线代总结

充分必要条件是系数矩 阵的秩R( A) n.
定理 n元非齐次线性方程组Am n x b有解的充
分必要条件是系数矩阵 的秩等于增广矩阵 A B ( A, b )的秩.
线性方程组的解法
齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解． 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解．
p1 p2 pn
列取和.
余子式与代数余子式
在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i行和第 j 列划去后，留下来的n 1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij ；记 Aij ( 1)
i j
M ij ,
Aij 叫做元素a ij 的代数余子式.
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , 如果线性方程组 a n1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n . 的系数行列式 D 0, 那么它有唯一解 Dj , j 1,2, , n. xj D 其中 D（j 1,2, , n）是把系数行列式D中第j列 j 换成常数项b1 , b２， b n 所得到的行列式 .
k 1 s
( i 1,2, , m; j 1,2, n), 记作 C AB.
运算规律
( AB )C A( BC );
( AB ) (A) B A(B ), (其中为数);
A( B C ) AB AC , ( B C ) A BA CA;
注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形．
求逆矩阵的初等变换法
要求可逆矩阵A的逆矩阵, 只需对分块矩阵 ( A E )施行初等行变换 当把A变成E时, 原来的E就 , 变成了 A 1 .
A 或者对分块矩阵 施行初等列变换 当把A , E 变成E时, 原来的E就变成了A 1 .
把上面右端行列式第 行加到第 行，再从第 行 2 1 1
D４ (a b c d )( a b c d ) 1 d c cd 1 ac bd 0 bc, ad
再将第2列减去第1列，得 D 4 (a b c d )( a b c d )
阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q , 使得PAQ B .
例１
求下列矩阵的秩
2 0 0 1 1 6 2 4 10 0 A . 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34
解 对 A 施行初等行变换化为阶梯形矩阵
2 0 0 1 1 6 2 4 10 0 A 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34
r i k (c i k )
r i k r j (c i k c j )
行阶梯形矩阵
经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元． 1 1 2 1 4 例如 0 1 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
行最简形矩阵
经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0． 例如
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
0 1 0
矩阵的标准形
对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0． 例如
且所有r 1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A , 的秩, 记作R( A).并规定零矩阵的秩等于 . 0
矩阵秩的性质及定理
如果A中有一个非零的 阶子式, 则R( A) r; r 如果A中所有r 1阶子式都为零, 则R( A) r;
R( AT ) R( A);
设A (a ij ), 记 A ( a ij ), A称为矩阵A的 负矩阵, 从而有A ( A) O , 并规定 A B A ( B ).
数乘矩阵
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为 A A ( a ij ).
运算规律
( ) A ( A); ( ) A A A;
1
0
0 bc ,
d c ad
cd bc ad 按第1行展开，得 ad D４ (a b c d )(a b c d ) bc
(a b c d )(a b c d ) [(a d ) (b c ) ]
2 2
bc ad
相关定理及性质
方阵A可逆的充分必要条件是A 0. A 若矩阵A可逆, 则 A 1 . A 1 1 1 1 1 ( A ) A; (A) A ( 0);
(A ) (A ) .
1
T
T 1
若同阶方阵A与B都可逆, 那么AB也可逆, 且 ( AB ) B 1 A 1 .
E m Amn Amn Amn E n .
方阵的行列式
由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方 , 阵A的行列式, 记作 A 或 det A.
运算规律
设为数, A, B为n阶方阵, 则
A n A ;
AB A B .
伴随矩阵
行列式 A 的各元素的代数余子式Aij 所构成的 方阵 A11 A12 A A21 An1 A22 An 2 A2 n Ann
A1 n 叫做方阵A的伴随矩阵.
伴随矩阵具有重要性质 A A A A A E . :
逆矩阵
定义 设A为n阶方阵, 如果存在矩阵B , 使
AB BA E 则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的 、满 秩的), 且矩阵B称为A的逆矩阵.
若A有逆矩阵, 则A的逆矩阵是唯一的 A的逆 , 矩阵记作 A 1 .
定理 若A ~ B, 则R( A) R( B );
行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．
若A为n阶可逆矩阵, 则
(1) ( 2) ( 3) ( 4)
A的最高阶非零子式为A ; R( A) n; A的标准形为单位矩阵 ; E A ~ E.
线性方程组有解判别定理
定理 n元齐次线性方程组Am n x 0有非零解的
1
0
0
0
b ab d b cb , D4 ( a b c d ) c d c ac bc d cd bd ad
按第1行展开，得
ab d b
cb bc. ad
D4 ( a b c d ) d c a c cd bd
中提取公因子a b c d，得
例４
求下述矩阵的逆矩阵．
2 1 0 A 1 1 2 1 1 1
( A B ) A B .
矩阵相乘
设A (a ij )m s , B (b ij ) s n , 规定A与B的乘积 是一个m n矩阵C (c ij )m n , 其中 c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
(a b c d )(a b c d ) (a b c d )(a b c d )
矩阵相加
设A (a ij ) m n , B (b ij ) m n 为两个同型矩阵 , 矩阵加法定义为A B (a ij b ij ) m n , A B称为 A与B的和. 交换律 A B B A 结合律 ( A B ) C A ( B C )
设n阶矩阵 A 的伴随矩阵为 A ，证明：
1 若 A 0, 则 A 0;

2 A A n1 .
三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换．
初 等 变 换 逆 变 换
r i r j (c i c j )
r i r j (c i c j )
1 1 r i (c i ) k k r i ( k ) r j (c i ( k ) c j )
1
1 设A为n阶方阵, A 为其伴随矩阵 det A , 则 , 3

1 A 15A 4
1
6. 若n阶矩阵A满足方程A2 2 A 3 E 0, 则 A1
3 0 0 8. 设A 0 1 0 , 则An 0 0 4
1 0 ~ 0 0
2 6
0 2
0 4
9 3 6 21 7 14
10 15 35
1
1 0 ~ 0 0
2 0 0 1 3 1 2 5 B, 0 0 0 0 0 0 0 0
因此, R( A) R( B ) 2.
1 0 0 0
4 1 c 4 c3 1 1 0 3 c 4 c 1 c 2 0 0 0 1 3 4 3 3 0 c 5 c 1 c 2 c 3 0 0 0 0 0
0 1 0
~
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
线性代数
总结
n阶行列式的定义
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D an1 an 2 ann 1 a p1 1ap 2 p n