椭圆规范标准方程
椭圆定义及标准方程
椭圆定义及标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，具有许多独特的性质和特点。
在数学和几何学中，椭圆是一个重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
本文将介绍椭圆的定义及其标准方程，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，让我们来了解一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2被称为焦点，常数2a被称为椭圆的主轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度之比，即e=c/a，其中c为焦距。
当e小于1时，椭圆是一个闭合曲线，当e等于1时，椭圆是一个半开曲线，当e大于1时，椭圆是一个开曲线。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程的几何意义，在椭圆上任意一点P(x, y)，到两个焦点的距离之和等于常数2a。
根据勾股定理，我们可以得出x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1这一标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的方程形式，如参数方程和极坐标方程。
参数方程可以表示为x = acosθ，y = bsinθ，其中θ为参数，a和b同样为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
极坐标方程可以表示为r = a(1ecosθ)，其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
在实际应用中，椭圆有着广泛的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道往往是椭圆形的；在工程学中，椭圆的性质被广泛应用于光学、天线设计等领域；在艺术和建筑中，椭圆的形状被广泛运用于设计中。
因此，掌握椭圆的定义及其标准方程对于理解和应用这一概念都具有重要意义。
总之，椭圆是一个重要的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
通过了解椭圆的定义及其标准方程，我们可以更好地理解和应用这一概念。
希望本文能够帮助读者对椭圆有一个更清晰的认识，并在相关领域的学习和工作中有所帮助。
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求椭圆是平面上一个点到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在解析几何中，椭圆是一种常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。
要求椭圆的标准方程，我们需要了解椭圆的定义和性质，并通过推导来得到其标准方程。
首先，我们来看一下椭圆的定义。
设椭圆的两个焦点分别为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
根据椭圆的定义可知，对于椭圆上任意一点P(x, y)，它到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
接下来，我们来推导椭圆的标准方程。
假设椭圆的中心为原点O(0, 0)，根据椭圆的定义可知，两个焦点的横坐标分别为c和-c，纵坐标均为0。
设椭圆上一点P(x, y)，则根据点到焦点的距离公式可得：√((x-c)² + y²) + √((x+c)² + y²) = 2a。
整理得：√((x-c)² + y²) = 2a √((x+c)² + y²)。
两边平方得：(x-c)² + y² = (2a √((x+c)² + y²))²。
展开得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) +(x+c)² + y²。
化简得：x² 2cx + c² + y² = 4a² 4a√((x+c)² + y²) + x² + 2cx + c² + y²。
消去相同的项得：4cx = 4a² 4a√((x+c)² + y²)。
整理得：cx = a² a√((x+c)² + y²)。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。
它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。
本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。
椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。
椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。
椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。
2.椭圆的中心是两个焦点的中点。
3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。
4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。
离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。
5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。
椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。
假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。
则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。
椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。
标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。
假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。
则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。
由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。
根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。
由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。
椭圆标准方程推导过程
椭圆标准方程推导过程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0),F2(c,0)（c＜a),点P(x,y),则PF1＋PF2=2a，即√((x＋c)²＋y²)＋√((x－c)²＋y²)=2a，整理得(x＋c)²＋y²＋(x－c)²＋y²＋2√((x＋c)²＋y²)√((x－c)²＋y²)=4a ²，即2x²＋2y²＋2√((x²＋2cx＋c²)＋y²)√((x²－2cx＋c²)＋2y²)=4a²，整理得x²＋y²＋√((x²＋y²)＋2cx＋c²)√((x²＋y²)－2cx＋c²)=2a²，整理得(x²＋y²)²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，即x²＋y²＋2a²cx＋a⁴＝a²(x²＋y²)，整理得x²(a²－c²)＋y²a ²＝a²(x²＋y²)，即(x²/a²)＋(y²/b²)＝1，其中b²=a²－c²。
椭圆的标准方程为(x²/a²)＋(y²/b²)＝1。
其中，a为椭圆长半轴长，b为椭圆短半轴长，c为椭圆的焦点之间的距离。
推导过程如上所示，通过数学推导可以得到椭圆的标准方程。
这个标准方程的形式简洁明了，能够直观地反映出椭圆的形状特征。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF=，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。
与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。
5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =-----精心整理，希望对您有所帮助!。
标准椭圆方程
标准椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学和工程领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论椭圆的标准方程及其性质，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它表示焦点到椭圆中心的距离与长轴长度的比值。
根据离心率的不同取值，椭圆可以分为圆（e=0）、椭圆（0<e<1）和双曲线（e>1）三种情况。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的性质：1. 椭圆的中心在坐标系的原点，即(h,k)=(0,0)。
2. 椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆关于x轴和y轴对称。
4. 离心率e的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的焦点到中心的距离为c=ae。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来确定椭圆的标准方程。
例如，已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过简单的推导得出椭圆的标准方程。
又如，已知椭圆上的两个点和离心率，我们也可以利用这些信息来确定椭圆的标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的参数方程和极坐标方程，它们在不同的问题中有着重要的应用。
我们可以根据具体的问题要求选择合适的方程形式来描述椭圆。
最后，让我们来总结一下本文的内容。
我们首先介绍了椭圆的定义和性质，然后讨论了椭圆的标准方程及其推导方法，最后提到了椭圆的其他方程形式。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的相关知识。
总之，椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和工程领域有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及其性质，我们可以更好地理解和运用椭圆，为实际问题的解决提供帮助。
椭圆的标准方程及其性质
a2
c
叫做椭圆相对于焦点F(c，0) ， 叫做椭圆相对于焦点
常数e= 叫做椭圆的离心率 准线 常数 a 叫做椭圆的离心率. 的准线.常数 c (0<e<1)叫做椭圆的离心率
基础训练
标准方程 图 形 范 围 长轴长 短轴长
填写下面表格
5x2＋16y2＝80
4x2＋y2＝16
顶点坐标 离心率 准线方程
到定点F(c，0)的距离和它到定直线l: x= c ， 的距离和它到定直线 的距离和它到定直线l 到定点 的距离的比是常数e= 的距离的比是常数 c (0<e<1)的点的轨迹 的点的轨迹
a
a2
叫做椭圆. 叫做椭圆 其中定点F(c，0)叫做椭圆的焦点， ， 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦点 其中定点 定直线l 定直线l: x=
变式训练
1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分， 1.若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分，则其 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等分 1 离心率为 ； 3
2. 若椭圆 k + 8 + =1的离心率为 的离心率为 9
x
2
y
2
5 − 或 4 0.5，则k=_____ ， 4
变式训练
《五羊高考》 P209 五羊高考》 例题2 例题
椭圆的标准方程 与 几何性质
一、椭圆的标准方程与性质： 椭圆的标准方程与性质：
标准方程 图 形
x2 y2 + 2 =1 2 a b x2 y2 + 2 =1 2 b a
范 围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 长轴长 短轴长 焦 距 离心率
成轴对称；关于_______ _______成中心对称 关于_____、_____成轴对称；关于_______成中心对称
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆标准方程【知识点】知识点一 椭圆的定义(1) 我们把平面内与两个定点 F 1，F 2 的距离的和等于常数 (大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .(2) 椭圆的定义用集合语言叙述为： P ＝{M||MF 1|＋|MF 2| ＝2a ， 2a>|F 1 F 2|}.(3) 2a 与 |F 1F 2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：【问题一】在椭圆的标准方程中 a>b>c 一定成立吗？ 不一定，只需 a>b ，a>c 即可， b ，c 的大小关系不确定问题二】若两定点 A 、B 间的距离为 6，动点 P 到两定点的距离之和为1.椭圆标准方程的两种形式10 ，如何求出点 P 的轨迹方程？以两定点的中点为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A （3 ，0） ， B （－ 3， 0）.设 P （x ， y ） ，依题意得 |PA|＋|PB|＝10 ，所以x －32＋y2 ＋ x ＋3x2 y22＋y2＝10，即点 P 的轨迹方程为 25＋16＝焦点在 x 轴上_________ （ a > b>0）F 1（ － c ， 0） ，F 2 _ 2c焦点在 y 轴上___________ （ a >b >0）F 1 ，F 2（0 ，c ） 2c椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系a ，b ，c 的关系根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标22椭圆在坐标系中的位置标准方程x 2 y 2a 2＋b 2＝1（a >b >0）y 2 x 2 a 2＋b 2＝1（a >b >0）焦点坐标F 1（－c ，0），F 2（c ，0）F 1（0 ，－ c ），F 2（0，c ）b 2＝a 2－c 2判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2 项和 y 2 项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”y 2 x 2如方程为 ＋ ＝1 的椭圆，焦点在 y 轴上，而且可求出焦点坐标 F 1（0，－1），F 2（0，1），焦距 |F 1F 2|＝2.54类型一：椭圆的定义【例 1】点 P （－ 3， 0）是圆 C ：x 2＋y 2－6x －55＝0 内一定点，动圆 M 与已知圆相内切且过 P 点，判断圆 心M 的轨迹.方程 x 2＋y 2－6x －55＝0化标准形式为： （x －3）2＋y 2＝64，圆心为 （3，0），半径 r ＝8.因为动圆 M 与已知圆 相内切且过 P 点，所以 |MC|＋ |MP|＝r ＝ 8，根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C ，P 的距离之和为定值 8>6＝ |CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆 .变式】若将本例中圆 C 的方程改为： x 2＋y 2－ 6x ＝0 且点 P （－3，0）为其外一定点，动圆 M 与已知圆 C相外切且过 P 点，求动圆圆心 M 的轨迹方程 .设 M （x ，y ），据题，圆 C ：（x －3）2＋ y 2＝9，圆心 C （3，0），半径 r ＝3.由|MC|＝|MP|＋ r ， 故|MC|－|MP|＝r ＝3，8 9即 x － 3 2＋ y － 0 2－x ＋3 2＋ y － 0 2＝3，x 2 y2 整理得 － ＝ 1（ x <0）.9 27 44【变式 2】 下列命题是真命题的是 __② __.（将所有真命题的序号都填上 ）①已知定点 F 1（－1，0），F 2（1，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝ 2 的点 P 的轨迹为椭圆；①已知定点 F 1（－2，0），F 2（2，0），则满足 |PF 1|＋|PF 2|＝4的点 P 的轨迹为线段； ①到定点 F 1（－3， 0）， F 2（3， 0）的距离相等的点的轨迹为椭圆① 2 <2，故点P 的轨迹不存在；①因为2a＝|F1F2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F1F2；①到定点F1（－3，0），F2（3，0）的距离相等的点的轨迹是线段类型二：求椭圆的标准方程命题角度 1 用待定系数法求椭圆的标准方程1 1 1【例 2 】求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 P（3，3），Q（0，－2）的椭圆的标准方程3 3 2x 34y2 方法一①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a> b>0）.a 2b2由a>b>0 知不合题意，故舍去y 2x2②当椭圆焦点在 y 轴上时，可设椭圆的标准方程为2＋2＝1（a> b>0）.a 2b23 b2＝. 4a2b2＝1，a215，依题意有解得0＋b2＝1，F1F2的垂直平分线（y 轴）.125＋1222＋ 0＝ 1， a245b2＝1，a214，依题意有 解得所以所求椭圆的标准方程为y 2 x 2＋ ＝ 1.11 方法 设椭圆的方程为 mx 2＋ny 2＝1（m>0 ，n>0 ，m ≠n ） 11 m ＋ n ＝1， 99 则 1 4n ＝1， m ＝5， 解得 n ＝4. 所以所求椭圆的方程为 5x 2＋4y 2＝1， y 2 x 2故椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 1145 x 2 y 2变式】求与椭圆 25＋9＝1 有相同焦点，且过点 的椭圆方程据题可设其方程为22 x 2y 2＋ ＝1（λ> －9），λ 9 ＋λ 又椭圆过点 （3， 15） ，将此点代入椭圆方程，得 λ＝ 11（ λ＝ x2 y 2故所求的椭圆方程为 ＋ ＝ 1.36 2021 舍去 ），1b 2 ＝ .5总结：（1）若椭圆的焦点位置不确定， 需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆方程为 mx 2＋ny2＝ 1（m ≠n ， m>0 ，n>0）.x2 y 2x 2y 2y 2 x 2（2）与椭圆 2＋ 2＝1（a >b >0）有公共焦点的椭圆方程为 2＋ 2＝1 （a >b >0 ，b 2> －λ），与椭圆 2＋ 2a 2b 2a 2＋λ b 2＋λa 2b 2y2x2＝1（a >b >0） 有公共焦点的椭圆方程为 a2＋λ＋b2＋λ＝1（a >b >0，b 2>－λ）.【变式 2 】求适合下列条件的椭圆的标准方程 .（ 1）椭圆的两个焦点坐标分别为 F 1（－ 4 ， 0） ，F 2（4 ， 0） ，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于10 ；x2 y 2解：设其标准方程为 a2＋b2＝1（a > b >0）. 据题 2a ＝10 ，c ＝4，故 b 2＝a 2－c 2＝9，x2 y2∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.25 92）椭圆过点 （3，2），（5， 1）；Ax 2＋By 2＝1（A>0 ，B>0 ，A ≠B ），x2 y 2故所求椭圆的标准方程为 91 ＋91＝1. 5516设椭圆的一般方程为 9A ＋4B ＝1，则25A ＋B ＝1，解得A＝91 16B ＝ .913）椭圆的焦点在 x 轴上，且经过点 （2，0）和点 （0 ， 1）.x 2y 2解：设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝ 1（a > b >0）.a 2b 2命题角度 2 用定义法求椭圆的标准方程【例 3 】已知一动圆 M 与圆 C1：（x ＋3）2＋y 2＝1 外切，与圆 C2：（x －3） 2＋y 2＝81 内切，试求动圆圆心 M的轨迹方程 .据题 C 1（－ 3，0），r 1＝1，C 2（3，0）， r 2＝9， 设 M （x ， y ），半径为 R ，则 |MC 1|＝1＋R ， |MC 2|＝ 9－R ， 故 |MC 1|＋ |MC 2|＝10，据椭圆定义知，点 M 的轨迹是一个以 C 1，C 2 为焦点的椭圆，且 a ＝5，c ＝3，故 b 2＝a 2－c 2＝16.22 x 2 y2故所求动圆圆心 M 的轨迹方程为 ＋＝1.25 16总结：用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合 椭圆的定义，可以先定位，再确定 a ，b 的值 .【变式 3】已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点4a 2＝1，a 2＝4， 由解得1b 2＝b 2＝1，x 2∴所求椭圆的标准方程为 4 ＋y 2＝1.P 到两焦点的距离分别为轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程 设椭圆的两个焦点分别为 F 1， F 2，由椭圆的定义，知 2a ＝ |PF 1|＋|PF 2|＝2 5.即 a ＝ 5.由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2 垂直于长轴60 在 Rt △PF 2F 1中， 4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝ ， 95 10 ∴c 2＝ ，∴b 2＝a 2－c 2＝ . 33又所求的椭圆的焦点可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上， x 23y 23x 2y 2故所求的椭圆方程为 5＋10 ＝1或10＋5＝1.类型三 : 椭圆中焦点三角形问题y2 x 2例 4】已知 P 是椭圆 ＋ =1 上的一点， F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，且∠ F 1PF 2＝3054解：由椭圆的标准方程，知 a ＝ 5，b ＝2 ， ∴c＝ a 2－b 2＝1 ，∴| F 1 F 2 |＝ 2.又由椭圆的定义，知 |PF 1|＋ |PF 2| ＝2a ＝ 2 5.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即 4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－2|PF 1|·|PF 2|cos 30 °，即 4＝20－(2＋ 3)|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝ 16(2 －不妨取 |PF 1|＝|PF 2|＝25，求△F 1PF 2 的面积 .3S △F1PF2＝1|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝1×16(2x 2 y 2例5】已知椭圆 9＋ 2 ＝1的焦点为 F 1，F 2，点P 在椭圆上 .若|PF 1|＝4 ，求∠F 1PF 2的大小.92x 2 y 2 解：由 9＋2＝1，知 a ＝3，b ＝ ∴|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2， ∴cos ∠F 1PF 2＝ |PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| 12，∴∠F 1PF 2＝12022 x 2 y 2变式】 (1)在椭圆 C ： 2＋ 2＝1(a > b >0)的焦点三角形 PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝α，点 P 的坐标为 (x 0，y 0)， a 2 b 2 求证：△ PF 1F 2 的面积 S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan x 2 y 2 (2)已知椭圆的方程为 4 ＋3 ＝1，椭圆上有一点 P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积 .11) S △PF 1F 2 ＝2|F 1F 2||y 0|＝c |y 0|.在①PF 1F 2 中，根据椭圆定义，得 |PF 1|＋|PF 2|＝2a.两边平方，得 |PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2. ①根据余弦定理，得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos α＝4c 2. ①2b2所以|PF1||PF2|＝1＋cos α1 1 2b2根据三角形的面积公式，得＝|PF1||PF2|sin α＝··sin2 2 1＋cos αsin α α＝b2·.1＋cos ααα2sin cos sin α 2 2 又因为＝1 ＋cos αα2cos 22sin2＝tanα2 cos2α所以S△PF1F2＝b2tan 2.（2）由已知得 a＝2，b＝3，所以 c＝ a2－b2＝4－3＝1.从而|F1F2|＝2c＝2.在①PF1F2 中，由勾股定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4.又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，所以|PF2|＝4－|PF1|.3从而有（4－|PF1|）2＝|PF1|2＋4.解得|PF1|＝.1 1 3 3 3所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝× ×2＝，即△PF1F2的面积是.2 2 2 2 2总结：（1）如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2 的直线为x 轴，线段F1F2 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy.（2）设点：设点M（x ，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1（－c，0），F2（c，0）.（3）列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x＋c 2＋y2＋x－c 2＋ y2＝2a. ①（4）化简：通过移项、两次平方后得到：（a2－c2）x2＋ a2y2＝a2（a2－c2），为使方程简单、对称、便于记忆，x 2y2引入字母 b，令 b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1（a> b>0）. ②a 2b2知识点椭圆标准方程的认识与推导【问题 1 】椭圆标准方程的几何特征与代数特征分别是什么？标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴或 y轴上．xy 标准方程的代数特征：方程右边为 1 ，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．ab【问题 2 】依据椭圆方程，如何确定其焦点位置？把方程化为标准形式，与 x2， y2相对应的分母哪个大，焦点就在相应的轴上．【问题 3 】观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．(1) 如图所示，以经过椭圆两焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系xOy.(2) 设点：设点 M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0) ，F2(c,0)．(3) 列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF 2|＝2a 列方程，并将其坐标化为x＋c 2＋y2＋ x－c 2＋y2＝2a.①(4) 化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋ a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、便于记忆，x 2y2引入字母 b，令 b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为2＋2＝1( a> b>0) ．②a 2b2(5) 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点 F1(－c，0) ，F2 (c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．66 椭圆的标准方程的形式(2)221___>0 >0 (3) 椭圆方程中参数 a ， b ，c 之间的关系为 a 2＝ b 2＋ c 2_ ．类型一 椭圆标准方程的确定例 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A ( 3，－ 2)和 B (－2 3，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1) 当焦点在 x 轴上时，x2 y 2设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1( a > b >0) ，a2 b 23 2－ 2 22＋ 2＝1，a 2b2依题意有－2 3 2122＋ 2＝1，a 2b2a 2＝ 15 ， 解得b 2＝5.x2 y 2故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.15 5a 2＝ 5，解得b 2＝15.此时不符合 a >b >0 ，所以方程组无解．x2 y2故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.15 5反思与感悟 求解椭圆的标准方程，可以利用定义，也可以利用待定系数法，选择求解方法时， 合题目条件，其次需注意椭圆的焦点位置．(2)当焦点在 y 轴上时， a > b >0） ，依题意有 122＋2 ＝ 1，a2b2方法 设所求椭圆的方程为 Ax 2＋By 2＝1（A >0 ，B >0 且 A ≠B ），3A ＋4B ＝1，依题意有12A ＋B ＝1，解得A＝15故所求椭圆的标准方程为 x 2 y 2＋ ＝ 1.15 5定要结变式 1 】求适合下列条件的椭圆的标准方程．35(1)两个焦点的坐标分别是 (0 ，－ 2) ，(0,2) ，并且椭圆经过点 (－2，2)； (2) 焦点在 y 轴上，且经过两点 (0,2) 和(1,0) ．解 (1) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，y2 x 2∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1( a > b >0) ．a 2 b2由椭圆的定义知：又 c ＝ 2，∴b 2＝ a 2－ c 2＝ 6.y2 x2∴所求的椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1.10 6(2) ∵椭圆的焦点在 y 轴上，22 y 2x 2∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1( a > b >0) ．a2b 2又椭圆经过点 (0,2) 和(1,0) ，40 01＋ ＝ 1， a2＋b2＝1，∴所求的椭圆的标准方程为y2＋x 2＝1. 4a ＝ 10.2＋ 2＝ 1，a 2b 2a 2＝4，b 2＝1.＋＝2 10 ，即类型二相关点法在求解椭圆方程中的应用例 2 如图，在圆 x2＋y2＝4 上任取一点 P，过点 P作 x 轴的垂线段 PD，D为垂足．当点 P在圆上运动时，求线段 PD的中点 M 的轨迹．解设点 M 的坐标为（x， y），点 P 的坐标为（x0， y0），y0则 x＝ x0， y＝2 .因为点 P（x0，y0）在圆 x2＋ y2＝4 上，所以 x02＋ y02＝ 4.①把 x0＝x，y0＝2y 代入方程①，x2得 x2＋4y2＝4，即＋y2＝1.4所以点 M 的轨迹是一个焦点在 x 轴上的椭圆．反思与感悟如果一个动点 P随着另一个在已知曲线上运动的动点Q而运动，则求 P 点的轨迹方程时一般用转代法来求解．基本步骤为（1）设点：设所求轨迹上动点坐标为 P（x， y），已知曲线上动点坐标为 Q（x1，y1）．x1＝g x， y ，（2）求关系式：用点 P的坐标表示出点 Q 的坐标，即得关系式y1＝h x， y .（3）代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．跟踪训练 2 如图所示，B点坐标为（2,0），P是以 O 为圆心的单位圆上的动点，的平分线交直线 PB于点 Q，求点 Q 的轨迹方程．解由三角形角平分线性质得||B Q Q P||＝||O OP B||＝2. ∴B→Q＝2Q→P.x－2＝2x0－2x，设 Q（x，y），P（x0，y0），则（x－2，y）＝2（x0－x，y0－y），∴y＝2y0－2y，又∵点 P 在单位圆 x2＋ y2＝1 上．3x－ 2 3∴( 2 )2＋(2y)2＝1.3x－ 2 29∴点Q 的轨迹方程为4＋4y2＝1.∠POB3x－2x0＝23yy0＝.2。