函数的初步认识
初步认识函数
初步认识函数函数是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
函数可以描述不同变量之间的关系，并且在计算机编程中起到了关键的作用。
本文将从数学和计算机两个角度对函数进行初步的认识。
一、数学中的函数在数学中，函数是指一种特殊的映射关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。
简而言之，函数就是将输入映射为输出的规则。
函数通常用符号表示，例如 f(x) = 2x + 1。
在这个例子中，f(x) 是函数的名称，x 是自变量，2x + 1 是根据函数规则计算得到的因变量。
我们可以给函数一个输入值 x，然后计算出对应的输出值。
函数的定义域是指能够被输入到函数中的所有可能的值的集合，而值域是指函数所有可能的输出值的集合。
函数的图像可以通过在平面直角坐标系上绘制函数的输入和输出值的对应关系来表示。
二、函数在计算机科学中的应用在计算机科学中，函数被用来封装一段特定的代码，以便在需要的时候进行调用。
这样可以提高代码的重用性和可读性。
在大多数编程语言中，函数由函数头和函数体组成。
函数头定义函数的名称和参数列表，函数体则包含了函数要执行的具体代码。
通过调用函数并传递参数，我们可以在程序中多次使用该函数，并且每次使用可以传递不同的参数值。
函数可以用于实现各种不同的功能，例如计算数值，处理数据结构，执行算法等。
在编写程序时，我们可以通过编写自定义函数来解决问题，而不需要重复编写相同的代码。
三、函数的特征和分类函数有以下几个重要的特征：1. 唯一性：每个输入值只能对应一个输出值，同一个输入值不能对应多个输出值。
2. 一致性：对于相同的输入值，函数的输出值应该是相同的。
3. 可逆性：有些函数可以通过逆运算得到原来的输入值。
例如，如果一个函数将输入值加倍，逆运算就是将输出值除以2。
函数可以根据其性质和关系进行不同的分类。
例如，线性函数是指函数的图像是一条直线；多项式函数是指函数形式为多项式的函数；三角函数是指函数的输入和输出之间有特定的三角关系。
七年级数学上册《函数的初步认识》教案、教学设计
1.通过实际问题导入，引导学生自主探究函数的定义，培养独立思考和合作交流的方法，提高学生的动手能力。
3.利用信息技术手段，如几何画板等，让学生观察函数图像的变化，培养学生直观想象和空间思维能力。
4.通过分析典型例题，引导学生运用函数知识解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
-设想活动：课堂小结时，让学生分享学习体会，同伴之间相互评价对方的学习成果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在新课导入阶段，我们将通过一个贴近学生生活的实例来激发学生的学习兴趣，并引导学生思考背后的数学原理。
1.情境创设：以学校附近的公交站点的公交车发车时间为例，提出问题：“同学们，你们是否注意过公交车发车的时间间隔？这些时间间隔是否有什么规律？”通过这个问题，让学生意识到现实生活中存在一定的规律性。
（二）教学设想
1.引入生活实例：通过引入与学生生活密切相关的实例，如气温变化、物体运动等，让学生感知函数的存在和意义，激发学生的学习兴趣。
-设想活动：让学生记录一周的气温变化，并将其转化为函数模型，分析气温的日变化规律。
2.概念建构：采用探究式教学法，引导学生从具体实例中发现函数的普遍特征，逐步建构起函数的概念。
（四）课堂练习
在此环节，我们将进行课堂练习，以检验学生对函数知识点的掌握情况。
1.练习设计：设计具有代表性的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，涵盖函数的定义、表示方法和性质等方面。
2.学生练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解答过程和答案。
3.评价反馈：对学生的练习结果进行评价，及时反馈，纠正错误，巩固知识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我们将组织学生进行小组讨论，以增强他们的合作能力和思维能力。
函数的介绍
函数的介绍一、函数的定义函数是数学中的一个基本概念。
简单来说，设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作y = f(x)，x∈A。
例如，在一次函数y = 2x + 1中，对于任意给定的x值（x∈R），都可以通过这个表达式计算出唯一的y值。
二、函数的构成要素1. 定义域定义域是函数自变量x的取值范围。
例如，对于函数y = 1/x，由于分母不能为0，所以其定义域为x≠0的所有实数。
在实际问题中，定义域还可能受到具体情境的限制。
比如，计算一个物体运动的时间，时间不能为负数，那么定义域就会是大于等于0的实数。
2. 值域值域是函数值y的取值范围。
还是以y = 2x + 1为例，因为x 可以取任意实数，那么y也可以取任意实数，所以它的值域是R。
而对于y = x²，因为x²总是大于等于0的，所以它的值域是y≥0。
3. 对应法则对应法则决定了如何从自变量x得到函数值y。
不同的函数有不同的对应法则，像二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）通过二次多项式的计算得到y值，而三角函数sin(x)、cos(x)等则是根据三角形中的比例关系或者单位圆的定义得到函数值。
三、函数的表示方法1. 解析法用数学式子表示两个变量之间的对应关系，就是解析法。
像前面提到的一次函数y = 2x+1、二次函数y = ax²+bx + c等都是用解析法表示的函数。
这种方法的优点是准确、简洁，便于进行理论分析和计算。
2. 列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
例如，某商店记录一周内每天的销售额与当天的客流量之间的关系，可以用列表法。
这种方法简单明了，适合于自变量取值是有限个的情况。
3. 图象法用图象来表示函数关系。
例如，一次函数y = kx + b的图象是一条直线，二次函数y = ax²+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线。
高一函数入门基础知识
高一函数入门基础知识
高一函数入门基础知识包括函数的定义、函数的表示方法、函数的性质、函数的定义域和值域等。
以下是具体的介绍：
1. 函数的定义：函数是一种数学概念，用来描述两个变量之间的关系。
函数的定义通常包括自变量和因变量两个部分，自变量是函数的输入值，因变量是函数的输出值。
函数可以表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f表示一种对应关系，称为函数关系。
2. 函数的表示方法：函数的表示方法有两种，一种是解析法，即用数学表达式表示函数关系；另一种是图表法，即用图形表示函数关系。
在高一函数入门中，我们主要学习解析法，通过给定的函数表达式来理解函数关系。
3. 函数的性质：函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
单调性是指函数在某一段区间内单调递增或单调递减；奇偶性是指函数是否具有对称性；周期性是指函数是否存在周期性变化。
4. 函数的定义域和值域：函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指因变量的取值范围。
在高一函数入门中，我们需要掌握如何求函数的定义域和值域，以及理解定义域和值域的概念。
5. 初等函数：初等函数是指常见的函数类型，如一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等。
高一函数入门中，我们需要掌握这些函数的表达式、性质和图像。
总之，高一函数入门基础知识是学习函数的基础，需要掌握函数的定义、表示方法、性质、定义域和值域等概念，同时熟悉常见的初等函数的表达式、性质和图像。
有关函数的初步认识的教学教案
有关函数的初步认识的教学教案第一章：函数的定义与性质1.1 函数的概念引入函数的概念，引导学生理解函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的元素。
通过示例和练习，让学生掌握函数的表示方法，如解析式和图像。
1.2 函数的性质讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
利用图像和实际例子，解释函数的增减性、极值、拐点等概念。
第二章：函数的图像2.1 函数图像的基本特征引导学生理解函数图像的斜率、截距、对称性等基本特征。
通过绘制简单的函数图像，让学生观察和分析函数图像的形状和变化趋势。
2.2 函数图像的变换介绍函数图像的平移、缩放、翻转等变换方法。
通过示例和练习，让学生学会如何通过变换得到函数图像的新形状。
第三章：一次函数和二次函数3.1 一次函数引入一次函数的定义和表示方法。
讨论一次函数的图像特点，如直线斜率和截距的意义。
3.2 二次函数引入二次函数的定义和表示方法。
讨论二次函数的图像特点，如开口方向、顶点、对称轴等。
第四章：函数的计算与应用4.1 函数的计算介绍函数的求值、导数、积分等基本计算方法。
通过示例和练习，让学生掌握函数计算的基本技巧。
4.2 函数的应用讨论函数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理问题等。
通过案例分析和练习题，让学生学会如何将函数应用于解决实际问题。
第五章：函数的进一步研究5.1 函数的极限引入函数极限的概念，讨论函数在某一点的极限值。
通过示例和练习，让学生理解函数极限的性质和计算方法。
5.2 函数的连续性引入函数连续性的概念，讨论函数在某一点的连续性。
通过示例和练习，让学生理解函数连续性的性质和判断方法。
第六章：函数的导数与微分6.1 导数的概念引入导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
通过示例和练习，让学生掌握导数的计算方法，如极限定义法、导数的基本公式。
6.2 微分的基本概念介绍微分的概念，解释微分表示函数在某一点的变化量。
函数的初步认识
•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。
在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。
单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。
函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。
函数在某一点处可导，即该点的切线存在。
函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。
定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。
性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。
图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。
市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。
投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。
函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。
我国数学家对函数的认识
我国数学家对函数的认识1. 函数的初步认识1.1 函数的起源说起函数，那真是数学里头的一个“老大哥”。
古代数学家们在研究数的关系时，早就发现了类似于函数的东西。
那时候，还没啥“函数”这名词，但人家早就看出，数和数之间是有着千丝万缕的联系的。
咱们的祖先那是脑袋动得快，一下子就看懂了函数的“雏形”。
1.2 早期数学家的贡献在我国古代，数学家们对函数的认识并不是一蹴而就的，咱们最早的数学经典《九章算术》里就已经有了函数的影子。
不过，那会儿的数学家们用的术语和我们现在的可大相径庭。
比如说，解方程时，他们就用一些原理，咱们现在回过头来看，这不就有点像函数的味儿了吗？2. 近现代数学家的突破2.1 黎曼的贡献来到近现代，函数这块儿终于迎来了“大牛”。
德国数学家黎曼是个真正的“数学怪才”，他对函数的认识深入骨髓。
他提出了“黎曼面”的概念，打开了函数研究的新天地。
这些新的想法就像是给数学家们打开了一扇窗，让他们能看得更远、更清楚。
2.2 我国数学家的追赶我国的数学家们也不甘示弱，纷纷跟上了这股风潮。
比如，华罗庚大师就对数学函数的理论研究做出了很大的贡献。
华老先生的研究就像是给我们铺了一条通往数学“高峰”的小路，让我们在探究函数的过程中少走了很多弯路。
3. 函数的应用与未来展望3.1 函数在现代社会的应用说到函数，现代社会里可真是离不开它。
无论是计算机程序、经济模型，还是物理学的各种公式，函数都扮演着重要角色。
举个例子，咱们平时用的手机，背后好多的功能都是用函数来计算的，真是“函数无处不在”，这话一点也不夸张。
3.2 未来的无限可能未来，函数的研究还会继续深入。
科学家们就像是登山者一样，不断往上攀登，探索函数的更多奥秘。
谁知道，函数的研究会不会在未来带来更多“惊喜”呢？也许，某一天，我们会发现函数的“终极奥秘”，让数学这座大山显得更加神秘又迷人。
结语总之，函数这东西，看似简单，实则内涵丰富。
无论是古代的数学家，还是现代的科学家们，大家对函数的认识不断深入。
探索小学生对函数的初步认识
探索小学生对函数的初步认识近年来，数学教育在小学阶段的重要性日益凸显，函数作为数学中的重要概念之一，在培养学生数学思维能力和逻辑思维能力方面发挥着关键作用。
本文旨在探索小学生对函数的初步认识，并分析如何在教学中更好地引导学生理解和应用函数。
一、函数的基本概念理解在初步认识函数的过程中，让学生明确函数关系是最为重要的一环。
通过简单的实例，学生可以了解到函数是一个输入值与输出值之间的关系，其中每一个输入值都对应唯一的输出值。
例如，让学生考虑“如果我每天跑步30分钟，那么在跑步的过程中，我的心率是如何变化的？”通过引导学生思考，并进行观察和记录，他们可以发现跑步时间与心率之间的关系。
二、函数图像的初步认识在函数的初步认识中，函数图像是一个重要的视觉工具。
通过观察函数图像，可以帮助学生更加直观地理解函数的变化规律。
在教学中，教师可以通过绘制简单函数的图像，如直线、抛物线等，引导学生观察图像的特点，并与函数的输入输出关系做出关联。
三、函数与实际问题的联系为了帮助学生更好地理解函数与实际生活问题的联系，教师可以提供与学生生活经验相关的例子。
例如，让学生思考“如果我们从家到学校的距离是10公里，我们用时是多少？”通过引导学生建立输入与输出的对应关系，并引导学生使用图像表示函数的变化过程，进一步加深学生对函数的理解。
四、函数的运算与应用除了基本概念的认识，学生还需要掌握函数的运算法则。
在教学中，可以引入简单的函数运算，如函数的加减和乘除运算，帮助学生理解函数的变换规律。
同时，教师可以结合实际问题，让学生应用函数进行问题求解，培养他们发现和解决问题的能力。
五、游戏化学习与函数的结合在初步认识函数的教学中，游戏化学习可以发挥重要作用。
通过设计趣味的数学游戏，可以激发学生的学习兴趣和主动性。
例如，可以设计一个与函数相关的迷宫游戏，在游戏过程中，学生需要根据函数关系的特点来解决各种难题，从而巩固对函数的理解。
六、注意力引导和巩固知识在教学中，教师应该及时发现学生对函数的误解和困惑，并及时进行引导和讲解。
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(二) 什么是一个函数的函数值？怎样求？ 如果自变量x取a时，y的值是 b， 就把b叫做x=a时的函数值。
• 例题：函数y=- x +８中，当x＝2 时，函数值为多少？
解：当x＝2时， y=- x +８=- 2 +８=６
练一练:
当x分别取-1，0，2时，求下列函数 对应的43;2 ) ；
解：(1) 当x＝-1时，y=8x +2=8×(-1) +2=-6 当x＝0时，y=8x +2=8×0 +2=2 当x＝2时，y=8x +2=8×2 +2=18 (2) 当x＝-1时， y=x/(x+2 ) =-1/(-1+2)=-1 当x＝0时， y=x/(x+2 ) =0/(0+2 )=0 当x＝2时,y=x/(x+2 ) =2/(2+2)=1/2
• 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ • 当x=（ 34 ）英寸时，y=（ 86.36 ）厘米； • 当x=（ 26 ）英寸时，y=（66.04 ）厘米； • 当x=（ ）英寸时，y=（ ）厘米； • 当x=…时，y=… 。 • 想一想，本题提到了（ 2）个变量；当x每取一个 值时，都能随之确定1个( y )值对应。 • 5．自主学习课本124页，回答“什么是函数,什么 是自变量。 ” 在同一个变化过程中，有两个变量x和y ，如 果对于变量x的每一个确定的值，都能随之确定一 个y值，我们就说把（ y ）叫做（ x ）的函数，其中 （ x ）叫自变量。
1
5
2
8
3
11
4
14
5
17
……
……
（１）写出l与n的关系式，在这个关系式中， 哪个量是常量，哪个量是变量？ （2）求n=11时的图形周长.
• • • • • •
变式训练题的解题方法： ①把第一个数（5）作为基数 ②8 ＝ 5 +3＝ 5 +3×1 ③11 ＝ 5 +6＝ 5 +3×2 ④14 ＝ 5 +9＝ 5 +3×3 第n个 5 +3×(n－1) = 3n +2
• ４．写出下列函数关系式，指出自变量 与函数.
• 一辆汽车从南京开出，行驶在去上 海的高速公路上，速度为120km／h， 南京至上海约270km，则该汽车离上海 的路程S与行驶时间t 之间的函数关系； S=270-120t, t是自变量，S是t的函数。
•
六、作业
• 习题１ 、２
知识像一艘船 让它载着我们 驶向理想的 ……
点拨：函数应满足的条件： 1.必须有两个变量 2.自变量每取一个值，函数都有唯一的值对应。
• 想一想,你能举出一个函数关系的事例或 公式吗? • 路程Ｓ＝60 t • 正方形的周长C=4 a（ a 为边长） • 正方形的面积Ｓ＝ a 2（ a 为边长） • 一天中，随着时间的推移气温也在变化。
做一做，试试你的身手！
下列变量之间的关系不是函数关系的（ D ） 。 • A.长方形的一条边长是6 ，它的面积S 与另 （Ｓ＝6x） 一边长x 的关系 (S=a2 ) • B.正方形的面积S与边长a的关系 • C.圆的面积S与半径r的关系 （Ｓ＝∏r 2 ） • D.图形的面积与它所在的平面的位置关系 • 提示：先写出已知量与未知量的等量关系
• 所以图形周长l = 3n +2， • ３,２是常量， l , n是变量 • 当n=11时，图形周长l = 3n +2 =3×11 +2 =35
四.
学习小结
1.你学到了哪些知识？
要注意什么问题？
2.在学习的过程 中你有什么体会？
五、 课堂检测站
1.举三个日常生活中遇到的函数关系的例子． 答：(1)____________________________ ； (2)____________________________； (3)____________________________
２.函数y=－3x +7中，当x＝2时，函数值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 ３.如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为
6厘米，那么这个三角形的面积y= 3X 平方厘米；在 这里， X 是自变量, Y 是 X 的函数。 当x=4厘米时，y= 12 平方厘米； 24 平方厘米。 当x=8厘米时，y=
学习目标
• 1、了解函数和函数值的概念,在实例 中分清哪个量是自变量，谁是谁的函 数 。 • 2、对于给定的函数，会求出函数值。 • 3、会从实例中抽象出函数表达式， 培养符号意识和模型思想。
• 一、自学提示：（一）自变量与函数
• • •
• • • •
1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它 合多少厘米？26英寸呢？（注：1英寸=2.54厘米） 2.54×34=86.36（厘米） 2.54×26=66.04（厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换 算为公制是y厘米，试写出y与x之间的关系式？ y=2.54x 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变 量？y的值是由哪个变量的取值确定的？ 2.54是常量，x,y是变量, y的值是由x取值确定的.
• 二、研讨探究（小组合作完成）
自学课本125页 ，了解函数表达式的概念和 例1的解题方法。
例1的解题方法： ① 5×３ ② 5×５ ③ 5×７ ④ 5×９ 第n个 5 ×(2n+1) 所以S= 5 (2n+1)
三、反思拓展:
变式训练题：观察下图，根据表格中的问题回答下 列问题：
梯形个数n
图形周长l