认识函数(1)
认识函数(1)
〖教学目标〗◆1、通过实例，了解函数的概念．◆2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．◆3、理解函数值的概念．◆4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．〖教学重点与难点〗◆教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．〖教学过程〗教学过程分以下6个环节：创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业1．创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：工作时间（时）15101520……报酬（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16 ）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，
其跳远的距离(米)与助跑的速度(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离(018收费标准y （元/度）2.002.503.00（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；共3页，当前第2页123当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家
共用了几分钟？答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；（2）当t=5分时函数值为1km；（3）当10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．
说明安排本例的主要目的是让学生体会当函数用图象法给出时函数值的求法．通过本例的教学，使学生体会函数图象是如何反映自变量与函数之间的关系的，进一步加深学生对函数概念的理解，体验数形结合的数学思想，为后面的一次函数的应用作好准备．4．课堂练习课本p155课内练习1，2 补充下图是表示某一个月的日平均温度变化的曲线，根据图象回答问题：①这个曲线反映了哪两个变量之间的关系？日平均温度t是x的函数吗？②求当x=5,13,16,25时的函数值？
③这个月中最高与最低的日平均温度各是多少? t x
5．知识整理师生可共同梳理知识点：函数的概念函数表示方法解析法
列表法
图象法
函数值
6．布置作业课本作业题1，2，3，4，5 ．共3页，当前第3页123
对函数的进一步认识
对函数的进一步认识 姓名： A 组 1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为________． 2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐 标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3) )的值等于________． 3．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________. 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个． 5．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________. 6．已知函数f (x )＝????? 1＋1x (x >1)， x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1 )，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32 ， 求a . B 组 1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2 ＋lg(2x －1)的定义域是________． 2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝????? －2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)， 2x －1，(x >2)，则f (f (f (32 )＋5))＝_. 3．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________． 4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个． 5．设函数f (x )＝? ???? 2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个． 6．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12 ，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________． 7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝? ???? x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________． 8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝? ???? log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________． 9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y
初中数学鲁教版(五四制)九年级上册第三章 二次函数1 对函数的再认识-章节测试习题(2)
章节测试题 1.【答题】下列y与x的关系式中，y不是x的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 【解答】D项中，对于x在它允许范围内的每一个值，y有一个或两个值与它对应，所以y不是x的函数． 2.【题文】（2018浙江舟山中考）小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆时间t（s）之间的关系如图3-1-1所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是不是关于t的函数； （2）结合图象回答： ①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②千秋摆动第一个来回需要多长时间？ 【答案】 【分析】
【解答】（1）∵对于每一个摆时间t，h，都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数． （2）①当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度为 0.5m． ②由题图可知，秋千摆动第一个来回需2.8s． 3.【答题】已知函数，当x=m时，函数值y为1，则m的值为（） A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 【答案】B 【分析】 【解答】将x=m，y=1代入，得，解得m=3，经检验，m=3是分式方程的根． 4.【答题】（2018重庆中考B卷）根据如图3-1-2所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（） A. 9 B. 7 C. -9 D. -7 【答案】C
【分析】 【解答】由题意得，解得b=-9．选C． 5.【答题】当x=______时，与的函数值相等． 【答案】-11 【分析】 【解答】由题意，得2x+6=x-5，解得x=-11． 6.【答题】已知函数，当y＜0时，x______． 【答案】＞2 【分析】 【解答】由题意，得，解得x＞2． 7.【答题】（2019广西柳州中考）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B 地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是______ A. B. C. D. 【答案】D 【分析】
高中数学对函数的进一步认识 练习与解析
对函数的进一步认识 练习与解析 一、选择题 1．下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A ．f （x ）＝2x ，g （x ）＝x B ．f （x ）＝x —1，g （x ）＝1 )1 1( －－x C ．f （x ）＝|x －3|（x ≥3），g （x ）＝－|x －3|（x ≤3） D ．f （s ）＝s 2 ＋1，g （t ）＝t 2 ＋1 解析：若用x 表示自变量，则选项D 中f （x ）和g （x ）完全一样．选D ． 答案：D 2．在映射f ：A →B 中，下列说法中不正确的说法为（ ） ①集合B 中的任一元素，在集合A 中至少有一个元素与它相对应 ②集合B 中至少存在一元素在集合A 中无原象 ③集合B 中可能有元素在集合A 中无原象 ④集合B 中可能有元素在集合A 中的原象不止一个 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：由映射的定义知①②不正确，故选A ． 答案：A 3．已知映射f ：A →B ，A ＝｛a ，b ，c ｝，B ＝｛－3，0，3｝，则满足使a 、b 、c 的象的 和为零的映射有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．9个 解析：按象集合中象的个数分类．若象集为单元素集时，只有｛0｝满足0＋0＋0＝0；若象集为双元素集时，均不适合；若象集为B 时，因为－3＋0＋3＝0恒成立，所以f （a ）、f （b ）、f （c ）可有6种搭配的方案．故选C ． 答案：C 4．函数f （x ）的定义域是［0，2］，则函数)2 1()21 ()(－－＋＝x f x f x g 的定义域是（ ） A ．（0，2） B ．（21－ ，2 3） C ．（21，25） D ．（21，2 3 ） 解析：∵f （x ）的定义域是［0，2］， 解不等式组???????≤≤≤≤．－，＋221221x x x x 即???????≤≤≤≤． ，－252 12 321x x ∴函数g （x ）的定义域是［21，2 3 ］．故应选D ． 答案：D 5．设A 是直角坐标平面上的所有点组成的集合，如果由A 到A 的映射f ，使象集合的元素（y －1，x ＋2）和原象集合的元素（x ，y ）对应，那么，象点（3，一4）的原象是点（ ） A ．（－5，5） B ．（4，－6）
四川省遂宁市船山区河沙镇初级中学数学(北师大版)九年级2.1《对函数的再认识》学案
备课时间：9.23 上课时间：10.7 课型：新授课课时：1课时 2.1《对函数的再认识》学案 学习目标： 1．复习并进一步认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系 2.了解表示函数的方法。． 学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。 学习过程： 一、学前准备 (一)一起想一想 （1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？ （2）你学过哪些函数？请你写出它们的表达式，它们的图象各是什么? （3）函数的定义是什么，你还记得吗? (二)自己做一做： 课本P37 “做一做”（作到书上） 二、探究活动 (一)独立思考：在上面三个例子中 : （1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的范围是什么 ? （2）对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值与它对应? （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。 函数的定义：
（二）探究交流 例1：某种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠售出，试写出该商品每件的利润y(元)与每件的进价x(元)之间的关系式. 思考：对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y 有惟一确定的对应值 , 这个对应值叫做 . 如对于例 2(1) 中的函数y =3x+7,16就是当x =3 时的函数值 . （三）应用探究 A、课本P38随堂练习1、2做到练习本上 B、课本P39习题1、2做到练习本上 C、课本P39试一试
练习中你出现过什么问题？还有什么需要格外．． 注意的？ 四、回顾思考：通过本节课的学习,你有什么体会和收获? 五、自我测试 1、x 取什么值时，函数y=x+2与函数2 3-=x x y 的值相等 2、x 取什么值时，函数y=x+2的值小于0. 3、x 取什么值时，函数y=x+2的值大于函数y=5-3x 的值.
函数的基本知识与一次函数的初步认识教案
函数的基本知识与一次函数的初步认识 一 次 函 数 一：函数的定义 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________，常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，就说y 是x 的函数。那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量。要注意的是：自变量x 的取值往往有范围限制，这个范围我们叫自变量的定义域 * 判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应。 例题：下列函数y=πx 、y=2x-1 、y=1x 、y=2-1-3x 、y=x 2-1，12 2=+y x 中，是函数的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 例：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A 、、 、 D 、 例 ：函数y =x 的取值范围是__________。 3.函数的三种表示方法 （1）解析法：用函数表达式表示函数 t m 16=，2085.0V S =,12—x y =，这几个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式叫作函数表达式，简称 函数式，用函数表达式表示函数的方法叫解析法 此时，根据函数的定义可以得到：若把自变量的值代入就可以得到相应的函数值 例:求下列当4=x 时的值 （1）2 2x y = （2）1 21 += x y
认识函数(1)
认识函数(1) 〖教学目标〗◆1、通过实例，了解函数的概念．◆2、了解函数的三种表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．．◆3、理解函数值的概念．◆4、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值．〖教学重点与难点〗◆教学重点：函数的概念、表示法等，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础，因此函数的有关概念是本节的重点．◆教学难点：用图象来表示函数关系涉及数形结合，学生理解它需要一个较长且比较具体的过程，是本节教学的难点．〖教学过程〗教学过程分以下6个环节：创设情境、探究新知、应用新知、课堂练习、知识整理、布置作业1．创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得报酬为元，填写下表：工作时间（时）15101520……报酬（元）然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）（2）能用的代数式来表示的值吗？（能，=16 ）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，
其跳远的距离(米)与助跑的速度(米／秒)有关．根据经验，跳远的距离(018收费标准y （元/度）2.002.503.00（1）y是x的函数吗？为什么？（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；共3页，当前第2页123当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当10≤t≤15时，对应的函数值是多少？并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家
九年级数学上册第3章《对圆的进一步认识复习》知识梳理与要点回顾(青岛版)
对圆的进一步认识复习 知识梳理 1、圆的对称性 （1）确定一个圆有两要素，一是_________，二是_________。圆心确定_________，半径确定___________；圆既是______对称图形，又是中心对称图形，它的对称中心是_______，对称轴是________，有________条对称轴。 （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦_________；如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________。 （3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_________，同弧或等弧所对的圆周角是其所对的圆心角的______，半圆（或直径）所对的圆周角是________，________的圆周角所对的弦是直径。 （4）垂直于弦的直径________这条弦，并且平分弦所对的_________。 2、圆中的位置关系 （1）用d表示点到圆心（或点到直线，两圆圆心）的距离，r表示圆的半径， ①点在圆内?____________，点在圆上?_____________，点在圆外?______________； ②直线和圆相交?_________，直线和圆相切?_________，直线和圆相离?_________。 ③若再用R表示另一个圆的半径，则两圆外离?___________，两圆外切?____________，两圆相交?____________，两圆内切?______________，两圆内含?____________。 （2）圆的切线__________于经过切点的半径，经过半径的外端且_______于这条半径的直线是圆的切线。 3、切线的判定方法 （1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线（定义法）。 （2）到圆心的距离等于行径的直线是圆的切线。 （3）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4、三角形的外接圆与内切圆
《对函数的再认识》同步练习
3.1 对函数的再认识 序号1 主备人:陈云英 审核:初四数学备课组 一、选择题 1、函数2 y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 2．下列变量之间的关系：①正方体体积V 与它的边长a ；②x-y=3中的x 与y ；③y=23x - 中的y 与x ；④圆的面积S 与圆的半径r ，其中成函数关系的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、函数y=-2x+4当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 4、根据图4中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 图4 5、夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T ℃随时间t 变化的关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 二、填空题 7、圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______． 8、x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 输入x 1x ≥ 1 52 y x = + 1 5 2 y x =-+输入y 是 否
9、已知函数y=2213---x ，则x 的取值范围是________ 10、函数y= 1 -x x 中自变量x 的取值范围是______________ 11.A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式____________． 12.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x 的取值范围是______. 三、解答题 13、已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ 14、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P 在BC 上，点P 从点C 以1单位/秒的速度从点C 向点B 运动（点P 不与点B ，C 重合），设运动时间为x ，△APB 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围．
函数的初步认识
课题：函数的初步认识 [教学目标] 1、初步了解函数的概念，在具体情景中分清哪个变量是自变量，谁是谁的函数， 会由自变量的值求出函数值。 2、经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维能力，感悟运动变化的 观点。 3、通过具体情景中对函数关系式的建立。提高认识变化规律、预测发展趋势的 能力。 重点：1、函数的概念 2、会由自变量的值求出函数值 难点：1、哪个变量是自变量，谁是谁的函数。 2、从具体实例中抽象出函数 [教学过程] 一、想一想： 1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？15英寸呢？ （注：1英寸=2.54厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换算为公制是y厘米，试写出 y与x之间的关系式？ 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？y的值是由哪个变量 的取值确定的？ 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ 二、填一填，学一学： 1、如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为6厘米，那末这个三角形
的面积y= 平方厘米；当x =4厘米时，y= 平方厘米；当x =8厘米时，y= 平方厘米. 2、在同一个变化过程中，有两个变量 和 ，变量 的取值是由变量 的取值惟一确定的，我们把 叫做 的函数，其中 叫自变量。 3、8是关于字母x 的代数式2x 当x=4时的值，也叫做函数y=2x 当x=4时对应的 。 三、试一试： 人行道有小正方形水泥地砖铺设而成，下图是小正方形水泥地砖的一种铺设方式 ① ② ③ …… （1）按图①②③的次序这样铺下去，第④个图形中有多少块小正方形水泥地砖？ （2）如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图形中小正方形水泥地砖的块数，写出S 与n 之间的关系式。指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数。 （3）在序号为100的图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？ 四、求一求： 当x 分别取-1，0，2时，求下列函数对应的函数值：
北师版数学高一必修1第二章第2节对函数的进一步认识(第1课时)
2.1 函数概念 1．了解生活中的变量关系． 2．理解函数的概念． 3．会求出简单函数的定义域、值域． 1．生活中的变量关系 (1)依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有________的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系． (2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系． 函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数 关系．因此说依赖关系不一定是函数关系，而函数关系是依赖关系．例如，积雪层对越冬作 物具有防冻保暖作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入， 具有增墒肥田作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系． 【做一做1－1】张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )． A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数 【做一做1－2】某人骑车的速度是v千米/时，他骑t小时，走的路程s是多少？路程是时间的函数吗？ 2．函数的概念 给定两个非空____________A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中________数x，在集合B中都存在____________确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝______________，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合__________叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数． (1)符号y＝f(x)表示变量y是变量x的函数，它仅仅是函数符号，并不表示y等于f与x
对数学理解的再认识
对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理
青岛版-数学-七年级上册-《函数的初步认识》导学案
5.5 函数的初步认识学案 学习目标： （1）初步了解函数的概念，在具体情境中分清哪个变量是自变量，谁是谁的函数，回由自变量的值求出函数值 （2）经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维能力，感悟运动变化的观点。 （3）通过具体情境中对函数关系式的建立，提高认识变化规律、预测发展趋势的能力。 学习重点： （1）通过学习使学生掌握函数的概念，了解自变量、函数值的概念。 （2）可以从实际问题中列出函数关系式。 （3）会区分函数和函数值 学习难点：对函数函数概念的理解 学习过程： 1.交流与发现 ：一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？ ；说一说，你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ ：如果某种电视机屏幕的对角线长是x英尺，换算为公制是y厘米，试写出y与x之间的关系式； ：在y与x的关系式中，哪写是常量？哪些是变量？y的值是由x的取值确定的；当x=34英寸时，y=2.54*34=86.36（厘米） ：研究5.3节、5.4节中的例子，你会发现变量y与x之间有什么关系？ 函数的概念：______________________________________ _________________________________________________________________
注意事项：（1）在“同一个变化过程”中“两个变量”, （2）y 的取值由x 的取值“惟一”确定. ① 什么是函数？什么是自变量？ ② 什么是一个函数的函数值？怎样求？ 例1. 人行道由小正方形水泥地转铺设而成，如图 …… ① ② ③ （1）按照图中的次序这样铺下去，第④个图形中有 块小正方形水泥地砖，第⑤个图形中有 块小正方形水泥地砖。 （2）这些图中，竖着铺的地砖的个数的规律是 ，横着铺的地砖的个数的规律是 （横着的个数与图形序号n 的关系）。 （3）如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图中小正方形水泥地砖的块数，写出S 与n 之间的关系式。指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数。 （4）在序号为100的 图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？
七年级数学上册5.5函数的初步认识版
5.5 函数的初步认识 学习目标 1.结合实例，知道自变量与函数的意义，能够区分自变量与函数. 2.对于给定的函数，能根据自变量的值求出函数的值. 自主学习 自主学习课本，完成下列问题： 1.什么是函数？什么是自变量？ 什么是一个函数的函数值？怎样求？ ①下列变量之间的关系不是函数关系的是（） A.矩形的一条边长是6cm，它的面积S（cm2）与另一边长x（cm）的关系 B.正方形的面积与周长的关系 C.圆的面积与周长的关系 D.某图形的面积与它所在的平面的位置关系 ②一般地，如果在一个______________中，有两个____________，例如x和y，对于x的每—个值，y都有______________与之对应，我们就说x是________________，y是________________，此时也称y是x的________________． ③当x＝-3时，分别求出下列函数的函数值． (1)y=(x-1)(x+2) (2) 2 3 22+ - =x x y 课堂突破 通过以上的练习，你一定知道函数和自变量了？和同桌交流一下吧，找出它们之间的联系与区别. 反思巩固 一、回顾反思 1.你的收获：知识点： 数学思想或方法： 2.你觉得最难以理解的方面： 巩固练习 1.函数 1 - + =x x y ，当x＝2时，函数值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0
2.写出下列函数关系式，指出自变量与函数. 一辆汽车从南京开出，行驶在去上海的高速公路上，速度为120km／h，南京至上海约270km，则该汽车离上海的路程s与行驶时间t之间的函数关系； 3.判断下列式子中y是否是x的函数，并说明理由： （1） ()2 21 2- =x y ；（2） x y2- = ；（3） x y3 - = .
第三章 概率的进一步认识知识点复习
第三章 《概率的进一步认识》知识点复习 姓名：_______ 知识点1：求“连续两次完成某事件”的概率 1、有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车．则两个人同坐2号车的概率为________． 2、抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不见的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是________． 3、盒子里放有三张分别写有整式a ＋1，a ＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是________． 4、“服务社会，提升自我．”凉山州某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的5名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队．若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是________． 5、一个袋中有2个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中一次摸出2个球，2个球都是红球的可能性是（ ） A.21 B. 31 C. 41 D. 6 1 6．若从长度是3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能构成三角形的概率是( ) A. 21 B.43 C.31 D.41 7．在x 2□4x □4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的整式中，恰好是完全平方式的概率是( ) A ．1 B.21 C.31 D.4 1 8．假定鸟蛋孵化后，雏鸟为雌与雄时概率相同，如果三枚蛋全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雄鸟的概率是( ) A.61 B.83 C.85 D.3 2 9．我市辖区内景点较多，李老师和刚高中毕业的儿子准备从A ，B ，C 列三个景点去游玩．如 果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站，那么他们都选择B 景点的概率是_ _． 10．从甲地到乙地有A 1，A 2两条路线，从乙地到丙地有B 1，B 2，B 3三条路线，从丙地到丁地有C 1，C 2两条路线，一个人任意选了一条从甲地经乙地、丙地到丁地的路线，求他选到B 2路线的概率． 11．一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一 个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.161 B.163 C.41 D.16 5 12．一枚质地均匀的正方体骰子，连续抛掷两次，两次点数相同的概率是( )
青岛版-数学-七年级上册-《函数的初步认识》综合练习2
5.5 函数的初步认识 一、选择题 1.下列变量之间的关系中，具有函数关系的有（ ） ①三角形的面积与底边 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径 ④y=12-x 中的y 与x A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.对于圆的面积公式S=πR 2,下列说法中，正确的为（ ） A.π是自变量 B.R 2是自变量 C.R 是自变量 D.πR 2是自变量 3.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 4.已知函数y= 21 2+-x x ,当x=a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3 B.－1 C.－3 D.1 5.某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x （分）之间的函数关系正确的是（ ）
二、填空题 6.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t（分）之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量. 7.计划花500元购买篮球，所能购买的总数n（个）与单价a（元）的函数关系式为______，其中______是自变量，______是因变量. 8.某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y（元）与所存月数x之间的关系式为______. 9.已知矩形的周长为24，设它的一边长为x,那么它的面积y与x之间的函数关系式为______. 10.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y（cm）与底边x（cm）的函数关系式为______，其中自变量x的取值范围是______. 三、解答题 11.如图所示堆放钢管. （1）填表 层数 1 2 3 (x) 钢管总 数 （2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？ 12.如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： （1）____时气温最高，______时气温最低，最高气温是______，最低气温是_____；
北师大版高中数学(必修12.2对函数的进一步认识函数的表示法同步测试题
第二章 函数 2.2 函数的表示法 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为……… ( ) A.f(x)＝－x B.f(x)＝x －1 C.f(x)＝x ＋1 D.f(x)＝－x ＋1 【答案】 D 2.已知函数f(x －1)＝x 2－3，则f(2)的值为…………………………………( ) A.－2 B.6 C.1 D.0 【解析】 方法一：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f(t)＝(t ＋1)2－3， ∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6. 方法二：f(x －1)＝(x －1)2＋2(x －1)－2， ∴f(x)＝x 2＋2x －2， ∴f(2)＝22＋2×2－2＝6. 方法三：令x －1＝2， ∴x ＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B. 【答案】 B 3.已知f(x)＝1 x 2－1，g(x)＝x ＋1，则f(g(x))的表达式是…………………… ( ) A.1 x 2＋2x B.x 2 x 2－1 C.x 2 x 2＋2x D. 1 x 2－1 【解析】 f(g(x))＝1(x ＋1)2－1＝1 x 2＋2x . 【答案】 A 4.已知函数y ＝??? f(1)＝0 f(n ＋1)＝f(n)＋3，n ∈N * ，则f(3)等于…………………… ( ) A.0 B. 3
C. 6 D.9 【解析】 f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3， ∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6. 【答案】 C 二、填空题(每小题5分，共10分) 5.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是 ，值域是 . 【解析】 由图象可看出-3≤x ≤3，-2≤y ≤2. 【答案】 ［-3,3］［-2,2］ 6.已知f(x)与g(x)分别由下表给出 那 么 f(g(3)) ＝ . 【解析】 由表可 得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1. 【答案】 1 三、解答题(每小题10分，共20分) 7.解答下列问题： (1)若f(x ＋1)＝2x 2＋1，求f(x)； (2)若函数f(x)＝x ax ＋b ，f(2)＝1，又方程f(x)＝x 有唯一解，求f(x). 【解析】 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f(t)＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3.∴f(x)＝2x 2－4x ＋3. (2)由f(2)＝1得2 2a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2； 由f(x)＝x 得x ax ＋b ＝x 变形得x(1 ax ＋b －1)＝0，解此方程得：x ＝0或x ＝1－b a .又因为方 程有唯一解，所以1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以所求解析式为f(x)＝2x x ＋2 . 8.作下列各函数的图象： (1)y ＝2x 2－4x －3(0≤x ＜3)； (2)y ＝|x －1|； 【解析】 (1)∵0≤x ＜3，∴这个函数的图象是抛物线y ＝2x 2－4x －3介于0≤x ＜3之间的一段弧(如图(1)). x 1 2 3 4 f(x) 4 3 2 1 x 1 2 3 4 g(x) 3 1 4 2
函数的初步认识习题
函数基础 一、选择题 1、(2010福建泉州市惠安县)函数2y x = -的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 2．下列变量之间的关系：①正方体体积V 与它的边长a ；②x-y=3中的x 与y ；③y=23x - 中的y 与x ；④圆的面积S 与圆的半径r ，其中成函数关系的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、（2008 沈阳市）函数y=-2x+4当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 4、(08泰州)根据图4中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 (4) (5) 5、某企业今年前五个月每个月生产的某种产品的总量C （件）关于时间t （月）?的函数图象如图5所示，则该厂对这种商品来说（ ） A ．一月至三月每月生产总量逐月增加，四，五两月每月生产总量减少; B ．一月至三月每月生产总量逐月增加，四，五两月每月生产量与三月持平; C ．一月至三月每月生产总量逐月增加，四，五两月停产; D ．一至三月每月生产总量不变，四，五两月停产. 6、夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T ℃随时间t 变化的关系的图象是（ ） 输入x 1x ≥ 1 52y x = + 1 5 2 y x =-+输入y 是 否
A B C D 二、填空题 7、圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______． 8、x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 9、已知函数y=2213---x ，则x 的取值范围是________，若x 是整数，则此函数的 最小值是__________。 10、函数y= 1 -x x 中自变量x 的取值范围是______________ 11、A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距 离为y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式____________． 12、在函数c x y +- =221(c 为常量)中，当自变量取值为3-时，函数值为2 9 则c 的值是__________.； 13、若函数 y=（m —2）x ＋5－m 是一次函数，则m 满足的条件是__________. 14、已知x=2时，函数y=kx-2与y=2x+k 的值相等， k 的值是__________.． 15、已知函数y ax b a b =+()、是常数，x 与y 的部分对应值如下表： x －2 －1 0 1 2 3 y 6 4 2 －2 －4 那么方程ax b +=0的解是____________；不等式0>+b ax 的解集是____________。 三、解答题 16、地壳的厚度约为8到40km ，在地表以下不太深的地方，温度可按t x y +=5.3计算， 其中x 是深度，t 是地球表面温度，y 是所达深度的温度． （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）如果地表温度为2℃，计算当x 为5km 时地壳的温度．
谈谈对函数性质教学的认识
谈谈对函数性质教学的认识 1抓住函数概念核心，加强概念形成的教学 理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气 函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。 函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。 2、加强研究函数的一般方法的引导 概念教学的几个基本环节： 概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入） 概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性） 概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延） 概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色） 概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。 再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题： 研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等； 研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质； 相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。 这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，