2017圆知识点与习题
圆的基础知识点及习题
圆基础训练题1一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角 ；圆周 角 ； （2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度； （3）在下图中，若AB 是圆O 的直径，则∠AOB= 度；题2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 的直线；圆是中心对称图形，对称中心为 ．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如上图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E∴ = ， =3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ，点在圆 ，点在圆 ； 例：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ，（1）当d =2厘米时，有d r ，点在圆 （2）当d =7厘米时，有d r ，点在圆 （3）当d =5厘米时，有d r ，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．例：已知圆的半径r 等于12厘米，圆心到直线l 的距离为d ， （1）当d =10厘米时，有d r ，直线l 与圆 （2）当d =12厘米时，有d r ，直线l 与圆 （3）当d =15厘米时，有d r ，直线l 与圆5、圆与圆的位置关系：例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2的半径为8厘米，圆心距为 d ， 则：R+r= ， R －r= ；（1）当d =14厘米时，因为d R+r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是：OACB EOAB D（2）当d =2厘米时， 因为d R －r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （3）当d =15厘米时，因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （4）当d =7厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： （5）当d =1厘米时， 因为 ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是： 6、切线性质：例：（1）如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，则∠PAO= 度（2）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点， 则 = ，∠ =∠ ；6题7、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的 交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的 交点； 例：画出下列三角形的外心或内心（1）画三角形ABC 的内切圆， （2）画出三角形DEF 的外接圆， 并标出它的内心； 并标出它的外心二、练习： （一）填空题1、如图，弦AB 分圆为1：3两段，则»AB 的度数= 度， ¼ACB 的度数等于 度；∠AOB＝ 度，∠AC B ＝ 度，第1小题2、如图，已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若»AB 、»CA 、»BC 的 度数之比为1∶2∶3，则∠AOB＝ ，∠AOC＝ ， ∠AC B ＝ ，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OD=3，则AD= ，AB 的长为 ；5、如图，已知⊙O 的半径OA=13㎝，弦AB ＝24㎝，则OD= ㎝。
第一章 圆(讲义)(含答案)
第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。
因此圆的周长C=rπ=。
圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。
3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。
设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。
R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。
（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。
（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。
直径长度是半径长度的倍。
（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。
（5）图中涂色部分是一个。
圆上A、B两点之间的部分叫做。
顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。
（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。
经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。
（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。
（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。
圆知识点总结及习题
圆知识点总结及习题一、基本概念1. 圆的定义圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径，以O表示圆心，r表示半径的圆记作圆O。
2. 圆的元素圆的元素包括圆心、半径、直径、弦、弧和扇形。
直径是连接圆上任意两点的线段，且通过圆心。
弦是圆上任意两点的线段，弧是圆上的一段弧线，扇形是由圆心、圆上两点和这两点对应的弧线所组成的区域。
3. 圆的周长和面积圆的周长C=2πr，圆的面积S=πr2。
二、性质1. 圆的基本性质圆上任意两点之间的距离相等。
2. 弧长和圆心角的关系弧长和圆心角之间的关系为：L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。
3. 弦长和圆心角的关系弦长和圆心角之间的关系为：l=2rsin(θ/2)，其中l表示弦长，θ表示圆心角的弧度，r表示半径。
三、定理1. 圆的切线定理定理1：当直线与圆相交于两点时，这条直线称为圆的切线。
切线与半径的夹角为直角，且切点处的切线等于半径。
2. 圆心角定理定理2：圆心角的度数是它所对的圆周角度数的两倍。
3. 弦切线定理定理3：当直线与圆相交于一个点时，这条直线称为圆的切线。
切线与切点处的弦相交延长线的夹角等于这条弦所对的圆心角的度数。
四、习题1. 已知半径为8，求圆的周长和面积。
2. 在半径为6的圆中，求一条长2的弦的长度。
3. 已知AB为圆上的弦，AB=6，O为圆心，求角AOB的度数。
通过本文的总结，我们对圆的基本概念、性质、定理和相关的习题有了一定的了解。
希望读者能够通过学习更深入地了解圆的相关知识，提高数学学科的成绩。
知识点33 圆的基本性质 2017(解答题)
三、解答题1.,（2017四川成都,20，10分） 如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F .（1）求证：DH 是圆O 的切线；（2）若A 为EH 的中点，求EF FD的值； （3）若1EA EF ==，求e O 的半径.思路分析：（1）连接OD ，因为DH AC ⊥于点H ，只需证明//OD AC ，即可得到DH OD ⊥，得证，或者再连接AD ，利用直径所对的圆周角为直角，证明∠ODA ＋∠ADH ＝90°也可；（2）通过证明AEF ODF ∆∆∽，可得到,EF AE FD OD =再利用OD 是△ABC 的中位线，等腰△DEC 的性质，求出AE AC 的比值，进而求得EF FD的值； （3）由EA ＝EF ，OD ∥EC ，可得△ODF 和△BDF 都是等腰三角形，设O e 半径为r ，则DF ＝OD ＝r ，所以BF ＝BD ＝DC ＝DE ＝DF ＋EF ＝r ＋1，AF ＝AB －BF ＝2r －(r ＋1)＝r －1.通过BFD EFA ∆∆∽，即可求出r .解：（1）连接OD ，∵OB OD =，∴OBD ∆是等腰三角形，OBD ODB ∠=∠ ①，又 ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠ ②，∴ODB OBD ACB ∠=∠=∠，∴//OD AC ，∵DH AC ⊥，∴DH OD ⊥，∴DH 是O e 的切线；（2）∵E B ∠=∠，E B C ∠=∠=∠，∴EDC ∆是等腰三角形，又∵DH AC ⊥，点A 是EH 中点，设,4AE x EC x ==，则3AC x =，连接AD ，由090ADB ∠=，即AD BD ⊥， 又∵ABC ∆是等腰三角形，∴D 是BC 中点，∴OD 是ABC ∆中位线， ∴13//,22OD AC OD x =， ∵//OD AC ， ∴E ODF ∠=∠， 在AEF ∆和ODF ∆中，E ODF OFD AFE ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴AEF ODF ∆∆∽，∴2,332EF AE AE x FD OD OD x ===，∴23EF FD =． （3）设O e 半径为r ，即OD OB r ==，∵EF EA =， ∴EFA EAF ∠=∠，又∵//OD EC ， ∴FOD EAF ∠=∠，则FOD EAF EFA OFD ∠=∠=∠=∠， ∴DF OD r ==，∴1DE DF EF r =+=+，∴1BD CD DE r ===+，∵BDE EAB ∠=∠，∴BFD EFA EAB BDE ∠=∠=∠=∠，∵BF BD =，BDF ∆是等腰三角形，∴1BF BD r ==+， ∴()2211AF AB BF OB BF r r r =-=-=-+=-，在BFD ∆与EFA ∆中BFD EFA B E ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∵BFD EFA ∆∆∽， ∴11,1EF BF r FA DF r r+==-，解得12r r ==（舍） ∴综上，O e的半径为12．2. （2017安徽中考20．·10分）如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ，AD 不平行于BC ，过点C 作CE∥AD 交△ABC 的外接圆O 于点E ，连接AE ．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）连接CO ，求证：CO 平分∠BCE ．思路分析：（1）由于CE ∥AD ，通过证AE ∥DC 得到四边形AECD 为平行四边形；（2）连接OB ，OE ，通过证△OCE ≌△OCB 得到∠ECO ＝∠BCO ，得证．解：（1）根据圆周角定理知∠E ＝∠B ，又∵∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D ，又∵AD ∥CE ，∴∠D ＋∠DCE ＝180°， ∴∠E ＋∠DCE ＝180°，∴AE ∥DC ，∴四边形AECD 为平行四边形．（2）连接OE ，OB ，由（1）得四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝EC ，∵AD ＝BC ，∴EC ＝BC ，∵OC ＝OC ，OB ＝OE ，∴△OCE ≌△OCB （SSS ），∴∠ECO ＝∠BCO ，即OC 平分∠ECB ．3. （2017四川内江，27，12分）如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于不过圆心O 的弦AB ，垂足为点N ，连接AC ，点E 在AB 上，且AE ＝CE ．(1)求证：AC 2＝AE ·AB ；(2)过点B 作⊙O 的切线交EC 的延长线于点P ，试判断PB 与PE 是否相等，并说明理由；（3）设⊙O 半径为4，点N 为OC 中点，点Q 在⊙O 上，求线段PQ 的最小值．思路分析： (1)要证AC 2＝AE·AB ，可连接CB ，通过证明△CAE ～△BAC 即可；(2)先根据已知判断出PB 与PE 可能相等，欲证明PB ＝PE ，可通过证明∠PBE ＝∠PEB 即可；(3)根据“两点之间，线段最短”可得当Q 运动到PO 与⊙O 的交点时，线段PQ 能取得最小值，再根据勾股定理等知识点可求得其最小值．解：（1）如图，连接BC ，∵CD ⊥AB ，∴CB ＝CA ，∴∠CAB ＝∠CBA ．又∵AE ＝CE ，∴∠CAE ＝∠ACE ．∴∠ACE =∠ABC ．∵∠CAE =∠BAC ，∴△CAE ∽△BAC ． ∴ACAE AB AC =，即AC 2＝A E ·AB ． （2）PB ＝PE ．理由如下：如图，连接BC ，BD ，OB ．∵CD 是直径，∴∠CBD =90°．∵BP 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝90°．∴∠BCD +∠D ＝∠PBC +∠OBC ＝90°．∵OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ．∴∠PBC ＝∠D ．∵∠A ＝∠D ，∴∠PBC ＝∠A ．∵∠ACE ＝∠ABC ，∵∠PEB ＝∠A +∠ACE ，∠PBN ＝∠PBC +∠ABC ，∴∠PEB ＝∠PBN ．∴PE ＝PB ．（3）如图，连接PO 交⊙O 于点Q ，则此时线段PQ 有最小值．∵N 是OC 的中点，∴ON ＝2．∵OB ＝4，∴∠OBN ＝30°，∴∠PBE ＝60°．∵PE ＝PB ，∴△PEN 是等边三角形．∴∠PEB ＝60°，PB ＝BE ．在Rt △BON 中，BN ＝22ON OB -=2224-＝23．在Rt △CEN 中，EN ＝︒60tan CN ＝32＝323．∴BE ＝BN +EN ＝338． ∴PB ＝BE ＝338． ∴PQ ＝PO －OQ ＝.421344)338(42222-=-+=-+OQ PB OB4. （2017山东临沂，23，9分）如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .（1）求证：DE DB =；（2）若∠BAC ＝90°，BD ＝4，求△ABC 的外接圆半径.思路分析：（1）利用角平分线的定义和圆周角的性质通过判定∠EBD ＝∠BED ，得出结论；（2）根据等弧得出CD 的长，根据∠BAC ＝90°得出BC 为直径，进而利用勾股定理求得BC 的长度，进而得出△ABC 外接圆半径的长度.证明：⑴连接BD ，CD ．∵AD 平分∠BAC∴∠BAD ＝∠CAD又∵∠CBD ＝∠CAD∴∠BAD ＝∠CBD∵BE 平分∠ABC∴∠CBE ＝∠ABE∴∠DBE ＝∠CBE ＋∠CBD ＝∠ABE ＋∠BAD又∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAD∴∠DBE ＝∠BED∴BD ＝DEEB⑵∵∠BAC ＝90°∴BC 是直径∴∠BDC ＝90°∵AD 平分∠BAC ，BD ＝4∴BD ＝CD ＝4∴BC ＝22CD BD ＋＝42 ∴半径为225.23．（2017四川德阳，23，11 分）如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条直径，DF 为切线，过AO 上一点N 作NM ⊥DF 于M ，连接DN 并延长交⊙O 于点E ，连接CE .（1）求证：△DMN ∽△CED（2）设G 为点E 关于AB 的对称点，连接GD 、GN ，如果∠DNO ＝ 45°，⊙O 的半径为3，求22GN DN 的值.思路分析：圆中直径和圆周角，垂径定理，勾股定理，三角形相似综合题.（1）证明两组角相等即可（2）构建等腰直角△HNO .由勾股定理求解.解：（1）∵DF 为⊙O 的切线，∴DO ⊥DF ．又NM ⊥DF ，∴NM ∥DO ，∴∠MND ＝∠NDC ，∵CD 为⊙O 的直径，∴∠CED ＝90°，而∠NMD ＝90°，∴△DMN ∽△CED（2）∵G ，E 关于AB 对称，∴GN ＝EN ,∴2222NE DN GN DN +=+,过O 作OH 垂直DE 于点H ，则由垂径定理可得：HD ＝HE ，由∠DNO ＝45°，可得△NHO 为等腰直角三角形，设NH ＝OH ＝M ，NE ＝N ，则HD ＝HE ＝M +N ，在RT △HDO 中，9)(22=++m n m ，∴2222)2(m n m GN DN ++=+189222=⨯=+GN DN6. （2017江苏苏州，27，10分）如图，已知△ABC 内接于e O ，AB 是直径，点D 在e O 上，OD ∥BC ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ．（1）求证：△DOE ∽△ABC ；（2）求证：∠ODF =∠BDE ；（3）连接OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若1227S S =，求sinA 的值．思路分析：（1）利用两角对应相等，证明两三角形相似；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形ODE 中，即可求∠A 的正弦值.解：（1）AB Q 是⊙O 的直径，90.,90.ACB DE AB DEO DEO ACB ∴∠=⊥∴∠=∴∠=∠o oQ .//,OD BC DOE ABC ∴∠=∠Q ，DOE ∴∆∽ABC ∆.（2）DOE ∆Q ∽ABC ∆.ODE A A ∴∠=∠∠Q 和BDC ∠是»BC所对的圆周角，,.A BDC ODE BDC ODF BDE ∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠.（3）21,4DOE ABC S OD DOE ABC S AB ∆∆⎛⎫∆∆∴== ⎪⎝⎭Q ∽ ，即144ABC DOE S S S ∆∆== ， OA OB =Q ，12BOC ABC S S ∆∆∴=， 即12BOC S S ∆= .121122,27BOC DOE DBE DBE S S S S S S S S S ∆∆∆∆==++=++Q ， 112DBE S S ∆∴= ，12BE OE ∴= ， 即222,sin sin 333OE OE OB OD A ODE OD ==∴=∠==．7. 21．（2017湖北宜昌）（本小题满分8分）已知，四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED=EC ,以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D, B 点在⊙O 上，连接OB .A（1）求证：DE=OE ；（2）若A B ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形.思路分析：（1）利用切线的性质构建直角三角形，进而运用等角的余角相等求证相等的边；（2）先证一组对边相等，借助平行得到平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求证.解：（1）证明：连接OD ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥CD∴∠2+∠3=∠1+∠COD =90°又∵DE=EC ，∴∠2=∠1，∴∠3=∠COD ，∴DE=EO（2）∵OD=OE ,∴OD=ED=OE ,∴∠3=∠COD =∠DEO =60°∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE ，而OE=DE=EC ,∴OA=OB=DE=EC ,又∵AB ∥CD ,∴∠4=∠1∴∠2=∠1=∠4=∠OBA =30°∴△ABO ≌△CDE∴AB=CD四边形ABCD 是平行四边形.CA ∴∠DAE = 12∠DOE =30° ∴∠1=∠DAE∴CD=AD∴四边形ABCD 是菱形.8. （2017·湖南株洲，25，12分）如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 是劣弧AB 的中点，E 是优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE ＝EF ，线段CE 交弦AB 于点D ．（1）求证：CE ∥BF ；（2）若线段BD 的长为2，且EA ∶EB ∶EC ＝3∶1∶5，求△BCD 的面积．(注：根据圆的对称性可知OC ⊥AB )第25题图解：（1）∵C 为⌒AB的中点，∴∠1＝∠3， ∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠4，∵∠F ＋∠4＋∠BEF ＝∠1＋∠3＋BEF ＝180°，∠1＝∠3，∠F ＝∠4，∴∠1＝∠F ， ∴CE ∥BF ；（2）∵∠1＝∠CBA ，∠1＝∠3，∴∠3＝∠CBA ，∴△CBD ∽△CEB ，∴CE CB ＝BE BD ，即BD CB ＝BECE ，∴BD ＝2，CE ∶BE ＝5∶1， ∴2CB ＝5，即CB ＝25． ∵∠1＝∠3，∠2＝∠C ，∴△ADE ∽△CBE ，∴CB AD ＝CE AE ， ∵CB ＝25，AE ∶CE ＝3∶5，∴52AD ＝53，即AD ＝6， ∴AB ＝AD ＋BD ＝8．∵C 为⌒AB的中点， ∴OC ⊥AM ，∴BM ＝21AB ＝4， ∵Rt △CMB ，∠CMB ＝90°，C ＝25，BM ＝4，∴CM ＝2，∴S △BCD ＝21BD ·CM ＝21×2×2＝2．9. 13．（2017安徽中考·5分）如图，已知等边△ABC 的边长为6，以AB 为直径的⊙O 与边AC ，BC 分别交于D ，E两点，则劣弧»DE 错误!未定义书签。
圆知识点总结典型例题
圆的知识点总结〔一〕圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆确实定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；〔2〕弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；〔3〕平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦〔不是直径〕；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
(完整版)圆知识点总结与例题讲解
一、圆的概念与周长1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
∆4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２r r ＝12d用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×29．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
△10．圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取π≈3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
☆11．圆的周长公式：C=πd 或C=2πr圆周长=π×直径圆周长=π×半径×212．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
☆13．有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形是：长方形有3条对称轴的图形是：等边三角形有4条对称轴的图形是：正方形有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
△14．圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
例题讲解：一、填空题△1、圆是（）图形，（）所在的直线是圆的（），圆有（）条对称轴。
2、圆的周长是它的直径的（）倍多一些，这个倍数是一个固定的数，我们把它叫（），常用字母（）表示。
它是一个（）小数，取两位小数是（）。
第05讲 圆(核心考点讲与练)
第05讲圆（核心考点讲与练）【知识梳理】一．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．二．点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r②点P在圆上⇔d＝r①点P在圆内⇔d＜r（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．三．确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．四．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【核心考点精讲】一．圆的认识（共4小题）1．（2021秋•余姚市期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．2B．3C．4D．52．（2021秋•越城区期中）如图中的数轴可以度量的直径，则圆形图片的直径是（）A．5﹣1B．5﹣（﹣1）C．﹣5﹣1D．﹣5﹣（﹣1）3．（2021秋•余姚市期中）AB＝12cm，过A、B两点画半径为6cm的圆，能画的圆的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个4．（2021秋•金华期中）已知圆O的面积为25π，若点P在圆上，则PO＝．二．点与圆的位置关系（共4小题）5．（2021秋•衢江区期末）已知⊙O的半径是3，若OA＝3，则点A（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．无法判定6．（2021秋•开化县期末）已知⊙O的半径为2，点P到圆心O的距离为1.5，则点P在（）A．圆外B．圆上C．圆内D．不能确定7．（2021春•柯城区校级月考）已知⊙O的半径r＝2，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定8．（2021秋•宁波期末）在同一平面上，⊙O外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则⊙O的半径为cm．三．确定圆的条件（共1小题）9．（2020秋•镇海区期中）已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（1，2）D．（1，﹣2）四．三角形的外接圆与外心（共3小题）10．（2021•拱墅区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，BC＝6，则⊙O 的半径是．11．（2021秋•鹿城区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则△ABC 的外接圆半径是．12．（2022春•诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【过关检测】一．选择题（共10小题）1．（2021秋•西湖区期末）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为3，则OA可能为（）A．1B．2C．3D．42．（2021秋•鹿城区校级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm．若以点B 为圆心，以4cm长为半径作⊙B，则下列选项中的各点在⊙B外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（2021秋•鹿城区校级期中）同一平面内，一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为8cm，则该圆的半径为（）A．7cm或14cm B．2cm或14cm C．1cm或7cm D．1cm或6cm 4．（2021秋•越城区期末）已知⊙O的半径为4，点P是⊙O外一点，连结OP，那么OP 的长可能是（）A．3.5B．3.9C．4D．4.15．（2021秋•杭州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点D为圆心，8为半径作⊙D，则下列各点在⊙D外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D6．（2021秋•鄞州区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，DP＝2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（）A．点A在⊙P外B．点B在⊙P外C．点C在⊙P外D．点D在⊙P内7．（2021秋•诸暨市期末）已知点P到圆心O的距离为5，若点P在圆内，则⊙O的半径可能为（）A．3B．4C．5D．68．（2021秋•余姚市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则此Rt △ABC的重心P与外心Q之间的距离为（）A．B．C．D．9．（2021秋•滨江区期末）已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（）A．2B．2C．4D．10．（2021秋•婺城区期末）在△ABC中，∠B＝45°，AB＝6，给出条件：①AC＝4；②AC＝8；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC的长唯一．可以选取的是（）A．①B．②C．③D．①或③二．填空题（共7小题）11．（2021秋•长兴县期中）已知⊙O的半径长为10cm，若点P在⊙O外，则线段OP的长度为cm．（写出一个正确的值即可）12．（2021秋•拱墅区校级期中）已知⊙O的半径为5，点A到点O的距离为7，则点A在圆．（填“内”或“上”或“外”）13．（2021秋•上城区期中）已知点P到圆上的点的最大距离为11，最小距离为7，则此圆的半径为．14．（2021秋•江干区校级期中）已知⊙O的半径为3，且点A到圆心的距离是5，则点A 与⊙的位置关系是．15．（2021秋•越城区期中）一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为．16．（2019秋•温州校级月考）△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为cm．17．（2022•淳安县一模）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是．三．解答题（共6小题）18．如图，圆O内接△ABC中，AB＝AC，连接AO．（1）求证：AO⊥BC；（2）若AB＝3，BC＝6．求圆O的半径．19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，BC边上的高AD＝2，⊙O经过A、B、C三点，求⊙O的直径AE的长．20．（2021秋•潜山市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB 的中点．（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．21．如图，O是△ABC的外心，AD⊥BC于D，求证：∠BAD＝∠OAC．22．如图，在△ABC中，已知CM是∠C的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，若AC ＝AB，求证：BN＝2AM．23．（2022•邵阳模拟）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）若∠ACB＝60°，BC＝8，求⊙O的半径；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．。
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圆【知识点梳理】一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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圆目录一．圆的定义及相关概念二．垂经定理及其推论三．圆周角与圆心角四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形六．会用切线, 能证切线七．切线长定理八．三角形的内切圆九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系十一．圆的有关计算十二．圆的基础综合测试十三．圆的终极综合测试一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。
MABCDOEBAC二．垂径定理及其推论【考点速览】 考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且CNM AMN ∠=∠． 求证：AB=CD ．例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。
求证：CE=DF ．l∙问题一图1 OHFE D CBA l∙问题一图2O H F E DCBAl∙问题一图3OH FE D C BAA BDC O· NM三．圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可．Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．Eg: 如下三图，请证明。
考点3 4. 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． ② 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，︒90的圆周角所对的弦是直径． ③ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．经典例题例1：如图，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.例2：如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=________ ．例3：如图2，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= _______例４：如图１，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠， 则A B +=∠∠________º．例5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．_ . . ._D _C_B _A _O BOCAOABC（例4） A BC D EO E F CDGO 例3A· O B D C G F 1E例7：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为________cm ．四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD ．例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。
求证：PA=PC 。
ABEFO PC12D五．圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。
【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数．（2）已知圆内接四边形ABCD 中，如图所示，AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数．例2 四边形ABCD 内接于⊙O ，点P 在CD 的延长线上，且AP ∥BD ．求证：AD AB BC PD ⋅=⋅AB· ABCDO六．会用切线，能证切线考点速览： 考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数 d 与r 的关系 直线与圆的位置关系d >r 相离1d =r 相切2d <r 相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径 ∴ l 为⊙O 的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
lA OCA D BO③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，△ABC内接于⊙O， AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
七．切线长定理考点速览：考点1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．考点2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB ②PO平分APB．考点3两个结论：·AO C DBP圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．经典例题：例 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若40APB ∠=︒，EOD ∠的度数．八．三角形内切圆考点速览 考点1A· E PD BCO做圆的外切三角形．概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC ；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ；（3）内心在三角形内部．考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2cb a r -+=.2、一般三角形①已知三边，求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.c b a S r ++∆=2（海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s --- ， 其中s=2cb a ++)ABCOE Dbca A BCO E F D经典例题：例1．阅读材料：如图（1），△ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r，S△OBC =12BC·r，S△OCA =12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r（可作为三角形内切圆半径公式）（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径；（2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）•且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．例2．如图，△ABC中，∠A=m°．（1）如图（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；（2）如图（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．九．了解弦切角与圆幂定理（选学）【考点速览】考点11. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
注意：弦切角必须具备三个条件：（1）顶点在圆上（切点），（2）一边和圆相切，（3）一边和圆相交（弦），三者缺一不可。
2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
3. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。