12.3椭圆的标准方程
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
第十二章第三节椭圆的标准方程
§12.3椭圆的标准方程1、 已知两点()()3,0,3,0A B -,若10PA PB +=，那么点P 的轨迹方程是2、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为 ．3、F 1、F 2 为椭圆192522=+x y 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B += ，则AB = _____________．4、方程222123x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 三、典型例题例1、已知定点12(4,0)(4,0)F F -，和动点(,)M x y 求满足122(0)MF MF aa +=>，的动点M 的轨迹及其方程。
例2、已知圆055622=--+x y x ，动圆M 经过定点)0,3(-A ，且与已知圆相内切，求圆心M 的轨迹方程。
例3、已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；四、课后作业（一）基础题：1、已知1a b ==，焦点在y 轴上椭圆的标准方程为_____________2、若椭圆22136x y m +=的焦点在坐标轴上，焦距为6，则实数m 的值为__________ 3、的值为的一个焦点，则实数）为椭圆，若（k ky kx 134-022=+ 4、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x 5、已知在椭圆中，10,4a c a c +=-=，求椭圆的标准方程。
6、已知P 点在焦点为1F 、2F 的椭圆2214520x y +=上，若021=⋅F F ，求12PF PF ∙的值。
椭圆及其标准方程教学设计
课题：椭圆的标准方程
崇明中学吴昶剑
一．教学目标
1．初步掌握椭圆定义及其标准方程的概念，理解椭圆标准方程的推导，掌握标准方程的形式。
2．巩固求曲线方程的步骤与方法，进一步熟练用代数方法讨论几何图形的性质，学会用运动变化的观点研究问题，培养学生化归的意识和转化的能力；体会数学知识的和谐美和几何图形的对称美。
3．通过对推导思路的探索，优化学生的思维品质，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神。
二．教学重点、难点
椭圆的定义的理解及其标准方程的推导。
三．教材分析
本节课教学内容是上海教育出版社二期课改新教材高二第二学期12.3节第一课时：椭圆的标准方程。
在此之前，学生已经学习了直线和圆的方程，对曲线与方程的概念有所了解，同时学习了求简单曲线的方程和利用曲线方程的理论研究曲线集合性质的初步知识，由于圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，因此本节教材具有基础而又重要的地位，学好本节内容对进一步理解曲线和方程的概念，深化数形结合、类比的数学思想以及将来研究双曲线和抛物线都有着重要的指导作用。
四．学情分析
经过直线和圆的学习后，高二学生已经具有一定的创造思维能力，在新疆内高班这个特殊的班级当中，学生水平层次差异较大，如果易于理解和连贯的给出椭圆的定义及标准方程的推导过程，还要立足于充分调动学生的主观能动性，创造便于观察和思考的几何环境，给学生发表见解和表现才华的机会，在新课的讲解过程中能充分满足学优生的创造愿望，又要充分吸引学困生加入到新知识的探究过程中来。
【提出问题】。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案
12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程； （2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。
三、教学辅助工具：PPT 课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。
四、教学过程：（一）创设情境，引入课题 1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。
2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？ 教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。
通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。
（二）实验探究、形成概念1、实验探究动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于21,F F 两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 12MF MF +的和是否变化？ (2) 12MF MF +与12F F 的大小关系是？M2F1F(3)若绳长与两定点12F F 、的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点12F F 、之间的距离吗？ 设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲； (2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。
2、形成概念 教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。
12.3椭圆的标准方程
上海市松江一中 曹素玲
椭圆的定义：
• 平面内到两个定点F1、F2的距离和等于常数 2a
（ 2a F1F2 ）的点的轨迹。
这两个定点 F1、F2叫做椭圆的焦点， 两个焦点的距离 F1F2 叫做焦距。通常用2c 来表示。
• 椭圆的生成
生活中 的椭圆
星系中的椭圆
——仙女座星系
课堂小结
课后作业
• A：课本46页，1-5 • B：已知定点 F1(4,0)、F2 (4,0)和动点M，求满足
MF1 MF2 2a(a 0) 的动点M的轨迹及其方程。 • C: 对于方程 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a的特点，
你还能想到其它的化简方法吗？
变式1： 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1 (0,-2)和 F（2 0,2），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于8，求 椭圆的标准方程。
变式2：已知椭圆的焦距为4，椭圆上一点P到两焦点 距离的和等于8，求椭圆的标准方程。
变式3：已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1(-2,0)和 F2 (2,0)，且椭圆经过点M（2,3），求椭圆的标准方程。
不同点：焦点在x轴的椭圆 x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
例1、判断下列椭圆的焦点位置，并说出焦点 坐标
（1） x2 y2 1 25 16
（2） y 2 x2 1 25 9
（3） x2 y2 1 9 16
例:已知椭圆的两个焦点坐标分别是 F1(-2,0)和 F2(2,0)， 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于8，求椭圆的标准 方程。
y
y
M
F2 M
F1 o F2 x
x2 a2
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准公式可以通过几何性质和代数方程两种方式来描述。
下面我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看椭圆的几何性质。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴，焦距为2c。
点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，根据勾股定理可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
其次，我们来看椭圆的代数方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
根据椭圆的定义可得。
PF1+PF2=2a。
根据点到定点的距离公式可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
椭圆的标准方程中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，a>b。
椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆的形状为椭圆；当e>1时，椭圆的形状为双曲线。
椭圆的标准方程可以通过平移、旋转和缩放来得到不同形式的椭圆方程。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地求得椭圆的焦点、离心率、焦距、长轴、短轴等重要参数，从而更好地理解和研究椭圆的性质和特点。
总之，椭圆的标准公式是描述椭圆几何性质和代数方程的重要工具，通过标准公式我们可以更加深入地理解椭圆的形状、性质和特点，为进一步研究椭圆提供了重要的数学基础。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义和标准方程 教案
通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解。
标准方程
+ =1
1
图形
a,b,c关系
焦点坐标
焦点位置
在x轴上
在y轴上
总结椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足 。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
小结：求标准方程一般步骤：
1、定位：确定焦点位置
2、定量：确定a、b、c值
四、知识应用
例1:已知椭圆的焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点 ,求椭圆的标准方程.
思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点 到两个焦点 、 的距离之和为常数2 ）求出 值，再结合已知条件和 、 、 间的关系求出 的值，进而写出标准方程；
练习2：判断下列椭圆的焦点位置，求出焦点坐标和焦距？
1、 2、 3、 4、
例：求适合下列条件的椭圆标准方程
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；2.b=1， ，焦点在y轴上
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 4、焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点
小结：求标准方程一般步骤：
四、课堂检测：求适合下列条件的椭圆标准方程
学生思考，学生代表回答问题
启发学生建系方法，建立适当的直角坐标系。
探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案
带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。教学时，要注意说明这类方程的化简方法。
教师板书
学生填表记忆
教师引导学生思考、练习
学生反思本节课重点是否掌握
12.3椭圆的标准方程
12.3 椭圆的标准方程一、典型例题 例题1已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离和为10，求它的标准方程.4,5,62,102:====b a c a 则解：由题意得所求标准方程为：11625116252222=+=+xyyx或例题2求焦点在x 轴上，焦距为62，且过点)2,3(的椭圆的标准方程. 解：法一、焦点为F 1),0,6(-F 2),0,6(c 2=6 +++=22)2()63(2a 22)2()63(+-则=24a 36即92=a所求标准方程为：13922=+yx法二、c 2=6，设椭圆的标准方程为162222=-+a yax点)2,3(代入方程得162322=-+a a解得92=a所求标准方程为：13922=+yx例题3已知定点1F （-4，0）、2F （4，0）和动点),(y x M ，求满足)0(221>=+a a MF MF 的动点M 的轨迹及其方程.解：为焦点的椭圆的轨迹为以时，动点214F F M a >，方程为1162222=-+a yax ；)44(0421≤≤-==x y F F M a ：为端点的线段，方程为的轨迹为以时，动点无轨迹时，动点M a 4<。
例题4已知椭圆12222=+by ax )0(>>b a ，P 为椭圆上任一点，θ=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积.解：21PF F ∆中，PF 12+ PF 22-2 PF 1 PF 2cos θ= F 1F 22即()-22a 2 PF 1 PF 2-2 PF 1 PF 2cos θ=(2c)2PF 1 PF 2=θθcos 12cos 122222+=+-bc a=∆21PF F S 21 PF 1 PF 2sin θ=21θcos 122+bsin θ=2tan 2θb例题5椭圆192522=+yx上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，求ON 的长. 解：ON =212MF =4二、变式训练1.已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程. 解：1716116252222=+=+xyyx或2．已知：椭圆经过点A(2, 3),B(-3, 27)，求它的标准方程.解：设AX 2+BY 2=1141622=+yx3．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为510-的椭圆的标准方程.解：（等腰直角三角形）151022=+yx4．在椭圆192522=+yx上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.解：F 1(-4,0),F 2（4，0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=++⇒⇒⎩⎨⎧==+64)4(8=PF4)4(2=PF 4/PF PF 10PF PF 2222211221y x y x P(-)473,415±5．在椭圆 14922=+yx上动点P(x,y)与定点M(m,0)(0<m<3)的距离的最小值为1，求m.解：PM 2=（x-m ）2+y 2=（x-m ）2+)91(42x-=95x 2-2mx+m 2+4=95(x-)59m2+4-254m0<m<3即0<m 59<5271）0<m 593≤即0<m ≤35时，PM 2min =4-254m =1( x=59m )可得m=±215（舍）2) 3<m 59<527即35<m<3时，PM 2min = m 2-6m+9=1 ( x=3) 可得m=2(m=4舍)6．已知圆()12:221=++y x C 和圆()492:222=+-y x C ，动圆P 与圆1C 外切，同时与圆2C 相内切, (1)求动圆圆心P 的轨迹方程; （2）过点（－2，0）作直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且线段MN 的中点到y 轴的距离为54，求直线l 的方程.解：（1） P 1C =1+r, PC 2=7-r 即P 1C + PC 2=8圆心P 的轨迹方程为1121622=+yx（2）设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2)0481616)34()2(1121622222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k k x k y yx ⇒21x x +=58=341622+k k⇒k 2=22⇒k=±22所求直线l 的方程为y=±22(x+2)。
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<1>对于给定条件,是否只有一种建系方法? <2>不推导,你能写出另一种椭圆的标准方程吗? <3>如何由方程,辨别两种不同的建系方法呢? y y
P
F2
F1
o
F2
x
o
F1
x
P
x a
2 2
y b
2 2
1 a b 0
y a
2 2
x b
2 2
1 a b 0
练习：已知椭圆的两个 且关于原点对称，焦距 焦点都在坐标轴上， 为 6，该椭圆经过
点 ( 0 , 4 )，求它的标准方程。
定义
椭圆的标准方程
x a
y a
2 2
y b
2 2
1 a b 0
焦点在x轴上
2 2
x b
2 2
1 a b 0
2
焦点在y轴上
其中 a , b , c 满足 c
a b
2
2
例题讲解
例1：已知，椭圆的中心在原点，焦距为6， 椭圆上的点到两焦点的和为10，求它的标 准方程。
当| MF 1
| | MF 2 | | F1 F 2 ,|则P点的轨迹不存在.
新课讲授
• 2.椭圆的标准方程
F 例:已知点 F 、 为椭圆两个焦点,P为椭圆上任意一 点,且| F F | 2 c ，| PF | | PF | 2 a ,其中 a c 0 ,求椭圆 方程 一般步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合 (3) 写出代数方程 (4) 化简方程 (5)证明
例题讲解
例 2：求焦点在 x 轴上，焦距为 2 6，且过点
（ 3， 2）的椭圆的标准方程。
例题讲解
例 3：已知定点
F1 ( 4 , 0 ), F（ 4，）和动点 0 2
M ( x , y ), 求满足 MF 1 MF 2 2 a ( a 0 ) 的动点 M 的轨迹及其方程。
练习
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于 常数 2 a ( 2 a F F ) 点的轨迹叫做椭圆。
1 2
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点的距离 F F 叫做椭圆MF 2 当| MF 1
| | F F | ，则P点的轨迹为椭圆. 1 2
| | MF 2 | | F1 F 2 |,则P点的轨迹为线段.
引入
情境1.生活中,你见过哪些类似椭圆的图形或物体?
情境2.观察倾斜的圆柱形水杯的水面边界线， 并从中抽象出数学模型. 情境3.观看天体运行的轨道图片
问题
将一条细绳的两端分别固定在平面内 的两个定点 F2、 上,用笔尖将细绳拉紧并 F1 运动, 在纸上你得到了怎样的图形?
定义
1.椭圆的定义