12.3椭圆的标准方程
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
椭圆的定义让我们可以从几何的角度来理解它，但更重要的是要掌握椭圆的数学性质和标准方程。
接下来，我们将详细介绍椭圆的数学性质和标准方程。
首先，我们来看椭圆的标准方程(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
这个方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过这个方程，我们可以确定椭圆的位置、形状和大小。
其次，椭圆的离心率是一个重要的概念。
离心率e定义为焦点到中心的距离与长轴长度的比值，即e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
另外，椭圆还有一个重要的性质是它的对称轴。
椭圆有两条对称轴，分别是x 轴和y轴，它们通过椭圆的中心，并且与椭圆的长轴和短轴垂直。
对称轴对于研究椭圆的性质和方程都有重要的作用。
除此之外，椭圆还与焦点、直径、引线等概念有着密切的联系，这些概念都是理解和研究椭圆的重要工具。
总之，椭圆是数学中重要的曲线之一，它有着独特的数学性质和几何特征。
通过掌握椭圆的标准方程和数学性质，我们可以更深入地理解和研究椭圆，为数学和科学的发展做出贡献。
希望本文对你对椭圆及其标准方程有所帮助，谢谢阅读！。
第十二章第三节椭圆的标准方程
§12.3椭圆的标准方程1、 已知两点()()3,0,3,0A B -,若10PA PB +=，那么点P 的轨迹方程是2、已知椭圆中心在原点，一个焦点为(F -，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程为 ．3、F 1、F 2 为椭圆192522=+x y 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B += ，则AB = _____________．4、方程222123x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为 三、典型例题例1、已知定点12(4,0)(4,0)F F -，和动点(,)M x y 求满足122(0)MF MF aa +=>，的动点M 的轨迹及其方程。
例2、已知圆055622=--+x y x ，动圆M 经过定点)0,3(-A ，且与已知圆相内切，求圆心M 的轨迹方程。
例3、已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；四、课后作业（一）基础题：1、已知1a b ==，焦点在y 轴上椭圆的标准方程为_____________2、若椭圆22136x y m +=的焦点在坐标轴上，焦距为6，则实数m 的值为__________ 3、的值为的一个焦点，则实数）为椭圆，若（k ky kx 134-022=+ 4、已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(1251622≠=+y y x 5、已知在椭圆中，10,4a c a c +=-=，求椭圆的标准方程。
6、已知P 点在焦点为1F 、2F 的椭圆2214520x y +=上，若021=⋅F F ，求12PF PF ∙的值。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义及其标准方程 教案
12.3椭圆的定义及标准方程一、教学目标：1、理解椭圆定义,经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法；2、掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；3、在求方程的过程中,培养学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。
二、教学重点及难点：（1）重点：椭圆定义及其标准方程； （2）难点：椭圆标准方程的推导；解决难点的关键在于抓住“如何建系”与“如何化简方程”两个环节。
三、教学辅助工具：PPT 课件、几何画板、每人一个自制的椭圆教具。
四、教学过程：（一）创设情境，引入课题 1、创设情境多媒体展示“嫦娥二号”运行轨道视频和图片，欣赏生活中丰富多彩的椭圆。
2、引入课题既然椭圆可以认为由圆演变而来，那么数学中是怎么定义椭圆的呢？ 教师活动：引导学生回忆有关圆的相关知识,引导学生猜想：如何画出椭圆？设计意图：联系生活实际，利于学生的思考与想象。
通过学过的圆的相关知识，引导学生采用类比的思想猜想椭圆，有益于后续教学的顺利进行。
（二）实验探究、形成概念1、实验探究动手实验：取出提前准备好的具有一定长的细绳，并把细绳两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于21,F F 两点的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。
通过实验，思考如下问题：(1)在作图的过程中哪些量是变的？ 12MF MF +的和是否变化？ (2) 12MF MF +与12F F 的大小关系是？M2F1F(3)若绳长与两定点12F F 、的距离相等，画出的图形是？ (4)绳长能小于两定点12F F 、之间的距离吗？ 设计意图：(1) 给学生提供一个动手操作、合作学习的机会，在动手操作的过程中激发学生的学习热情与求知欲； (2) 通过实验，学生在问题的情境中去探究“在什么样的条件下，点的集合为椭圆”。
2、形成概念 教师活动：(1) 用几何画板动态演示椭圆的形成过程。
椭圆的标准公式
椭圆的标准公式椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准公式可以通过几何性质和代数方程两种方式来描述。
下面我们将详细介绍椭圆的标准公式及其相关性质。
首先，我们来看椭圆的几何性质。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴，焦距为2c。
点P（x,y）到两个焦点的距离之和等于常数2a，根据勾股定理可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
其次，我们来看椭圆的代数方程。
设椭圆的两个焦点分别为F1（-c,0）和F2（c,0），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c。
根据椭圆的定义可得。
PF1+PF2=2a。
根据点到定点的距离公式可得。
√((x+c)²+y²)+√((x-c)²+y²)=2a。
整理得到椭圆的标准方程。
(x²/a²)+(y²/b²)=1。
其中a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
椭圆的标准方程中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴，a>b。
椭圆的离心率e的计算公式为e=c/a，其中c为椭圆的焦距。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆的形状为椭圆；当e>1时，椭圆的形状为双曲线。
椭圆的标准方程可以通过平移、旋转和缩放来得到不同形式的椭圆方程。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地求得椭圆的焦点、离心率、焦距、长轴、短轴等重要参数，从而更好地理解和研究椭圆的性质和特点。
总之，椭圆的标准公式是描述椭圆几何性质和代数方程的重要工具，通过标准公式我们可以更加深入地理解椭圆的形状、性质和特点，为进一步研究椭圆提供了重要的数学基础。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的定义和标准方程 教案
通过表格的形式，让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解。
标准方程
+ =1
1
图形
a,b,c关系
焦点坐标
焦点位置
在x轴上
在y轴上
总结椭圆的标准方程的特点
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ满足 。
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
小结：求标准方程一般步骤：
1、定位：确定焦点位置
2、定量：确定a、b、c值
四、知识应用
例1:已知椭圆的焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点 ,求椭圆的标准方程.
思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点 到两个焦点 、 的距离之和为常数2 ）求出 值，再结合已知条件和 、 、 间的关系求出 的值，进而写出标准方程；
练习2：判断下列椭圆的焦点位置，求出焦点坐标和焦距？
1、 2、 3、 4、
例：求适合下列条件的椭圆标准方程
1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；2.b=1， ，焦点在y轴上
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 4、焦点坐标分别为（-2,0），（2,0）并且经过点
小结：求标准方程一般步骤：
四、课堂检测：求适合下列条件的椭圆标准方程
学生思考，学生代表回答问题
启发学生建系方法，建立适当的直角坐标系。
探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案
带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。教学时，要注意说明这类方程的化简方法。
教师板书
学生填表记忆
教师引导学生思考、练习
学生反思本节课重点是否掌握
椭圆标准方程
椭圆标准方程椭圆是平面上的一个闭合曲线，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆在几何学和工程学中有着广泛的应用，因此了解椭圆的标准方程对于理解其性质和应用具有重要意义。
椭圆的标准方程是椭圆的一种数学表达形式，它可以简洁地描述椭圆的几何特征。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
在标准方程中，a大于b，因为椭圆在x轴上的半轴长通常大于在y轴上的半轴长。
椭圆的中心位于原点(0,0)处，F1和F2分别位于x轴上的(-c,0)和(c,0)处，其中c满足c^2 = a^2 b^2。
椭圆的标准方程可以帮助我们快速了解椭圆的形状和特征。
通过标准方程，我们可以得知椭圆的长轴、短轴、焦点位置等重要信息，从而更好地应用椭圆的性质和定理。
除了直角坐标系下的标准方程，椭圆还有参数方程、极坐标方程等不同的数学表达形式。
这些表达形式在不同的问题和应用中具有各自的优势，但标准方程作为最常见的表达形式之一，具有重要的地位和作用。
在实际问题中，我们经常需要根据具体的条件和要求来确定椭圆的标准方程。
通过已知的焦点、顶点、离心率等信息，我们可以利用椭圆的性质和定义来推导出其标准方程，从而更好地理解和应用椭圆的相关知识。
总之，椭圆的标准方程是描述椭圆几何特征的重要数学工具，它能够简洁地表达椭圆的形状和性质，为我们深入理解和应用椭圆提供了重要的数学支持。
通过学习和掌握椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，解决实际问题中的相关应用，并为进一步深入学习椭圆的相关知识打下坚实的数学基础。
12.3椭圆的标准方程
12.3 椭圆的标准方程一、典型例题 例题1已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，椭圆上的点到两焦点的距离和为10，求它的标准方程.4,5,62,102:====b a c a 则解：由题意得所求标准方程为：11625116252222=+=+xyyx或例题2求焦点在x 轴上，焦距为62，且过点)2,3(的椭圆的标准方程. 解：法一、焦点为F 1),0,6(-F 2),0,6(c 2=6 +++=22)2()63(2a 22)2()63(+-则=24a 36即92=a所求标准方程为：13922=+yx法二、c 2=6，设椭圆的标准方程为162222=-+a yax点)2,3(代入方程得162322=-+a a解得92=a所求标准方程为：13922=+yx例题3已知定点1F （-4，0）、2F （4，0）和动点),(y x M ，求满足)0(221>=+a a MF MF 的动点M 的轨迹及其方程.解：为焦点的椭圆的轨迹为以时，动点214F F M a >，方程为1162222=-+a yax ；)44(0421≤≤-==x y F F M a ：为端点的线段，方程为的轨迹为以时，动点无轨迹时，动点M a 4<。
例题4已知椭圆12222=+by ax )0(>>b a ，P 为椭圆上任一点，θ=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积.解：21PF F ∆中，PF 12+ PF 22-2 PF 1 PF 2cos θ= F 1F 22即()-22a 2 PF 1 PF 2-2 PF 1 PF 2cos θ=(2c)2PF 1 PF 2=θθcos 12cos 122222+=+-bc a=∆21PF F S 21 PF 1 PF 2sin θ=21θcos 122+bsin θ=2tan 2θb例题5椭圆192522=+yx上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，求ON 的长. 解：ON =212MF =4二、变式训练1.已知：椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0，4），求它的标准方程. 解：1716116252222=+=+xyyx或2．已知：椭圆经过点A(2, 3),B(-3, 27)，求它的标准方程.解：设AX 2+BY 2=1141622=+yx3．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为510-的椭圆的标准方程.解：（等腰直角三角形）151022=+yx4．在椭圆192522=+yx上求一点，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.解：F 1(-4,0),F 2（4，0）⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-⇒=++⇒⇒⎩⎨⎧==+64)4(8=PF4)4(2=PF 4/PF PF 10PF PF 2222211221y x y x P(-)473,415±5．在椭圆 14922=+yx上动点P(x,y)与定点M(m,0)(0<m<3)的距离的最小值为1，求m.解：PM 2=（x-m ）2+y 2=（x-m ）2+)91(42x-=95x 2-2mx+m 2+4=95(x-)59m2+4-254m0<m<3即0<m 59<5271）0<m 593≤即0<m ≤35时，PM 2min =4-254m =1( x=59m )可得m=±215（舍）2) 3<m 59<527即35<m<3时，PM 2min = m 2-6m+9=1 ( x=3) 可得m=2(m=4舍)6．已知圆()12:221=++y x C 和圆()492:222=+-y x C ，动圆P 与圆1C 外切，同时与圆2C 相内切, (1)求动圆圆心P 的轨迹方程; （2）过点（－2，0）作直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且线段MN 的中点到y 轴的距离为54，求直线l 的方程.解：（1） P 1C =1+r, PC 2=7-r 即P 1C + PC 2=8圆心P 的轨迹方程为1121622=+yx（2）设M （x 1,y 1）,N(x 2,y 2)0481616)34()2(1121622222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+k x k k x k y yx ⇒21x x +=58=341622+k k⇒k 2=22⇒k=±22所求直线l 的方程为y=±22(x+2)。
椭圆的公式标准方程
椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。
椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。
首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。
椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。
椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。
通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。
首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。
其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。
椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。
我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。
以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。
我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。
首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。
其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。
短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。
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A
课 题 椭圆及其标准方程
（湖北省示范高中利川一中、高二数学组）
主讲教师： 覃发武
三维目标
知识与技能：
掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程。
过程与方法：
通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟
练掌握解决几何问题的方法——坐标法。
情感、态度与价值观：
通过椭圆定义和标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问
题的本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化，对立统一的思想。
教学重点
椭圆的定义和椭圆的标准方程.
教学难点
椭圆标准方程的推导，椭圆定义中常数加以限制的原因.
教学方法
选用引导―探究式的教学方法
教学手段
借助模型进行辅助教学
教学过程
Ⅰ.观察客观事物、复习引入：
1.观察客观存在的椭圆形物体、模型.
2.已知圆心和半径可以确定一个圆，那么椭圆又如何确定呢？
Ⅱ.讲授新课
探究: 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在纸板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在纸板的两点处（如下图），套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，观察画出的轨迹是什么？
思考1: 在这个过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足什么几何条件吗？
思考2: 你能类比圆的定义给出椭圆的定义吗？
椭圆的定义：
子概念：(1)焦点
(2)焦距
思考3：①为什么要强调在平面内？
②为什么要强调绳长大于两焦点的距离？
例1：（1）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于10的点的轨迹是
（2）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于8的点的轨迹是 （3）已知M(-4,0)、N(4,0)，平面内到M 、N 两点的距离的和等于6的点的轨迹是
练习1：“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个点的轨迹为椭圆”的
条件。
思考4：如何化简式子a y c x y c x 2)()(2222=+-++
+ ？
思考5：观察右下图， 你能从中找出表示22c a c a -，，的线段吗？
椭圆的标准方程：
例2：求例1中（1）的椭圆的标准方程
变式一:将上题焦点改为(0
，
-4)、(0，4), 其标准方程是
标准方程 相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标 探究定义
a 、
b 、
c 的关系 思考6: 如右图：如果焦点F 1、F 2在y
，(0，c)，a ，b 的意义
同上，那么此时椭圆的方程是什么？
椭圆的标准方程(另一形式)：
椭圆的标准方程的特点：
(1) (2) (3) (4)
例3：将例1中（1）中条件改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离和等于10，其标准方程是
例4：经过P(1,
2
2
)、Q(0,1)的椭圆标准方程 归纳 :椭圆的方程的统一形式：
四：知识整理形成系统
五：课堂小结
六：课堂练习
1、下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？
2、已知椭圆方程为
116
252
2=+y x ，则(1)a= ，b= ， c= ； (2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 ；焦距为 。
(3)已知椭圆上一点 P 到左焦点F 1的距离等于6，则点P 到右焦点的距离是 ； (4)若CD 为过左焦点F 1的弦，则∆CF 1F 2的周长为 ，∆F 2CD 的周长为 。
3、若方程
1452
2=+k
y x 表示的曲线是椭圆，求k 的取值范围. 变式： (1)若方程
1452
2=+k y x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围. (2)若方程
1452
2=+k
y x 表示焦点坐标为(±2，0)的椭圆，求k 的值. 七：课后巩固
P 42：练习： 1,2，3，4。
P 49：习题2.2(A 组) 1， 2。
F 2 F 1 o x y M。