∴AD ＝A 'D '＝1，AB ＝A 'B ＝k ，∠A '＝∠DAB ＝90°＝∠DCB ＝∠ABC ，∴A 'D '∥BA ∥CD∴∠A 'D 'F ＝∠FEC ＝∠DEA ，且∠D ＝∠A '＝90°，∴△ADE ∽△FA 'D '，∴''''AD DE AE A F A D D F==，且AED ′F ，∴DEA 'D '，A 'FAD＝2，∵∠A '＝∠DCF ＝90°，∠A 'FD '＝∠EFC ，∴△A 'D 'F ∽△CEF ，∴'''EC FC A D A F =，∴''21222k k A D ---=∴k+1，+1．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求DE ，A 'F 的长是本题的关键．17．（2019秋•嘉定区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos A＝35（如图），把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，将A、B的对应点分别记为点A'、B'．如果A'B'恰好经过点A，那么点A与点A'的距离为36 5．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点C作CE⊥A'B'，由锐角三角函数可求AC＝6，由旋转的性质可得AC＝A'C＝6，∠A'＝∠BAC，即可求A'E的长，由等腰三角形的性质可求AA'的长．【解答】解：如图，过点C作CE⊥A'B'，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，cos∠BAC＝35，∴AC＝6，∵把△ABC绕着点C按照顺时针的方向旋转，∴AC＝A'C＝6，∠A'＝∠BAC，∵cos∠A'＝cos∠BAC＝＝35，∴A'E＝185，∵AC＝A'C，CE⊥A'B'，∴AA'＝2A'E＝36 5，故答案我：36 5．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，求出A'E的长是本题的关键．18．（2019秋•徐汇区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是25 8．【考点】旋转的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC ＝5，由面积法可求BF ＝125，由勾股定理可求AF ＝95，由旋转的性质可得AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，可求CA '＝75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC ∽△ABC ，可得EC BC HC AC =，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC，∵AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝＝＝5，∵S △ABC ＝12AB ×BC ＝12AC ×BF ，∴3×4＝5BF ，∴BF ＝125∴AF 22144925AB BF -=-95，∵将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A 'BC 'D '，∴AB ＝BA '，∠BAD ＝∠BA 'D '＝90°，且BF ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠BA 'A ，AF ＝A 'F ＝95，∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∴A 'C ＝AC ﹣AA '＝75，∵∠BA 'A +∠EA 'C ＝90°，∠BAA '+∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠EA 'C ，∴A 'E ＝EC ，且EH ⊥AC ，∴A 'H ＝HC ＝12A 'C ＝710，∵∠ACB ＝∠ECH ，∠ABC ＝∠EHC ＝90°，∴△EHC ∽△ABC ，∴BC HC AC EC =∴74105EC =∴EC ＝78，∴BE ＝BC ﹣EC ＝4﹣78＝258，故答案为：258．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键．19.（2019秋•普陀区期末）如图,在RtΔABC 中，∠C=90°，AC=5，sinB=513，点P 为边BC 上一点，PC=3,将△ABC 绕点P 旋转得到△A'B'C'(点A ，B 、C 分别与点A'、B'、C'对应).使B'C'∥AB ，边A'C'与边AB 交于点G ，那么A'G 的长等于2013．【考点】旋转的性质;解直角三角形；平行线的判定，图形的旋转【专题】矩形菱形正方形；平移，旋转与对称；解直角一角形及其应用；应用意识。
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中考数学试题分类解析汇编专题18实际应用问
题
专题18：实际应用问题
1. （2015年江苏连云港3分）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是【】
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B．
【考点】方差；算术平均数．
【分析】根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，要选择乙.
故选B．
2. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单
位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【】
A. 第24天的销售量为200件
B. 第10天销售一件产品的
利润是15元
C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D. 第30
天的日销售利润是750元
【答案】C．
【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用．
【分析】根据函数图象分别各选项进行分析判断：
A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确.
B．设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时
间t（单位：天）的函数关系为，
把（0，25），（20，5）代入得：，
∴.
当x=10时，. 故正确.
C．当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，
把（0，100），（24，200）代入得：，∴，
当t=12时，y=150，，。