函数的初步认识
初步认识函数
初步认识函数函数是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
函数可以描述不同变量之间的关系，并且在计算机编程中起到了关键的作用。
本文将从数学和计算机两个角度对函数进行初步的认识。
一、数学中的函数在数学中，函数是指一种特殊的映射关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。
简而言之，函数就是将输入映射为输出的规则。
函数通常用符号表示，例如 f(x) = 2x + 1。
在这个例子中，f(x) 是函数的名称，x 是自变量，2x + 1 是根据函数规则计算得到的因变量。
我们可以给函数一个输入值 x，然后计算出对应的输出值。
函数的定义域是指能够被输入到函数中的所有可能的值的集合，而值域是指函数所有可能的输出值的集合。
函数的图像可以通过在平面直角坐标系上绘制函数的输入和输出值的对应关系来表示。
二、函数在计算机科学中的应用在计算机科学中，函数被用来封装一段特定的代码，以便在需要的时候进行调用。
这样可以提高代码的重用性和可读性。
在大多数编程语言中，函数由函数头和函数体组成。
函数头定义函数的名称和参数列表，函数体则包含了函数要执行的具体代码。
通过调用函数并传递参数，我们可以在程序中多次使用该函数，并且每次使用可以传递不同的参数值。
函数可以用于实现各种不同的功能，例如计算数值，处理数据结构，执行算法等。
在编写程序时，我们可以通过编写自定义函数来解决问题，而不需要重复编写相同的代码。
三、函数的特征和分类函数有以下几个重要的特征：1. 唯一性：每个输入值只能对应一个输出值，同一个输入值不能对应多个输出值。
2. 一致性：对于相同的输入值，函数的输出值应该是相同的。
3. 可逆性：有些函数可以通过逆运算得到原来的输入值。
例如，如果一个函数将输入值加倍，逆运算就是将输出值除以2。
函数可以根据其性质和关系进行不同的分类。
例如，线性函数是指函数的图像是一条直线；多项式函数是指函数形式为多项式的函数；三角函数是指函数的输入和输出之间有特定的三角关系。
初中数学函数基本概念总结
初中数学函数基本概念总结函数是数学中的重要概念之一，它在解决实际问题以及进行数学推理中具有重要作用。
初中阶段是学习函数的关键时期，因此掌握函数的基本概念是非常重要的。
本文将对初中数学函数的基本概念进行总结。
一、函数的定义与符号表示函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应于另一个集合中唯一确定的元素。
函数通常用符号f(x)或y来表示，其中x是自变量，y是因变量。
函数可以用集合的形式表示为f={(x,y)|x∈A，y=f(x)}，其中A是自变量的定义域。
二、函数的图象函数的图象是函数在平面直角坐标系中的几何表示。
对于一元函数，图象是在二维平面上的曲线。
对于二元函数，图象则是在三维空间中的曲面。
函数的图象可以通过描点法或者绘制函数的坐标轴上的象限来求得。
三、函数的性质与分类1. 奇偶性：如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则函数称为奇函数；如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)，则函数称为偶函数；如果既不是奇函数也不是偶函数，则函数称为既非奇函数也非偶函数。
2. 单调性：如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是增函数；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，则函数在区间[x1,x2]上是减函数。
如果在一个区间上既有增函数又有减函数，则函数在该区间上是非单调的。
3. 周期性：如果存在常数T>0，使得对于任意x∈D，有f(x+T)=f(x)，则函数是周期函数，T称为函数的周期。
4. 指数函数、对数函数与幂函数：指数函数是以底为常数的幂的形式定义的函数，而对数函数则是指数函数的逆函数。
幂函数是以底为变量的幂的形式定义的函数。
四、函数的运算与复合1. 函数的加减运算：如果对于任意x∈D，有(f+g)(x)=f(x)+g(x)，则函数f+g是函数f和函数g的和函数。
类似地，可以定义函数的差。
2. 函数的乘法运算：如果对于任意x∈D，有(fg)(x)=f(x)g(x)，则函数fg是函数f和函数g的乘积函数。
七年级数学上册《函数的初步认识》教案、教学设计
1.通过实际问题导入，引导学生自主探究函数的定义，培养独立思考和合作交流的方法，提高学生的动手能力。
3.利用信息技术手段，如几何画板等，让学生观察函数图像的变化，培养学生直观想象和空间思维能力。
4.通过分析典型例题，引导学生运用函数知识解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
-设想活动：课堂小结时，让学生分享学习体会，同伴之间相互评价对方的学习成果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在新课导入阶段，我们将通过一个贴近学生生活的实例来激发学生的学习兴趣，并引导学生思考背后的数学原理。
1.情境创设：以学校附近的公交站点的公交车发车时间为例，提出问题：“同学们，你们是否注意过公交车发车的时间间隔？这些时间间隔是否有什么规律？”通过这个问题，让学生意识到现实生活中存在一定的规律性。
（二）教学设想
1.引入生活实例：通过引入与学生生活密切相关的实例，如气温变化、物体运动等，让学生感知函数的存在和意义，激发学生的学习兴趣。
-设想活动：让学生记录一周的气温变化，并将其转化为函数模型，分析气温的日变化规律。
2.概念建构：采用探究式教学法，引导学生从具体实例中发现函数的普遍特征，逐步建构起函数的概念。
（四）课堂练习
在此环节，我们将进行课堂练习，以检验学生对函数知识点的掌握情况。
1.练习设计：设计具有代表性的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，涵盖函数的定义、表示方法和性质等方面。
2.学生练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解答过程和答案。
3.评价反馈：对学生的练习结果进行评价，及时反馈，纠正错误，巩固知识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我们将组织学生进行小组讨论，以增强他们的合作能力和思维能力。
青岛版(新)数学七年级上册 5.5函数的初步认识
青岛版（新）数学七年级上册 5.5函数的初步认识1. 什么是函数在数学上，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
简单来说，函数就是输入一个值，通过某种规则运算后输出一个值。
数学中常用的表示函数的方式是用一个小写的字母表示函数，例如 f(x)，其中 f 就是函数的名称，x 表示输入的值。
在数学中，我们通常将输入的值称为自变量，输出的值称为因变量。
2. 函数的形式描述函数可以通过不同的形式来进行描述，常见的有以下几种：2.1. 函数的图像描述函数的图像描述是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
在二维坐标系中，自变量通常用 x 表示，因变量用 y 表示。
我们将所有的自变量与因变量的对应关系用线段连接起来，就得到了函数的图像。
例如，我们有一个函数 f(x) = x^2，可以通过绘制图像来表示这个函数的关系。
图像是一个开口向上的抛物线。
2.2. 函数的公式描述函数也可以用公式来表示，通过给出函数的计算规则，我们可以根据自变量的值来计算出因变量的值。
例如，函数 f(x) = 2x + 1 就是一个通过公式进行描述的函数。
我们可以根据给定的 x 值，通过计算 2x + 1 的结果来获取函数的值。
2.3. 函数的表格描述除了图像和公式，函数还可以通过表格来进行描述。
我们将自变量的取值和相应的函数值放在一张表格中，以展示函数的关系。
例如，下表展示了函数 f(x) = x^2 在自变量 x 取不同值时的函数值：x f(x)-24-11001124表格的每一行表示一个点，两列分别是自变量和因变量的取值。
3. 函数的性质函数有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
3.1. 定义域和值域定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
对于函数 f(x) = x^2，其定义域是所有实数，因为任何实数都可以作为自变量。
而值域是所有大于等于 0 的实数，因为平方得到的结果总是大于等于 0。
高中函数基础知识
高中函数基础知识引言函数是高中数学中非常重要的一个概念，它是描述两个变量之间关系的一种工具。
高中数学中的函数主要分为线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
在本篇文章中，我们将介绍高中函数的基础知识，包括函数的定义、性质以及常见函数的图像和变换等。
一、函数的定义函数是一个集合，它由两个非空集合的有序对组成。
通常我们用字母 f, g, h 等来表示函数，如 f(x), g(x), h(x)。
其中，x 称为自变量，f(x) 称为因变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数可以用一个或多个方程或不等式来表示。
函数的定义有以下几个要点： - 函数必须有定义域，即自变量的取值范围。
- 函数的定义域是实数集的一个子集。
- 函数的值域是实数集或实数集的子集。
二、函数的性质高中数学中的函数具有一些特殊的性质，下面介绍几个常见的性质：1. 奇偶性如果对于函数 f(x)，它满足 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数；如果满足 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 是奇函数。
函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。
如果对于函数 f(x) 的任意两个不同的自变量 x1 和 x2，当 x1<x2 时，有f(x1)<f(x2) 则函数 f(x) 是增函数；反之，如果当 x1<x2 时，有 f(x1)>f(x2)，则函数 f(x) 是减函数。
3. 对称轴与顶点对于二次函数 f(x) = ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是常数。
二次函数的对称轴是确定顶点的直线。
对称轴的表达式为 x = -b/2a。
顶点的坐标可以通过将 x = -b/2a代入 f(x) 中求得。
4. 零点与平移函数 f(x) = 0 的解称为函数的零点。
对于函数 f(x) = a(x-h)^2+k，其中 a、h、k是常数，如果 h>0，则表示向右平移 h 个单位；如果 h<0，则表示向左平移 h 个单位；如果 k>0，则表示向上平移 k 个单位；如果 k<0，则表示向下平移 k 个单位。
函数的初步认识
•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。
在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。
单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。
函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。
函数在某一点处可导，即该点的切线存在。
函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。
定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。
性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。
图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。
市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。
投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。
函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。
我国数学家对函数的认识
我国数学家对函数的认识1. 函数的初步认识1.1 函数的起源说起函数，那真是数学里头的一个“老大哥”。
古代数学家们在研究数的关系时，早就发现了类似于函数的东西。
那时候，还没啥“函数”这名词，但人家早就看出，数和数之间是有着千丝万缕的联系的。
咱们的祖先那是脑袋动得快，一下子就看懂了函数的“雏形”。
1.2 早期数学家的贡献在我国古代，数学家们对函数的认识并不是一蹴而就的，咱们最早的数学经典《九章算术》里就已经有了函数的影子。
不过，那会儿的数学家们用的术语和我们现在的可大相径庭。
比如说，解方程时，他们就用一些原理，咱们现在回过头来看，这不就有点像函数的味儿了吗？2. 近现代数学家的突破2.1 黎曼的贡献来到近现代，函数这块儿终于迎来了“大牛”。
德国数学家黎曼是个真正的“数学怪才”，他对函数的认识深入骨髓。
他提出了“黎曼面”的概念，打开了函数研究的新天地。
这些新的想法就像是给数学家们打开了一扇窗，让他们能看得更远、更清楚。
2.2 我国数学家的追赶我国的数学家们也不甘示弱，纷纷跟上了这股风潮。
比如，华罗庚大师就对数学函数的理论研究做出了很大的贡献。
华老先生的研究就像是给我们铺了一条通往数学“高峰”的小路，让我们在探究函数的过程中少走了很多弯路。
3. 函数的应用与未来展望3.1 函数在现代社会的应用说到函数，现代社会里可真是离不开它。
无论是计算机程序、经济模型，还是物理学的各种公式，函数都扮演着重要角色。
举个例子，咱们平时用的手机，背后好多的功能都是用函数来计算的，真是“函数无处不在”，这话一点也不夸张。
3.2 未来的无限可能未来，函数的研究还会继续深入。
科学家们就像是登山者一样，不断往上攀登，探索函数的更多奥秘。
谁知道，函数的研究会不会在未来带来更多“惊喜”呢？也许，某一天，我们会发现函数的“终极奥秘”，让数学这座大山显得更加神秘又迷人。
结语总之，函数这东西，看似简单，实则内涵丰富。
无论是古代的数学家，还是现代的科学家们，大家对函数的认识不断深入。
高中数学函数基础知识
高中数学函数基础知识高中数学中，函数是一个非常重要的概念，贯穿于整个数学学科的各个领域中。
掌握函数基础知识，对于高中学生来说是至关重要的。
本文将系统地介绍高中数学函数的基础知识，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，即对每一个定义域中的元素，有且只有一个对应的值。
通俗地讲，函数就是一种“输入-输出”的关系，每个输入对应唯一的输出。
数学上用符号f(x) 来表示函数，其中x 表示自变量，f(x) 表示因变量。
形式化地定义，若对于每个 x∈X，存在唯一的 y∈Y，使得对于每个 x，都有唯一的 y 与之对应，则称 f 为定义在 X 上的函数，其中 X 为定义域，Y 为值域。
2. 函数的图象与性质函数的图象是函数 f(x) 在直角坐标系中的几何表示。
通过绘制函数的图象，我们可以直观地看出函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
对于一元函数 f(x)，其图象通常是一条曲线或者曲线段。
通过观察函数的图象，我们可以更深入地理解函数的性质。
3. 函数的表示方法函数可以通过各种形式进行表示，常见的表示方法包括解析式表示、列表法、集合法等。
其中，解析式表示是最常见的形式，如 f(x) = x²表示一个函数关系。
此外，函数还可以通过函数图像、函数表格等形式进行表示，以便更加清晰地展示函数的性质。
4. 基本函数在高中数学中，常见的基本函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些基本函数在数学中起着重要的作用，通过熟练掌握这些基本函数的性质和图象，可以更好地理解和运用函数的相关知识。
5. 函数的运算函数之间可以进行各种运算，如加法、减法、乘法、除法、复合运算等。
通过函数的运算，可以得到新的函数，对于复杂的函数关系可以通过适当的运算进行简化和分解，便于进行进一步的分析和求解。
6. 函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，如描述物体的运动规律、经济学中的供求关系、生物学中的生长模型等。
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梯形个数
n
图形周长l
1 5
2 8
3 11
4 14
5 17
…… ……
1.写出l与n的关系式，在这个关系式中，哪个量是常量，哪个 量是变量？
2.求n=11时的图形周长.
对应训练：
1. 课本练习题1，2题 2.习题5.5B组第2题。
1.你学到了哪些知识？要
注意什么问题？
2.在学习的过程 中你
有什么体会？
点拨：1.必须有两个变量
2.自变量每取一个值，函数都有唯一的值对应。
典例剖析
例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积 s(m2)与一边长l(m)之间的关系式。并指出式中的常量与 变量，并判断是否是函数关系式，若是，指出 自变量与 函数。
说明：解决此类问题，关键是了解常量与变量，自变量 与函数的意义。
新知探究（一）自变量与函数
1.自学要求： 自主学习课本116页，完成下列问题： (1) 什么是函数？什么是自变量？ (2) 什么是一个函数的函数值？怎样求？
预习效果检测
①下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A.矩形的一条边长是6 cm，它的面积S cm与另一边长x cm的关系 B.正方形的面积与周长的关系 C.圆的面积与周长的关系 D.某图形的面积与它所在的平面的位置关系 ②一般地，如果在一个______________中，有两个________， 例如x 和y，对于x的每—个值，y都有______________与之对应，我们就说x是 ________________，y是________________，此时也称y是x的__________ 通过以上的练习，你一定知道函数和自变量了？和同桌交流一下 吧，找出它们之间的联系与区别.
对应训练： 1.每种商品的单价是每只5元，它的销售额y（元）与所授 商品数量x（只）之间的关系式是（ ），其中（ ） 是（ ）的函数。
2.如图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之 间的水平距离，h表示物体的高度．该图中的变量是（ ） 与（ ），其中（ ）是自变量（ ）的函数．
3.课本练习题3题。
3.写出下列函数关系式，指出自变量与函数. 一辆汽车从南京开出，行驶在去上海的高速公路上，速度为120km ／h，南京至上海约270km，则该汽车离上海的路程s与行驶时间t之间的 函数关系； 4.印刷一张矩形的张贴广告(如图17—5)，它的印刷面积为 ，上下空白各 1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下的长是x dm，四周空白面 积为S ，求S与x的函数关系式，并求出当x＝8dm时，S的值．
半径（cm 1 1.5 2 2.6 3.2 ） 由此可以看出，圆的半径越大，面积就_________. 圆面积
（ cm2）
学习目标 1.结合实例，知道自变量与函数的意义，能够区分自变量与函数. 2.对于给定的函数，能根据自变量的值求出函数的值. 【学习重点与难点】 重点：对于给定的函数，能根据自变量的值求出函数的值. 难点：正确区分自变量与函数.
探究（二）利用给定的函数，能根据自变量的值求出函数的 值. 自学要求：自学课本117页的内容，弄清以下问题： 1.什么是函数值？ 2.如何求函数值？ 3.例1中s的与n分别代表什么？它们之间的函数关系式是 什么？ 4.在序号为100的图形中，100在函数关系式中代表什么？
例1.变式题：观察下图，根据表格中的问题回答下列问题：
课堂检测站
1.举三个日常生活中遇到的函数关系的例子． 答：(1)___________________________________ _______； (2)___________________________________________； (3)___________________________________________． 2.函数y=-3x +7中，当x＝2时，函数值为 ( A．3 B．2 C．1 D．0 )
第 5章
பைடு நூலகம்
代数式与函数的初步认识
【知识回顾】
1.正方形的周长c与边长a的关系式为_____________， 其中常量是________________， 变量是___________________. 2.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下 列关系：S=__________. 利用这个关系式，试求出半径1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、 3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：