12.1 函数

交流
生活中哪些变化过程中存在具有函数关系的量？ 与同桌交流，互相说一说自己发现的函数关系。
上述例子中每个过程都有两个变量，分别指出 谁是谁的函数
时间t（自变量）、路程s（因变量） 路程s是时间t的函数
时间t（自变量）、负荷y（因变量）
负荷y是时间t的函数 车速v（自变量）、刹车距离s（因变量）
刹车距离s是车速v的函数
自变量的值，相应的就确定了一个因变量的值。
想 3. 什么样的两个量具有函数关系？ 一 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x、 想 y（其中x是自变量，y是因变量），
如果对于x在它允许的范围内的 每一个值，y都有唯一确定的值 与它对应，那么就说y是x的函数 （function）。如果当x=a时， y=b，那么b就叫做当自变量为 a时的函数值。
对于给定的每一个时间t，都有唯一确定的y与之对应。
问题3. 某型号汽车在路面上的刹车距离s m与车 速v km/h之间有下列经验公式：
（1）式中分别涉及几个量？哪个是常量？哪个是自变量？ 哪个是因变量？ （2）当制动车速v分别是40km/h，60km/h和100km/h 时，相应的制动距离s分别是多少？ （3）其中对于给定的每一个速度v，对应的刹车距离s有 几个值？
看函数图象是首先要看清楚横轴、纵轴！
例1. 一艘轮船在甲港和乙港之间往返运输（图1）， 只行驶一个来回，中间经过丙港。图2是这艘轮船离 开甲港的距离随时间的变化曲线。 观察曲线回答问题：
图1
图2
（1）从甲港（O）出发到达丙港（A），需要多长时间？ （2）从丙港（A）到达乙港（C），需要多长时间？ （3）图中CD段表示什么情况，船在乙港停留多长时间？返回时多 长时间到达丙港（B）？ （4）从丙港（B）返回出发点甲港（E），用多长时间？
练习3. 某市出租车按如下标准收费：3公里以内 （包括3公里，不到3公里的按3公里算）收6块钱， 超过3公里时，超出部分按每公里1.5元收费。求 某人乘坐出租车时应付费用y（元）关于出租车行 驶的距离x（公里）的关系式，并画出该函数的图 象。
图象法表示函数的总结： 画函数图象的步骤：
（1）确定自变量x的取值范围。 （2）列表：得到有序实数对 （3）描点：自变量为横坐标，函数值为纵坐标 （4）连线：用平滑曲线
v
练习1. 已知A、B两地相距1500米，小王从A地开始 向B地步行前进，前进的速度是每分钟100米，求小 王到B地的距离y（米）与步行时间x（分钟）之间的 函数关系式，注明自变量的取值范围并画出函数的 图象。
练习2. 如果点A（a，0）在函数y=2x-1的图象上，则a=_____. 已知函数y=x+b的图象经过点（2，3），则b=_____.
例3. 甲乙两人在一次赛跑比赛中，路程s和时间t的关系如图所示：
s/米
1500
甲 乙
1000
500
0
100
200
300 t/秒
（图中实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时
间的关系图象）
（1）甲乙是否同时起跑？ （2）甲乙在途中何时相遇？相遇时他们已经跑了多少米？相
遇后谁开始超过谁？
（3）最后谁先到达终点？赢者比输者早到终点多长时间？
说一说
例.已知圆的周长公式C=2πr，指出关系式中的 常量和变量。
常量是2π，变量是r和C，其中r是自变量， C是因变量，C是r的函数。
例.已知三角形ABC底边BC长为4，BC上的高 h在变化，则三角形面积S与高h存在怎样的函 数关系？
S=2h
海水受日月引力而产生潮汐现象， 早晨海水上涨的现象叫潮，黄昏上 涨叫做汐，合称潮汐。潮汐与人类 的生活有着密切的联系。
12.1 函数
一、认识函数
如何从数学的角度来刻 画这些运动变化呢？
函数
函数：用来刻画变量之间的关系。
先来认识变量：
例：今天早晨醒来，我烧了一壶水，
共用了10分钟。我发现，随着
的
变化，
也发生了变化。
这一过程中，哪些 量是变量？ 时间
温度
问题1. 如图，一辆红色的汽车在公路上匀速行驶。
时间t/h
如何写函数表达式？ 找等量关系！等式左边是因变量，等式右边 是关于自变量的一个多因式！
写一写
例.购买单价是2元的圆珠笔，总金额y元与圆珠 笔支数n之间的关系表达式是什么？
y=2n
例.一辆匀速行驶的汽车的行驶时间t和行驶路程 s之间关系如下表：
时间t/h
0
1
2
3
4
行驶路程s/km 0
60 120 180 240
对于自变量x的每一个确定的值，可得出对应函 数y的唯一确定值。列表如下：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
任意一个有序实数对（x，y）与坐标系平面内 一点M（x，y）一一对应。因此，将表中的有 序实数对在坐标系中描出相应的点。
y
6 5
4 3 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
2）自变量的取值范围 使函数表达式有意义，使实际问题有意义
3）求函数值 代入法
例1.课本第25页的例3
例2. 已知A、B两地相距1500米，小王从A地开始 向B地步行前进，前进的速度是每分钟100米。
（1）求小王到B地的距离y（米）与步行时间x（分 钟）之间的函数关系式。
（2）写出自变量x的取值范围。
-4 -5 -6
12345x
由函数表达式画图象的步骤：
（1）确定自变量的取值范围。 （2）列表：给出一些自变量与对应的函数值，形 成有序实数对。 （3）描点：以表中自变量x和函数y的每对对应值 分别为点的横纵坐标和纵坐标，在坐标平面描出相 应的点。 （4）连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描 各点用平滑曲线依次连接起来。
二、函数的表示方法
提问：通过前面的学习，你能总结出函 数有哪几种表示方法吗？
函数主要有三种表示方法，分别是： 列表法、解析法、图象法。
（一）列表法
通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函 数的方法叫做列表法。
提问：列表法有什么优缺点？
优点：不必通过计算，能从表格中快速得到 自变量取某些值时对应的函数值。
有了函数图象，我们可以从图象中得到哪些信息？ 图象直观、清晰的表现了函数的变化情况； 可以判断一个点是否在函数图象上； 可以根据自变量的取值求出对应的函数值； 可以根据图象中点的坐标求函数表达式。
三、从函数图象中获取信息
s
v
0
t
图1
0
t
图2
问题1.这两个图象是否一样？ 问题2.上图中哪个图表示匀速行驶？
量取值时也取较大的值
v
0
10 20 30 40
s
0
0.3 1.3 3
5.3
（3）描点：在坐标系中描出点 （0,0）,（10,0.3）,（20,1.3）， （30,3），（40，,5.3） （4）连线：按照自变量从小到大 的顺序用平滑曲线连接各点，得到 函数图象。
4 3 2
1
0 10 20 30 40
（5）你知道轮船从甲港前往乙港的平均行驶速度快，还是轮船返 回的平均速度快呢？
（6）如果轮船往返的机械速度是一样的，那么从甲港到乙港是顺 水还是逆水？
例2. 汽车的速度随时间变化情况如下图所示。
（1）这辆汽车的最高时速是多少？ （2）汽车行驶了多长时间后停了下来？停了多长时间？ （3）汽车在第一次匀速行驶时共用了几分钟？速度是多少？ 这段时间内，它走了多远？ （4）从这个图像中你还能得到哪些信息？
则s关于t的函数关系式是什么？ s=60t
例.已知等式2x+y=-5,则y关于x的函数关系式是什么？
y=-20x-5
例.一个菱形的边长为5cm，它的边长减少x cm后，得 到的新菱形的周长为ycm，写出y和x之间的函数关系式。
y=-4x+20
例. 已知A、B两地相距1500米，小王从A地开始向B 地步行前进，前进的速度是每分钟100米，求小王离 B地的距离y（米）与步行时间x（分钟）之间的函数 关系式。
对于给定的每一个速度v，都有唯一确定的刹车距离 与之对应。
1. 上面三个例子中，它们的变化过程分别有几
想 个变量？
一 想
每个过程都有两个变量： 时间t（自变量）、路程s（因变量）
时间t（自变量）、负荷y（因变量）
车速v（自变量）、刹车距离s（因变量）
2. 每个变化过程中两个变量之间有什么关系？ 一个是自变量，一个是因变量。如果给定一个
（1） y=2x+4
（2） y= - 2x2
（3） y=
（4） y=
（5） y=
2-2 x2+1
例. 当y=0时，求下列函数自变量x的值。 （1） y=2x+4 （2） y= - 2x2
（3） y=
例. 对于函数解析式y=x2，当y=8时，求对应的 自变量x的值。
解析法表示函数：
1）函数表达式 如：长方形周长C关于边长a的函数表达式为C=4a
0
1
2
3
4
行驶路程s/km 0
60 120 180 240
（1） 这个过程中涉及几个变量？ （2）观察上表，这辆汽车的平均每小时行驶多少千米？ （3）你能分别求出汽车行驶5小时和6小时后的路程是 多少吗？（1）两个变量：时间、行驶路程。
（2）平均每小时行驶60km。
（3）5小时行驶的路程是300km，6小时行驶的路程是360km。
解析法表示函数有什么优点？
函数关系清楚； 容易根据自变量的取值求出对应的函数值； 便于研究函数的性质。